Bài giảng ,bài tập có lời giải , đề thi môn vật lý 1 , vật lý đai cương

Đề cương bài giảng Vật lý 1 Ths Đồng Thị Linh 1 CHƯƠNG 1 ĐỘNG HỌC I. MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU 1. Nắm được các khái niệm và các đặc trưng cơ bản của chuyển động như hệ quy chiếu, vận tốc, gia tốc trong chuyển động thẳng và chuyển động cong. 2. Thiết lập được phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm, phân biệt được các dạng chuyển động và vận dụng được các công thức. II. NỘI DUNG CHÍNH 1.1. Các khái niệm và đại lượng vật lý cơ bản của động học 1.2. Một số chuyển động đặc biệt III. NỘI DUNG CHI TIẾT 1.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC

II NỘI DUNG CHÍNH

1.1 Các khái niệm và đại lượng vật lý cơ bản của động học

1.2 Một số chuyển động đặc biệt

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC

1.1.1 Chuyển động và hệ quy chiếu

Chuyển động của một vật là sự chuyển dời vị trí của vật đó đối với vật khác trong không gian và theo thời gian

Vật mà ta chọn để đối chiếu gọi là vật quy chiếu mà ta coi nó là đứng yên Để mô tả chuyển động của vật người ta gắn vào vật quy chiếu một hệ tọa độ để xác định vị trí của vật trong không gian, và một cái

đồng hồ để đo thời gian Một hệ như vậy được gọi là hệ quy chiếu Chuyển động hay đứng yên chỉ có tính

chất tương đối, tùy thuộc vào hệ quy chiếu mà ta chọn Khi ta nói một vật đang chuyển động mà không nói rõ chuyển động so với vật nào thì ta hiểu rằng chuyển động đó xét trong hệ quy chiếu gắn với trái đất

Chất điểm là những vật có kích thước rất nhỏ so với những khoảng cách, những kích thước mà ta

đang khảo sát Động học chất điểm nghiên cứu chuyển động của chất điểm mà chưa xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động tức là chưa xét đến khối lượng của nó và các lực tác dụng lên nó

1.1.2 Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo

Phương trình chuyển động của chất điểm cho biết quy luật thay đổi vị trí của chất điểm trong không gian theo thời gian

Ví dụ, trong tọa độ Đềcac, vị trí của chất điểm M trong không gian sẽ được xác định bằng ba tọa độ x,

y, z của chất điểm Đó cũng là ba tọa độ của bán kính vectơ OM = trên ba trục Khi chất điểm M rchuyển động trong không gian, các tọa độ x, y, z của nó thay đổi theo thời gian :

( )( )( )

Phương trình trên gọi là phương trình chuyển động của chất điểm

Quỹ đạo của chất điểm là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của nó trong không gian trong suốt

quá trình chuyển động

Phương trình quỹ đạo là phương trình liên hệ giữa các tọa độ không gian của chất điểm

1.1.3 Vận tốc

2

a.Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình

Xét chất điểm M chuyển động trên một quỹ đạo cong bất kì, tại

thời điểm t 1, chất điểm ở vị trí M1, xác định bởi bán kính vectơ r , tại 1

thời điểm t 2, chất điểm ở vị trí M2, xác định bởi bán kính vectơ r2

Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian t = t 2 - t 1

là s, ∆ = −r  r2 r1

là vectơ độ dời của chất điểm

T ốc độ trung bình v tb trên m ột đoạn đường nhất định của một chất điểm chuyển động là đại lượng đo

b ằng thương số giữa quãng đường ∆s mà chất điểm đi được với khoảng thời gian ∆t để chất điểm đi hết quãng đường đó

tb

s v

t

∆

=

V ận tốc trung bình của một chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 là đại lượng đo

b ằng thương số giữa vectơ độ dời và khoảng thời gian đó:

tb

r v

dùng đơn vị kilômét trên giờ (km/h)

Vậy tốc độ tức thời bằng đạo hàm của quãng đường theo thời gian

Tương tự ta có khái niệm vectơ vận tốc tức thời:

Vectơ vận tốc tức thời bằng đạo hàm của vectơ độ dời theo thời gian

Khi khoảng thời gian ∆t tiến tới không, ta thấy vectơ độ dời tiến tới giới hạn tiếp tuyến với quỹ đạo Mặt khác khi đó độ lớn của drcũng bằng vi phân quãng đường, dr =ds Do đó, vectơ vận tốc tại vị trí

M là một vectơ có phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, có chiều theo chiều chuyển động và có độ lớn bằng tốc độ tức thời

Qua các khái niệm trên ta thấy rằng, tốc độ trung bình có ý nghĩa vật lý cụ thể hơn vận tốc trung bình nhưng tốc độ tức thời lại không có ý nghĩa vật lý đầy đủ bằng vận tốc tức thời Do đó, khi nghiên cứu tính chất của chuyển động trên quãng đường dài, người ta thường sử dụng khái niệm tốc độ trung bình ; còn khi nghiên cứu tính chất của chuyển động tại từng vị trí trên quỹ đạo, ta sử dụng vận tốc tức thời

c Vectơ vận tốc trong hệ tọa độ Đềcac

dy v

dt

dx v

v

z y

z y

x v v v

v = + +

(1.7)

1.1.4 Gia tốc

a Định nghĩa và biểu thức của vectơ gia tốc

Giả sử tại thời điểm t, chất điểm có vận tốc là v; Tại thời điểm t’ = t + ∆t chất điểm có vận tốc '

v = + ∆v v

   Khi đó vectơ gia tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ∆t được kí hiệu là:

tb

v a

Trong hệ tọa độ Đề các, vectơ gia tốc có biểu thức:

y y

z z

dv d x a

b Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Xét một chất điểm chuyển động trên một đường cong (C) bất kì, AB là một cung nhỏ trên đường cong

đó Qua A, B và một điểm bất kì thuộc cung nhỏ AB vẽ một đường tròn, bán kính của đường tròn này là

R Vì AB là một cung nhỏ nên có thể coi độ dài của nó là:

Khi cho B dần tới A, đường tròn đó dần tới một giới hạn

là đường tròn mật tiếp với đường cong (C) tại A Khi đó R

gọi là bán kính chính khúc hay bán kính cong của đường cong

(C) tại A:

ds R

luôn có phương tiếp tuyến với quỹ đạo nên được gọi là

vectơ gia tốc tiếp tuyến, có chiều là chiều chuyển động khi v tăng

và có chiều ngược lại khi v giảm, có độ lớn bằng đạo hàm độ lớn

O

dϕ τ

'τ

τ

dϕ

dτ

τ ϕ

luôn hướng về tâm đường tròn mật tiếp tức là hướng về phía lõm của quỹ đạo nên

nó còn được gọi là vectơ gia tốc hướng tâm Độ lớn của vectơ gia tốc pháp tuyến:

2

n

v a R

Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về phương

Kết luận: Ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần:

b Vật chuyển động chậm dần có gia tốc âm

c Vật chuyển động với gia tốc không đổi sẽ không bao giờ dừng lại và ở trạng thái nghỉ

1.2 MỘT SỐ CHUYỂN ĐỘNG ĐẶC BIỆT

6

1.2.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

Đặc điểm: Quỹ đạo của chuyển động là một đường thẳng

t t

−

=

−Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là:

Trong đó x 0là tọa độ ban đầu của chất điểm

Thông thường, ta hay chọn thời điểm ban đầu t 0 = 0, do đó các phương trình vận tốc và tọa độ của chất điểm tại thời điểm t có thể viết lại đơn giản hơn :

0

2

0 0

12

c Tăng lên rồi sau đó giảm đi

d Giảm rồi sau đó tăng lên

e Giữ nguyên không đổi

1.2.2 Chuyển động tròn

a Vận tốc góc

Xét một chất điểm chuyển động trên một đường tròn tâm O bán kính R Giả sử trong khoảng thời gian

∆t chất điểm đi được quãng đường ∆s ứng với góc quay ∆θ, khi đó vận tốc góc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ∆t là:

7

d dt

θ

Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của góc quay đối với thời gian

Chu kì là thời gian chất điểm đi được một vòng:

2

T πω

Tần số là số chu kì trong một đơn vị thời gian:

12

T

ων

Giả sử trong khoảng thời gian ∆t vận tốc góc của chất điểm biến thiên một lượng là ∆ ω thì gia tốc

góc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ∆t được định nghĩa là:

Trong chuyển động tròn biến đổi đều, gia tốc góc không đổi thì giữa các đại lượng góc cũng có các

mối liên hệ sau (chọn thời điểm ban đầu t 0 = 0):

8

0 2 0

0

1 2 2

Trong mọi trường hợp, ba vectơ a t, , β   R

luôn hợp thành một tam diện thuận ba mặt vuông do đó ta

có thể viết:

t

a  = ∧ β   R

(1.33)

1.2.3 Chuyển động với gia tốc không đổi

Xét một chất điểm chuyển động chỉ dưới

tác dụng của trọng lực trong một trọng trường

đều Khi đó gia tốc toàn phần của chất điểm

không đổi và bằng g 

Ta hãy khảo sát chuyển động của một chất

điểm được bắn lên từ mặt đất với vận tốc v 0

hợp với phương ngang một góc α

Để khảo sát chuyển động của chất điểm ta

chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

a a

0 0sin

x y

v v cos v

α α

v

α α

9

0 2 0

1

sin 2

1

tan 2

Quỹ đạo của chất điểm có dạng một parabol, C là điểm cao nhất của quỹ đạo

Tại C vectơ vận tốc nằm ngang, v y = 0

Thay v y = 0 vào (1-34) ta tìm được thời gian

Thay (1.37) vào (1.35) ta lần lượt tính

được các tọa độ của C :

Câu hỏi 1.3

Một quả bóng được ném lên từ mặt đất Quỹ đạo

của nó là một parabol như trong hình 1.6 Hãy chỉ ra

điểm mà vectơ vận tốc và vectơ gia tốc (1) vuông

góc với nhau và (2) song song với nhau

a Không có điểm nào

b Điểm cao nhất của quỹ đạo

10

Ví dụ 1.1Từ đỉnh một tòa nhà cao 45m, một người

ném một hòn đá chếch lên dưới một góc 300 so với

phương ngang với vận tốc 20m/s Tính thời gian chuyển

động của hòn đá cho tới khi chạm đất và vận tốc của hòn

đá khi chạm đất

GIẢI

Hệ trục tọa độ được chọn như hình vẽ: trục Ox nằm

ngang, trục Oy thẳng đứng hướng lên, gốc O trùng với

y= − gt +v αt

Khi hòn đá chạm đất, ta có phương trình:

21

45 ( 9.8) 10

Thu được thời gian chuyển động của hòn đá: t = 4.22s

Thành phần vận tốc v ytaị điểm chạm đất là: v y = − +gt v0sinα = −31.3m s/

Một vận động viên trượt tuyết rời đường trượt

theo phương ngang với vận tốc 25m/s Đường dốc

tuyết bên dưới nghiêng 350 so với phương ngang

(hình vẽ) Vận động viên này sẽ chạm dốc ở điểm

nào?

GIẢI

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong ví dụ 1.1,

trong trường hợp này ta có góc α = 0 Các phương

9.8 sin 35 2

Giải hệ phương trình ttrên ta thu được: d = 109m

??? Giả sử vận động viên này nhảy ra khỏi đường trượt với một góc θ chếch lên trên Hãy tìm mối quan hệ giữa hai góc θ và Φ để d lớn nhất Gợi ý: Viết phương trình tọa độ của vận động viên, tìm d như

là hàm của góc θ, lấy đạo hàm dd/dθ = 0

0452

12

CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC

I MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

1 Nắm được 3 định luật Newton, viết phương trình động lực học cho chất điểm

2 Nắm được nội dung nguyên lý tương đối Galile: phép biến đổi Galile, công thức tổng hợp vận tốc và gia tốc; nhận biết được hệ quy chiếu quán tính và không quán tính, xác định được lực quán tính trong hệ quy chiếu không quán tính

3 Hiểu và vận dụng được các định lý về động lượng, mômen động lượng và các định luật bảo toàn động lượng, bảo toàn mômen động lượng

II NỘI DUNG CHÍNH

2.1 Các định luật Newton

2.2 Động lượng

2.3 Mômen động lượng

2.4 Nguyên lý tương đối Galilê

2.1 CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTƠN

2.1.1 Định luật I Newtơn

a Định luật I Newtơn

Phát biểu: Một chất điểm cô lập nếu đang đứng yên

sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển

động của nó là thẳng đều

Đứng yên và chuyển động thẳng đều là cùng một

trạng thái cơ học: Trạng thái chuyển động với vận tốc

không đổi Chuyển động đó gọi là chuyển động theo

quán tính Vì vậy, định luật I Newtơn còn được gọi là

định luật quán tính

Quán tính là tính chất của các vật giữ nguyên không

đổi trạng thái chuyển động của mình khi không chịu tác

dụng của ngoại lực hoặc khi các lực tác dụng lên chúng

cân bằng lẫn nhau

Khối lượng là số đo quán tính vật Vật có khối lượng lớn thì có quán tính lớn và ngược lại

b Hệ quy chiếu quán tính

Định luật I Newtơn chỉ được nghiệm đúng trong những hệ quy chiếu đặc biệt gọi là hệ quy chiếu quán tính Một hệ quy chiếu quán tính có gốc ở tâm mặt trời, ba trục tọa độ đi qua ba ngôi sao cố định trên bầu trời được coi là hệ quy chiếu đứng yên trong hệ mặt trời (Hệ Côpecnic)

Trong trường hợp không cần độ chính xác cao, có thể lấy hệ quy chiếu gắn với một điểm trên trái đất

là hệ quy chiếu quán tính Khi đó, ta đã bỏ qua chuyển động tự quay của trái đất và chuyển động của trái đất xung quanh mặt trời

Hình 2.1 Chuyển động của vật trên đệm không khí: lực đẩy của không khí cân bằng với trọng lực đồng thời lực ma sát được loại bỏ

13

Câu hỏi 2.1

Phát biểu nào sau

đây là đúng

a Một vật có thể có sự chuyển động khi không có lực tác dụng

b Một vật có thể không chuyển động khi có lực tác dụng

c Cả hai phương án đều sai

d Cả hai phương án đều đúng

2.1.2 Định luật II Newtơn

a Định luật II Newtơn

Phát biểu : Trong hệ quy chiếu quán tính, gia tốc của chất điểm tỉ lệ thuận với tổng hợp lực tác dụng

và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm ấy

là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm

b Lực tác dụng trong chuyển động cong

Trong chuyển động cong, gia tốc được phân tích ra hai thành phần:

b Không có lực nào tác dụng lên vật

c Có lực tác dụng lên vật nhưng các lực này cân bằng nhau

2.1.3 Định luật III Newtơn

14

Phát biểu: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F 

thì chất điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực '

Một người đàn ông cao lớn và một cậu bé

cùng đứng trên mặt băng không ma sát Họ

dùng tay đẩy nhau và chuyển động về hai phía

Ai sẽ chuyển động với gia tốc lớn hơn

a Người đàn ông cao lớn

K = . là một đại lượng động

lực học đặc trưng cho chuyển động của chất điểm và gọi là vectơ động lượng của chất điểm Vì v phụ

thuộc hệ quy chiếu nên động lượng cũng phụ thuộc hệ quy chiếu tức là động lượng có tính tương đối

b Các định lý về động lượng

Theo định luật II Newton: F =m.a

Theo định nghĩa gia tốc

dt

v d a

v d m F

Định lý 1: Đạo hàm động lượng của một chất điểm theo thời gian bằng hợp lực tác dụng lên chất

điểm đó

Từ (2.3) ⇒dK =F dt

(2.4) Giả sử trong thời gian từ t1 đến t2, động lượng của hệ biến thiên từ K1

đếnK2.Lấy tích phân hai vế của (2.4), ta được

1 1

t K

K K K F dt

∆ =  −  =∫  (2.5)

15

Định lý 2: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm theo thời gian bằng xung lượng của lực tác

dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó

c Ý nghĩa của động lượng và xung lượng

ý nghĩa của động lượng:

- Động lượng đặc trưng cho chuyển động về mặt động lực học

- Trong các hiện tượng va chạm, động lượng là một đại lượng đặc trưng cho khả năng truyền chuyển động

ý nghĩa của xung lượng: Xung lượng của một lực trong khoảng thời gian t∆ đặc trưng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian đó

Câu hỏi 2.4

Hai vật nằm yên trên mặt ngang không ma sát Vật 1 có khối lượng lớn hơn vật 2

1 Khi một lực không đổi tác dụng lên vật 1, nó thu gia tốc và chuyển động một đoạn thẳng d Sau đó lực ngừng tác dụng lên vật 1 và chuyển sang tác dụng lên vật 2 Tại thời điểm vật 2 chuyển động được một đoạn thẳng d, so sánh động lượng của hai vật?

2 Cũng với câu hỏi trên nhưng lực tác dụng lên hai vật trong cùng khoảng thời gian ∆t

2.2.2 Định luật bảo toàn động lượng

Xét cơ hệ gồm n chất điểm Định lý biến thiên động lượng của chất điểm thứ k là:

lần lượt là nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k

Lấy tổng hai vế (2.6) theo k ta có:

Tổng động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn

Trong thực tế, ta không có hệ cô lập nhưng trong các trường hợp sau ta có thể áp dụng được định luật bảo toàn động lượng:

1 Có lực tác dụng lên hệ nhưng tổng hợp lực bằng không

2 Trong các hiện tượng va chạm, thời gian va chạm là rất ngắn Trong khoảng thời gian đó, nội lực rất lớn so với ngoại lực nên ta có thể bỏ qua ngoại lực và có thể áp dụng được định luật bảo toàn động lượng

3 Bảo toàn động lượng theo phương : Nếu hình chiếu của tổng hợp lực F

lên một phương nào đó bằng không thì hình chiếu tổng động lượng trên phương đó được bảo toàn

Hiện tượng súng giật khi bắn

Giả sử có một viên đạn khối lượng m được bắn ra với vận tốc v hợp với phương ngang một góc θ Gọi M là khối lượng của súng Xét hệ súng + đạn, nếu không có ma sát thì ngoại lực tác dụng lên hệ theo phương ngang bằng không do đó động lượng của hệ được bảo toàn theo phương ngang

0cos + MV =

mv θ

θcos

v M

m

Dấu trừ chứng tỏ V ngược chiều với v tức là súng bị giật lùi lại phía sau

Chuyển động của tên lửa

Xét một tên lửa chuyển động với vận tốc v, khí phụt ra so với tên lửa với vận tốc u Như vậy vận tốc của khí trong hệ qui chiếu quán tính là: u +v

Gọi khối lượng khí phụt ra trong một đơn vị thời gian là α Vì khối lượng của tên lửa giảm dần nên ta

17

Trong khoảng thời gian dt, khí phụt ra một lượng là α.dt và tên lửa tăng tốc từ v đến

v d

v + Động lượng của khối khí là: αdt(u +v )

Động lượng của tên lửa là: (m+dm)(v +d v )

Động lượng của cả hệ là:

K2 =αdt u( + +v) (m dm v+ )(+dv)

(2.14) Tên lửa chuyển động trong không gian xem như một hệ cô lập, áp dụng định luật bảo toàn động lượng

u

m

dm v

Đây chính là phương trình chuyển động của những vật có khối lượng biến đổi

Lấy tích phân hai vế (2.16) ta được:

∫ =− ∫

m m v

o m

dm u

dv 0

Một người đứng trên mặt băng không ma sát bắn một mũi tên theo

phương ngang về phía trước với vận tốc 50m/s Ngay sau khi bắn

người này chuyển động về phía nào và với vận tốc bằng bao nhiêu

Biết khối lượng tổng cộng của người và cung tên là 60kg và khối

lượng mũi tên là 0.5kg

GIẢI

Ta không thể giải bài toán bằng phương pháp động lực học vì

trong trường hợp này ta không xác định được lực tác dụng vào mũi tên Mặt khác không có lực tác dụng lên hệ người và cung tên trên phương ngang do đó động lượng của người và mũi tên trên phương ngang được bảo toàn Trước khi người này bắn mũi tên, tổng động lượng bằng không

Hình 2.2 Một người đứng trên mặt băng không ma sát, bắn một mũi tên về phía trước, anh ta sẽ

bị giật lùi về phía sau

18

Ngay sau khi người bắn mũi tên đi với vận tốc v, người đó sẽ chuyển động với vận tốc V Tổng động

lượng của hệ trên phương ngang là:

Lưu lượng nước xả là 3600 lít/phút tương đương với 60 lít/s Biết rằng mỗi lít nước có khối lượng

1kg Như vậy ta có thể nói tốc độ giảm khối lượng nước là α = 60kg/s

Áp dụng công thức (2.18), lực đẩy do nước tác dụng lên vòi phun khi xả ra là:

Do thời gian va chạm là rất nhỏ, nội lực rất lớn so với ngoại lực do vậy ta có thể coi hệ va chạm là cô lập và áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ:

m1.v'1+m2.v'2=m1.v1+m2.v2

(2.19) Chiếu phương trình (2.19) lên các trục tọa độ ta sẽ được các phương trình vô hướng tương đương

Va chạm đàn hồi xuyên tâm

Do các vectơ vận tốc trước và sau va chạm đều cùng phương nên phương trình (2.19) trở thành:

2 2 1 1 2 2 1

1.v' m v' m.v m v

Trong va chạm đàn hồi xuyên tâm, động năng của hệ trước và sau va chạm được bảo toàn:

19

2

.2

.2

'.2

' 12 2 22 1 12 2 22

2 2 1 2 1 1

.2)

('

m m

v m v m m v

1 1 2 1 2 2

.2)

('

m m

v m v m m v

m m

−

=+

=+

Quả cầu 1 bị bắn ngược trở lại với cùng độ lớn vận tốc Ví dụ trường hợp quả bóng bị ném vào

tường và bật ngược trở lại

2 2 1

1

m m

v m v m V

+

+

=

⇒ (2.25) Trong va chạm mềm, động năng của hệ giảm Phần động năng tiêu hao chuyển thành nhiệt và công

làm biến dạng hai vật

Nếu trước va chạm vật m2đứng yên thì:

1 2 1

1 v m m

m V

W sau m k

W tr m m

+Trường hợp dùng búa đóng đinh, ta cần phải chuyển phần lớn động năng của búa thành động năng

của đinh do vậy phải tăng khối lượng búa Ngược lại, khi rèn sắt, cần phải chuyển động năng của búa

thành công làm biến dạng vật cần rèn do vậy phải tăng khối lượng đe

Câu hỏi 2.5

20

Trường hợp nào sau đây quả cầu m có vận tốc lớn hơn sau va chạm:

TH1 Quả cầu khối lượng m chuyển động với vận tốc V đến va chạm với quả cầu khối

lượng M đang đứng yên

TH2 Quả cầu khối lượng M chuyển động với vận tốc V đến va chạm với quả cầu khối

lượng m đang đứng yên

Coi các va chạm đều là đàn hồi xuyên tâm

2.3 MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG

2.3.1 Các định lý về mômen động lượng

a Mômen của một vectơ đối với một điểm

Định nghĩa: Mômen của một vectơ V

đối với một điểm

M O )

b Định lý về mômen động lượng của một chất điểm

Xét một chất điểm chuyển động trên quỹ đạo bất kì dưới tác dụng của lực F

Mômen động lượng của chất điểm đối với O là một vectơ L

xác định bởi:

L = ∧r K

(2.28) Lấy đạo hàm hai vế (2.28) ta được:

Định lí: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm O cố

định bằng tổng mômen đối với O của các lực tác dụng lên chất điểm

c Hệ quả

Vật chịu tác dụng của các lực xuyên tâm

Do các lực luôn có phương qua O nên:

M /O(F)=0

⇒ L const dt

L

d = ⇔ =0

là mômen động lượng của chất điểm M chuyển động

trên đường tròn (O, R) đối với O Ta có nhận xét L

luôn vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của chất điểm

2.3.2 Định luật bảo toàn mômen động lượng

Xét một hệ gồm n chất điểm, áp dụng định lý về mômen động lượng đối với chất điểm thứ k ta được:

là tổng mômen động lượng của hệ đối với O

Định lí: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của một hệ bằng tổng mômen các ngoại lực

tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc O bất kì)

Định luật: Mômen động lượng của một hệ hạt đối với một điểm O cố định không thay đổi theo thời

gian nếu tổng các mômen ngoại lực tác dụng lên hệ đối với điểm đó bằng không

2.4 CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI VÀ NGUYÊN LÝ GALILÊ

2.4.1 Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển

a Phép biến đổi Galilê

Giả sử K là một hệ quy chiếu quán tính được coi là đứng yên và K’ là một hệ chuyển động đối với K

Ta gắn với K và K’ hai hệ toạ độ Đềcac Oxyz và O’x’y’z’ Với mỗi hệ toạ độ ta gắn vào một đồng hồ

để đo thời gian Giả sử trong quá trình chuyển động O’x’ trượt dọc theo Ox; O’y’, O’z’ luôn song song và cùng chiều với Oy, Oz

Toạ độ thời gian và không gian của M trong hệ K là t, x, y, z ; trong hệ K’ là t, x’, y’, z’ Theo quan

điểm của cơ học Newtơn, thời gian ở mọi hệ quy chiếu đều

trôi như nhau:

Xét trường hợp riêng: Hệ K’ chuyển động thẳng đều đối

với hệ K với vận tốc V, tại t = 0, O’ trùng O thì:

23

Khi chuyển từ hệ K sang hệ K’ x’ = x - V.t

y’ = y (2.39b) z’ = z

t’ = t

b Lượng tương đối và lượng tuyệt đối trong phép biến đổi Galilê

- Thời gian: Khi chuyển từ hệ K sang hệ K’ thời gian không thay đổi giá trị Vậy thời gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu

l = − + − + −

Áp dụng các phép biến đổi Galilê ta được l = l’

⇒ Khoảng cách không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu

dt

OO d dt

r d dt

y y’

M

r r'

z z’

Hình 2.6 Tổng hợp vận tốc và gia tốc

24

Ví dụ 2.3

Một con thuyền bơi ngang qua một dòng

sông với tốc độ 10km/h đối với nước Dòng

nước chảy với tốc độ không đổi 5km/h đối với

bờ sông

GIẢI

a Nếu hướng mũi thuyền sang ngang, xác

định vận tốc của thuyền đối với bờ sông?

Hình (2.7a) cho ta mối quan hệ giữa vận tốc

của thuyền đối với bờ sông v , vận tốc của bE

nước đối với bờ sông vrE và vận tốc của thuyền

đối với nước vbr

10

rE b

v v

⇒ θ = 26.6 0

Vận tốc của thuyền đối với bờ sông lớn hơn cả vận tốc của chính con thuyền đó nhưng người lái thuyền sẽ không sang được điểm đối diện bên kia bờ sông mà sẽ bị trôi xuống phía hạ lưu một đoạn tương ứng với góc lệch θ trên

b Vậy để sang được điểm đối diện bên kia bờ sông thì người lái thuyền phải hướng mũi thuyền về phía nào? Giả sử tốc độ của thuyền vẫn là 10km/h

Ta thấy rằng, để sang được đúng điểm đối diện bên kia bờ sông thì vận tốc v phải hướng sang ngang bE

như trên hình 2.7b Điều đó có nghĩa là người lái thuyền phải chếch mũi thuyền về phía thượng lưu một góc θ

r

5sin

10

rE b

v v

Đạo hàm hai vế của (2.41) ta được

Hình 2.7 Con thuyền bơi qua sông – áp dụng định lý cộng vận tốc

25

dt

V d dt

v d dt

v

d  

+

= ' ⇒ a   = + a ' A 

(2.42)

Vectơ gia tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu K bằng tổng hợp vectơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu K’ chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu K và vectơ gia tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu K’ đối với hệ quy chiếu K

2.4 3 Nguyên lý tương đối Galilê

Trong hệ K, định luật II Newton có dạng:

Do các phương trình động lực học giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ

quy chiếu quán tính khác nên tổng quát ta có nguyên lý: Mọi hiện tượng, mọi quá trình cơ học diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính

Ta nhận thấy từ phương trình (2.43) có thể suy ra phương trình (2.44) thông qua các phép biến đổi Galilê Vậy các phương trình cơ học là bất biến đối với phép biến đổi Galilê

2.4 4 Hệ quy chiếu không quán tính - Lực quán tính

a Hệ quy chiếu không quán tính

Hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu trong đó các định luật Newtơn không được nghiệm đúng Các hệ quy chiếu không quán tính đơn giản nhất là hệ chuyển động tịnh tiến có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính và hệ quy chiếu chuyển động quay đều

b Lực quán tính

Thí dụ: Một toa tầu đang bắt đầu chuyển động nhanh dần Người ngồi trên toa tầu này thấy các vật hai bên đường chuyển động có gia tốc so với toa tầu Các vật ấy không chịu tác dụng của một vật cụ thể nào, gia tốc mà chúng có được chỉ được xác định bởi chính tính chất của hệ quy chiếu, loại gia tốc này ứng với một lực đặc biệt gọi là lực quán tính

Trong các hệ quy chiếu không quán tính, định luật II Newtơn được viết lại:

F  + F qt = m a  '

(2.45) Trong hệ quy chiếu quán tính

F =m.a

26

⇒Fqt =m(a'−a)

(2.46) Lực quán tính tác dụng thực sự lên vật, truyền gia tốc cho vật, sinh công và đo được bằng lực kế nhưng không có phản lực

* Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc

Giả sử hệ K’ chuyển động tịnh tiến có gia tốc A

đối với hệ quy chiếu quán tính K Thay 6) vào 9) ta được biểu thức của lực quán tính là:

Fqt m A

−

= (2.47) Lực quán tính luôn cùng phương, ngược chiều với gia tốc của chuyển động tịnh tiến của hệ quy chiếu không quán tính

* Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều

Giả sử hệ K’ quay đều với vận tốc góc ω

- Nếu chất điểm M đứng yên trong hệ K’ tức là M chuyển động tròn đều trong hệ K

Lực này luôn hướng ra xa tâm quỹ đạo nên gọi là lực quán tính li tâm

- Nếu chất điểm M chuyển động với vận tốc vtrong hệ K’ thì ngoài lực quán tính li tâm vật còn chịu thêm tác dụng của lực quán tính Côriôlit (Fc)

Fc =− m[ω∧v]

2 (2.49) Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời và tự quay xung

quanh trục, do vậy, mọi vật chuyển động trên trái đất đều

chịu tác dụng của lực Coriolis Hiệu ứng này gây ra các hiện

tượng như ở bắc bán cầu, gió có xu hướng thổi sang phía

Đông còn ở nam bán cầu, gió có xu hướng thổi sang phía

Tây Ở bắc bán cầu, các dòng sông chảy theo hướng bắc –

nam bị xói mòn ở bờ phải nhiều hơn còn ở nam bán cầu thì

các dòng sông lại bị xói mòn ở bờ trái…

Hình 2.8 Cơn bão Haiyan đổ bộ vào Việt Nam năm 2013 Lốc xoáy ở bắc bán cầu luôn ngược chiều kim đồng hồ

2 Nắm được đặc điểm và biết cách khảo sát chuyển động quay của vật rắn

3 Xác định được mômen quán tính của các vật rắn có hình dạng đặc biệt

II NỘI DUNG

3.1 Khối tâm, chuyển động của khối tâm

3.2 Chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục

3.3 Mômen quán tính của vật rắn

II NỘI DUNG CHÍNH

3.1 KHỐI TÂM, CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM

3.1.1 Định nghĩa khối tâm

Giả thiết có một hệ gồm hai chất điểm M1, M2có khối lượng lần lượt m1, m2đặt trong trọng trường đều Trọng lực tác dụng lên hai chất điểm là hai vectơ P1, P2

Hợp lực của hai lực này đặt tại G Theo quy tắc hợp lực song song ta có :

n i i

m OM OG

m r R

m x X

m y Y

m z Z

Một chiếc gậy bóng chày được cắt đôi qua trọng tâm của nó

như trên hình vẽ Phần nào có khối lượng nhỏ hơn?

a Phần bên phải

b Phần bên trái

c Hai phần có khối lượng bằng nhau

d Không thể xác định được

3.1.2 Chuyển động của khối tâm

a Vận tốc khối tâm

Theo định nghĩa vận tốc ta có:

i i i i i

dr m

m v V

29

K V M

Tổng động lượng của hệ bằng tổng khối lượng của hệ nhân với vận tốc khối tâm của hệ

Theo định luật bảo toàn động lượng, nếu hệ đang xét là cô lập thì:

K =const

⇒ V=const

Khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

b Phương trình chuyển động của khối tâm

Đạo hàm hai vế phương trình (3.7) ta được gia tốc của khối tâm:

i i i i i

dv m

là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ ( vì theo định luật III Newtơn thì tổng nội lực của hệ bằng không)

Khối tâm của một hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ

3.2 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH MỘT TRỤC

- Dạng quỹ đạo của mọi điểm trên vật rắn là giống nhau

- Tại mỗi thời điểm, mọi điểm trên vật rắn có cùng vectơ vận tốc và vectơ gia tốc

Do vậy khi nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật rắn ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm trên vật rắn, thường chọn là khối tâm

Phương trình chuyển động: Phương trình chuyển động tịnh tiến của vật rắn chính là phương trình

chuyển động của khối tâm:

m.a =F (3.11)

Với F

là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn

- Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm trên vật rắn quay được cùng một góc θ

- Tại cùng thời điểm, mọi điểm trên vật rắn có cùng vectơ vận tốc góc và vectơ gia tốc góc

- Mối liên hệ giữa vectơ vận tốc dài và vectơ gia tốc tiếp tuyến với vectơ vận tốc góc và vectơ gia tốc góc là:

= cũng cùng phương với ω và đều nằm trên trục quay

3.2.2 Mômen của một lực đối với một trục quay

a Tác dụng của lực trong chuyển động quay

Xét một vật rắn có thể quay xung quanh một trục ∆ Lực tác

dụng lên vật rắn đặt tại M Phân tích F thành hai thành phần:

Kết luận: Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một

trục chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự

b Mômen của một lực đối với trục quay

Do tác dụng làm quay của F

tương đương với tác dụng làm quay của Ft

nên trong chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định ta chỉ xét các lực tiếp tuyến (Nếu lực F

bất kì thì chỉ xét thành phần Ft

) Khi đó mômen của lực Ft

đối với trục quay ∆ xác định bởi:

31

M F M F

M    

=

∆( ) / ( )/

Gọi O là giao điểm của ∆ với mặt phẳng qua M và vuông góc với ∆

M M /O(Ft)

= (3.14)

3.2.3 Phương trình chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định

Xét một phần tử michịu tác dụng của một lực tiếp tuyến Fti

Theo định luật II Newton ta có:

∑ =∑

i i i

i r m

I 2 (3.18) Phương trình (3.17) trở thành:

I M

=

β (3.19) Với =∑

i i

M

M 

là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục quay ∆ Phương

trình (3.19) gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục

quán tính I đóng vai trò như khối lượng m Vì khối lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật nên

mômen quán tính cũng đặc trưng cho mức quán tính trong chuyển động quay

3.2.4 Mômen động lượng của vật rắn quay xung quanh một trục

Xét một chất điểm mi trên vật rắn, mômen động lượng của chất điểm mi đối với tâm O của quỹ đạo nằm trên trục quay theo (2.32) là:

 ω 

i

i I

L =

Mômen động lượng của vật rắn đối với trục ∆ là:

Tổng mômen ngoại lực tác dụng lên vật rắn theo một trục nào đó bằng đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của vật theo trục đó

(3.23)

Vì I = const nên  ω β

I dt

d I

M = =

Ta tìm lại được phương trình cơ bản của chuyển động

quay xung quanh một trục của vật rắn Khi M

= 0, (3.23) trở thành:

Đó là nội dung định luật bảo toàn mômen động lượng cho

vật rắn quay xung quanh một trục

Khi tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ đối với trục quay

bằng không thì mômen động lượng của hệ đối với trục quay

được bảo toàn

Nếu I tăng thì ω giảm và ngược lại, tính chất này được ứng

dụng trong thí nghiệm ghế Giucôpxki và nhiều hiện tượng khác

Câu hỏi 3.2

Một quả cầu đặc và một quả cầu rỗng có cùng bán

kính và khối lượng, quay xung quanh trục quay đi

qua khối tâm với cùng vận tốc góc Quả cầu nào có

mômen động lượng lớn hơn?

33

Ví dụ 3.1

Một ngôi sao đang quay với chu kì 30 ngày quanh trục đi qua tâm Sau một vụ nổ sao siêu mới, lõi đặc của ngôi sao có bán kính 104km co lại thành một sao nơtron có bán kính 3km Tính chu kì quay của sao nơtron mới

GIẢI

Giả thiết rằng trong quá trình co lại, không có ngoại lực nào tác động lên ngôi sao và khối lượng của

nó không thay đổi Để dễ dàng, ta xem ngôi sao như một quả cầu đặc đồng chất

Áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng ta có:

3.3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN

Mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆ được tính theo (3.18)

2

i i

i r m

Tính mômen quán tính của thanh đồng chất, chiều dài l, khối

lượng M đối với trục quay ∆o đi qua trung điểm G của thanh và

vuông góc với thanh

GIẢI

Xét một phần tử khối lượng dm, dài dx, cách trục quay một

đoạn x Mômen quán tính của dm đối với trục quay là

dx M

34

Mômen quán tính I 0của thanh đối với trục ∆o là:

2 2

2

2

12

l l

Tính mômen quán tính của một đĩa đồng chất bán kính R, khối

lượng M với trục đối xứng ∆ocủa đĩa

dS M

Mômen quán tính của đĩa đối với trục quay là:

2 3

Tương tự, ta tính được mômen quán tính của những vật đồng chất với trục của nó:

x

dx

Hình 3.5 Tính mômen quán tính của một đĩa tròn

35

Định lí Stêne - Huyghen:

Mômen quán tính của một vật rắn đối với một trục ∆ bất kì bằng mômen quán tính của vật đối với trục ∆ o song song với ∆ và đi qua khối tâm G của vật cộng với tích khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách d giữa hai trục

I = I o + Md 2 (3.33)

36

CHƯƠNG 4 TRƯỜNG LỰC THẾ VÀ TRƯỜNG HẤP DẪN

I MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

- Nắm được các khái niệm lực thế, trường lực thế, thế năng, động năng

- Hiểu và vận dụng được định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế

- Nắm được các đặc điểm của trường hấp dẫn

II NỘI DUNG CHÍNH

4.1 Công – công suất

4.2 Trường lực thế

4.3 Động năng – định lý động năng

4.4 Thế năng – định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế

4.5 Trường hấp dẫn

4.1 CÔNG – CÔNG SUẤT

4.1.1 Công

Định nghĩa: Công của một lực F

khi điểm đặt của lực di chuyển một đoạn s được xác định bởi :

A F s

= (4.1) Hay A=F s.cosα (4.2)

Với α là góc giữa hai vectơ F

và s Trường hợp tổng quát, điểm đặt của lực di chuyển trên một đường cong bất kì, lực F

thay đổi cả về phương chiều và độ lớn Khi đó, công nguyên tố dA trên độ dịch chuyển ds là :

dA=Fd s

(4.3) Công của lực trên toàn quãng đường từ vị trí M đến vị trí N là:

N MN M

A =∫Fds  (4.4a) Trong không gian, lấy một điểm O bất kì làm gốc toạ độ Mỗi điểm trên quỹ đạo được xác định bởi một bán kính vectơ r Khi đó :

N MN M

A = ∫ F dr  (4.4b) Đơn vị đo công là Jun (J)

dt

dA

P= (4.6)

Công suất có giá trị bằng đạo hàm của công theo thời gian

Thay (4.3) vào (4.6), trong trường hợp lực F

không thay đổi theo thời gian, ta được :

F v

dt

s d F

P    

=

= (4.7) Công suất được tính bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vectơ vận tốc của chuyển dời

4.1.3 Công - công suất trong chuyển động quay

Xét một chất điểm khối lượng m, chịu tác dụng của một lực F 

và chuyển dời từ vị trí 1 sang vị trí 2 Công của lực F 

trong chuyểm dời này là:

s d F

A=∫  2

có thứ nguyên của năng lượng Đó là phần năng lượng chất điểm có được do

chuyển động với vận tốc v và được gọi là động năng của chất điểm Vậy biểu thức của động năng là:

Định lí: Độ biến thiên động năng của một chất điểm trong một quãng đường nào đó có giá trị bằng

công của lực tác dụng lên chất điểm trên quãng đường đó

Câu hỏi 4.1

Hai vật nằm yên trên mặt ngang không ma sát Vật 1 có khối lượng lớn hơn vật 2

1 Khi một lực không đổi tác dụng lên vật 1, nó thu gia tốc và chuyển động một đoạn thẳng d Sau đó lực ngừng tác dụng lên vật 1 và chuyển sang tác dụng lên vật 2 Tại thời điểm vật 2 chuyển động được một đoạn thẳng d, so sánh động năng của hai vật?

2 Cũng với câu hỏi trên nhưng lực tác dụng lên hai vật trong cùng khoảng thời gian ∆t

4.2 2 Động năng của vật rắn

a Động năng của vật rắn trong chuyển động tịnh tiến

Xét chất điểm thứ i trên vật rắn, động năng của chất điểm này là:

212

b Động năng của vật rắn trong chuyển động quay xung quanh một trục

Trong chuyển động quay, ta có:

v i = ωr i

4.3 1 Khái niệm và tính chất của trường lực thế

Xét một chất điểm M chuyển động dưới tác dụng của lực F

Vậy : Lực thế là lực mà công của nó không phụ thuộc vào đường đi khi điểm đặt của nó dịch chuyển

từ điểm đầu đến điểm cuối

Do đó: Công của lực thế trên một đường cong khép kín bằng không

A = ∫Pds  Trên hình Pd s=P ds.cosα

= - P.dz

N M

MN Pdz mg z z

A = ∫− = − (4.13)

Vậy, AMN chỉ phụ thuộc vào vị trí của M và N suy ra

trọng trường đều là một trường thế

z

z M M

z a z+dz b

P d s

α

Hình 4.2 Công của trọng lực khi dịch chuyển chất điểm từ M đến N

40

Ta cũng chứng minh được trường lực hấp dẫn, trường tĩnh điện, trường lực đàn hồi là trường lực thế

4.4 THẾ NĂNG - ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG TRONG TRƯỜNG LỰC THẾ

Wt(x, y, z) được gọi là hàm thế năng (thế năng) của chất điểm trong trường thế

N được gọi là gốc thế năng

Vậy khi chọn một điểm là gốc thế năng ta có thể định nghĩa: Thế năng của một chất điểm tại một vị trí trong trường thế có giá trị bằng công mà lực thế thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí đó đến gốc thế năng

b Tính chất

- Thế năng của chất điểm đặt tại N:

Wt(N) = ANN = 0 (4.21)

Thế năng của chất điểm đặt tại gốc thế năng bằng không

- Công của lực thế khi dịch chuyển chất điểm trên một đường cong kín ANB là: A = AAB +