Bài giảng cơ học cơ sở i tĩnh học đại học thủy lợi

CHƯƠNG TRẠNG THÁI CÂN BẰNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN Bất sợi cáp dùng để nâng tải trọng chúng lựa chọn cách cẩn thận để không bị phá hủy trình hoạt động Trong chương ta trình bầy cách tính tải trọng tác dụng lên cáp trường hợp Mục đích chương • Giới thiệu khái niệm điều kiện cân chất điểm vật rắn • Đưa khái niệm “sơ đồ vật rắn tự do” làm rõ bước phân tích để nhận sơ đồ • Trình bày cách giải tốn trạng thái cân chất điểm vật rắn cách sử dụng hệ phương trình cân §3.1 Cân chất điểm 3.1.1 Điều kiện cân • Thuật ngữ: “Trạng thái cân bằng” (Trạng thái cân tĩnh) ? • Cần: Thỏa mãn định luật Newton, hệ thức toán học: (3-1) ΣF = Đủ: Công thức (3-1) điều kiện đủ; Nếu sử dụng định luật Newton ΣF = ma = suy a = 3.1.2 Lò xo, cáp puli 3.1.2.a Lị xo • Nếu lị xo đàn hồi tuyến tính chiều dài lị xo thay đổi tỷ lệ với lực tác dụng lên Để xác định tính chất "đàn hồi" lị xo ta dùng hệ số cứng k; Lúc cường độ lực đàn hồi tính: (3-2) F = k.s Ở đây, s độ co (giãn) lò xo tác dụng –F (F) Một lò xo đàn hồi tuyến tính, có khối lượng khơng đáng kể lò xo lý thưởng Khi lực đàn hồi lị xo đồng • Liên kết lị xo thành dãy (hình 3-1) Độ cứng tương đương k xác định từ hệ thức: 1 = + k k1 k k1 ℓ1 k2 ℓ2 Hình 3-1 3.2.1b Cáp puli • Cáp: Nếu khơng có nói rõ thêm, ta quan niệm dây cáp hồn tồn mềm mại (khơng chịu uốn), có trọng lượng khơng đáng kể, khơng giãn chịu lực căng (kéo) định biểu diễn hướng dây cáp Ta gọi dây cáp lý tưởng Hình 3-2 Một dây cáp lý tưởng sức căng T P đại lượng vơ hướng xác định từ hệ thức (hình 3-2) F12 = - T u12 hay F21 = T u12 • Puli: Một puli (hay rịng rọc) bỏ qua qn tính lực ma sát quay gây gọi puli (hay rịng rọc) lý tưởng Ta tạm thừa nhận: Một dây cáp lý tưởng vắt qua puli lý tưởng xuất lực căng có độ lớn (sức căng) khơng đổi để giữ cho dây cáp cân (Hình 3-3) Hình 3-3 3.1.3 Hệ phương trình cân 3.1.3a Hệ lực khơng gian (Hình 3-4) ΣFx = ΣF = suy ΣFy = ΣFz = Hình 3-4 (3-3) 3.1.3b Hệ lực phẳng (Hình 3-5) Nếu chất điểm chịu tác dụng hệ lực phẳng, mặt phẳng x-y: ΣFx = (3-4) ΣFy = Hình 3-5 3.1.4 Cách thiết lập “sơ đồ vật rắn tự do” Khi sử dụng hệ phương trình giải toán cân chất điểm, cần phải biểu diễn tất lực tác dụng lên nó, bao gồm: Các lực hoạt động (xu hướng làm chất điểm chuyển động) phản lực (ngăn cản chuyển động chất điểm) Để làm điều này, ta tiến hành sau: • Vẽ phác thảo hình dáng, tưởng tượng chất điểm bị tách rời với vật xung quanh • Thể tất lực (hoạt động, phản lực) tác dụng lên chất điểm • Xác định rõ lực: Các lực biết nên ký hiệu độ lớn hướng riêng; Các lực chưa biết ký hiệu chữ rõ hướng (có thể giả thiết) CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích để giải tập cân chất điểm: Bước Vẽ sơ đồ vật rắn tự do: a Thiết lập trục x,y z x y (trong tốn phẳng) cho có hướng phù hợp b Biểu diễn (đặt tên cụ thể) cho tất lực biết chưa biết sơ đồ c Giả sử phương chiều lực có độ lớn chưa biết Bước Sử dụng hệ phương trình cân bằng: a Sử dụng (3-3) (3-4) lực dễ dàng phân tích thành phần trục Nếu tốn liên quan đến lị xo, lực đàn hồi lị xo có độ lớn tính theo (3-2) 10 Ổ chặn sử dụng để đỡ trục dẫn động máy (7) Chốt sử dụng để đỡ đầu chống xiên máy kéo (8) 52 3.2.3a Hệ phương trình cân ƒ Hệ phương trình véctơ Điều kiện cân vật rắn chứng minh phần 3.2.1b Hai điều kiện biểu diễn toán học dạng véctơ sau: ΣF = (3-9) ΣM O = ƒ Hệ phương trình cân đại số Nếu tất ngoại lực mômen ngẫu lực biểu diễn dạng véctơ Đềcác thay vào hệ phương trình (3-9) ; Do i, j, k độc lập nhau, hệ phương trình thỏa mãn với điều kiện là: ΣFx = ΣFy = ΣM x = (3-10a) ΣFz = ΣM y = ΣM z = 53 (3-10b) Hệ sáu phương trình cân đại số sử dụng để giải tất sáu ẩn số chưa biết sơ đồ vật rắn tự 3.2.3b Các liên kết thích hợp vật rắn Ta cần bàn thảo luận vấn đề: Để đảm bảo cân vật rắn, khơng thỏa mãn hệ phương trình cân mà vật rắn phải ràng buộc cách thích hợp ƒ Liên kết thừa Đây tốn siêu tĩnh ? Hình 3-17a 54 Hình 3-17b ƒ Các liên kết khơng thích hợp dẫn đến hệ không ổn định ? khả xảy ra: 55 a Các phản lực liên kết cắt trục chung (Bài tốn khơng gian) đồng quy điểm (Bài tốn phẳng) (hình 3-18) Hình 3-18 56 b Các phản lực liên kết song song với (hình 3-19) Hình 3-19 57 c Hệ liên kết phần (hình 3-20) Hình 3-20 58 Ràng buộc thích hợp ? Một ràng buộc gọi thích hợp khi: a Đường tác dụng thành phần phản lực liên kết không cắt điểm trục b Các thành phần phản lực liên kết không song song với Một số nhỏ thành phần phản lực liên kết đòi hỏi đảm bảo liên kết thích hợp tốn gọi tốn tĩnh định, phương trình cân sử dụng để xác định tất thành phần phản lực liên kết 59 * Các ví dụ áp dụng Ví dụ 3-9: Một đồng chất thể hình 3-21a có khối lượng 100 kg chịu tác dụng lực mơ men mép Nó giữ mặt phẳng nằm ngang nhờ liên kết gối tựa lăn A khớp cầu B dây thừng C Xác định thành phần phản lực liên kết Bài giải a Sơ đồ vật rắn tự (Hình 3-21b) 60 Hình 3-21 Có thành phần phản lực liên kết chưa biết tác dụng lên đĩa 530b Giả sử thành phần phản lực tác dụng theo hướng dương hệ trục toạ độ b Hệ phương trình cân Sử dụng (3-10): ΣFx = Bx = ΣFy = 0; By = ΣFz = 0; Az + Bz + TC − 300 N − 981N = (1) Nhớ mômen lực lấy trục tích độ lớn lực với khoảng cách vng góc từ đường tác dụng lực tới trục (cánh tay địn) Chiều mơ men xác định theo qui tắc bàn tay phải Ngoài ra, lực lực song song với trục qua trục 61 có mơ men khơng Vì thế, lấy tổng mô men lực sơ đồ vật tự do, với mômen dương tác dụng dọc theo chiều dương x,y, ta có ΣM x = 0; Tc (2m) − 981N (1m) + Bz (2m) = ΣM y = 0; 300 N (1.5m) + 981N (1.5m) − Bz (3m) − − Az (3m) − 200 N m = (2) (3) Các thành phần lực B bị triệt tiêu sử dụng hệ trục tọa độ x’, y’, z’ Ta có: ΣM x ' = 0; 981N (1m) + 300 N (2m) + Az (2m) = (4) ΣM y ' = 0; − 300 N (1.5m) − 981N (1.5m) − 200 N m + Tc (3m) = (5) 62 Giải phương trình từ (1) đến (3) thuận lợi giải phương trình (1), (4) (5) ta nhận Az = 790 N ; Bz = −217 N ; TC = 707 N Dấu âm Bz có chiều tác dụng hướng xuống Ví dụ 3-10: Xác định sức căng dây cáp BC, BD phản lực liên kết lề cầu A cột cờ mô tả hình 3-22a Bài giải (Phân tích vétơ) a Sơ đồ vật rắn tự Có thành phần phản lực chưa biết độ lớn thể sơ 63 Hình 3-22a đồ vật tự do, hình 3-22b b Hệ phương trình cân Biểu diễn thành phần lực dạng véctơ Đề các, ta có: F = {−1000 j} N FA = Ax i + Ay j + Az k Tc = 0.707Tc i − 0.707Tc k rBD 6 TD = TD ( ) = − TD i + TD j − TD k 9 rBD Áp dụng phương trình cân lực có: 64 Hình 3-22b, c ΣF = 0; F +FA +TC +TD =0 6 (Ax + 0.707TC − TD )i + ( − 1000 + Ay + TD )j + (Az − 0.707TC − TD )k = 9 A x + 0.707TC − TD = (1) ΣFx = 0; A y + TD − 1000 = (2) ΣFy = 0; A Z − 0.707TC − TD = (3) ΣFz = 0; Lấy tổng mô men điểm A, ta có: ΣM A = 0; rB × (F + TC + TD ) = 6 6k × ( −1000 j + 0.707TC i − 0.707TC k − TD i + TD j − TD k ) = 9 65 Khai triển tích hữu hướng kết hợp số hạng (−4TD + 6000)i + (42.2TC − 2TD ) j = ΣM x = 0; − 4TD + 6000 = (4) ΣM y = 0; 4.24TC − 2TD = (5) Phương trình mơmen trục z, ΣM z = , tự thoả mãn Tại sao? Giải hệ phương trình từ (1) tới (5), ta có TC = 707 N TD = 1500 N Ax = N Ay = N Az = 1500 N Nhận xét: Cột cờ chi tiết chịu hai lực, nên giá trị Ax = Ay = 66 ... 3-8a, giữ ba s? ?i dây thừng, ba s? ?i dây n? ?i v? ?i lò xo Xác định sức căng s? ?i dây AC AD, xác định độ giãn lò xo Hình 3-8a 16 B? ?i gi? ?i Sơ đồ vật rắn tự Lực s? ?i dây xác định cách lập ? ?i? ??u kiện cân ? ?i? ??m... O ? ?i? ??m giao đường tác dụng hai lực chưa biết Khi đ? ?i lượng chưa biết thứ ba xác định trực tiếp c Nếu gi? ?i hệ phương trình cân cho giá trị lực hay mơmen ngẫu lực âm, chiều chúng ngược chiều giả... có chi tiết (khâu) chịu tác dụng hai ba lựcG? ?i tắt chi tiết (khâu) hai hay ba lực ƒ Chi tiết (khâu) hai lực ? Hình 316a Trường hợp giá hợp lực đặt hai ? ?i? ??m biết, có độ lớn hợp lực cần ph? ?i xác