Bài tập có lời giải quá trình ngẫu nhiên chương 1 và 2

Bài tập có lời giải quá trình ngẫu nhiên chương 1 và 2. Bài 7: Gọi A biến cố người khách mua hàng nội địa P(A) = 0,5 B biến cố người khách mua hàng ngoại địa P(B) = 0,2 C biến cố người khách không mua hàng P(C) = 0,3 Để khách hàng bước vào người mua hàng nội địa, người mua hàng nội địa người khơng mua có tất 30 khả (số chỉnh hợp lặp A5(2,2) = 5!/(2!2!) = 30): AABCC, AACBC, AACCB, …với xác suất bằng:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - THỐNG KÊ  BỘ MƠN: Q TRÌNH NGẪU NHIÊN Giảng viên: Th.S Nguyễn Hữu Thái Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh Hoa Lớp: Tốn tài K 32 Thành phố Hồ Chí Minh ngày 12/03/2008 Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN XÁC SUẤT - BIẾN CỐ Bài 1: Đặt Xi biến cố xuất mặt Head lần thử thứ i (i = 1,2,3…) Không gian mẫu: { (X1,X2), (X1, X2 ,X3), (X1, X2, X3), (X1 ,X2, X3, X4) , …} Đặt X số lần thực phép thử ta có: ImX = {2, 3, 4, …} Xác suất gieo đồng xu lần: P{X 4} P(X , X , X , X )  P( X1 , X , X , X )  P( X , X , X , X )  P( X )P( X )P( X )P(X )  P( X )P( X )P( X )P(X )  P( X )P( X )P(X )P(X ) 3.0,5 0,1875 Bài 2: Đặt Xi biến cố chơi thắng ván thứ i Xác suất người chơi thắng sau ngừng chơi: P  P( X )  P( X , X )  P( X )  P( X ) P( X ) 18 19 18 1008   0,7363 37 37 37 1369 Trò chơi khơng người đón nhận xác suất để chơi thắng ván nhỏ xác suất chơi thua  P( X i )  18 19  P( X i )  37 37 Bài 3: Gọi Xi biến cố đứa thứ i gái (i = 1,2) Theo đề ta có: P( X i )  P( X i ) 0,5 a Xác suất để hai gái đứa đầu gái: P ( X , X / X )  P ( X / X ) P( X / X )  P( X / X ) P( X ) 1.0,5 0,5 b Xác suất để hai gái đứa đầu trai: P( X , X / X )  P( X / X ) P( X / X )  P ( X / X ) P ( X ) 0.0,5 0 Bài 4: Lấy ngẫu nhiên cầu, không gian mẫu là: {(Đ, Đ),(Đ, V), (Đ,X), (V,Đ), (V,V), (V, X), (X, Đ), (X, V), (X,X)} X số cầu vàng lấy được: ImX = {0, 1, 2} Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Tính: P{X = 0} - Trường hợp lấy khơng hồn lại lấy đồng thời cho kết giống nhau: P{X = 0} = 7  10 15 X P 7/15 7/15 1/15 0, 42 0,09 E(X) = 0.7/15 +1.7/15 + 2.1/15 = 0,6 - Trường hợp lấy có hồn lại: P{X = 0} = 7 0,49 10 10 X P 0,49 E(X) = 0.0,49 + 1.0,42 + 2.0,09 = 0,6 Bài 5: P(X, Y) = P(X).P(Y) X, Y độc lập (X,Y) X+Y P (0, 1) 1/12 (0, 2) 1/6 (0, 3) 1/4 (3, 1) 1/12 (3, 2) 1/6 (3, 3) 1/4 1/4 1/12 1/6 1/4 Vậy phân phối xác suất X + Y là: X+Y P 1/12 1/6 Bài 6:  if x  1 F ( x)  if  x  2 x 1  if Nên: P{X < 0} = P{X < = 0} = 1/2 P{X < 1} = 1/2 P{X < = 1} = Suy ra: P{X = 1} = P{X < = 1} - P{X < 1} = 1- 1/2 = 1/2 P{X = 0} = P{X < = 0} - P{X < 0} = 1/2 - = 1/2 Bài tập chương I chương II  0  Vậy: f ( x)  2   Quá trình ngẫu nhiên if x 0, x 1 if x 1 if x 0 E(X) = 1.1/2 + 0.1/2 = 1/2 Var(X) = (1 – 1/2)2.1/2 + (0 – 1/2)2.1/2 = ¼ Bài 7: Gọi A biến cố người khách mua hàng nội địa P(A) = 0,5 B biến cố người khách mua hàng ngoại địa P(B) = 0,2 C biến cố người khách không mua hàng P(C) = 0,3 Để khách hàng bước vào người mua hàng nội địa, người mua hàng nội địa người khơng mua có tất 30 khả (số chỉnh hợp lặp A5(2,2) = 5!/(2!2!) = 30): AABCC, AACBC, AACCB, …với xác suất bằng: 0,52.0,2.0,32 = 0,0045 Vậy xác suất cần tính là: P = 30.0,0045 = 0,135 Bài 8:  c (1  x ) f ( x )  0  1 x 1 Ta ln có: 1  f ( x)dx 1  c(1  x )dx 1 1   c( x   c x3 ) 1 1  c(2  ) 1 3 x - Với x < = -1 F(x) = P(X < = x) = f ( x)dx 0  - Với -1 < x < 1: x x F ( x)  P{X  x}  f ( x )dx   (1  x ) dx  1  (x   (x  x3 x ) 1 x3 ) x - Với x > = 1, F(x) = P(X < = x) = f ( x)dx  f ( x)dx 1 1  Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Vậy hàm phân phối F(x) là: 0  x3 3 F ( x)  ( x  ) 4  x   1 x 1 x 1 Bài 9:  ce  x f ( x )  0 0 x x 0 Ta ln có:   f ( x)dx 1  ce  2x dx 1  e 2x  c lim b     c 2 Tính P{X > 2}: b 1  c(0  ) 1 2 P{X  2} 1 - P{X  2} 1 - 2e - 2x  2x 1  e  2 1  (  e   1) e  Bài 10: Chứng minh E(X2) > = [E(X)]2 Ta có: var( X ) E(X ) - (E(X)) Do : var(X) 0  E(X ) - (E(X)) 0  E(X ) (E(X)) (dpcm) E(X ) (E(X))  var( X ) 0  (X i  E ( X )) P (X i ) 0  X i E ( X )  i Vậy E(X ) = [E(X)] X số Bài 11: a P ( X  a ) 1  P ( X a ) 1  f ( x)dx  a 1  a f ( x)dx 1  cdx cx  P ( X  a ) 1  ca a (do : f ( x ) c) (dpcm) Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Bài 12: Hàm sinh mơment X có dạng: 1 1  (t )  E e t X e t  e t  e t  (e t  e 2t  e 3t ) 3 3   t  2t 3t   ' (t )  (e  2e  3e )      ' ' (t )  (e t  4e t  9e 3t )  t  ( 3) 2t 3t   (t )  (e  8e  27e )   E  X   ' (0) 2  14    E X  ' ' (0)    E X  ( 3) (0) 12     Bài 13: Theo đề ta có: X, Y biến ngẫu nhiên độc lập, X  N(1, 12) Y  N(2, 22)  var( X )  12    var(Y )  22  var(Z )  var(X  (1   )Y )  var( X )  (1   ) var(Y )  2 12  (1   )  22  f ( ) f ' ( ) 2 12  (2  2) 22 2( ( 12   22 )   22 ) f ' ( ) 0  2( ( 12   22 )   22 ) 0  22     22  22 Do (   ) > = nên   giá trị làm cực tiểu hoá phương sai    22 biến ngẫu nhiên Z 2 Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Bài 14: a/ 1 P Y 1  p ( x,1)     9 E  X/Y 1  xP X  x / Y 1  xPx / y ( x / y )  x p ( x,1) P Y 1 1 1   2 5 9 1 P Y 2  p( x,2)     18 E X/Y 2  xP X  x / Y 2  xPx / y ( x / y )  x p( x,2) P Y 2 1 1   18  1 6 b/ Nếu X, Y độc lập P{X = 1}.P{Y = 1} = P{X = 1, Y = 1}  x, y Mà: 1 P X 1  p (1, y )     9  P{X = 1}.P{Y = 1} = (2/9)(5/9) = 10/81 ≠ P{X = 1, Y = 1} = 1/9 nên X, Y khơng độc lập Bài 15: Theo đề X, Y độc lập nên: P{X = x, Y = y} = P{X = x}.P{Y = y} Hay f(x, y) = f(x).f(y) - Nếu X, Y rời rạc: n E  X/Y  y  x.P{X  x / Y  y} x 1 n  x x 1 n  x x 1 P ( X  x, Y  y ) P(Y  y ) P ( X  x).P(Y  y ) P (Y  y ) n  x.P ( X  x ) x 1  E X - Nếu X, Y liên tục: Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên  E  X/Y  y   x f x / y ( x / y )dx     x     x  f ( x, y ) dx f ( y) f ( x) f ( y ) dx f ( y)    x f ( x )dx   E X Vậy, X, Y độc lập E[X/Y = y] = E[X] y Bài 16: Ta có: f ( x, y )  y   x e y  y  ; y  x  y Suy ra: y y y f ( y )  f ( x, y )dx  y y y e ( y2x  e y  (2 y     x e y dx x y ) y y3 ) y   x2 e y f ( x, y ) y2  x2 y2  x2  f x / y ( x / y)   y   e y3 f ( y) y3 y (2 y  ) y y     y2  x2 E  X/Y  y  x f x / y ( x / y )dx x dx y3 y y  y2 x2 x4 (  ) 4y3 y y 0 (dpcm) Bài 17: Ta có: f ( x, y )  e  x / y e  y  x  ; 0 y Suy ra:   Bài tập chương I chương II  Quá trình ngẫu nhiên  e  x / y e  y f ( y )  f ( x, y )dx  dx 0 e y lim (  y.e  x / y ) b  y.e  y   b e  x / y e  y f ( x, y ) e x / y  f x / y ( x / y)    f ( y) y y.e  y   e x / y E  X/Y  y  x f x / y ( x / y )dx x dx y 0   x.e  x / y dx  y0  du = dx  v = -y.e-x/y Đặt u=x dv = e-x/y dx Suy ra:  E  X/Y  y  x.e  x / y dx y0  (lim ( x y.e  x / y ) y b  b   y.e  x / y dx b  (0  lim ( y e  x / y ) ) b  y  y  y (dpcm) y Bài 18: Theo đề ta có:   e   x f ( x )  0 x 0 x0   1  E  X/X  1  x f ( x)dx  x. e   x dx   x.e   x dx Đặt: u=x dv = e-.xdx  du = dx  v = - e-.x/ Suy ra: Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên  E  X/X  1  x.e   x dx  (lim( x.e  .x b   (e    lim( b  )    e   x dx ) 1    x e ) 2  ) e   ( e  )  e   (   )   Bài 19: Theo đề ta có: f ( x, y )  e y y  x  ;  y    y   e  P X  x1   f ( x1 , y ) dy   dy  f ( x, y )dy 1 y 0     P X  x  1    P X  x n  1 Mà: P{X = x1} + P{X = x2} + … + P{X = xn} =  x1 = x2 = … =xn = c số  X Y độc lập  X2 Y độc lập Theo kết chứng minh câu 15 thì:      E X /Y  y  E X c Bài 25: X có trung bình 10 phương sai 15, cần đánh giá P{5 < X < 15} P{5 < X < 15} = P{- < X – 10 < 5} = P{X – 10 = 1} martigale 13 (2) Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Bài 4: Ta có: Xk = Zk – Zk-1  Xk phụ thuộc vào Zk Zk-1 không phụ thuộc vào Zn hay nói cách khác X1, X2, …, Xn độc lập Theo đề bài: X k Z k  Z k   n n k 1 k 1  X k  ( Z k  Z k  ) n  X k Z n  Z Z n k 1 n Do đó: var[Zn] var[ X k ] k 1 Theo chứng minh X1, X2, …, Xn độc lập nên n n k 1 k 1 var[Zn] var[ X k ]  var X k  ( dpcm) Bài 5: Do {Xn, n >= 1} {Yn, n >= 1} martigale nên  E  X n      E  Yn     E  X n   E  Yn       E  X n .E  Yn    a/ E  Z n   E  X n  Yn   E  X n   E  Yn    (1) E  Z n 1 / Z , Z n   E  ( X n 1  Yn 1 ) / X , X n , Y1 , Yn  E  X n 1 / X , X n   E  Yn 1 / Y1 , Yn  X n 1  Yn 1 Z n 1 (2) Từ (1) (2) suy ra: {Zn, n >=1} martigale b/ E  Z n   E  X n Yn   E  X n .E  Yn    (1) E  Z n 1 / Z , Z n   E  ( X n 1 Yn 1 ) / X , X n , Y1 , Yn  E  X n 1 / X , X n .E  Yn 1 / Y1 , Yn  X n 1 Yn 1  Z n 1 (2) Từ (1) (2) suy ra: {Zn, n >= 1} martigale 14 Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Bài 6: Do X1, X2,…, Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với kỳ vọng phương sai 2 nên ta có:      var X n   E X 2n  E X n    E X 2n cov( X n , X m )  E  ( X n  E  X n  ).( X m  E  X m  )  E  X n X m  0 2  n   n    E  Z n   E    X k   n   E   X k    n   k 1      k 1 n      E X k   E X i X j  n k 1 i j n  n 2n   E  Z n 1 / Z , Z n  (1)   n 1      E    X k   n  / X , X n     k 1    2   n    n    E    X k   n  / X , X n   E   X k  X n 1 / X , X n      k 1     k 1    E  X n 1 / X , X n   n  E  Z n / Z , Z n   2  X k  E  X n 1   k 1   E X n   n   Z n  2  X k    Z n  k 1  (2) Từ (1) (2) suy ra: {Zn, n >= 1} martigale Bài 7: Do {Xn, n >= 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối (0, 1) nên E X n   &  var X n   12  E  Z n   E n X X n 2 n E X X n  ( X n  (0,1)  0) 1   2n  E n 1 X X n 1 / X , , X n 2 n E X  E  X n  2 n E  Z n 1 / Z , , Z n   (1)  2 n 1 X X n E  X n 1 / X , , X n  2 n 1 X X n E  X n 1  2 n 1 X X n 2 n X X n  Z n Từ (1) (2) suy ra: {Zn, n >= 1} martigale 15 (2) Bài tập chương I chương II Quá trình ngẫu nhiên Bài 8: Do {Xn, n >= 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối mũ với kỳ vọng chung nên: E  X n  1 var X n  1 E  Z n   E  X   X n   E  X    E  X n  n  E  X k   n   (1) k 1 E  Z n 1 / Z , , Z n   E  X   X n 1 / X , , X n  n  E  X k / X , , X n   E  X n 1 / X , , X n  k 1 n  X k  E  X n 1  k 1 X   X n   X   X n  Z n 1 Từ (1) (2) suy ra: {Zn, n >= 1} martigale 16 ( 2) ...  var(Y )  22  var(Z )  var(X  (1   )Y )  var( X )  (1   ) var(Y )  2 12  (1   )  22  f ( ) f ' ( ) 2  12  (2  2)  22 2(  ( 12   22 )   22 ) f ' ( ) 0  2( ... (0, 1) 1/ 12 (0, 2) 1/ 6 (0, 3) 1/ 4 (3, 1) 1/ 12 (3, 2) 1/ 6 (3, 3) 1/ 4 1/ 4 1/ 12 1/ 6 1/ 4 Vậy phân phối xác suất X + Y là: X+Y P 1/ 12 1/ 6 Bài 6:  if x  1 F ( x)  if  x  2 x 1  if Nên: P{X... x)dx 1  ce  2x dx 1  e 2x  c lim b     c 2 Tính P{X > 2} : b 1  c(0  ) 1 2 P{X  2} 1 - P{X  2} 1 - 2e - 2x  2x 1  e  2 1  (  e   1) e  Bài 10 : Chứng minh E(X2)