Yêu cầu cơ bản đối với người học Hiểu được các khái niệm liên quan đến hàm nhiều biến: lân cận của một điểm, miền xác định, giới hạn, sự liên tục, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm theo hướng, cực trị, max và min. Đối với hàm hai hoặc ba biến: Biết cách tìm giới hạn. Xác định được sự liên tục. Biết tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp cao. Tính được đạo hàm theo hướng bất kỳ. Các bước tìm cực trị (không hoặc có điều kiện). Các bước tìm max, min trên một miền.
Hàm số nhiều biến số Ch-¬ng HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Yêu cầu người học Hiểu khái niệm liên quan đến hàm nhiều biến: lân cận điểm, miền xác định, giới hạn, liên tục, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm theo hướng, cực trị, max Đối với hàm hai ba biến: Biết cách tìm giới hạn Xác định liên tục Biết tính đạo hàm riêng vi phân cấp cao Tính đạo hàm theo hướng Các bước tìm cực trị (khơng có điều kiện) Các bước tìm max, miền 1.1 Khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Trong không gian Euclide n chiều Rn, cho hệ toạ độ Đề Khi điểm x Rn mơ tả gồm n số thực (x1, x2, , xn) Giả sử D tập Rn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi hàm số n biến số xác định D, ký hiệu f: D R, quy luật cho ứng x = (x1, x2, , xn) D với u = f(x1, x2, , xn) R Khi ta viết u = f(x), toạ độ x1, x2, , xn gọi biến độc lập 1.1.2 Tập hợp Rn Giả sử M(x1, x2, , xn) N(y1, y2, , yn) hai điểm Rn Ta gọi khoảng cách hai điểm ấy, ký hiệu d(M, N), giá trị biểu thức n (x k y k ) k 1 Dễ kiểm tra với ba điểm A, B C Rn d(A, C) d(A, B) + d(B, C) Ta gọi –lân cận điểm M Rn tập U(M) = {N Rn : d(M, N) < } Ta gọi lân cận điểm M, ký hiệu U(M), tập hợp chứa U(M) M Điểm M gọi điểm tập E tồn U(M) nằm trọn E Tập E gọi tập mở điểm điểm Hàm số nhiều biến số Điểm M gọi điểm biên tập E U(M) chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập điểm biên tập gọi biên tập Tập E gọi tập đóng chứa tồn biên Ví dụ 1.1.1 Cho M0 điểm cố định r > Ta gọi cầu mở tâm M0 bán kính r tập E = {N Rn : d(M0, N) < r}, dễ thấy E tập mở Thật vậy, M E, lấy = r – d(M0, M) Khi đó, N U(M), d(M0, N) d(M0, M) + d(M, N) < d(M0, M) + = r, nên N E Ta gọi mặt cầu tâm M0 bán kính r tập E = {N Rn : d(M0, N) = r}, E biên E Ta gọi cầu đóng tâm M0 bán kính r tập E = {N Rn : d(M0, N) r}, E tập đóng Tập hợp E gọi bị chặn tồn cầu chứa Tập hợp E gọi liên thông hai điểm E tồn đường nối liên tục nằm hoàn toàn E Tập hợp E gọi đơn liên biên liên thơng, gọi đa liên biên không liên thông 1.1.3 Miền xác định hàm số nhiều biến số Miền xác định hàm số u = f(M), ký hiệu Df, tập điểm M để f(M) có nghĩa Ví dụ 1.1.2 Trong R2, với f(x, y) = x y Df = {(x, y): x2 + y2 1} Trong R3, với f(x, y, z) = x 2 1 x y z Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1} 1.1.4 Giới hạn hàm số nhiều biến số Sau đây, số khái niệm kết trình bày cho n = n = Nhưng chúng dễ dàng mở rộng cho n > Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy điểm {Mn(xn, yn)} dần tới điểm M0(x0, y0) n +, viết Mn M0, lim d( M n ,M ) = n Dễ thấy lim d(M n , M ) lim x n x lim y n y0 n n n Hàm số nhiều biến số Giả sử f(M) = f(x, y) xác định lân cận M0, trừ M0 Định nghĩa 1.1.3 Ta nói f(M) có giới hạn L M M0, viết lim f ( M ) L M M , với dãy Mn M0 ta có f(Mn) f(M0) Định lý 1.1.1 Hàm f(M) có giới hạn L M M0 > 0, = (, M0) > cho |f(M) – L| < d(M0, M) < Định nghĩa 1.1.4 Ta nói f(M) có giới hạn + M M0, với dãy Mn M0 ta có f(Mn) + Khi ta viết lim f ( M ) M M Ta nói f(M) có giới hạn – M M0, với dãy Mn M0 ta có f(Mn) – Khi tà viết lim f ( M ) M M Các tính chất đại số giới hạn hàm biến cịn với hàm nhiều biến Ví dụ 1.1.3 Xét f(x, y) = |f(x, y) – 0| = | x || y | x y2 xy x y2 (x, y) (0, 0) Do |x| x y2 nên |y| (x, y) (0, 0) Vậy f(x, y) (x, y) (0, 0) Ví dụ 1.1.4 Xét f(x, y) = xy Nếu cho (x, y) (0, 0) dọc theo đường thẳng có x y2 phương trình y = kx f(x, y) = f(x, kx) = k k , nên lim f (x, kx) Nếu lấy hai x 0 1 k 1 k2 giá trị k khác nhau, ta hai giới hạn khác nhau, không tồn giới hạn f(x, y) (x, y) (0, 0) Một số phương pháp xác định tồn giới hạn hàm hai biến số Phép đặt t = x y Thông qua phép đặt này, f(x, y) = f(ty, y) = g(t, y) Khi (x, y) → (0, 0), có ba khả t: t → 0, t → , t → k (hữu hạn, khác 0) Hàm số nhiều biến số Nếu trường hợp mà g(t, y) có giới hạn f(x, y) có giới hạn, trái lại khơng Ví dụ 1.1.5 Tìm giới hạn f (x, y) Đặt t = x y2 (x, y) → (0, 0) x y xy t2 1 x , f(x, y) = y t 1 t Với y = x t → f(x, y) → Với y = x t → f(x, y) → Vậy hàm khơng có giới hạn (x, y) → (0, 0) Đặt f(x, y) = k Ta xét lại Ví dụ 1.1.3, f(x, y) = xy x y2 k x y2 k2 2 2 2 k x (y k ) k y x y2 x y2 y2 k Ta thấy k y đủ nhỏ vế phải âm, mâu thuẫn Vậy k = 0, có nghĩa trường hợp (x, y) → (0, 0) ta có f(x, y) → 1.1.5 Tính liên tục hàm số nhiều biến số Định nghĩa 1.1.5 Giả sử f(x) xác định lân cận điểm M0 D Ta nói f(x) liên tục M0 tồn giới hạn lim f ( M ) = f(M0) M M Nếu M0 thuộc biên miền đóng D q trình M M0 hiểu M thuộc D Với M0(x0, y0), đó: số gia đối: x = x – x0, y = y – y0, số gia riêng theo biến x: xf = f(x0 + x, y0) – f(x0, y0 ), số gia riêng theo biến y: yf = f(x0, y0 + y) – f(x0, y0 ), số gia toàn phần: f = f(x0 + x, y0 + y) – f(x0, y0 ) Hàm f(x, y) liên tục M0 xác định f x y Ta nói f(M) liên tục D liên tục điểm thuộc D Hàm f(M) gọi liên tục D > 0, () > : |f(M) – f(N)| < M D, N D thoả mãn d(M, N) < Các tính chất đại số tính liên tục hàm biến với hàm nhiều biến Hàm số nhiều biến số | xy | Ví dụ 1.1.6 Xét f(x, y) = x y (x, y) (0, 0) ( > 0) (x, y) (0, 0) Vì tử số mẫu số hàm liên tục (x, y) (0, 0), nên f(x, y) liên tục Ta xét riêng điểm (0, 0) Do |xy| (x y ) | f (x, y) | (x y )1 Nếu > f(x, y) = f(0, 0) (x, y) 0, liên tục (0, 0) Với 1, |f(x, x)| = | x 2 || 2(1 ) | + x 0, không liên tục (0, 2x 2x 0) 1.2 Đạo hàm vi phân hàm số nhiều biến số 1.2.1 Đạo hàm riêng Cho u = f(x, y) xác định miền D M0(x0, y0) D Nếu cố định y = y0 mà hàm biến x f(x, y0) khả vi x = x0 đạo hàm gọi đạo hàm riêng f x M0 ký hiệu ký hiệu sau: f x '(x , y0 ) , f f u f (x , y0 ) , (x , y0 ) , tức (x , y0 ) = lim x x 0 x x x x Tương tự, đạo hàm riêng f x M0 ký hiệu f y '(x , y0 ) hay f u (x , y0 ) (x , y ) y y 0 Các đạo hàm riêng hàm n biến (n 3) định nghĩa tương tự Chú ý: f ký hiệu, riêng f x khơng có nghĩa x Ví dụ 1.2.1 f(x, y) = xy ( x > 0), f f x y ln x yx y 1 , y x y z Ví dụ 1.2.2 f(x, y, z) = x 3arctg (z 0) f y f 3x 2arctg , x3 x z y 1.2.2 Vi phân toàn phần 1 x 3z f y x3y x ( ) , y z y z z y2 z2 y2 z2 1 1 z z Hàm số nhiều biến số Ta nói f(x, y) khả vi (x0, y0) biểu diễn f = Ax + By + x + y, A B số phụ thuộc x0 y0, dần tới x y dần tới Khi ký hiệu df = Ax + By, gọi vi phân toàn phần f (x0, y0) Hàm f(x, y) gọi khả vi miền D khả vi điểm thuộc D Rõ ràng, f khả vi (x0, y0) liên tục (x0, y0) Lưu ý rằng, tồn đạo hàm riêng f chưa đủ kết luận f khả vi xy Xét ví dụ, f (x, y) x y (x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0) f (h, 0) f (0, 0) f (h, 0) lim Tương tự ta có fy'(0, 0) = h 0 h 0 h h Khi fx'(0, 0) lim Nhưng theo Ví dụ 1.1.4, hàm khơng liên tục (0, 0) Định lý 1.2.1 Nếu đạo hàm riêng f(x, y) liên tục (x0, y0) f(x, y) khả vi (x0, y0) df = fx'(x0, y0)x + fy'(x0, y0)y Như vậy, vi phân toàn phần khác số gia toàn phần lượng x + y, vô bé bậc cao x y , nên x y đủ nhỏ f df, tức f(x0 + x, y0 +y) f(x0, y0) + fx'(x0, y0)x + fy'(x0, y0)y Ví dụ 1.2.3 Tính gần arctg 1.02 0.95 y x Xét f (x, y) arctg Ta cần tính f(x0 + x, y0 + y) với x0 = 1, y0 = 1, x = – 0.05, y = 0.02 Ta có fx' = – y x 1 , fy' = 2 , nên fx'(x0, y0) = , fy'(x0, y0) = x y x y 2 2 Vậy f(1 – 0.05, + 0.02) = arctg(1) + ( )(–0.05) + (0.02) = + 0.035 0.785 + 0.035 = 0.82 1.2.3 Đạo hàm hàm số hợp Cho : R2 D (x, y) (u(x, y), v(x, y)) R2, R f: R (u, v) f(u, v) Hàm số nhiều biến số Khi fo: D (x, y) f((x, y)) = f(u(x, y),v(x, y)) gọi hàm hợp f với Định lý 1.2.2 Nếu f có đạo hàm riêng có đạo hàm riêng f f , liên tục D hàm u, v u v u u v v f f , , , , D, tồn đạo hàm riêng x y x y x y D f x f y u x v x f u f u u f x v u f y v v f x , hay viết dạng ma trận v x y f f = y u f v u y , v y Ma trận cuối bên phải gọi ma trận Jacobi hay Jacobian u, v x, y Định thức ma trận đó, ký hiệu D(u, v) , gọi định thức Jacobi u, v D(x, y) x, y Ví dụ 1.2.4 Cho f = eulnv, với u = xy, v = x2 + y2 Khi f f u v u v e u ln v, eu , y, 2x, x, 2y Do u v v x x y y f 2xe xy 2x 1 xy 2 e u ln v y e u 2x ye xy ln(x y ) e y ln(x y ) , 2 x x y2 x y v f 2ye xy 2y 1 e u ln v x e u 2y xe xy ln(x y ) e xy x ln(x y ) y x y x y2 v Chú thích Nếu z = f(x, y) với y = y(x) z hàm biến số x, tức z = f(x, y(x)) Khi f '(x) dz f dx f dy f f y '(x) dx x dx y dx x y Nếu z = f(x, y) với x = x(t), y = y(t) z hàm t Khi Hàm số nhiều biến số f '(t) dz f dx f dy f f x '(t) y '(t) dt x dt y dt x y Chú thích Nếu u u v v f f , , , liên tục theo Định lý 1.2.2 ta suy , x y x y x y liên tục, nên ta xem z hàm số khả vi theo x, y cơng thức tính vi phân dz f f dx dy Do đó, x y f u f v f u f v dz dy = dx u x v x u y v y = f u u f v v f f du dv dx dy dx dy = u x y v x y u v Vậy vi phân tồn phần hàm nhiều biến có dạng bất biến 1.2.4 Đạo hàm hàm số ẩn a) Khái niệm hàm ẩn (implicit function) Cho phương trình F(x, y) = 0, F: R2 U R Nếu với giá trị x = x0 I, có (hay nhiều) y0 cho F(x0, y0) = ta nói phương trình F(x, y) = xác định (hay nhiều) hàm ẩn y theo x I Nói khác đi, xI, (x, f(x)) U F(x, f(x)) = Ví dụ 1.2.5 Từ phương trình x y2 b , ta có y = a x , ta tìm a b a dạng tường minh hai hàm ẩn xác định [–a, a] Tuy nhiên, khơng phải lúc điều xảy Ví dụ, từ xy + yx = a (x > 0, y > 0, a > 0) ta khơng thể tìm dạng tường minh hàm ẩn, tồn Định lý 1.2.3 Cho phương trình F(x, y) = 0, (1.2.1) F có đạo hàm riêng liên tục tập mở U R2 Nếu (x0, y0) U, F(x0, y0) = Fy'(x0, y0) 0, lân cận x0, phương trình (1.2.1) xác định hàm ẩn y = f(x), liên tục với đạo hàm cấp (1.2.2) lân cận nói trên, f(x0) = y0 Định lý 1.2.4 Cho phương trình F(x, y, z) = 0, F có đạo hàm riêng liên tục tập mở U R3 Nếu (x0, y0, z0) U, F(x0, y0, z0) = Fz'(x0, y0, z0) 0, lân cận (x0, y0) phương trình (1.2.2) xác định hàm ẩn z = f(x, y), liên tục với đạo hàm riêng lân cận nói trên, z0 = f(x0, y0) Hàm số nhiều biến số F( x, y,z,u,v ) G( x, y,z,u,v ) (1.2.3) Định lý 1.2.5 Cho hệ hai phương trình F G hai hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U R5 Nếu (x0, y0, z0, u0, v0) U, F(x0, y0, z0, u0, v0), G(x0, y0, z0, u0, v0) định thức Jacobi D( F ,G ) Fu ' Fv ' D( u,v ) Gu ' Gv ' 0 lân cận (x0, y0, z0) phương trình (1.2.3) xác định cặp hàm ẩn u = f(x, y, z), v = g(x, y, z) liên tục với đạo hàm riêng lân cận nói trên, u0 = f(x0, y0, z0), v0 = g(x0, y0, z0) b) Đạo hàm hàm ẩn Giả sử điều kiện Định lý 1.2.3 thoả mãn Khi phương trình (1.2.1) xác định hàm ẩn y = f(x), liên tục với đạo hàm khoảng đó, khoảng ta có F(x, f(x) = Lấy đạo hàm hai vế theo x, ta Fx ' Fy ' F ' dy dy Vì F'y 0, ta có x dx dx Fy ' Ví dụ 1.2.6 F(x, y) = x y2 1 a b2 = 0, Fx ' 2x 2y , Fy ' Với y Fy' 0, a b phương trình xác định hàm ẩn y = f(x), y ' Dễ thấy hàm ẩn y1 = b2 x a2 y b b a x y2 = a x tương ứng với y > a a y < Tại (x, y) = (a, 0) (x, y) = (–a,0), ta có F'y = 0, khơng xác định hàm ẩn Giả sử điều kiện Định lý 1.2.4 thoả mãn Khi phương trình (1.2.2) xác định hàm ẩn z = f(x, y), liên tục với đạo hàm riêng miền đó, miền ta có F(x, y, f(x, y)) = Lấy đạo hàm theo x y, ta Hàm số nhiều biến số Fx' + Fz'zx' = 0, Fy' + Fz'zy' = Vì Fz' nên z x ' Fx ' Fz ' , zy ' Fy ' Fz ' Ví dụ 1.2.7 F(x, y, z) = ez + xy + x2 + z3 – = Ta có Fx' = y + 2x, Fy' = x, Fz' = ez +3z2 Vì Fz' z, nên phương trình xác định hàm ẩn z = f(x, y) liên tục với đạo hàm riêng z x ' 2x y x , zy ' z z e 3x e 3z 1.2.5 Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm z = f(x, y) đạo hàm riêng (partial derivative) cấp fx', fy' Ta gọi đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp (nếu tồn tại) đạo hàm riêng cấp hai, ký hiệu sau: f 2f f xx ", x x x f 2f f xy ", y x yx f 2f f yy " y y y f 2f f " x y xy yx (các đạo hàm vuông) (các đạo hàm chữ nhật) Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai gọi đạo hàm riêng cấp ba, vv Ví dụ 1.2.8 z = x2y3 + x4 Khi zx' = 2xy3 + 4x3, zy' = 3x2y2, z " 2y3 12x , z yx " 6xy , z xy " 6xy , z " 6x y x y Định lý 1.2.6 (Schwarz) Nếu lân cận điểm M0(x0, y0), hàm z = f(x, y) có đạo hàm riêng fxy", fyx" đạo hàm riêng liên tục M0 fxy"(x0, y0) = fyx"(x0, y0) b) Vi phân cấp cao Xét hàm z = f(x, y) Vi phân tồn phần dz = fx'dx + fy'dy tồn hàm x, y Ta gọi vi phân toàn phần dz (nếu tồn tại), gọi vi phân toàn phần cấp hai z, ký hiệu d2z, tức d2z = d(dz) = d(fx'dx + fy'dy) Vi phân vi phân cấp hai vi phân cấp ba, vv Giả sử x y biến độc lập, dx = x, dy = y, số khơng phụ thuộc x, y Giả sử d2z tồn tại, ta có Phương trình vi phân Nhân hai vế với t + thay t = –1, ta c = Nhân hai vế với t cho t →+, ta a + + m = (*) Thay t = vào hai vế ta a + m + n = –2, kết hợp với (*) ta n = –1 Vậy ta có 2t a 1 mt a mt 1 2t 1 hay , 2 2 2 t 1 t t 1 t t t t (t 1) t t 1 t (t 1) t t Thay t = ta có a 2m 15 1 1 hay 3a + 4m = –4 (**) 36 Từ (*) (**) ta có m = –1, a = Vậy x dt dt (t 1)dt t 1 t t 1 t (t 1)dt (2t 1)dt dt 2t ln(t t 1) 3arctg C, 2 t t t t 2 t 2 t x ln t ln(t t 1) 3arctg y ' 2t C x y3 t2 Đặt t = x + y – 1, phương trình cho trở thành y ' (*) (x y 1) t Mặt khác, từ t = x + y – ta có t' = + y' Kết hợp với (*) ta t' – = x t2 t t 2dt t2 t ' dx t2 t2 t t2 t 2dt dt dt dt t ln t ln t C1 t 1 t 3 t2 t Thay t = x + y – vào ta x = x y ln x y ln x y C Vậy tích phân tổng quát y ln x y ln x y C 0, (viết C thay C – 1) ( xy 1)xy ' ( xy 1)y Đặt t xy > ta có t2 = xy, 2tt' = y + xy' Phương trình cho trở thành (t + 1)(2tt' – y) – (t – 1)y = 2tt'(t + 1) – 2ty = (*) Vì x = y = nghiệm nên t 0, (*) trở thành t'(t + 1) = y = t2 x Phương trình vi phân Phân li biến số ta t 1 dx , tích phân hai vế ta có ln t ln x C , nên tích dt t x t phân tổng quát ln xy x ln x C ln C y xy xy x y ' y Đổi biến x = sint, t , dy dy dx y 'cos t y ' x dt dx dt Phương trình cho trở thành dy dy y2 dt arctgy t arctgC dt y2 x sin t C C tgt C x C 1 x2 x cost y = tg(t + arctgC) = tgt C sin t C x C x Cx cost 1 x2 (x2 + y2 – 1)yy' – x = (x2 + y2 – 1)ydy = xdx Đặt t = x2 + y2, dt = 2(xdx + ydy), phương trình cho trở thành dt tydy dt 2ydy y ln t ln C t 2 Do e y Ct C(x y ) , tức tích phân tổng quát e y C(x y ) Bài 5.2 Vì y + x = khơng phải nghiệm nên ta viết lại phương trình dạng y' xy xy Đặt y = ux, y' = u + xu' u + xu' = 1 u dx (u 1)du 1 u x u 2u 1 Tích phân hai vế, ln x ln u 2u ln C x u 2u C y y y Thay u ta x C y 2xy x C2 x x x Chuyển sang toạ độ cực x = rcos, y = rsin ký hiệu r' = dr/d ta có y' dy r 'sin rcos dx r 'cos r sin r 'sin rcos 2r r '2 Khi đó, 2(x yy ') rcos r sin , r 'cos r sin (r 'cos r sin ) Phương trình vi phân r 'sin rcos 2 r r '2 2 y (1 y ' ) r sin 1 r sin (r 'cos r sin ) r 'cos r sin 2 2 Phương trình cho trở thành r2r'2sin2 + r4sin2 = 2r2r'2 r'2(1 + cos2) = r2sin2, hay r ' r sin cos dr sin d ln r ln cos cos 2 ln C r cos r C cos 2 cos Trở toạ độ Đề ta có x y C 2x y x Nhận thấy x = nghiệm riêng Với x ta có xy' = x y + y Đặt y = xu y' = u + xu' Với x > ta có xu + x2u' = x u xu dx du ln x ln C ln u u u u Cx x 1 u 1+ u2 = C2x2 – 2Cxu + u2 C2x2 – 2Cxu – = Thay xu = y ta C2x2 – 2Cy – = Với x < ta có xu + x2u' = – x u xu dx du x 1 u2 ln( x) ln C ln u u u u Cx 1+ u2 = C2x2 – 2Cxu + u2 C2x2 – 2Cxu – = Thay xu = y ta C2x2 – 2Cy – = Ta viết lại phương trình dạng y y xdy ydx y y y cos (ydx xdy) xy sin cos d(xy) xy sin d x x x x x x y y y y cos d(xy) xyd cos d xycos xycos C x x x x Đổi biến x = u + a, y = v + b ta có dv u v a b du u v a b a b a 2 , phương trình trở thành a b b 1 Chọn a b cho dv u v du u v Đặt v = tu dv dt dt t dt 2t t du (t 1)dt tu tu u du du du t du 1 t u t 2t Phương trình vi phân du d(t 2t 1) ln u ln t 2t ln C ln u ln t 2t ln C2 u t 2t u | t 2t 1| C2 v 2uv u C2 Trở biến cũ ta (y + 1)2 + 2(x + 2)(y + 1) – (x + 1)2 = K hay y2 + 2xy – x2 – 2x + 6y = K Đổi biến x = u + a, y = v + b ta có dv vb2 2 du u v a b 1 dv v Chọn b = –2 a = ta 2 du uv Đặt v = tu ta có dv dt dt (1 t) dt du t tu tu 2 du du du u t(1 t ) 1 t du 1 dt ln u ln t 2arctgt ln C ute 2arctgt C u t 1 t y y 2arctg y 2arctg x 3 x 3 (x 3) e C y Ce x 3 Bài 5.3 Dễ thấy y = nghiệm riêng Với y 0, đặt u = y–4 ta có u' = –4y–5y' Nhân hai vế phương trình với –4y–5 ta 4y 5 y ' 4 2 y 20x u ' u 20x , đặt p = p , q 20x 2x x x x pdx dx ln x ln x , qe pdx dx 20 x 4dx 4x C 4x x2 y Vậy u = u x2 C 4x Do x nên xy ' y xcos u + xu' = u – cos2u y y y y ' cos Đặt y = ux, y' = u + xu', x x x dx du ln x ln C tgu u arctg ln Cx x cos u y x arctg ln Cx 2u u dx 2u 2u 1 Đặt y = xu, y' = u + xu' du du x 2u uu u u 1 u u 1 ln|x| = ln|u| – ln|u + 1| – ln|u2 – u + 1| + ln|C| x Cu xy = C(x3 + y3) u 1 Phương trình vi phân Đặt u = xy u' = 1 u2du = dx u x C (xy)3 = 3x + C 3 u y x x Đặt u ln y xeu y ' eu xeu u ' u ' u Đặt p = , q x x2 x2 dx Cx pdx pdx 2 ln x , qe dx dx x u y xe x x C x x2 Bài 5.4 Đạo hàm hai vế ta có yy' = p, phương trình vi phân họ đường cong Thay y' ta nhận phương trình vi phân quỹ đạo trực giao y' y p y' x x Nghiệm phương trình ln y ln K y Ke p (quỹ đạo trực giao) p Đạo hàm hai vế ta có x = yy' Thay y' x ta y' y y' K ln y ln x ln C y y' y x x Đạo hàm hai vế ta có x + yy' = C Khử C ta 2x(x + yy') = x2 + y2 hay 2xyy' = y2 – x2 Thay y' ta (x2 – y2)y' = 2xy Đặt y = ux ta (1 – u2)(u + xu') = y' 2u dx (1 u )du dx 2u u u du ln Kx ln Kx x x u u2 1 u(u 1) u2 1 u2 1 Thay u = y y ta K 2 y K(x y ) x x y Đạo hàm hai vế, 2(x2 + y2)(2x + 2yy') = C2(2x – 2yy') 2(x2 + y2)(x + yy') = C2(x – yy') Khử C ta 2(x2 – y2)(x + yy') = (x2 + y2)(x – yy') Thay y' ta (x3 – 3xy2)y' = y(3x2 – y2) Đặt y = ux, y' Phương trình vi phân u dx 3u 4u Ku 1 du du ln x ln ln K x 2 x u(u 1) (u 1) (u 1) u u 1 Thay u = y ta Kxy x y x Ta chuyển sang toạ độ cực, phương trình họ đường cong r2 = C2cos2 Đạo hàm hai vế, rr' = –C2sin2 r' sin 2 r' r Thay ta r cos2 r r' r sin 2 , r ' cos2 hay r ' cos2 r ' 2cos2 2 ln r ln sin 2 ln K r K sin 2 r sin 2 r sin 2 Đạo hàm hai vế ta có (x – C) + yy' = Khử C ta y2y'2 + y2 = a2 Thay y' y2 ta y a y' y' Tham số hoá cách đặt y = asint y y = acost, t Từ = acost suy y' y' y' = dx a cos t a cos t cost cost cos t dx dy a dt a sin t dt dy y a sin t sin t sin t sin t sin t t Tích phân hai vế ta x a ln tg cos t K t x a ln tg cos t K Vậy phương trình quý đạo trực giao y a sin t Bài 5.5 Đặt u = y', phương trình trở thành xu' – u = x2ex Nhận thấy x = nghiệm x x Với x 0, ta có u ' u xe x Đặt p = , q xe x Khi pdx dx x x x x pdx ln x , qe dx e dx e y ' u x(2C1 e ) y C1x C2 e (x 1) x Đặt u = y' u ' 1 u x(x 1) Đặt p , q x(x 1) x 1 x 1 Phương trình vi phân pdx ln x , qe pdx dx x y ' u (x 1) C1 x 2 Từ điều kiện đầu ta có –1 = C1 + C1 = –3 y ' (x 1) x 2 y (x 1) x dx x x 3x dx x x x 3x C2 2 2 3 Từ điều kiện đầu ta có C2 , nghiệm riêng y x x x 3x Đặt u = y', y" u du du Phương trình trở thành u 2u(1 2y) dy dy Vì y ' x 0 nên u 0, du = 2(2y – 1)dy u = 2y2 – 2y + C1 2 Từ điều kiện đầu ta có C1 , y ' 2y 2y (2y 1)2 x d(2y 1) dx (2y 1) 1 x C2 Vì y x 0 nên C2 = –1 Vậy y 2y x 1 x Đặt u = y', xu' – u = x2lnx Vì x nên u ' u x ln x Đặt p , q x ln x u pdx dx pdx ln x, qe dx ln xdx x ln x x , y' = u = x(C1 + xlnx – x) x Từ điều kiện y ' x 1 1 ta có C1 = 0, nên y' = x2lnx – x2 1 Do y (x ln x x )dx x ln x x x C2 3 1 Từ điều kiện y x 1 ta có C2 = 0, nghiệm y x ln x x x 3 Bài 5.6 Giải phương trình đặc trưng, k2 – 7k + = k1 = 1, k2 = Ta tìm nghiệm riêng dạng y = acosx + bsinx, y' = –asinx + bcosx, y" = –acosx – bsinx sinx = (5a – 7b)cosx + (7a + 5b)sinx a Vậy nghiệm tổng quát y C1e x C2e6x ,b 74 74 cosx+ s inx 74 74 Phương trình vi phân Giải phương trình đặc trưng, k2 + = k1 = –i3, k2 = i3 Ta tìm nghiệm riêng dạng y = ae3x, y' = 3ae3x, y" = 9ae3x 18a = a = Vậy nghiệm tổng quát y = C1cos3x + C2sin3x + 3e3x Giải phương trình đặc trưng, k2 – 3k = k1 = 0, k2 = Ta tìm nghiệm dạng y = (a + bx)x, y' = a + 2bx, y" = 2b a = 0, b = Vậy nghiệm tổng quát y = C1 + C2e3x + x2 Đặt y = e–xz, y' = e–x(–z + z'), y" = e–x(z – 2z' + z") z" – 4z' + 6z = cosx Giải phương trình đặc trưng, k2 – 4k + = k1 i 2, k i Ta tìm nghiệm riêng dạng z = acosx + bsinx, z' = –asinx + bcosx, z" = –acosx – bsinx (5a – 4b)cosx + (4a + 5b)sinx = cosx a Vậy z = e2x C1cos 2x C2 sin 2x ,b 41 41 cos x sin x 41 41 Do y e x C1cos 2x C2 sin 2x e x cos x sin x 41 41 Giải phương trình đặc trưng, k2 + = k1 = –i2, k2 = i2 Ta tìm nghiệm riêng dạng y = (acos2x + bsin2x)x = cos2x[ax] + sin2x[bx], y' = cos2x[a + 2bx] + sin2x[b –2ax], y" = cos2x[4b – 4ax] + sin2x[–4a – 2bx] cos2x[4b] + sin2x[–4a + 2bx]= 2sin2x b = 0, a = Vậy nghiệm tổng quát y = C1cos2x + C2sin2x xcos2x Giải phương trình đặc trưng, k2 + 2k + = k = –1 (kép) Ta tìm nghiệm riêng dạng y = e–x[ax2], y' = e–x[–ax2 + 2ax], y" = e–x[ax2 – 4ax + 2a], 2a = a = Vậy nghiệm tổng quát y = (C1 + C2x)e–x + 2e–xx2 Giải phương trình đặc trưng, k2 – 9k + 20 = k1 = 4, k2 = Ta tìm nghiệm riêng dạng y = e4x(ax + bx2 + cx3) y' = e4x[a + (4a + 2b)x + (4b + 3c)x2 + 4cx3], y" = e4x[(8a + 2b) + (16a + 16b + 6c)x + (16b + 24c)x2 + 16cx3], Phương trình vi phân –a + 2b = 0, –2b + 6c = 0, –3c = c , b 1, a 2 Vậy nghiệm tổng quát y = C1e4x + C2e5x – e4x[2x + x2 + x3] Giải phương trình đặc trưng, k2 + 4k – = k1 = 1, k2 = –5 Ta tìm nghiệm riêng dạng y = ex(ax), y' = ex(a + ax), y" = ex(2a + ax) 6a = a = 1 , nghiệm tổng quát y = C1ex + C2e–5x + xex 3 Bài 5.7 Cách 1: đưa phương trình vi phân cấp hai Rút y từ phương trình thức hai vào phương trình thứ ta nhận y' = 4z' – 6z Đạo hàm hai vế phương trình thứ hai ta z" = y' + z' z" – 5z' + 6z = Phương trình đặc trưng k2 – 5k + = k1 = 2, k2 = z = C1e2x + C2e3x z' = 2C1e2x + 3C2e3x y = C1e2x + 2C2e3x Cách 2: Phương trình đặc trưng hệ 4k 2 1 k k2 – 5k + = k1 = 2, k2 = 2p 2q p = q véc tơ riêng (1, 1) p q Với k1 = 2: p 2q p = 2q véc tơ riêng (2, 1) p 2q Với k = 3: Hệ nghiệm y1 = e2x, z1 = e2x, y2 = 2e3x, z2 = e3x Vậy nghiệm tổng quát y = C1e2x + 2C2e3x, z = C1e2x + C2e3x Cách 1: đưa phương trình vi phân cấp hai Từ z' = 2y – z ta có 2z' = 4y – 2z (*) Từ y' = 3y – 2z ta có y" = 3y' – 2z' Kết hợp (*) ta y" = 3y' – 4y + 2z (2*) Thế 2z = 3y – y' từ phương trình thứ vào (2*) ta y" – 2y' + y = Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k = 1, nên y = (C1 + 2C2x)ex, y' = (C1 + 2C2 + 2C2x)ex Do 2z = 3y – y' = (2C1 – 2C2 + 4C2x)ex z = (C1 – C2 + 2C2x)ex Cách 2: Phương trình đặc trưng hệ (kép) 3 k 2 k2 – 2k + = k = 1 k Phương trình vi phân Ta tìm nghiệm dạng y = (a + bx)ex, z = (c + dx)ex Đạo hàm thay vào cân hệ số, ta nhận hệ bốn phương trình 2a b 2c a C1 b 2C 2b 2d y (C1 2C2 x)e x x c C C 2a 2c d z (C C 2C x)e 2 d 2C2 2b 2d Đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất, y" = y' + 8z' + ex Rút z' từ phương trình thứ hai thay vào ta y" = y' + 16y + 8z + 8e–3x + ex Thế 8z từ phương trình thứ nhất, y" – 2y' – 15y = 8e–3x Nghiệm phương trình dặc trưng k1 = –3, k2 = Ta tìm nghiệm riêng dạng y = axe–3x, y' = [a – 3ax]e–3x, y" = [–6a + 9ax]e–3x Suy –8a = hay a = –1 Vậy y = C1e–3x + C2e5x – xe–3x Ta có z = 1 (y' – y – ex) = (–4C1e–3x + 4C2e5x – e–3x +4xe–3x – ex) 8 Đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất, y" = y' + z' Thay z' từ phương trình thứ hai ta y" = y' – 2y + 3z + Thay z từ phương trình thứ ta y" – 4y' + 5y = 10 Nghiệm phương trình dặc trưng k = i Ta tìm nghiệm riêng dạng y = a Vì y' = y" = nên dễ thấy a = Vậy nghiệm tổng quát y = e2x(C1cosx + C2sinx) + Vì z = y' – y + nên z = e2x[(C1 + C2)cosx + (C2 – C1)sinx] + Từ điều kiện đầu ta C1 = –2, C2 = 1, nghiệm riêng cần tìm y = e2x(–2cosx + sinx) + 2, z = e2x(–cosx +3sinx) + dx dy dx z Ta đưa phương trình dạng dx dz y x Nhân vế với vế ta d(y x) dz ln y x ln z ln C1 (y – x)z = yz z C1 Do z C1 yx Thế vào phươg trình đầu ta Phương trình vi phân x dy yx d(y x) dx x C 1 ln y x ln C2 (y x)e C2 dx C1 yx C1 C1 Vậy nghiệm tổng quát y x C2e Viết lại hệ dạng x C1 ,z C1 C2 x C1 e dx dy dz Dễ thấy ln|z| = ln|y| + ln|C1| hay z = C1y 2y 3z y z Từ điều kiện đầu ta có C1 = 2, thay z = y vào dx dy ta 2y 3z y 1 dy dx y x C2 Từ điều kiện đầu ta có C2 = 8 Vậy nghiệm riêng cần tìm y x 1, z x Phép tính giải tích nhiều biến số MỤC LỤC Trang Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1.1 Khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số 1.1.2 Tập hợp Rn 1.1.3 Miền xác định hàm số nhiều biến số -8 1.1.4 Giới hạn hàm số nhiều biến số -8 1.1.5 Tính liên tục hàm số nhiều biến số -9 1.2 Đạo hàm vi phân hàm số nhiều biến số 10 1.2.1 Đạo hàm riêng 10 1.2.2 Vi phân toàn phần 10 1.2.3 Đạo hàm hàm số hợp -11 1.2.4 Đạo hàm hàm số ẩn -12 1.2.5 Đạo hàm vi phân cấp cao -13 1.2.6 Hàm 14 1.2.7 Đạo hàm theo hướng gradien 15 1.3 Cực trị hàm số nhiều biến số -16 1.3.1 Cực trị không điều kiện hàm số nhiều biến số 16 1.3.2 Cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến số -17 1.3.3 Các giá trị max hàm số nhiều biến số miền đóng bị chặn -21 1.4 Bài tập chương 21 1.5 Lời giải tập chương 23 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC 33 2.1 Ứng dụng hình học phẳng 33 2.1.1 Tiếp tuyến đường cong -33 2.1.2 Độ cong 34 2.1.3 Đường trịn khúc khúc tâm -36 2.1.4 Đường túc bế đường thân khai -36 2.2 Ứng dụng hình học khơng gian 38 2.2.1 Hàm véc tơ 38 2.2.2 Đường -39 2.2.3 Mặt -41 Phép tính giải tích nhiều biến số 2.3 Bài tập chương 42 2.4 Lời giải tập chương 43 Chương TÍCH PHÂN BỘI 49 3.1 Tích phân phụ thuộc tham số 49 3.1.1 Trường hợp tích phân xác định 49 3.1.2 Trường hợp tích phân suy rộng 50 3.2 Tích phân kép 51 3.2.1 Khái niệm tích phân kép 51 3.2.2 Cách tính tích phân kép toạ độ Đề 53 3.2.3 Đổi biến tích phân kép -55 3.2.4 Tính tích phân kép toạ độ cực -56 3.2.5 Ứng dụng hình học tích phân kép -57 3.2.6 Ứng dụng học tích phân kép -58 3.3 Tích phân bội ba -60 3.3.1 Khái niệm tích phân bội ba -60 3.3.2 Các tính tích phân bội ba toạ độ Đề 60 3.3.3 Đổi biến số tích phân bội ba 62 3.3.4 Trọng tâm vật thể -63 3.4 Bài tập chương 64 3.5 Lời giải tập chương 66 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT - 77 4.1 Tích phân đường loại 77 4.1.1 Định nghĩa 77 4.1.2 Cách tính 77 4.1.3 Trường hợp đường lấy tích phân thuộc khơng gian ba chiều 78 4.1.4 Trọng tâm cung đường -78 4.2 Tích phân đường loại hai -79 4.2.1 Định nghĩa 79 4.2.2 Cách tính 80 4.2.3 Công thức Green -80 4.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc đường lấy tích phân -81 4.2.5 Trường hợp đường lấy tích phân thuộc khơng gian -81 Phép tính giải tích nhiều biến số 4.3 Tích phân mặt loại -82 4.3.1 Định nghĩa 82 4.3.2 Cách tính 82 4.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 83 4.4 Tích phân mặt loại hai 83 4.4.1 Định nghĩa tích phân mặt loại hai -83 4.4.2 Cách tính 84 4.4.3 Công thức Stokes -86 4.4.4 Véc tơ rôta 86 4.4.5 Điều kiện để tích phân đường không gian không phụ thuộc đường lấy tích phân -88 4.4.6 Trường 88 4.4.7 Công thức Ostrogradsky 89 4.4.8 Đive véc tơ -89 4.4.9 Toán tử Hamilton 90 4.5 Bài tập chương 91 4.6 Lời giải tập chương 93 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - 101 5.1 Phương trình vi phân cấp -101 5.1.1 Đại cương phương trình vi phân cấp -101 5.1.2 Phương trình khuyết 102 5.1.3 Phương trình với biến số phân li -103 5.1.4 Phương trình 103 5.1.5 Phương trình tuyến tính -105 5.1.6 Phương trình Bernoulli 106 5.1.7 Phương trình vi phân tồn phần 107 5.1.8 Phương trình Clairaut -108 5.1.9 Phương trình Lagrange 108 5.1.10 Quỹ đạo trực giao -109 5.2 Phương trình vi phân cấp -110 5.2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 110 5.2.2 Phương trình khuyết 111 Phép tính giải tích nhiều biến số 5.2.3 Phương trình tuyến tính -113 5.2.4 Phương trình tuyến tính có hệ số khơng đổi 116 5.2.5 Phương trình Euler -119 5.2.6 Phương trình dao động 119 5.3 Hệ phương trình vi phân 121 5.3.1 Đại cương -121 5.3.2 Cách giải -121 5.3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số khơng đổi -122 5.4 Bài tập chương -124 5.5 Lời giải tập chương -125 ... dừng: 2 M1( 0, 0 ), M2( 0, –1 ), M3( 0, 1 ), M4(– , 0 ), M5(– , –1 ), 2 2 M6(– , 1) ), M7( , 0 ), M8( , –1 ), M9( , 1) uxx" = 24 x2 – 2, uyy" = 12y2 – 4, uxy" = –8(12x2 – 1)(3y2 – 1) Hàm số nhiều biến số... –2r2 – r ''2 r2 + 2r ''2 – rr" = r2 + 2r ''2 + 2r2 + r ''2 = 3( r2 + r ''2) Ta lại có: r2 + r ''2 = r2 r r ''2 r Vậy R = r a sin 2? ?? a a sin r2 r2 r (r r ''2 )3 / 2 a2 a r r '' 2 3r... = –3acos2tsint, x" = –3a(–2costsin2t + cos3t ), y'' = 3asin2tcost, y" = 3a(2sintcos2t – sin3t) Do x ''2 + y ''2 = 9a2sin2tcos2t, x''y" – y''x" = –9a2sin2tcos2t Vậy C(x, y) = 9a sin t cos t 3 | 27 a