Bài giảng nhập môn đại số tuyến tính

NHTHO.WORDPRESS.COM BÀI GIẢNG Nhập mơn đại số tuyến tính TS NGUYỄN HỮU THỌ 2019-2020 BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng Nhập môn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 BÀI GIẢNG NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Theo dịng lịch sử, mơn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải biện luận hệ phương trình bậc Về sau để hiểu rõ cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình bậc có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian véc tơ phép biến đổi tuyến tính … Người ta có nhu cầu khảo sát không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, có khái niệm độ dài góc Ngày Đại số tuyến tính trở thành mơn học Tốn Cao cấp dạy từ năm đầu trường đại học, cao đẳng Hơn nữa, Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, Kinh tế, Vì thế, trở thành mơn học sở cho sinh viên chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường đại học Đây Bài giảng dành cho học kỳ 2, năm thứ cho sinh viên tất ngành toàn trường (trừ ngành Kinh tế) - Số tín : - Số tiết : 30 tiết ; LT: 20 tiết ; BT: 10 tiết - Đánh giá: Điểm trình : 40% (Cho điểm tập, kiểm tra 5-10’ , kiểm tra kỳ theo nhóm đánh giá thái độ học tập) Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ) - Hình thức thi: Tự luận - Thời gian thi: 60 phút Giáo trình: NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - Sách dịch Đại học Thuỷ lợi 2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge press, 2005 [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Bộ sách Tốn cao cấp-Viện Toán học Việt nam, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ,2005 [3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh,Toán học cao cấp - Tập 1, Nhà xuất giáo dục, 2007 2|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 SYLLABUS NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY 15 BUỔI - TIẾT/BUỔI) Buổi Nội dung giảng Số tiết Thông báo đề cương môn học, cách cho điểm trình, lịch kiểm tra $1 Hệ phương trình tuyến tính + Giới thiệu vectơ + Hệ phương trình đại số tuyến tính: Định nghĩa, dạng biểu diễn + Khái niệm trụ + Phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 2 $2 Ma trận + Khái niệm ma trận + Các phép toán ma trận tính chất: cộng, trừ, nhân với số, nhân ma trận, lũy thừa + Ma trận nghịch đảo cách tìm phương pháp Gauss-Jordan + Ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận hoán vị Bài tập $1 +$2 $3 Định thức + Định thức cấp 2, cấp + Các tính chất định thức + Cơng thức phần phụ đại số + Ứng dụng: Tìm ma trận nghịch đảo, giải hệ phương trình Cơng thức Crammer $4 Không gian vectơ không gian + Khái niệm khơng gian véc tơ (Giới thiệu hai phép tốn) + Không gian véc tơ thường gặp: ℝn + Khái niệm không gian Các không gian ℝn minh họa hình học n ≤ + Bốn không gian ma trận A (mô tả kỹ C(A) N(A)) Bài tập $3 + $4 $5 Hạng ma trận nghiệm Ax = , Ax = b + Khái niệm hạng ma trận A + Nghiệm đặc biệt nghiệm đầy đủ Ax = + Nghiệm riêng nghiệm đầy đủ Ax = b + Bốn khả phương trình Ax = b phụ thuộc vào hạng r(A) $6 Cơ sở, số chiều không gian véc tơ + Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính + Hệ véc tơ sinh không gian 3|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập môn Đại số tuyến tính Buổi Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ Nội dung giảng 2019 - 2020 Số tiết + Cơ sở số chiều không gian véc tơ + Định lý Đại số tuyến tính phần (Cơ sở số chiều bốn không gian bản) Bài tập $5 Kiểm tra kỳ 10 $7 Vectơ riêng, giá trị riêng + Khái niệm vectơ riêng, giá trị riêng + Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng (có giá trị riêng phức, xét ma trận cấp 2) + Chéo hoá ma trận tính lũy thừa ma trận cấp 2 11 Bài tập $6 + $7 12 $8 Tính trực giao + Hai không gian trực giao Phần bù trực giao + Định lý Đại số tuyến tính phần (Tính trực giao khơng gian bản) + Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn + Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt $9 Ma trận chuyển sở Phép biến đổi tuyến tính + Khái niệm tọa độ véc tơ ℝn 13 + Ma trận chuyển sở ℝn + Mối liên hệ véc tơ trong sở + Khái niệm phép biến đổi tuyến tính T : ℝn → ℝm + Ma trận phép biến đổi tuyến tính T : ℝn → ℝm 14 Bài tập $8+ $9 15 $10 Tổng kết môn học Đọc điểm trình 4|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Bài số GIỚI THIỆU VÉC TƠ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I Véc tơ 1) Định nghĩa: Véc tơ hình học đoạn thẳng định hướng  gốc - Như vậy: với hai điểm phân biệt M , N ta xác định hai véc tơ phân biệt MN NM - Khi đó: Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối hướng véc tơ; độ dài đoạn thẳng MN độ dài hai véc tơ đó, ký hiệu MN NM - Véc tơ – không , ký hiệu , véc tơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, = 2) Các phép toán a Phép cộng véc tơ: Cho hai véc tơ v, w tổng hai véc tơ véc tơ ký hiệu v + w xác theo Quy tắc ba điểm Quy tắc hình bình hành b Phép nhân véc tơ với vô hướng Cho x số thực, phép nhân véc tơ v với số thực x véc tơ, ký hiệu xv , xác định sau: + Về hướng: - Nếu x ≥ xv hướng với v , - Nếu x < xv ngược hướng với v , + Về độ dài: xv = x v c Tổ hợp tuyến tính Với véc tơ v1, v2 , , v n vô hướng x 1, x , , x n , biểu thức : x v1 + x v2 + + x n v n gọi tổ hợp tuyến tính n − véc tơ v1, v2 , , v n Ký hiệu: span {v1, v2 , , v n } tập tất tổ hợp tuyến tính v1, v2, , v n Ví dụ 1: Nhận xét 5|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 1) Khi véc tơ v ≠ , span {v} đường thẳng 2) Nếu v1, v2 hai véc tơ không phương, span {v1, v2 } mặt phẳng 3) Khi ba véc tơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, span {v1, v2 , v3 } lấp đầy khơng gian d Tích vơ hướng Tích vơ hướng hai véc tơ v w số thực xác định v.w =| v | | w | cos ϕ ϕ góc hai véc tơ v w Một số tính chất: | v |= v.v Khi v ≠ v véc tơ đơn vị hướng với v |v| Hai véc tơ v ⊥ w ⇔ v.w = | v.w |≤| v || w | (Bất đẳng thức Schwarz) | v + w |≤| v | + | w | (Bất đẳng thức Tam giác) Biểu thức tọa độ véc tơ hình học Với véc tơ v mặt phẳng Oxy luôn tồn cặp số thực x , y cho : v = xi + yj , x  x  cặp số   gọi tọa độ v , ta viết v :=   y  y  Tương tự, không gian Oxyz , với véc tơ v tồn ba số thực x , y, z cho : v = xi + yj + zk , 6|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 x    ta viết v = y    z  x  x '  Giả sử v =   ; w =   c vơ hướng, ta có: y  y '  x + x ' cx  ,   v + w =  c v =  cy  y + y '     v.w = xx '+ yy ' , ( ) | v |= x + y 2 Đối với véc tơ hình học khơng gian ta có tính chất tương tự II Mở rộng khái niệm véc tơ x   1 x  1.Định nghĩa: Dãy gồm n − số thực :   xác định véc tơ (cột) n − thành phần Ta cịn có ⋮ x   n  thể viết (x 1, x , , x n ) không hiểu véc tơ hàng Tập tất véc tơ cột n − thành phần ký hiệu ℝn Các phép toán x  y  x + y    1  1  x  y  x + y   a Phép cộng hai véc tơ:   +   =   ⋮  ⋮   ⋮  x  y  x + y   n   n   n n  x  tx   1  1 x  tx  b Nhân véc tơ với vô hướng (là số thực) t   =   ⋮  ⋮  x  tx   n   n  c Tổ hợp tuyến tính Với véc tơ v1, v2 , , v n ∈ ℝ n vô hướng x 1, x , , x n , biểu thức : x v1 + x v2 + + x n v n gọi tổ hợp tuyến tính n − véc tơ v1, v2 , , v n Ký hiệu: span {v1, v2 , , v n } tập tất tổ hợp tuyến tính v1, v2 , , v n d Tích vơ hướng : Với hai véc tơ v = (x 1, x 2, , x n ), w = (y1, y2, , yn ) , : vw = x 1y1 + x 2y2 + + x n yn ) Từ đó: độ dài véc tơ v = (x 1, x , , x n ) | v |= (v.v) = x 12 + x 22 + + x n 7|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Ta gọi ℝn không gian n − chiều Như vậy: + Tập véc tơ hình học mặt phẳng x   ℝ =   x 1, x ∈ ℝ không gian − chiều x      + Tập véc tơ hình học không gian  x    1   ℝ = x  x 1, x , x ∈ ℝ không gian − chiều    x      Ví dụ 2: Trong siêu thị có n mặt hàng + Gọi qi số lượng mặt hàng thứ i ( qi > bán, qi < mua) + Gọi pi giá đơn vị mặt hàng thứ i Với hai véc tơ: q = (q1, q , , qn ) p = (p1, p2 , , pn ) doanh thu siêu thị biểu biễn tích vơ hướng: q.p = q1.p1 + q p2 + + qn pn III Hệ phương trình tuyến tính Một số tốn dẫn đến hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 3: (Bài tốn Mạng điện) Xét hệ thống điện hình vẽ đây: Hãy xác định dòng điện nhánh + Thiết lập hệ phương trình - Áp dụng Định luật Kirchhoff dòng điện "Tổng đại số dòng điện nút ", ta có: i − i + i = (nút A) 1  − i + i − i3 = (nút B )  - Lại áp dụng Định luật Kirchhoff điện "Tổng đại số hiệu điện theo vịng kín ", ta có: 4i + 2i = (mach trên)   2i2 + 5i3 = (mach duoi)  8|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập môn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 - Kết hợp lại ta nhận hệ phương trình với ẩn: i − i + i =  −i + i − i =  4i1 + 2i2 =8  2i2 + 5i3 =  Ví dụ 4: (Bài tốn Lưu lượng giao thơng) Xét sơ đồ giao thơng hình vẽ: đường chiều giao lượng xe vào - trung bình lúc cao điểm khu vực Hãy xác định lưu lượng xe ngã tư Thiết lập hệ phương trình + Tại giao lộ, số xe vào = số xe + Tại giao lộ A : số xe vào = x + 450 , số xe = x + 610 , nên ta có: x + 450 = x + 610 x + 520 = x + 480 + Tương tự, giao lộ B,C , D ta có : x + 390 = x + 600 x + 640 = x + 310 + Kết hợp lại ta nhận hệ phương trình với ẩn xác định lưu lượng xe nút x − x = 160   x2 − x3 = −40   x − x = 210  + x = −330 −x Định nghĩa: Một phương trình tuyến tính n ẩn phương trình có dạng a1x + a2x + + an x n = b , (i = 1,2, , n ),b số thực x i (i = 1,2, , n ) ẩn cần tìm 9|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn (hay hệ m × n ) hệ có dạng a x + a x + + a x = b 12 1n n  11 a x + a x + + a x = b 22 2n n  21 ⋯⋯  a x + am 2x + + amn x n = bm  m 1 aij bi với (i = 1, m, j = 1, n ) số thực, x i (i = 1, 2, , n ) ẩn Mỗi nghiệm hệ n số (x 1, x , , x n ) thỏa mãn hệ cho Chú ý: - Dạng hệ phương trình tuyến tính định nghĩa gọi dạng hàng - Trong trường hợp hệ gồm m phương trình ẩn, phương trình hệ phương trình mặt phẳng, nghiệm hệ tọa độ điểm chung m mặt phẳng - Những dạng khác hệ phương trình tuyến tính x + 2x + 3x =  Ví dụ 5: Xét hệ phương trình cho dạng hàng:  2x + 5x + 2x =   6x − 3x + x =  x   2x   3x  6 1 2  3        3           Ta viết lại hệ dạng : 2x  +  5x  + 2x  = 4  x 2 +x   + x 2 = 4  ,                 6x  −3x   x  2  6 −3 1 2  hay là: x 1v1 + x v2 + x v3 = b Phương trình cuối có Dạng phương trình véc tơ hay Dạng cột Tổng quát: Xét hệ phương trình a x + a x + + a x = b 12 1n n  11 a x + a x + + a x = b 22 2n n  21 có dạng hàng ⋯⋯  a x + am 2x + + amn x n = bm  m 1 a  b   1j   1 a  b  2j   Ký hiệu: v j =   = dãy hệ số x j , b =   = dãy hệ số vế phải  ⋮  ⋮ a  b   mj   m  Theo phép toán véc tơ, hệ đưa dạng phương trình véc tơ (hay dạng cột) sau: x 1v1 + x v2 + + x n v n = b Đối với phương trình tuyến tính: a1x + a 2x + + an x n = b, ta ký hiệu 10 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 R(x 1, x ) = (TS )(x 1, x ) = T (S (x 1; x )) x  = T (x − x , x − x ,2x ) = (x − x ) + (x − x ) + (2x ) = −2x = 0 − 2     x   nên ma trận tắc R = TS A = [0 − 2] + Cách 2: (Áp dụng Đinh lý) Trước hết ta tìm ma trận biến đổi tuyến tính: S : ℝ → ℝ , T : ℝ → ℝ1 1  Ta có: S (x 1, x ) = (x − x , x − x ,2x ) = 1  2 −1 −1  0  x   1 T (x 1, x , x ) = x + x − x ) = 1 − 1 x     x  nên ma trận tắc S T tương ứng 1 −1   A = 1 −1   0 2  x   1 x    B = 1 − 1   1 −    Vậy nên: Ma trận tắc TS C = BA = 11 − 1 1 −  =  − 2   2 0 Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính T : V → W gọi phép biến đổi tuyến tính khả nghịch tồn phép biến đổi tuyến tính L : W → V cho : (TL)(w) = w, ∀w ∈ W TL = Id W  (  )  (LT )(v) = v, ∀v ∈ V LT = IdV   Khi ta nói L BĐTT nghịch đảo T ký hiệu T −1 Định lý Cho E , F sở không gian véc tơ V ,W Giả sử A ma trận phép biến đổi tuyến tính T : V → W theo sở E F Khi T khả nghịch ma trận A khả nghịch Hơn T −1 : W → V có ma trận theo sở F E A−1 Các ma trận đồng dạng Vấn đề: Cho T : V → V phép biến đổi tuyến tính dimV = n Khi ma trận biểu diễn T phụ thuộc vào sở chọn V Nếu sở thay đổi ma trận biểu diễn T thay đổi Mối quan hệ ma trận nào? 70 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Định lý Cho E F hai sở không gian vectơ V T : V → V phép biến đổi tuyến tính Giả sử M ma trận chuyển sở từ E sang F Cho A ma trận T theo sở E B ma trận T theo sở F ,thì : B = M −1AM Và ta nói A B hai ma trận đồng dạng với Ví dụ Cho phép biến đổi tuyến tính T : ℝ → ℝ xác định : T (v) = T (x1, x ) = (2x1, x1 + x ) Tìm ma trận T theo sở F = {w1 = (1;1), w = (−1;1)}  0  x    1 Giải + Xét sở tắc E = {e1, e2 } , T (x 1, x ) = (2x 1, x + x ) =   x  1      0  nên ma trận tắc T là: A =   1   w = (1;1) = 1.e + 1.e + Mặt khác:  ma trận chuyển sở từ E sang F là: w = (−1;1) = −1.e1 + 1.e2  1 −1  M =   1   + Vậy nên ma trận T theo sở F : B = M −1AM =  1 2 0 1 −1 2 −1 = −1 1 1 1 1  0          Chú ý 1) Một phép biến đổi tuyến tính từ khơng gian vectơ V vào có ma trận theo sở khác đồng dạng 2) Nếu A B ma trận đồng dạng, đa thức đặc trưng chúng trùng Thật vậy, ta dễ thấy rằng: det(B − tI ) = det(M −1AM − t(M −1IM )) = det(M −1(A − tI )M ) = det(A − tI ) Như vậy, hai ma trận đồng dạng giá trị riêng (kể bội) trùng Ơn tập tồn chương trình Nhập mơn Đại số tuyến tính chuẩn bị cho buổi ơn tập ƠN TẬP MƠN NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH A CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN I Giải hệ phương trình tuyến tính 71 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính: nghiệm, ma trận hệ số, ma trận mở rộng, ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính, hệ tam giác, hệ bậc thang, biến trụ, biến tự Phương pháp khử Gauss Quy tắc Cramer Tiêu chuẩn có nghiệm (Định lý Kronecker - Capelli) Biện luận hệ phương trình tuyến tính: + Khi vơ nghiệm + Khi có nghiệm + Khi có vơ số nghiệm Cấu trúc nghiệm hệ tuyến tính Ax = : nghiệm đặc biệt, nghiệm đầy đủ Cấu trúc nghiệm hệ tuyến tính Ax = b : nghiệm riêng, nghiệm đầy đủ II Ma trận Định thức Các phép tốn ma trận tính chất (Chú ý đến phép nhân ma trận lũy thừa ma trận) Ma trận nghịch đảo cách tìm: + Phương pháp Gauss-Jordan, + Cơng thức Phần phụ đại số + Tiêu chuẩn để ma trận khả nghịch Hạng ma trận cách tính Định thức Cách tính + Cách gián tiếp định thức dựa vào tính chất định thức + Cách tính trực tiếp định thức theo Cơng thức Phần phụ đại số + Cách tính định thức cấp theo Quy tắc Sarrus III Không gian vectơ Định nghĩa không gian vectơ định nghĩa không gian Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Phương pháp kiểm tra độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính dãy vectơ ℝ n Tập sinh, sở số chiều không gian vectơ Bốn không gian liên quan đến ma trận A : C (A), N (A), C (AT ), N (AT ) IV Giá trị riêng Vectơ riêng Tính trực giao Phép biến đổi tuyến tính Giá trị riêng vectơ riêng 72 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Mối quan hệ giá trị riêng, vectơ riêng ma trận A với giá trị riêng, vectơ riêng ma trận A−1 f (A) Chéo hóa ma trận Sử dụng phép chéo hóa ma trận để tính lũy thừa ma trận Hai không gian trực giao với Phần bù trực giao khơng gian Cách phân tích vectơ thành x = xr + xn Cơ sở trực giao Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận tắc phép biến đổi tuyến tính Ma trận chuyển sở B TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp khử Gauss : Chuyển ma trận mở rộng hệ cho trước ma trận dạng bậc thang nhờ sử dụng phép tốn hàng sau i) Đổi chỗ hai phương trình hệ ii) Lấy phương trình hệ trừ bội phương trình khác iii) Nhân hàng với số khác Quy tắc Cramer : Giả sử Ax = b hệ n × n Khi det(A) ≠ hệ Ax = b có nghiệm xác định bởi:  x = det B1  det A  det B2 x =  det A  , với A =       det Bn x n = det A   a  a11  11 a12 a1n   a  a a a 22 21   21   , B =  21   j          a an an ann   n  b1 a1n  b2 a 2n  , b =    bn ann   côt j b   1 b   2 .   .     bn  Trong ma trận B j nhận từ A thay vectơ b vào cột thứ j Định lý Kronecker – Capelli Giả sử A ∈ M (m × n ) r (A) = r Khi điều kiện cần đủ để Ax = b có nghiệm là: sau phép toán hàng đưa A | b ma trận bậc thang có m − r   ( hàng cuối toàn số Tức : Ax = b có nghiệm r (A) = r = r A | b  ) GTừ : Xét Ax = b với A ∈ M (m × n ) Khi : 73 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính ( Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 ) i) Nếu r (A) ≠ r A | b  hệ vơ nghiệm ii) Nếu r (A) = n hệ có nghiệm iii) Nếu r (A) = r = r (A | b  ) < n , hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc n − r (A) biến tự Cấu trúc nghiệm hệ PTĐSTT i) Đối với hệ Ax = : + Biến đổi A ∈ M (m × n ) thành dạng đường hình thang suy đâu biến trụ, đâu biến tự + Cho biến tự 1, cho biến tự lại 0, ta nghiệm gọi nghiệm đặc biệt… + Nếu r (A) < n , số nghiệm đặc biệt Ax = n − r (A) + Nếu r (A) = n , hệ có nghiệm + Nếu s1, s2, , sk tất nghiệm đặc biệt Ax = , nghiệm tổng quát hệ cho : x = c1s1 + + cn sn , ci ∈ ℝ (i = 1,2, , n ) ii) Đối với hệ Ax = b : Một nghiệm Ax = b có dạng x = x p + xn + xn nghiệm tổng quát hệ Ax = tương ứng + x p nghiệm riêng hệ Ax = b Cách tìm nghiệm riêng x p + Dùng phép khử để đưa A | b dạng bậc thang U | c     + Trong hệ Ux = c ta Xác định đâu biến trụ, đâu biến tự gán cho biến tự tìm biến trụ, tìm nghiệm riêng II Ma trận Định thức Một số khái niệm phép toán: Ma trận, ma trận khả nghịch, Định thức, cách tính định thức… Cách tìm ma trận khả nghịch i Phương pháp Gauss-Jordan Thực phép toán hàng đưa A | I    74 | P a g e I | A−1    nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 ii Phương pháp sử dụng phần phụ đại số: Giả sử A = (a ij ) ∈ M (n × n ) , ký hiệu C ij phần phụ đại số a ij Khi ma trận phần phụ đại số A C  11 C 12 C C 22 C = C =  21 ⋮  ⋮  C n C n Nếu A khả nghịch : A−1 = ⋯ C 1n  ⋯ C 2n  ⋱ ⋮   ⋯ C nn   CT det A Hạng ma trận Cho ma trận A Dùng phép toán hàng ta biến đổi A ma trận bậc thang U Số tất trụ U gọi hạng A , ký hiệu r (A) III Không gian vectơ Khái niệm không gian véc tơ Không gian véc tơ con: Cho V KGVT Một tập khác trống W ⊆ V KGVT ∀u, v ∈ W → u + v ∈ W V  ∀  u ∈ W , λ ∈ ℝ → λu ∈ W Tập sinh Định nghĩa Cho v1, v 2, , v n véc tơ không gian véc tơ V Một tổng có dạng x 1v1 + x v + + x n v n , x1, , x n vơ hướng, gọi tổ hợp tuyến tính v1, v 2, , v n Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính v1, v , , v n ký hiệu span(v1, v , , v n ) Độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính i Định nghĩa Ta nói véc tơ v1, v , , v n không gian véc tơ V độc lập tuyến tính, x 1v1 + x v2 + + x n = kéo theo x1 = x = xn = Ta nói véc tơ v1, v2 , , v n khơng gian véc tơ V phụ thuộc tuyến tính, chúng khơng độc lập tuyến tính Điều có nghĩa tồn vơ hướng x j ≠ cho: x 1v1 + x v + + x n = ii Cách kiểm tra độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: 75 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Cách 1: Theo định nghĩa Cách 2: Xét hệ véc tơ v1, v 2, , v n ℝn : Trước hết tính hạng ma trận A =  v1, v2, , v n  : + Nếu r (A) = n hệ độc lập tuyến tính + Nếu r (A) < n , hệ phụ thuộc tuyến tính Cơ sở không gian véc tơ Định nghĩa Hệ véc tơ {v , v , , v } gọi n sở khơng gian véc tơ V thỏa mãn hai tính chất: {v , v , , v } tập sinh n V {v1, v2, , v n } độc lập tuyến tính Định nghĩa Cho V không gian véc tơ Nếu V có sở gồm n véc tơ, ta nói V có số chiều n , ký hiệu dim V = n Quy ước không gian Z = {0} có số chiều IV Giá trị riêng Vectơ riêng Tính trực giao Phép biến đổi tuyến tính Giá trị riêng Véc tơ riêng i.Định nghĩa Cho A ma trận n × n Khi có tồn vơ hướng λ véc tơ v ≠ cho Av = λv λ gọi giá trị riêng A véc tơ v gọi véc tơ riêng A ứng với λ ii Phương pháp tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận A : Bước Tính đa thức đặc trưng det(A − tI) Bước Giải p.t đặc trưng det(A − tI) = để tìm giá trị riêng λ Bước Giả sử λ giá trị riêng Giải hệ (a − λ)x + a x + ⋯ + a x = 12 1n n  11 a x + (a − λ)x + ⋯ + a x = 22 2n n (A − λI)x = ⇔  21   an 1x + an 2x + ⋯ + (ann − λ)x n = 76 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập môn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 Nếu v = (c1, c2 , , cn ) nghiệm khơng tầm thường v véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ Chéo hóa ma trận i Định nghĩa Một ma trận vng A nói chéo hóa tồn ma trận khả nghịch A ma trận đường chéo Λ cho S −1AS = Λ ii Điều kiện để chéo hóa được: Một ma trận A ∈ M (n × n ) chéo hóa A có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính Chú ý 1) Nếu S ma trận khả nghịch cho S −1AS = Λ = diag(λ1, , λn ) véc tơ cột j S véc tơ riêng S ứng với giá trị riêng λj Gọi S ma trận véc tơ riêng, Λ ma trận giá trị riêng A Ma trận véc tơ riêng S không 2) Nếu A ∈ M (n × n ) ma trận có n giá trị riêng khơng đơi khác nhau, A chéo hóa hay khơng tùy thuộc vào có n VTR ĐLTT hay không 3) Nếu S −1AS = Λ A = S ΛS −1 iii Ứng dụng GTR VTR tính lũy thừa ma trận Công thức: 1) Nếu Λ = diag(λ1, , λn ) Λk = diag(λ1k , , λn k ) 2) Nếu S −1AS = Λ ⇒ Ak = S Λk S −1 Tính trực giao i Định nghĩa a) Ta nói hai véc tơ v w trực giao với v.w = , ký hiệu v ⊥ w b) Cho V W khơng gian ℝ n , ta nói V trực giao với W véc tơ v V trực giao với véc tơ w W : v.w = vT w = 0; v ∈ V, w ∈ W , ký hiệu V ⊥ W Định nghĩa Cho V không gian ℝ n Tập tất véc tơ ℝ n mà trực giao với véc tơ V gọi phần bù trực giao V , ký hiệu V ⊥ : { } V⊥ = u ∈ ℝn | u.v = 0, ∀v ∈ V Nhận xét 1) Nếu V không gian ℝ n V ⊥ khơng gian ℝ n 2) Giả sử V ⊥ trực giao với V không gian W trực giao với V suy W ⊆ V⊥ 77 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ A ∈ M (m × n ; ℝ ) với Hệ Nếu 2019 - 2020 v ∈ ℝn tồn xr ∈ C (AT ) xn ∈ N (A) cho v = xr + xn Tức , < r (A) < n ℝ n có sở gồm r cột trụ AT (là r hàng trụ A ) n − r nghiệm đặc biệt hệ Ax = Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Định nghĩa a) Hệ véc tơ {v , v , , v } n ℝ n gọi hệ trực giao nếu: vi v j = 0, i ≠ j ; i, j = 1,2, , n b) Hệ véc tơ {v1, v 2, , } ℝ n gọi trực chuẩn hệ trực giao 0, i ≠ j véc tơ hệ có độ dài 1, tức là: vi v j =  ; i, j = 1, 2, , n 1, i = j  c) Một sở ℝ n đồng thời hệ trực giao gọi sở trực giao Một sở ℝ n đồng thời hệ trực chuẩn gọi sở trực chuẩn Bài toán Cho {v1, v2 , , vm } sở V - không gian không gian ℝ n Từ sở xây dựng sở trực chuẩn {w , w , , w } m V Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Bước 1: Xây dựng sở trực giao cách + Đặt u1 = v1 u = a u + v 21 + Tìm u thỏa mãn:  u1.u =  + Giả sử xây dựng tập trực giao {u1, u 2, , u i−1 } , ta tìm tiếp ui thỏa mãn: u = a u + a u + + a u + v i1 i2 i ,i −1 i −1 i  i  u i u j = 0, j = 1,2, , i −  Khi {u1, u2 , , um } sở trực giao V Bước 2: Cơ sở trực chuẩn {w1, w , , wm } V với : wi = u , i = 1, 2, , m || u i || i Phép biến đổi tuyến tính a Định nghĩa 78 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 i) Ánh xạ f : X → Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y , ký hiệu y = f (x ) ii) Cho hai KGVT V W , ánh xạ T : V → W gọi phép biến đổi tuyến tính với v, w ∈ V với vơ hướng x ta có: a ) T (v + w) = T (v) + T (w)   b ) T (xv) = xT (v)  b Ma trận phép biến đổi tuyến tính Định nghĩa Cho V W hai KGVT có sở E = {v1, v2, , } F = {w1, w 2, , wm } Xét ánh xạ tuyến tính T : V → W Với v ∈ V : v = x1v1 + x v2 + + x n ta ký hiệu [v]E = (x1, x , , x n ) tọa độ v theo sở E ; T (v) = y1w1 + y2 w2 + + ym wm , ký hiệu [T(v)]F = (y1, y2, , ym ) tọa độ T (v) theo sở F Bây ta biểu diễn véc tơ T (vi ), i = 1,2, , n theo sở F a   i1  a   i2    Ký hiệu a i =   =[T (vi )]F , i = 1,2, , n , ma trận: A = [a 1a a n ] = (a ij )m×n gọi       aim    ma trận phép biến đổi tuyến tính T theo sở E F Nhận xét Nếu A ma trận phép biến đổi tuyến tính T theo sở E F với v ∈ V ta có [T (v)]F = A[v]E Đặc biệt Nếu E = {e1, e2, , en } F = {w1, w2, , wm } sở tắc tương ứng a   i1  a   i2    KGVT V W Khi ma trận a i =   =[T (ei )]F , i = 1,2, , n gọi ma trận       aim    tắc phép biến đổi tuyến tính T : V → W c Ma trận phép chuyển sở Khái niệm Giả sử khơng gian véc tơ V có hai sở : 79 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 E = {v1, v2, , } F = {w1, w 2, , wn } Biểu diễn véc tơ vi , (i = 1,2, , n ) sở E theo véc tơ sở F a   i1  a   i2    Ký hiệu a i =   =[vi ]F , i = 1, 2, , n , ma trận: A = [a1a a n ] = (a ij )n×n gọi ma       aim    trận chuyển sở từ sở F sang sở E Khi đó, véc tơ v ∈ V ta có: [v]F = A[v]E 80 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập môn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN ĐỀ SỐ Câu 1: Biện luận hệ phương trình sau theo tham số m:  x  3y  z   2x  5y  (m  2)z  m   3x  8y  6z   1    1  Câu 2: Tìm ma trận X cho: X  1     6  2      Câu 3: Hệ vectơ sau có phải sở ℝ khơng? Nếu có, trực giao hố nó: 1   v1  1 1   ,  1   v2    1   , 0    v  1  2     x        2x  3x  Câu 4: Cho biến đổi T : ℝ → ℝ2 với T  x       x   x  2x  2x   3 Liệu T có phải biến đổi tuyến tính khơng? Nếu có tìm ma trận tắc 81 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập môn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải hệ phương trình sau:  y  3z  t    x  3y  4z  5t    x  2y  7z  6t  2x  3y  17z  13t  4  Câu 2: Tính định thức ma trận: 2  1 A 0   2 3  1 1  3  2 1   2  Câu 3: Chéo hoá ma trận A   Câu 4: Cho biến đổi T : ℝ → ℝ với  x   T  1   x      2x  3x    x  2x  m  Tìm m để T biến đổi tuyến tính? Khi tìm ma trận tắc 82 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải hệ phương trình sau:  x y z t    x  y  2t    x  y  2z  4t  3x  3y  z  3t  17  Câu 2: Biện luận hạng ma trận sau theo m: 2    A  1 m m  3 2  m    Câu 3: Xác định sở số chiều C (A) , N (A) với:  1    A   1  3   2  −3 2 Câu 4: Cho biến đổi tuyến tính T : ℝ2 → ℝ với T (v1 ) =   ; T (v2 ) =   v1 =   , 4 1  1 3 1    v =   Biểu diễn e1 =   theo v1, v2 Từ tìm ma trận tắc T  2 0 83 | P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 ĐỀ SỐ Câu 1: Tìm m, n để hệ sau có vơ số nghiệm:  2x  3y  2z   y  nz  2n  x  2y  (m  1)z  2n  Câu 2: Tìm ma trận X cho:  2        X       1 2  3  Câu 3: Tuỳ theo a , xét xem hệ vectơ sau độc lập hay phụ thuộc tuyến tính: 1     v1 = 2    −1 a    , v2 = a + 1   −2  , 2     v = 5    −4 Câu 4: Cho biến đổi T : ℝ → ℝ với  x     1  T  x       x   x  x  x   3 Chứng minh T biến đổi tuyến tính? Tìm ma trận tắc CHÚC CÁC EM THI ĐẠT KẾT QUẢ TỐT 84 | P a g e nhtho.wordpress.com .. .Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 BÀI GIẢNG NHẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Theo dịng lịch sử, mơn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc... nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ 2019 - 2020 SYLLABUS NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY 15 BUỔI - TIẾT/BUỔI) Buổi Nội dung giảng Số tiết Thông... $6 Cơ sở, số chiều không gian véc tơ + Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính + Hệ véc tơ sinh không gian 3|P a g e nhtho.wordpress.com Bài giảng Nhập mơn Đại số tuyến tính Buổi Tiến