Bài giảng cơ học cơ sở i tĩnh học (đại học thủy lợi)

CHƯƠNG MA SÁT VÀ TRỌNG TÂM Để thiết kế tốt hệ thống phanh cho xe đạp, cần phải thiết kế cấu để thắng lực ma sát Trong chương ta nghiên cứu chất ma sát trình bày xem lực ma sát khảo sát kỹ thuật Nội dung chương • Trình bày khái niệm phân tích làm sang tỏ trạng thái cân vật rắn chịu tác dụng lực ma sát khô • Phân tích số ứng dụng ma sát: Nêm đinh vít, dây đai ổ đỡ (ngõng trục) • Trình bày khái niệm cách xác định vị trí tâm trọng lực, tâm khối lượng trọng tâm • Đưa phương pháp xác định hợp lực tải trọng phân bố tổng quát áp dụng để xác định hợp lực chất lỏng §5.1 Ma sát 5.1.1 Đặc tính ma sát khơ 5.1.1a Khái niệm phân loại • Ma sát ? Hướng lực ma sát ? • Ma sát nhớt ? Ma sát khô ? (Ma sát Culong - nghiên cứu 1781) 5.1.1b Lý thuyết ma sát khơ • Thí nghiệm (Hình 5-1 a, b, c) Hình 5-1 • Các trạng thái xảy ra: Trường hợp 1: Trạng thái cân (Hình 5-1 d): Chú ý điểm đặt N Trường hợp 2: Trạng thái giới hạn trượt (Hình 5-1e): P tăng, F tăng đến đạt giá trị lớn FS ; FS gọi lực ma sát tĩnh giới hạn khối hộp trạng thái cân khơng ổn định Thí nghiệm chứng tỏ: Độ lớn FS tỷ lệ bậc với độ lớn N biểu diễn toán học: Fs = μ S N (5-1) Trong đó: μS số gọi hệ số ma sát tĩnh Giá trị μS tra sổ tay kỹ thuật (Sinh viên tham khảo bảng 8-1 giáo trình) Ở trạng thái giới hạn trượt, gọi ΦS = (R S , N) góc ma sát tĩnh ta có: Φ S = arctg μS (5-2) Lưu ý: Thực tế chọn μS cần thận trọng Nếu FS đòi hỏi xác μS phải xác định trực tiếp thí nghiệm Trường hợp 3: Trạng thái chuyển động (Hình 5-2a) P tăng có độ lớn lớn độ lớn FS lực ma sát hai bề mặt tiếp xúc giảm nhỏ đạt độ lớn FK; FK gọi lực ma sát Động lực Tại thời điểm (P > FK) khối hộp bắt đầu trượt với vận tốc tăng dần Giải thích? (Hình 5-2b) Hình 5-2a Thực nghiệm rằng: Độ lớn FK tỷ lệ bậc với độ lớn N thể hệ thức toán học: FK = μ K N (5-3) Trong đó: μK số gọi hệ Hình 5-2b số ma sát động lực Giá trị μK nhỏ giá trị μ S (trong bảng 8-1 giáo trình: nhỏ 25%) Trong trường hợp này, góc ma sát động lực bằng: (5-4) Φ K = arctg μ K Như vậy: ΦS ≥ Φ K Sinh viên cần ghi nhớ: Lực ma sát chia thành ba loại, tên gọi loại trạng thái học vật rắn tương ứng 5.1.1c Đặc tính ma sát khơ Những quy tắc sau phát biểu ma sát khô (Ma sát Culơng): • Lực ma sát có phương tiếp tuyến với hai mặt tiếp xúc; có chiều ngược với chiều chuyển động xu hướng chuyển động vật vật khác bề mặt khác • Lực ma sát tĩnh cực đại Fs tăng lên độc lập với diện tích tiếp xúc miễn áp lực pháp tuyến không đáng kể không đủ lớn để làm biến dạng làm thay đổi bề mặt tiếp xúc vật • Độ lớn lực ma sát tĩnh cực đại hai bề mặt tiếp xúc nói chung lớn độ lớn lực ma sát động lực Tuy nhiên, vật chuyển động với vận tốc nhỏ bề mặt vật khác, Fk trở thành xấp sỉ Fs nghĩa μ K ≈ μS • Khi tượng trượt bề mặt tiếp xúc bắt đầu xuất hiện, độ lớn lực ma sát tĩnh cực đại tỷ lệ với độ lớn lực pháp tuyến, cụ thể FS = μS N • Tại bề mặt tiếp xúc tượng trượt xảy ra, độ lớn lực ma sát động lực tỷ lệ với độ lớn lực pháp tuyến, cụ thể FK = μ K N 5.1.2 Những toán liên quan đến ma sát khô Nếu vật rắn trạng thái cân chịu tác dụng hệ lực bao gồm tác dụng lực ma sát, hệ lực khơng cần phải thỏa mãn hệ phương trình cân (xem chương III) mà phải thoả mãn định luật lực ma sát (xem 5.1.1c) Nói chung có ba dạng tốn học liên quan đến ma sát khô Chúng dễ dàng phân loại dựa sơ đồ vật rắn tự phân tích phần • Trạng thái cân bằng: Khi giải toán cần tuân thủ nghiêm ngặt điều kiện cân bằng, nghĩa là: Đòi hỏi tất giá trị đại lượng chưa biết thoả mãn giá trị hệ phương trình cân cho 10 Hình 6-2a Hình 6-2b Đơn vị tính cơng hệ SI, Jun (J) (1 J = N·m) Cần lưu ý khái niệm mômen lực có kết hợp tương tự, khái niệm công lực mômen lực không liên quan với Cơng ngẫu Ngẫu lực sinh cơng tác dụng làm vậtquay xung quanh trục vng góc với mặt phẳng tác dụng Theo hình vẽ 6-2b, cơng ngẫu lực tính theo hệ thức: dU = Md θ ; M = Fr Công dương M chiều với chiều dθ, âm chúng có chiều ngược Ở giống trường hợp véctơ mômen, phương chiều dθ xác định theo quy tắc bàn tay phải, ngón tay bàn tay phải theo chiều quay hay “xoắn“ ngón tay chiều dθ Như tổng quát biểu diễn dU = M ⋅ dθ 6.1.3 Công lực ngẫu lực di chuyển ảo (cơng ảo) • Di chuyển ảo ? Đó di chuyển tưởng tượng vật trạng thái cân tĩnh cho chuyển động tịnh tiến hay chuyển động quay mà giả thiết không tồn thực tế Chúng biểu diễn biến phân δs δθ • Cơng ảo: Cơng sinh lực F di chuyển ảo δs là: δU = F cos θδs (6-1) Tương tự, ngẫu lực có véctơ mơmen ngẫu M, có dịch chuyển quay ảo δθ mặt phẳng ngẫu, công ảo ngẫu là: (6-2) δU = M δθ §6.2 Ngun lý cơng ảo cho chất điểm vật rắn (Sinh viên tự nghiên cứu mục 11.2 giáo trình) Nhận xét: Đối với chất điểm vật rắn, khơng có thuận lợi giải toán cân áp dụng nguyên lý cơng ảo Những tốn thuộc mơ hình này, việc sử dụng trực tiếp hệ phương trình cân dẫn chương thuận lợi đơn giản §6.3 Ngun lý cơng ảo cho hệ gồm nhiều vật liên kết với • Nguyên lý cơng ảo thích hợp giải tốn cân hệ gồm nhiều vật rắn liên kết với (xem ảnh minh họa) • Bậc tự Bậc tự hệ gồm nhiều vật liên kết với số tọa độ độc lập q tính từ điểm cố định xác định trạng thái hệ Như hệ có n bậc tự cần phải có n toạ độ độc lập qn để xác định tất vị trí vật thuộc hệ Ví dụ: Trên hình 6-3a hệ có bậc tự do, cịn hình 6-3b, hệ có bậc tự Hình 6-3 10 • Ngun lý công ảo Cơ hệ gồm vật rắn liên kết không ma sát với trạng thái cân công ảo tất lực mơmen ngẫu lực ngịai tác dụng lên hệ di chuyển ảo độc lập hệ khơng Phát biểu biểu diễn tốn học sau: δU = (6-3) Đối với hệ n bậc tự do, cần phải có n tọa độ độc lập qn xác định vị trí hệ Nên hệ thức (6-3) viết n phương trình cơng o c lp 11 ã Cỏc bc phõn tớch ắ Sơ đồ vật rắn tự ¾ Các di chuyển ảo ¾ Phương trình cơng ảo Sinh viên cần đọc kỹ bước phân tích áp dụng ngun lý cơng ảo, trước nghiên cứu ví dụ * Các ví dụ áp dụng Ví dụ 6-1: Xác định góc θ hệ hai nối cho hình 64a cân Mỗi có khối lượng 10 kg 12 Hình 6-4a Bài giải a Sơ đồ vật rắn tự Hệ cho có bậc vị trí hai xác định toạ độ độc lập ( q = θ ) Như sơ đồ vật rắn tự Hình 6-4b hệ hình 6-4b, θ có chuyển động quay ảo dương theo chiều kim đồng hồ δθ có lực hoạt động F hai trọng lực 9.81 N sinh công (Các phản lực Dx Dy cố định, By không di chuyển dọc theo đường tác dụng nó.) 13 b Di chuyển ảo Nếu gốc toạ độ thiết lập liên kết khớp cố định D, vị trí F W xác định toạ độ vị trí xB yW cho hình Để xác định cơng nhớ trục toạ độ song song với đường tác dụng lực tương ứng với chúng Biểu diễn toạ độ vị trí theo toạ độ độc lập θ lấy đạo hàm ta có: xB = 2(1cos θ) m δx B = −2sin θδθ m (1) yW = 12 (1sin θ) m δy W = 12 cos θδθ m (2) c Phương trình cơng ảo Nếu di chuyển ảo δxB δyW dương lực W F sinh cơng dương lực chuyển vị tương ứng chúng chiều Do đó, phương trình cơng ảo di chuyển ảo δθ δU = ; W δyW + W δyW + F δxB = 14 (3) Thay phương trình (1) (2) vào phương trình (3) để thiết lập mối quan hệ di chuyển ảo với di chuyển ảo chung δθ ta có: 98.1(0.5cos θδθ) + 98.1(0.5cos θδθ) + 25(−2sin θδθ) = Chú ý “cơng âm” sinh F (lực có chiều ngược với chiều dịch chuyển) dùng để giải thích cho dấu “âm” phương trình (1) Lấy thừa số dịch chuyển chung δθ ngồi, δθ ≠ dẫn đến: 98.1 θ = tan −1 = 63.00 (98.1cos θ − 50sin θ)δθ = 50 Chú ý: Nếu tốn giải theo cách sử dụng phương trình cân cần phải tách áp dụng phương trình đại số cho Nguyên lý cơng ảo với trợ giúp tốn giải tích khử bớt cơng việc làm cho đáp nhận cách trực tiếp 15 hệ ba án Ví dụ 6-2: Xác định lực nằm ngang Cx khớp C phải tác dụng lên BC để giữ cho cấu hình 6-5a cân θ = 450 Bỏ qua trọng lượng Bài giải a Sơ đồ vật rắn tự Phản lực C x thu cách bỏ liên kết khớp C theo chiều x cho phép khung di chuyển theo chiều Hệ có bậc tự xác định toạ độ độc lập θ , hình 6-5b Khi θ có di chuyển ảo dương δθ có C x lực 200 N sinh cơng 16 Hình 6-5 b Di chuyển ảo Các lực C x 200 N xác định vị trí toạ độ vị trí yB xC tính từ điểm gốc cố định A Từ hình 6-5b, xC quan hệ với θ “định lý hàm số cosin” Do đó, (0.7) = (0.6) + xC2 − 2(0.6) xC cos θ (1) = + xC δxC − 1.2δxC cos θ + 1.2 xC sin θδθ 1.2 xC sin θ δxC = δθ 1.2 cos θ − xC (2) Ngoài ra, yB = 0.6sin θ δyB = 0.6 cos θδθ (3) 17 c Phương trình cơng ảo Khi yB xC có di chuyển ảo dương δyB δxC lực C x lực 200 N sinh cơng âm hai tác dụng theo chiều ngược lại với δ yB δ xC Vì vậy, δU = ; −200δyB − Cx δxC = Thay phương trình (2) (3) vào phương trình này, lấy thừa số chung δθ , giải Cx dẫn tới −200(0.6 cos θδθ) − Cx 1.2 xC sin θ δθ = 1.2 cos θ − xC −120 cos θ(1.2 cos θ − xC ) Cx = 1.2 xC sin θ 18 (4) Tại vị trí cân yêu cầu θ = 450 , từ phương trình (1) giải xC tương ứng, trường hợp xC2 − 1.2 cos 450 xC − 0.13 = Giải, lấy nghiệm dương ta có: xC = 0.981 m Vì thế, từ phương trình (4): Cx = 114 N Sinh viên tự nghiên cứu kỹ ví dụ cịn lại 11-2 11-4 giáo trình, trước giải tập 19 ... Khi gi? ?i toán cần tuân thủ nghiêm ngặt ? ?i? ??u kiện cân bằng, nghĩa là: Đ? ?i h? ?i tất giá trị đ? ?i lượng chưa biết thoả mãn giá trị hệ phương trình cân cho 10 Chính lực ma sát xác định từ l? ?i gi? ?i. .. phương tiếp tuyến v? ?i hai mặt tiếp xúc; có chiều ngược v? ?i chiều chuyển động xu hướng chuyển động vật vật khác bề mặt khác • Lực ma sát tĩnh cực đ? ?i Fs tăng lên độc lập v? ?i diện tích tiếp xúc miễn... lực ma sát sinh dây đai mặt tiếp xúc v? ?i Có nhiều lo? ?i dây đai khác Ta xét dây đai dẹt, vắt qua mặt cong cố định, góc ơm β (rad), hệ số ma sát hai mặt μ, biểu diễn hình 5-10a Dây đai dịch chuyển