Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính phạm thế hiển

Phép hội hay phép và: hội của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề toán học và nhận giá trị đúng khi cả p và q đều đúng; còn nhận giá trị sai trong tất cả các trường hợp còn lại.. Tập hợp l

BÀI GIẢNG TÓM TẮT

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

PHẠM THẾ HIỂN

Mục Lục

Mục Lục 1

Chương I Tập hợp – Ánh xạ - Cấu trúc đại số 3

I.1 Mệnh đề - Tập hợp – Ánh xạ 3

I.1.1 Mệnh đề 3

I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp 7

I.1.3 Ánh xạ 13

I.2 Cấu trúc đại số 16

I.2.1 Luật hợp thành trong cấu trúc đại số 16

I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường 16

I.2.3 Số phức 18

I.3 Đa thức – Phân thức – Phân thức hữu tỷ 21

I.3.1 Đa thức 21

I.3.2 Phân thức – Phân thức hữu tỷ 22

Bài tập 24

Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính …27

II.1 Ma trận 27

II.1.1 Các khái niệm 27

II.1.2 Các phép toán trên ma trận 30

II.2 Định thức 32

II.2.1 Khái niệm về định thức 32

II.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức 34

II.2.3 Ma trận nghịch đảo 37

II.3 Hệ phương trình tuyến tính 39

II.3.1 Các khái niệm 39

II.3.2 Hệ phương trình Cramer 40

II.3.3 Hạng của ma trận 41

II.3.4 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 43

Bài tập 46

Chương III Không gian vector – Ánh xạ tuyến tính …55

III.1 Không gian vector 55

III.1.1 Khái niệm – Tính chất 55

III.1.2 Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính 56

III.1.3 Cơ sở - Chuyển cơ sở - Không gian vector hữu hạn chiều 58

III.1.4 Không gian con 63

III.2 Không gian Euclide 64

III.2.1 Khái niệm 64

III.2.2 Các bất đẳng thức cơ bản 65

III.2.3 Cơ sở trực chuẩn - Trực chuẩn hóa 65

III.3 Ánh xạ tuyến tính 66

III.3.1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính 66

III.3.2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận 67

Bài tập 69

Chương IV Trị riêng và vector riêng - Dạng toàn phương …72

IV.1 Trị riêng – Vector riêng 72

IV.1.1 Khái niệm và tính chất 72

IV.1.2 Đa thức và phương trình đặc trưng 72

IV.1.3 Cách tìm trị riêng và vector riêng 72

IV.2 Dạng toàn phương 74

IV.2.1 Khái niệm về dạng song tuyến, dạng toàn phương 74

IV.2.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 75

IV.2.3 Các dạng xác định 78

Bài tập 93

Tài Liệu Tham Khảo 96

Chương I Tập hợp – Ánh xạ – Cấu trúc đại số

Bảng chân trị (chân lý) của phép tuyển được cho ở bảng 1.1

Ví dụ:

a) Cho p = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – 3 = 0 ” và q = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 – 4 = 0 ” Khi đó mệnh đề tuyển p ∨ q = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – 3 = 0 hoặc là nghiệm của phương trình x2 – 4 = 0 ” là một mệnh đề nhận giá trị đúng

b) Cho p = “ 2

3 không phải là một số hữu tỷ ” và q = “ 2 là một số nguyên

không âm ” Khi đó mệnh đề tuyển p ∨ q = “ 2

3 không phải là một số hữu tỷ hoặc 2

là một số nguyên không âm ” là một mệnh đề sai

b Phép hội (hay phép và): hội của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề toán học và nhận giá trị đúng khi cả p và q đều đúng; còn nhận giá trị sai trong tất cả các trường hợp còn lại Ký hiệu là p ∧ q (đọc là p và q)

Bảng chân trị của phép hội được cho ở bảng 1.2

Ví dụ:

a) Cho p = “ Số 6 là số chia hết cho 2 ” và q = “ Số 6 là số chia hết cho 3 ” Khi đó mệnh đề hội p ∧ q = “ Số 6 là số chia hết cho 2 và 3” là một mệnh đề nhận giá trị đúng

b) Cho p = “ 2 và 3 là số nguyên tố ” và q = “ 6 là số nguyên tố ” Khi đó mệnh đề hội p ∧ q = “ 2, 3 và 6 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai

c Phép kéo theo (hay phép nếu …thì …): ứng với giả thiết p nào đó ta suy ra kết luận q của giả thiết đó Sự suy này nhận giá trị sai khi p đúng và q sai; còn đúng trong các trường hợp còn lại Ký hiệu là p ⇒ q (đọc là p suy ra q) Khi đó ta cũng nói p là điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p

Bảng chân trị của phép kéo theo được cho ở bảng 1.3

Ví dụ:

a) Cho p = “ Phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có nghiệm ” và q = “ Nghiệm của phương trình x2 + 5x + 6 = 0 là các số nguyên ” Khi đó mệnh đề kéo théo p ⇒ q = “ Nếu phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có nghiệm thì nghiệm của nó là các số nguyên ” là mệnh đề đúng

b) Cho p = “ 10 chia hết cho 2 và 5 ” và q = “ 10 chia hết cho 3 ” Khi đó mệnh đề kéo theo p ⇒ q = “ Nếu 10 chia hết cho 2 và 5 thì 10 chia hết cho 3 ” là mệnh đề sai

d Phép tương đương (hay khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu, điều kiện cần và đủ) : hai mệnh đề p và q gọi là tương đương với nhau nếu p và q đồng thời có cùng một giá trị chân lý; nghĩa là p và q cùng đúng hoặc cùng sai, trong những điều kiện hoàn toàn như nhau Ký hiệu là p ⇔ q (đọc là p đúng (sai) khi và chỉ khi q đúng (sai)); “⇔” gọi

là dấu liên hệ tương đương Khi đó ta cũng nói p là điều kiện cần và đủ của q

Bảng chân trị của phép tương đương được cho ở bảng 1.4

Bảng 1.4 : Bảng chân trị của phép tương đương

Ví dụ : Cho p = “ Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau hoặc có ba góc bằng nhau ”

và q = “ Tam giác ABC là tam giác đều ” Khi đó mệnh đề tương đương p ⇔ q = “ Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi có ba cạnh bằng nhau hoặc có ba góc bằng nhau ”

Dễ thấy, mối quan hệ tương đương p ⇔ q chẳng qua là (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ((p kéo theo q) và (q kéo theo p)) Nói cách khác, hai mệnh đề p và q tương đương nhau khi và chỉ khi mệnh đề này kéo theo mệnh đề kia và ngược lại Trong trường hợp này, hai phát biểu p ⇒ q và q ⇒ p gọi là đảo đề của nhau

Để chứng minh mối quan hệ tương đương p ⇔ q, ta phải chứng minh mối quan hệ kéo theo p ⇒ q và q ⇒ p

Chú ý: (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

Trong ngôn ngữ tự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương giữa p và q, người

ta có nhiều cách nói p đúng khi và chỉ khi q đúng; để cho p đúng, điều kiện cần và đủ

là q đúng; điều kiện để p đúng là q đúng; p đúng là một điều kiện cần và đủ để q đúng;

Bảng chân trị của phép phủ định được cho ở bảng 1.5

0 1

1 0 Bảng 1.5 : Bảng chân trị của phép phủ định

Ví dụ : Cho p = “ Phương trình x2 + x – 2 = 0 có nghiệm ” Khi đó mệnh đề phủ định của mệnh đề p là p = “ Phương trình x2 + x – 2 = 0 không có nghiệm ”

ix (∀ ∈x X p x: ( )) (⇔ ∃ ∈x X p x: ( )); x (∃ ∈x X p x: ( )) (⇔ ∀ ∈x X p x: ( )); Chứng minh : Ở đây chỉ chứng minh minh họa tính chất iv.,vi bằng bảng chân trị Việc chứng minh các tính chất còn lại xem như bài tập

Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh

Chú ý : Nếu có n mệnh đề thì có 2n giá trị cho bảng chân trị

Khi bình phương lên ta mất thông tin “ x – 1 lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai ” nên

nó không âm Vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x – 1 ≥ 0

I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp

1 Khái niệm

a Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó không được định nghĩa mà được hiểu một cách trực quan như là sự tụ tập của nhiều đối tượng có chung tính chất nào đó hoặc có thể liệt kê ra

Các đối tượng tạo nên một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp

Các tập hợp được ký hiệu bằng những chữ hoa A, B, …; còn các phần tử của tập hợp thường ký hiệu bằng các chữ thường a, b, … hoặc bằng những chữ số

Ta thường dùng các chữ sau để ký hiệu các tập hợp số

a) Tập hợp các điểm trên đường thẳng thực

b) Tập hợp mái ngói của một ngôi nhà (Mỗi viên ngói là một phần tử của tập hợp này)

c) Tập hợp các hình trong một mặt phẳng (Mỗi hình trong một mặt phẳng là một phần tử của tập hợp)

b Ta ký hiệu x ∈ A để chỉ x là phần tử của tập hợp A và x ∉ A để chỉ x không là phần tử của tập hợp A

Có hai cách để cho một tập hợp

+ Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp

Ví dụ: A = {a, b, c, d} Tập hợp A có bốn phần tử a, b, c, d Ta có a ∈ A, e ∉ A + Nêu ra tính chất chung của tất cả các phần tử của tập hợp

Ví dụ: A = {x ∈ R : - 4x2 + 3x + 1 > 0} Tập hợp các nghiệm của bất phương trình

là S = {(-1/4; 1)}

c Cho hai tập hợp A, B Nếu với mọi phần tử thuộc A đều thuộc B (∀ a ∈ A ⇒ a

∈ B) thì ta nói A là một bộ phận của B hay A là một tập hợp con của tập hợp B (hay A bao hàm trong B) Ký hiệu A ⊂ B

Dĩ nhiên A ⊂ A

Nếu A ⊂ B và A ≠ B thì ta nói A là một bộ phận thực sự của B

Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói (mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại mọi phần tử thuộc B đều thuộc A) A và B bằng nhau, ký hiệu A = B

Tập rỗng luôn được coi là tập con của mọi tập hợp bất kỳ, ký hiệu ∅, là tập hợp không có phần tử nào

d Để cho dễ hình dung về tập hợp người ta thường dùng cách biểu diễn hình học (Gọi là biểu đồ Ven) bằng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập hợp đó (Hình 1.1)

A Hình 1.1

2 Các phép toán trên tập hợp:

Cho hai tập hợp A và B Khi đó

a Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hay thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B) được ký hiệu là A ∪ B (đọc

là A hợp B) (Hình 1.2) Vậy A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}

Hình 1.2 a

A ∪ B

Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {b, c, e}

Ta có A ∪ B = {a, b, c, e}

Tương tự ta cũng có thể định nghĩa hợp của nhiều tập hợp Giả sử A1, A2, …, An

là các tập hợp Hợp của các tập hợp nói trên được viết như sau

Hình 1.3

Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5} Khi đó, ta có A ∩ B = {3, 4}

Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là hai tập hợp rời nhau

Tương tự ta cũng có thể định nghĩa giao của nhiều tập hợp Giao của các tập hợp

A1, A2, …, An được viết như sau

Từ (1.1) và (1.2) suy ra đẳng thức cần chứng minh

c Hiệu và hiệu đối xứng của hai tập hợp

- Cho A, B là hai tập hợp Hiệu của tập hợp A đối với tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B Ký hiệu A \ B (Hình 1.4)

d Phần bù của một tập hợp và các quy tắc De Morgan

- Cho A và X là hai tập hợp , trong đó A ⊂ X Khi đó X \ A (tập hợp tất cả các phần thuộc X nhưng không thuộc A) được gọi là phần bù của tập hợp A đối với tập hợp X Ký hiệu là A

X

E hay A hoặc Ac (tức là A ∪ Ac = X, A ∩ Ac = ∅) (Hình 1.6)

A \ B

Ta chứng minh đẳng thức (1.4) Việc chứng minh đẳng thức (1.3) xem như bài tập

Giả sử x A B∈ ∩ ⇔ ∉ ∩ ⇔ ∉x A B x Ahoặc x B∉ ⇔ ∈x A hoặcx B∈ ⇔ ∈ ∪x A B

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

e Tích Descartes của các tập hợp

Cho X, Y là hai tập hợp Tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó x ∈ X,

y ∈ Y, được gọi là tích Descartes của X, Y (theo thứ tự đó) và được ký hiệu là X Y×

(X nhân Y) Vậy X Y× ={ ( )x y x X y Y, : ∈ , ∈ }

A

A

Ví dụ:

a) Gọi X là tập hợp các sinh viên của một trường đại học với a, b ∈ X hay

(a, b) ∈ X × X, ta nói a có quan hệ với b nếu và chỉ nếu a, b cùng khóa Vậy a R b khi

và chỉ khi a, b cùng khóa (Tính chất R là cùng khóa)

b) Gọi X là tập hợp các khối hình học trong không gian Với a, b ∈ X, ta nói

i Tính phản xạ, tức là a R a, với mọi a thuộc X (Ví dụ: a), b))

ii Tính đối xứng, tức là nếu a R b thì b R a, với a, b thuộc X (Ví dụ: a), b))

iii Tính phản đối xứng, tức là nếu a R b và b R a thi a = b (Ví dụ: c), d))

iv Tính bắc cầu, tức là nếu a R b và b R c thì a R c (Ví dụ: a), b))

c Quan hệ tương đương trong một tập hợp

Quan hệ R trong tập hợp X gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu Khi đó thay cho R bằng “ ∼ ”; “ ∼ ” dấu sóng có nghĩa tương đương

Vậy nếu “ ∼ ” là quan hệ tương đương trong X thì

i a ∼ a; ∀a ∈ X (Phản xạ)

ii Nếu a ∼ b thì b ∼ a; a, b ∈ X (Đối xứng)

iii Nếu a ∼ b và b ∼ c thì a ∼ c; a, b, c ∈ X (Bắc cầu)

Chẳng hạn trong các ví dụ đã nêu ở trên, ta thấy các quan hệ ở ví dụ a) và b) là quan hệ tương đương (Các quan hệ ở ví dụ còn lại không phải quan hệ tương đương)

d Quan hệ thứ tự trong một tập hợp

Quan hệ R trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn ba tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Khi đó thay cho R ta viết “ ≤ ” Nếu “ ≤ ” là quan hệ thứ tự trong tập hợp X thì

i a ≤ a; ∀a ∈ X (Phản xạ)

ii Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b; a, b ∈ X (Phản đối xứng)

iii Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c; a, b, c ∈ X (Bắc cầu)

Chú ý:

a) Nếu “ ≤ ” là quan hệ thứ tự trong tập X thì với a, b bất kỳ thuộc X chưa chắc ta

có a ≤ b hoặc b ≤ a Còn nếu với a, b thuộc X mà ta có a ≤ b hoặc b ≤ a thì ta nói a và

b so sánh được với nhau (theo quan hệ thứ tự)

Ví dụ : 6 3⇔ ≤6 3⇔ 6 so sánh được với 3; còn với 5 và 3 không so sánh được với nhau

Vậy nên quan hệ thứ tự nói trên được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận Các quan hệ trong các tập hợp mà ta hay gặp nói chung là các quan hệ thứ tự bộ phận

b) Nếu quan hệ thứ tự “ ≤ ” trong tập X thỏa mãn điều kiện hai phần tử bất kỳ thuộc X luôn luôn so sánh được với nhau thì quan hệ thứ tự đó được gọi là quan hệ thứ

Các ánh xạ thường được ký hiệu bằng các chữ f, g, h, …

Nếu f là ánh xạ từ X vào Y thì ta viết f X: →Y hay f X: →Y x; y f x= ( ) Khi

đó X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích

f

b) Gọi f là quy tắc ứng mỗi số thực x ∈ R với số thực x3, ta có f : R → R (f(x) = x3hay f x: x3)

c) Cho f : R → R được xác định f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1), ∀x ∈ R (f ứng với x ∈ R với ax ∈ R hay f x: a x) Ở đây ta cũng thấy f là ánh xạ từ R vào R

d) Giả sử f ứng x ∈ R với x2 ∈ R Ta thấy f : R → R

Nhận xét: Vậy khái niệm hàm số mà ta đã biết là một trường hợp đặc biệt của ánh

xạ mà ta vừa tìm hiểu

2 Ảnh và nghịch ảnh của một tập

+ Cho X, Y là hai tập khác rỗng và giả sử f : X → Y, x y f x= ( ) Phần tử y ứng với phần tử x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x; còn x được gọi là tạo ảnh của y bởi f + A là tập con của X Khi đó tập hợp tất cả các ảnh của tất cả các phần tử thuộc A được gọi là ảnh của A bởi f được ký hiệu là f(A) (Hình 1.8) Vậy f(A) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ X} Đặc biệt nếu A = X thì ta có f(X) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ X} Nói chung ta

có f(X) ⊂ Y và nó được gọi là miền giá trị của ánh xạ f; còn tập nguồn X được gọi là miền xác định của f

+ Giả sử B ⊂ Y Khi đó tập hợp tất cả các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ B được gọi là nghịch ảnh của B bởi f Ký hiệu là f - 1(B) (Hình 1.9)

i A = ∅ ⇔ f(A) = ∅; ii A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B);

iii f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B); iv f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B);

v C ⊂ D ⇒ f – 1(C) ⊂ f – 1(D); vi f - 1(C ∩ D) = f – 1(C) ∩ f – 1(D);

vii f – 1(C ∪ D) = f – 1(C) ∪ f – 1(D); viii f – 1(C \ D) = f – 1(C) \ f - 1(D);

ix A ⊂ f – 1[ f(A)]; x f[f - 1(C)] ⊂ C;

Chứng minh:

ii Lấy y ∈ f(A), suy ra ∃x ∈ A để f(x) = y; x ∈ A suy ra x ∈ B do A ⊂ B Vậy x ∈ B

để y = f(x) nên y ∈ f(B), suy ra f(A) ⊂ f(B) (Hỏi điều ngược lại có đúng không!, tức là f(A) ⊂ f(B) ⇒ A ⊂ B (xem bài tập 6))

v Lấy x ∈ f – 1(A), suy ra f(x) = y ∈ A; do A ⊂ B nên y = f(x) ∈ B, suy ra x ∈ f – 1(B) Vậy f – 1(A) ⊂ f – 1(B)

Việc chứng minh các tính chất còn lại xem như bài tập

4 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Giả sử X, Y là hai tập hợp khác rỗng và f : X → Y

a f được gọi là đơn ánh nếu và chỉ nếu ∀x1, x2 ∈ X và x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2) (⇔ ∀x1, x2 ∈ X : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2)

b f được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu f(X) = Y (⇔∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f(x))

c f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh (⇔∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X:

y = f(x), dấu “!” gọi là duy nhất) Song ánh từ tập X vào tập Y còn được gọi là ánh xạ một đối một từ X lên Y và ta viết f là ánh xạ 1-1 từ X lên Y

Ví dụ:

a) Gọi X là tập hợp các sinh viên một trường đại học, Y là tập hợp các mã số của các sinh viên đó, f : X → Y được xác định như sau f ứng sinh viên x ∈ X với mã số của sinh viên đó (∈ Y) Ta thấy f là một song ánh

f(A)

b) Xét ánh xạ g : R → R được xác định như sau g(x) = x3, ∀x ∈ R Ta thấy g là một song ánh

c) Cho ánh xạ h : R → R được xác định h(x) = x2, ∀x ∈ R Trường hợp này h chỉ

là ánh xạ không là đơn ánh; không là toàn ánh (do đó h không là song ánh) Trường hợp h : R → [0; + ∞), h là toàn ánh nhưng không là song ánh cũng không là đơn ánh

5 Ánh xạ ngược, ánh xạ tích (hay ánh xạ hợp)

+ Giả sử X, Y là hai tập hợp khác rỗng và f : X → Y là song ánh Khi đó mỗi phần

tử x ∈ X được f ứng với một phần tử y = f(x) ∈ Y và ngược lại mỗi phần tử y ∈ Y chỉ

có một nghịch ảnh x ∈ X Xét ánh xạ từ Y vào X như sau ánh xạ đó ứng y ∈ Y với nghịch ảnh x của nó bởi f thuộc X, ánh xạ đó được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f Ký hiệu là f – 1 Vậy f – 1 : Y → X và được xác định như sau f – 1 (y) = x sao cho f(x) = y

Ta thấy f – 1 lại là một song ánh từ Y lên X và ánh xạ ngược của f – 1 lại là f Trong trường hợp này gọi là hai ánh xạ ngược nhau

Ví dụ:

a) Cho f : R → R được xác định bởi f(x) = y = x3, ∀x ∈ R Như đã biết f là một song ánh Khi đó có f – 1 : R → R và được xác định bởi f− 1( )y = =x 3y

b) Cho g : R → R*

+ được xác định bởi g(x) = y = ax, ∀x ∈ R (a > 0, a ≠ 1) Ta thấy

g là song ánh Khi đó ta có g - 1 là ánh xạ g – 1 R*+ → R và được xác định bởi

+ Cho X, Y, Z là ba tập hợp khác rỗng; f : X → Y; g : Y → Z Khi đó mỗi phần tử

x thuộc X ta có phần tử y thuộc Y sao cho y = f(x) và phần tử z thuộc Z sao cho

z = g(y) = g[f(x)]

Vậy với mỗi phần tử x thuộc X đều có phần tử z thuộc Z sao cho z = g[f(x)] = h(x) Ánh xạ h : X → Z được xác định như sau h(x) = z = g[f(x)] và được gọi là ánh xạ tích (ánh xạ hợp) của các ánh xạ f và g Ký hiệu h g f= (Với g f thì miền xác định của

nó là MXD = {x : x ∈ Df và f(x) ∈ Dg}; còn f gthì miền xác định của nó là MXD = {x : x ∈ Dg và g(x) ∈ Df}) (Hình 1.10)

Nhận xét: Nói chung g f ≠ f g

Ví dụ:

a) Cho f : R → R và g : R → R được xác định như sau y = f(x) = 3x, ∀x ∈ R và g(y) = siny, ∀y ∈ R Khi đó ta có h g f R= : →R và được xác định h(x) = g(f(x)) = sin3x; h’(x) = f(g(x)) = 3sinx (Nếu tồn tại)

b) Cho f : R → R+ và g : R+ → R được xác định như y = f(x) = x2 – x + 1, ∀x ∈ R

và g y( ) = y, ∀y ∈ R+ Khi đó ta có h : R → R; h(x) = g(f(x)) = x − +2 x 1, ∀x ∈ R; h’(x) = f(g(x)) = x − x +1 (Nếu tồn tại)

I.2 Cấu trúc đại số

I.2.1 Luật hợp thành trong cấu trúc đại số

1 Định nghĩa

Luật hợp thành trong trên tập X hay phép toán (hai ngôi) trên X là một quy luật khi tác động lên hai phần tử x, y của X sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của X Nói cách khác, luật hợp thành trong trên tập X là một ánh xạ từ X × X tới X Ký hiệu luật hợp thành trong trên X là *

ii Tính giao hoán : x * y = y * x

iii Phần tử trung hòa : x * e = e * x = x (Hay e là phần tử đơn vị)

iv Phần tử đối : x * x’ = x’ * x = e (x’ gọi là phần tử đối của x)

I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường

ii Phần tử trung hòa : a * e = e * a = a

iii Phần tử đối : a * a’ = a’ * a = e

Nếu phép toán hai ngôi * có tính giao hoán, tức là a * b = b * a thì (G, *) được gọi

là nhóm giao hoán hay nhóm Abel

b Tính chất

i Với mọi phần tử a thuộc G tồn tại duy nhất một phần tử a’ đối của a sao cho

a * a’ = a’ * a = e

Thật vậy: Giả sử a’ và a” là hai phần tử đối của a Khi đó ta có

a’ = e * a’ = (a” * a) * a’ = a” * (a * a’) = a” * e = a”

ii Phần tử đơn vị là duy nhất

Thật vậy, giả sử G có hai phần tử đơn vị e1 và e2 Thế thì e1 * e2 = e1 Nhưng ta cũng có e1 * e2 = e2 Vậy e1 = e2

iii Quy tắc giản ước : a * x = a * y ⇒ x = y

Thật vậy, giả sử ta đã có a * x = a * y Khi đó ta có

a’ * (a * x) = a’ * (a * y) ⇔ (a’ * a) * x = (a’ * a) * y ⇔ x = y

iv Với mọi phần tử a và b của G, tồn tại duy nhất phần tử x sao cho a * x = b

Thật vậy, ta có a’ * (a * x) = a’ * b ⇔ (a’ * a) * x = a’ * b ⇔ x = a’ * b

Tính duy nhất : x’ = e * x’ = (a’ * a) * x’ = a’ * (a * x’) = a’ * b = x

Ví dụ : Trên R ta xây dựng một phép toán hai ngôi * xác định như sau

a * b = a + b – 1 Khi đó (R, *) là một nhóm giao hoán

Thật vậy, ta có

+ a * (b * c) = a + (b + c – 1) – 1 = (a + b – 1) + c – 1 = (a * b) * c (Thỏa tính kết hợp)

i (A, +) là một nhóm giao hoán

ii Luật nhân (.) có tính kết hợp, tức là ∀a, b, c ∈ A ta có a.(b.c) = (a.b).c

iii Luật nhân (.) có tính phân phối hai phía đối với luật cộng (+), tức là ∀a, b, c ∈ A,

ta có a.(b + c) = a.b + a.c; (b + c).a = b.a + c.a;

(A, +, ) gọi là vành giao hoán nếu phép nhân (.) có tính chất giao hoán

Nếu phép nhân (.) có phần tử đơn vị, ký hiệu là 1 thì (A, +, ) là vành có đơn vị

b Vành nguyên (Miền nguyên) là một vành (A, +, ) trong đó có tính chất a.b = 0, suy ra a = 0 hoặc b = 0 (Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 mà a.b = 0 thì ta gọi là ước của không Khi

đó a gọi là ước bên trái của không, b gọi là ước bên phải của không)

Điều kiện cần và đủ để một tích bằng không là một trong hai nhân tử bằng không

ii F là một trường thì F \ {0} là một nhóm đối với phép toán nhân (.)

Hệ quả 1.1: Trong một trường có quy tắc giản ước (a.b = a.c suy ra b = c (a ≠ 0)) iii Trong một trường phương trình a.x = b, a ≠ 0 có nghiệm duy nhất x = a – 1.b = b

số phức Những số mà làm cho phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm gọi là các số phức

- Người ta gọi đơn vị ảo là một số được ký hiệu là i và được xác định như sau i2 = - 1 Việc đưa đơn vị ảo vào toán học giúp ta mở rộng tập hợp số thực và ta đi đến khái niệm số phức mà ta sẽ định nghĩa sau Số phức có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán, lý, hóa và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác

- Số phức là một số có dạng z = a + bi, trong đó a, b ∈ R, i là đơn vị ảo, a được gọi

là phần thực ký hiệu Rez = a, b được gọi là phần ảo ký hiệu Imz = b

Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C = {z = a + bi : a, b ∈ R} Trong số phức

z = a + bi, nếu a = 0 thì z = bi được gọi là số thuần ảo; còn nếu b = 0 thì z = a ∈ R Như thế số thực là trường hợp đặc biệt của số phức đó là trường hợp phần ảo bằng không (b = 0) Vậy R ⊂ C Số phức z = a + ib thường được viết dưới dạng z = (a, b), tức là z = a + bi = (a, b) Vậy số phức chẳng qua là một cặp số thực có thứ tự

2 Các phép toán

a Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; sinh ra phép trừ:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i;

b Phép nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; sinh ra phép chia:

R chính là phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia trên R quen biết

Phần tử không 0 = 0 + 0i; phần tử một 1 = 1 + 0i; phần tử nghịch đảo

i i i z

Cho z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó, ta có

i z1z2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)]; trong đó

ii Công thức Moivre:

z n = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn(cosnϕ + isinnϕ); zn= (reiϕ)n = rneinϕ

Ta có z = r(cosϕ + isinϕ) Tìm w = ρ(cosθ + isinθ)

Theo định nghĩa ta có wn = z ⇔ρn(cosnθ + isinnθ) = r(cosϕ + isinϕ) (Công thức

Với k = 0, ω0 = cos0 + isin0 = 1;

a b

Hình học n1 là n đỉnh của n giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị Tổng quát n z là

n đỉnh của n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính n z

f Giải phương trình bậc hai

Trên trường số phức C ta thấy tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (Phân biệt hoặc trùng nhau)

Thật vậy, xét phương trình ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R, a ≠ 0

Ta đã biết rằng nếu Δ = b2 – 4ac ≥ 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm khác nhau hay một nghiệm kép; còn đối với Δ < 0 thì ta có Δ =i −Δ, – Δ > 0 và phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là 1

x0 được gọi là nghiệm của đa thức pn(x) (hay là nghiệm của phương trình pn(x) = 0) nếu pn(x0) = 0

Nếu r(x) ≡ 0 thì ta nói p(x) chia hết cho q(x)

Ví dụ : Chia đa thức p(x) = 2x3 – 4x2 – 1 + x4 + 5x cho q(x) = 3x + x2 + 2

Ta sắp xếp p(x), q(x) theo lũy thừa giảm Do đó, p(x) và q(x) được viết lại như sau p(x) = x4 + 2x3 – 4x2 + 5x – 1; q(x) = x2 + 3x + 2

Ta tiến hành chia như sau

x x

- Định lý 1.1: Giả sử pn(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng một (n ≥ 1) Điều kiện cần và

đủ để đa thức pn(x) có nghiệm x0 là nó chia hết cho x – x0, tức là pn(x) = (x – x0)qn - 1(x), trong đó qn - 1(x) là đa thức có bậc n – 1

Chứng minh:

+ Điều kiện cần: Giả sử pn(x) có nghiệm là x0 Khi đó ta chia pn(x) cho x – x0, tức

là pn(x) = (x – x0)qn - 1(x) + r, trong đó qn - 1(x) là đa thức bậc n – 1; còn r là đa thức bậc không, tức là r là hằng số Vì x0 là nghiệm nên pn(x0) = 0; do đó suy ra pn(x0) = r = 0 Vậy pn(x) chia hết cho x – x0

Trong trường hợp pn(x) có bậc là không (pn(x) = an = const) thì nó bằng không với mọi x nếu an = 0 và khác không với mọi x nếu an ≠ 0

+ Điều kiện đủ: Giả sử pn(x) có dạng pn(x) = (x – x0)qn – 1(x) Khi đó rõ ràng

pn(x0) = 0; do đó nó có nghiệm là x0

- Định lý 1.2: Mọi đa thức pn(x) có bậc n ≥ 1 đều có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức

Đây là định lý cơ bản của đại số học nên ta sẽ thừa nhận nó mà không chứng minh

- Hệ quả 1.2: Mọi đa thức bậc n ≥ 1 có đúng n nghiệm thực hoặc phức Các nghiệm

đó có thể là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội Nếu một nghiệm là bội n thì nghiệm đó được kể n lần Đồng thời đa thức có phân tích thành tích các thừa số bậc nhất

- Phân tích phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng của những phân thức đơn giản + Phân thức hữu tỷ có dạng

( )m

A

x a− , trong đó A, a là hằng số, m ≠ 0, m ≥ 1, được gọi là phân thức đơn giản loại một

b2 – 4ac < 0, được gọi là phân thức đơn giản loại hai

Người ta đã chứng minh được rằng một phân thức hữu tỷ thực sự bao giờ cũng có thể được phân tích thành tổng của những phân thức đơn giản loại một và các phân thức đơn giản loại hai

Ta nắm phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ thành tổng của những phân thức đơn giản loại một và loại hai thông qua các ví dụ sau

Ví dụ: Phân tích phân thức thành tổng của những phân thức đơn giản

6 Cho X, Y ≠ ∅, f : X → Y và A, B ⊂ X Chứng minh rằng A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B)

7 Cho A, B, C là các tập con của một tập X Chứng minh

10 Cho A = {0, 1, 2, 3 ,4}, B = {3, 4, 6, 7}, C = {2, 3, 5, 8, 9} Hãy tính

a) A ∪ B; b) A ∩ C; c) A \ (B ∩ C); d) (A Δ B) ∩ (B Δ C);

11 Trong các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh?

b) Trên N* ta trang bị một phép toán hai ngôi * được xác định như sau

a * b = a × b + 1 Hỏi (N*, *) có phải là một nhóm không?

17 Cho z=cosϕ+isin ,0ϕ ≤ <ϕ 2π Hãy tính lượng giác của các số phức sau

19 Hãy tính căn bậc hai của các số phức

a) 1– i; b) – 1 – i; c) 1 + 2i; d) – 1 – 2i; e) 3 – 2i; f) – 3 + 2i;

a) (2 – 4i)(1 – 5i); b) (3 – 2i)(1 + 2i); c) (1 – 2i)(2 + i)2;

d) (3 – i)5(3 + i)7; e) (3 – 2i)3(1 + i); f) (4 – 2i)(2 + 3i)3;

2 1

2 3

i i

25 Cho hai số phức z1 = 7 – 3i; z2 = (x2 + y2 + xy) + (x + y)i; x, y ∈ R Hãy tìm x, y

∈ R sao cho z1, z2 là hai số phức liên hợp

1 1

x x x x

Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương

II.1 Ma trận

II.1.1 Các khái niệm

- Ma trận là một bảng số gồm m hàng n cột Ma trận ấy còn được gọi là ma trận cấp

- Ma trận có số hàng bằng số cột và bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n

Vậy nếu A là ma trận vuông cấp n thì A có dạng

Ma trận đơn vị là trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo

Ma trận vuông A gọi là ma trận đối xứng nếu (At)ij = (A)ji, với ∀i, j = 1, 2, …, n (Hay nói một cách khác ma trận đối xứng là ma trận mà các phần tử tương ứng nằm đối xứng với các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng nhau tương ứng)

Mặt khác, vì AA – 1 = I nên thay A – 1 = At; ta thấy AtA = I Tương tự cho trường hợp

AAt = I

Ví dụ :

1 3 2 013

Cho hai ma trận cùng cấp m × n: A=( )a ij m n× ,B=( )b ij m n× Tổng của A và B là một

ma trận được ký hiệu A + B và được xác định A B+ =(a ij+b ij m n) ×

- Cho hai ma trận A=( )a ij m n× ,B=( )b ij m n× Khi đó ma trận A + (- B) được viết là A – B

và được gọi là hiệu của A đối với B

Vậy: A – B = A + (- B)

Từ định nghĩa trên ta thấy phép nhân một số với một ma trận có các tính chất sau:

iii (A + B)C = AC + BC; iv (AB)t = BtAt;

Trong ma trận A nói trên bằng cách bỏ đi hàng i cột j ta được ma trận của A là Mij

và ma trận Mij là ma trận vuông cấp n – 1 và được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij

Ví dụ:

21 22

a a A

31 33

b b M

Khi đó định thức của A là một số được định nghĩa bằng qui nạp như sau

+ Cho A là ma trận vuông cấp một, tức là A = (a11) Định thức của ma trận A là một số được ký hiệu det(A) hay |A| và được xác định det(A) = |A| = a11

21 22

a a A

+ Cho A là ma trận vuông cấp ba có dang

một số được xác định như sau

det(A) = (- 1)1 + 1 a11det(M11) + (- 1)1 + 2 a12det(M12) + (- 1)1 + 3a13det(M13)

Có thể tính định thức của ma trận vuông cấp ba nói trên bằng qui tắc sau

Chú ý: Phương pháp này chỉ dùng để nháp thôi chứ không ghi vào bài làm Vì có một lý do tế nhị như sau: Định thức chỉ tính được cho ma trận vuông, do đó khi ta thêm hàng hay cột thì ta đã làm cho định thức lúc này không còn là định thức của ma trận vuông nữa

Hoặc theo quy tắc Sarius

Định thức của ma trận này được xác định như sau

det(A) = (- 1)1 + 1 a11det(M11) + (- 1)1 + 2 a12det(M12) + (- 1)1 + 3a13det(M13) + …

… + (- 1)1 + na1ndet(M1n)

= (- 1)i +1 a11det(M11) + (- 1)i + 2 a12det(M12) + (- 1)i + 3a13det(M13) + …

… + (- 1)i + na1ndet(M1n) Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n

Chú ý: Vấn đề tính định thức trong phần này được trình bày theo cách khai triển theo hàng thứ nhất Độc giả có thể tính định thức theo cách khai triển theo cột thứ nhất

II.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức

1 Với A là ma trận vuông, phép chuyển vị không làm thay đổi giá trị của định thức của ma trận A; tức là ta có det(A) = det(At) Từ đó ta thấy một tính chất nào đó của một định thức đã đúng với các hàng thì tính chất ấy cũng đúng cho các cột

1 0 5 det( ) 2 3 1 27

4 2 5

1 2 4 det( ) 0 3 2 27

- Mặc dù phép nhân các ma trận nói chung không có tính chất giao hoán nhưng tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng trong trường hợp các phép nhân AB và BA thực hiện được, tức là A và B là hai ma trận cùng cấp thì ta có det(AB) = det(BA) = det(A)det(B)

Ta có B = BI = B(AA- 1) = (BA)A- 1 = IA- 1 = A- 1(duy nhất)

Ta lại có AA- 1 = I nên det(AA- 1) = det(I) =1

Suy ra det(A)det(A- 1) = 1

Từ đó suy ra det(A) ≠ 0

- Cho A ∈ Mat(n × n) và det(A) ≠ 0 Khi đó tồn tại A- 1 và

b b b b A

II.3 Hệ phương trình tuyến tính

II.3.1 Các khái niệm

- Hệ phương trình tuyến tính là một hệ (Gồm m phương trình bậc nhất n ẩn) có dạng

- Trong trường hợp các hệ số hoặc các số hạng tự do của hệ (2.1) phụ thuộc tham số

ta còn gặp bài toán giải và biện luận hệ phương trình đó Giải và biện luận hệ phương

trình đang xét xem trường hợp nào hệ phương trình vô nghiệm, trường hợp nào có

nghiệm và nếu hệ có nghiệm thì ta cần tìm nghiệm của hệ

- Nếu các hệ số tự do của hệ (2.1) bằng không thì hệ được gọi là hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất

- Gọi A, X, B là các ma trận sau