Tài liệu Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải) pdf

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 05 tháng 04 năm 2010 BTVN NGÀY 05-04 Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton. Bài 1 : Tìm n nguyên dương thõa mãn: 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 .3.2 3 .3 .2 2 3 .2 (2 1) 3 2011 n n n n n n n n n n n n C C C nC n C − − − + + + + + + − + − − + + = Bài 2 : Tính tổng: 0 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1. 2. 3. ( 1). n n n n n n C C C n C S A A A A + + = + + + + Với: 0 1 2 211 n n n C C C + + = Bài 3 : Chứng minh hệ thức: 2 3 4 2 2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2 n n n n n n C C C n n C n n − + + + + − = − Bài 4 : Tính tổng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 3 n n n n n S C C C n C = + + + + Bài 5 : Tính tổng: 2 2 2 2 1 2 3 2 3 4 1 n n n n n C C C C S n         = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷ +         ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 02-04 Bài 1 : Tìm hệ số của x 3 trong khai triển: 2 2 n x x   +  ÷   . Biết n thõa mãn: 1 3 2 1 23 2 2 2 2 n n n n C C C − + + + = Giải: ( ) 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 23 2 2 (1 ) . . . . (1 ) . . . . ó : (1 ) (1 ) 2 2 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x x C C x C x C x C x Ta c x x xC x C Cho x C C − − − − − − − −  + = + + + + +  −  − = − + − − +   + − − = + + = ⇒ + + = = = ⇒ 12 12 12 12 2 2 12 3 12 12 12 0 0 3 5 7 12 1 23 12 2 2 . . .2 . 3 12 3 5 à : .2 101376 k k k k k k k k n n x C x C x x x k k HS x l C − − − = = − = ⇒ =     ⇒ + = =  ÷  ÷     ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ∑ ∑ Bài 2 : Cho 0 1 2 2 2 2 2 6561 n n n n n n C C C C + + + = . Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển: 2 3 n x x   −  ÷   Giải: Page 2 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 ( ) 0 1 2 2 1 1 0 1 2 2 8 8 8 8 2 2 8 8 3 8 8 8 0 0 7 3 5 8 8 8 0 ó : (1 ) . . . . 2 6561 2 2 2 3 8 3 3 . ( 1) 3 3 8 7 5 à : 3 1512 ác ( 3) n n n n n n n n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k k Ta c x C C x C x C x C x khi x C C C C n x C x x C x x k k HS x l C c HS C − − − − − − = = − = + = + + + + + = ⇒ = + + + = ⇒ =   ⇒ − = − = −  ÷   ⇒ − = ⇒ = ⇒ − = − = − ∑ ∑ 8 8 8 ((1 3) ( 2) 256= − = − = ∑ ∑ Bài 3 : Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển: 28 3 y x x   −  ÷   Giải: 28 28 28 3 28 3 28 28 4 28 28 28 28 0 0 ó : ( ) .( 1) . .( 1) . . ( ) 2 ( ) 4 28 2(28 ) 14 k k k k k k k k k k y y Ta c x C x C x y x x Do SM x SM y k k k − − − − − = =   − = − = −  ÷   = ⇒ − = − ⇔ = ∑ ∑ => Số hạn cần tìm là: 14 28 C Bài 4 : Tìm hệ số của x 2008 trong khai triển Newton của đa thức: ( ) ( ) 670 670 2 ( ) 2 1f x x x = − + Giải: 670 2008 3 3 ó ài án :Coi n n ta c b to = ⇒ = − Tìm hệ số a 3n-3 của x 3n-3 trong khai triển đa thức: ( ) ( ) 2 ( ) 2 1 n n f x x x = − + Page 3 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 1 2 3 2 4 2 0 1 2 2 3 1 1 3 2 667 2 3 3 670 ( ) 2 1 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) . 1 ( 2) . 2 2.670 49005140 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x x x x x C C x C x C x x C C x C x C x a C C C C C n C − − − − − − − = − + − = − + = − + − + − + + + = + + + + ⇒ = + − = − = − = Bài 5 : Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển: ( ) 2 ( ) 1 2 3 n f x x x = + + Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức: 2 2 2 3 3 3 . 2 . . 100(*) n n n n n n n n C C C C C C − − + + = Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 4 4 2 2 2 4 0 4 4 8 2 4 0 0 (*) 2 . 100 100 ( 1) ( 1)( 2) 10 10 60 0 4 2 6 ( ) 1 2 3 3 . 1 2 .3 . . (2 ) . n n n n n n n n k k k k k k k m m k k m C C C C C C n n n n n C C n n n f x x x C x x C x x C = − − = = ⇔ + + = ⇔ + = − − − ⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇒ = ⇒ = + + = + = ∑ ∑ ∑ Page 4 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 ( ) 4 4 2 8 4 0 0 2 0 2 3 2 4 4 0 4 4 2 4 3 4 4 2 8 4 2 4 . .3 .2 . 0 4 0 4 0 0 2 4 2; 0 2 4 0 4 3; 2 2 4 0 4; 4 . .3 3 . .4 . .3 .2 54 144 16 214 k k m k m m k k k m m k k m C C x k k m k m k m k k m m k k k m k m k k m HS C C C C C C − − + = = − + = − =     = ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤     ≤ ≤ ≤ ≤   = − = =   = −    ⇒ ≤ ≤ ⇔ ⇒ = =    ≤ ≤    ≤ ≤ = =   ⇒ = + + = + + = ∑∑ • BTVN NGÀY 05-04 Bài 1 : Tìm n nguyên dương thõa mãn: 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 .3.2 3 .3 .2 2 3 .2 (2 1) 3 2011 n n n n n n n n n n n n C C C nC n C − − − + + + + + + − + − − + + = Giải: Xét khai triển: ( ) 2 1 0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 .2 .2 . .2. . n n n n n n n n n n n x C C x C x C x + + + + + + + + − = − + + − Đạo hàm 2 vế: ( ) ( ) 2 1 0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 .2 .2 . .2. . (2 1) 2 .2 2 .2 . 2 .2. (2 1) . 3 2 1 .2 2 .2 .3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x n x C C x nC x n C x Cho x n C C nC + + + + + + + + − − + + + + + − + + + − = − + + − ⇒ − + − = − + + + − + = ⇒ + = − − − 2 2 1 2 1 2 2 1 .2.3 (2 1) .3 2011 1005 n n n n n n C n − + + + + = ⇒ = Page 5 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 Bài 2 : Tính tổng: 0 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1. 2. 3. ( 1). n n n n n n C C C n C S A A A A + + = + + + + Với: 0 1 2 211 n n n C C C + + = Giải: 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 2 20 ( 1) ( 1) ( 1) ì : ( 1)! ! (1 1) 2 ( 1) à : 211 1 211 420 0 2 20 2 k k k n k n n n n k k k n n n n n n n n n n k C k C k C S v C k A A k S C C C C n n M C C C n n n n S = + + + + + = = = + ⇒ = + + + + = + = − = + + ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ = ∑ Bài 3 : Chứng minh hệ thức: 2 3 4 2 2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2 n n n n n n C C C n n C n n − + + + + − = − Giải: 0 1 2 2 1 1 ó : (1 ) . . . . n n n n n n n n n n Ta c x C C x C x C x C x − − + = + + + + + Đạo hàm 2 vế ta có: 1 1 2 1 2 1 (1 ) 2 . ( 1) . . n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x − − − − + = + + + − + Đạo hàm lần nữa ta có: 2 2 3 1 3 2 ( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1)( 2) ( 1) . n n n n n n n n n n n x C C x n n C x n n C x − − − − − + = + + + − − + − Cho x=1 ta có: 2 ( 1)2 n VT n n VP dpcm − = − = ⇒ Bài 4 : Tính tổng: Page 6 of 7 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 3 n n n n n S C C C n C = + + + + Giải: 2 ó :(1 ) .(1 ) (1 ) n n n Ta c x x x + + = + Đạo hàm 2 vế ta có: 2 2 (1 ) '.(1 ) (1 ) ' n n n x x x     + + = +     1 2 1 2 1 0 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 (1 ) ' 2 . ( 1) . . (1) à : (1 ) . . . . (2) (1 ) ' 2 . (2 1) . 2 . (1) à (2) à: n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x M x C C x C x C x C x x C C x n C x nC x Qua v HS x l C − − − − − − − − −    + = + + + − +     + = + + + + +     + = + + + − +     ⇒ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3 à (3) : à: 2 3 n n n n n n n n n n n n n n n C C n C M qua HS x l nC S C C C n C nC − + + + + ⇒ = + + + + = Bài 5 : Tính tổng: 2 2 2 2 1 2 3 2 3 4 1 n n n n n C C C C S n         = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷ +         Cách làm bài này tương tự bài trên nhưng các bạn dung phương pháp đạo hàm 2 vế. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 7 of 7 . (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 05 tháng 04 năm 2010 BTVN NGÀY 05-04 Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton. Bài 1 : Tìm n nguyên dương thõa mãn: 1 2 2 2 1. Tính tổng: 0 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1. 2. 3. ( 1). n n n n n n C C C n C S A A A A + + = + + + + Với: 0 1 2 211 n n n C C C + + = Bài 3 : Chứng minh hệ thức: