THÔNG TIN TÀI LIỆU
TS NGUYỄN ĐỨC HẬU APTER INTEGRALS The width of the interval ͓a, b͔ is b Ϫ a, so the width of each of the n strips is ⌬x bϪa n These strips divide the interval [a, b] into n subintervals ͓x , x ͔, ͓x 1, x ͔, ͓x , x ͔, ., ͓x nϪ1, x n ͔ GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ where x a and x n b The right-hand endpoints of the subintervals are x a ϩ ⌬x, x a ϩ ⌬x, x a ϩ ⌬x, (Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi) Let’s approximate the ith strip Si by a rectangle with width ⌬x and height f ͑x i ͒, which is the value of f at the right-hand endpoint (see Figure 11) Then the area of the ith rectangle is f ͑x i ͒ ⌬x What we think of intuitively as the area of S is approximated by the sum of the areas of these rectangles, which is R n f ͑x ͒ ⌬x ϩ f ͑x ͒ ⌬x ϩ и и и ϩ f ͑x n ͒ ⌬x y ẻx f(x i) a Ô xi-1 b xi x FIGURE 11 Figure 12 shows this approximation for n 2, 4, 8, and 12 Notice that this approximation appears to become better and better as the number of strips increases, that is, as n l ϱ Therefore, we define the area A of the region S in the following way Definition The area A of the region S that lies under the graph of the continuous function f is the limit of the sum of the areas of approximating rectangles: Hà nội 2013 A lim R n lim ͓ f ͑x ͒ ⌬x ϩ f ͑x ͒ ⌬x ϩ и и и ϩ f ͑x n ͒ ⌬x͔ nlϱ y nlϱ y y Mục lục Chương GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Hàm số biến số 1.2 Giới hạn dãy số thực 1.3 Giới hạn hàm số thực 10 1.4 Hàm số liên tục 19 1.5 Bài tập chương 23 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 26 2.1 Tiếp tuyến vận tốc 26 2.2 Đạo hàm 27 2.3 Vi phân 30 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 31 2.5 Các định lí hàm khả vi 33 2.6 Quy tắc Lô-pi-tan 36 2.7 Khảo sát hàm số 40 2.8 Đường cong cho phương trình tham số 45 2.9 Đường cong tọa độ cực 48 Chương TÍCH PHÂN 54 3.1 Tích phân bất định 54 3.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 55 3.3 Tích phân bất định vài lớp hàm 62 3.4 Tích phân xác định 73 3.5 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 80 3.6 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 84 3.7 Một số ứng dụng tích phân xác định 88 3.7.1 Tính diện tích hình phẳng 88 3.7.2 Tính độ dài cung 92 3.7.3 Tính thể tích 95 3.7.4 Tính diện tích mặt trịn xoay Chương CHUỖI 98 101 4.1 Chuỗi số 101 4.2 Chuỗi số dương 103 4.3 Chuỗi số đan dấu 107 4.4 Chuỗi số có dấu 108 4.5 Chuỗi hàm 110 4.6 Chuỗi lũy thừa 112 4.7 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 116 4.8 Chuỗi Fourier 121 TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Lời nói đầu Bài giảng dành cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi học mơn Tốn (Giải tích hàm biến số) TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com We usually consider functions for which the sets A and B are sets of real numbers The set A is called the domain of the function The number f ͑x͒ is the value of f at x and is read “ f of x.” The range of f is the set of all possible values of f ͑x͒ as x varies throughout the domain A symbol that represents an arbitrary number in the domain of a function f is called an independent variable A symbol thatCHAPTER represents 12 ■ FUNCTIONS AND MODELS a number in the range of f is called a dependent variable In Example A, for instance, r is the independent variable and A is the dependent variable It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2) If x is in the domain A function f is a rul x f ƒ element, called f ͑x͒, (input) (output) of the function f, then when x enters the machine, it’s accepted as an input and the machine produces an output f ͑x͒ according to the rule of the function Thus, we can FIGURE think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all posWe usually consider Machine diagram for a function ƒ sible outputs The set A is called the The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a at x and is read “ f of x machine For example, the square root key on your calculator is such a function You varies throughout the d press the key labeled s (or sx ) and enter the input x If x Ͻ 0, then x is not in the domain of a function f domain of this function; that is, x is not an acceptable input, and the calculator will a number in the range indicate an error If x ജ 0, then an approximation to sx will appear in the display ƒ x instance, r is the indepe It’s helpful to think o Thus, the sx key on your calculator is not quite the same as thex exact mathematical f ƒ a f(a) (input) (output) of the function f, then function f defined by f ͑x͒ sx machine produces an ou Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure Each FIGURE think of the domain as t arrow connects an element of A to an element of B The arrow Machine indicatesdiagram that ffor ͑x͒a is function ƒ 1.1 Hàm số biến số sible outputs associated with x, f ͑a͒ is associated with a, and so on f B The preprogrammed A The most common method for visualizing a function is its graph If f is a function machine For example, domain , then its graph thefsetxác of ordered Định nghĩawith 1.1 ChoAA ⊂ R Hàmissố định pairs A FIGURE Chương GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Arrow diagram for ƒ quy tắc cho tác động vào phần tử x bất ͕͑x, f ͑x͒͒ Խ x ʦ A͖ ƒ x kì A tạo thành phần tử y R Kí hiệu f : A →(Notice R, xthat → these y = are f (x) input-output pairs.) In other words, the graph ofa f consists of all f(a) points in the coordinate plane suchcủa that yhàm ͑x, y͒ f ͑x͒ A gọi tập nguồn hay tập xác định sốand f x is in the domain of f The graph of a function f gives us a useful picture of the behavior or “life history” Tập hợp f (A) = {y ∈ R |∃x ∈ A : y = f (x) } gọi of a function Since the y-coordinate of any point ͑x, y͒ on the graphA is y ff ͑x͒, we B tập ảnh hay can tậpread giáthetrịvalue củaofhàm số fthe graph as being the height of the graph above the f ͑x͒ from FIGURE of Đồ thị point hàmx số :A→ tậpofhợp tấtallows fdomain (x)), ∀xf on ∈A (seefFigure 4) R Thelàgraph us tođiểm picture(x, the the f also Arrow diagram for ƒ its range on the y-axis as in Figure x-axis mặt phẳng toạ độandxOy y y { x, ƒ} (Notice that these are in points ͑x, y͒ in the coord The graph of a functi of a function Since the can read the value of f ͑ point x (see Figure 4) T x-axis and its range on y ϭ ƒ(x) range ƒ f (2) f (1) x x x domain FIGURE press the key labeled s domain of this function indicate an error If x ജ Thus, the sx key on yo function f defined by f Another way to pict arrow connects an elem associated with x, f ͑a͒ i The most common m with domain A, then its y { x, ƒ FIGURE Hàm số chẵn, lẻ Cho hàm số f xác định A, A miền đối xứng qua gốc O • Hàm số f gọi chẵn f (x) = f (−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1) Chẳng hạn hàm f (x) = x2 hàm số chẵn • Hàm số f gọi lẻ f (x) = −f (−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1) Chẳng hạn hàm f (x) = x3 hàm số lẻ Hàm số đơn điệu • Hàm số f (x) gọi tăng A ∀x1 , x2 : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • Hàm số f (x) gọi giảm A ∀x1 , x2 : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) • Hàm số f (x) gọi không tăng A ∀x1 , x2 : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com f (2) f (1) FIGURE the 1.00 respect wഛ if Ͻ to 4 w FIGURE 22 y-axis (see F f for x ജ 0, we obtain the The graph is shown in Figure 22 You can see why functions similar to this If f satisfies f ͑Ϫx͒ Ϫ called step functions—they jump from one value to the next Such functio odd function For example FIGURE 23in Chapter studied An even function 1.1 Hàm số biến số SECTION 1.1 FOUR WAYS TO REPRESENT A FUNCTION Symmetry (c) 21 h͑Ϫx͒ 2͑Ϫx͒ Ϫ ͑Ϫx͒2 Ϫ2x Ϫyx y Since h͑Ϫx͒ odd f (_x) ◆ graph of xan func If a function f satisfies f ͑Ϫx͒ f ͑x͒ forThe every number in odd its domain instance, thealready function fhave even beca ͑x͒ the x isgraph of Ϫh͑x͒, wecalled conclude even nor h is neither anthat even function For h͑x͒ and h͑Ϫx͒ ƒ f ͑Ϫx͒ ƒ The graphs of the functions in Example _x 11 are shown in Figure 25 Notice that the _x of h is0symmetricxneither about x the y-axis nor about the graph origin through 180Њ about the orig ͑Ϫx͒2 x f ͑x͒ x x The geometric is that graph is symm EXAMPLE 11 its Determine wh y significance of an even function respect to the -axis (see Figure 23) This means that if we have plotted th y neither even nor odd 1 f g h about the y-ax f for x ജ 0, we obtain the entire graph simply by reflecting (a) f ͑x͒ x ϩ x If1 f satisfies f ͑Ϫx͒ Ϫf ͑x͒ for every number x in its domain, then f i x x x _1 function For số example, the function fSOLUTION ͑x͒ x is odd because FIGURE 23 1.1: Đồ1 thị hàm số chẵnodd Hình (phải) hàm lẻ (trái) y y An even function _1 Ϫx Ϫf ͑x͒ f ͑Ϫx͒ ͑Ϫx͒3 (a) FIGURE 24 f ͑Ϫx͒ (b) odd • Hàm số25f (x) gọi không giảm A ∀x1(c), x2 : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ FIGURE An function y(a) The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure f (x2 ) already have the graph of f for x ജ 0, we can obtain the entire graph b Increasing and Decreasing Functions through 180Њ about the origin • Hàm số _x không tăng hay không ƒ giảm A gọi hàm đơn điệu A The graph 0shown in Figure 26 rises from A to B, falls from B to C, and rises again from C to D The functionx f is saidxto be increasing on the interval ͓a, b͔, decreasing Therefore, f is an odd func EXAMPLE 11 Determine whether of the following functions is even, od on ͓b, c͔số , andtăng increasing on ͓c,B Notice that if xtừand are any twoC numbers d͔ Trên hình 1.2, hàm từ again A lên giảm Bx xuống lạieach tăng từ C lên nor between a and b with x Ͻ x , then f ͑x ͒ Ͻneither use this as odd the defining propf ͑x ͒ Weeven D Hàm f tăng erty đoạn [a, b], [c, d] [b, c] (b)x of ancác increasing function (a) giảm (b) t͑x͒ Ϫ (c) h͑x͒ 2x Ϫt͑Ϫ f ͑x͒ trên x ϩđoạn x x2 1 y B FIGURE 24 2 SOLUTION f ͑Ϫx͒ ͑Ϫx͒5 ϩ ͑Ϫx͒ ͑Ϫ1͒5x ϩ ͑Ϫx͒ Ϫx Ϫ x Ϫ͑x ϩ x͒ An odd function C Ϫf ͑x͒ f(x™) f(x ¡) A a x¡ FIGURE 26 A function f x™ So t is even D (a) y=ƒ b Therefore, f is an odd function c (b) Hình 1.2: Hàm số đơn điệu I ifeven is called increasing on an interval So t is d x t͑Ϫx͒ Ϫ ͑Ϫx͒4 Ϫ x t͑x͒ ͒ Ͻ f ͑x ͒ whenever x Ͻ x in I Hàm bị chặn Cho hàm số ff ͑x(x) xác định A y 2 It is called decreasing on I if y=≈ • Hàm f (x) gọi bịf ͑xchặn tồn cho f (x) ≤ M , ∀x ∈ A ͒ Ͼ f ͑x ͒ whenever x Ͻ I x in M 2 • Hàm f (x) gọi làofbị chặn tồn tạito realize M cho f (x) ≥ M , ∀x ∈ A In the definition an increasing function it is important that the inequality f ͑x ͒ Ͻ f ͑x ͒ must be satisfied for every pair of numbers x and x in I with Ͻ x gọi bị chặn (giới nội) tồn M cho |f (x)| ≤ M , • Hàmx f (x)x You can see from Figure 27 that the function f ͑x͒ x is decreasing on the inter∀x ∈ A val ͑Ϫϱ, 0͔ and increasing on the interval ͓0, ϱ͒ 2 FIGURE 27 Hàm số tuần hoàn Cho hàm số f(x) xác định A Nếu tồn số T dương cho f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ A f (x) gọi hàm số tuần hoàn Số T nhỏ số thoả mãn điều kiện gọi chu kì hàm số f (x) Chú ý 1.1 (a) Các hàm số sin x, cos x hàm số tuần hồn với chu kì 2π (b) Các hàm số tan x, cot x hàm số tuần hồn với chu kì π (c) Nếu f (x) tuần hồn với chu kì T hàm f (ax) hàm số tuần hoàn T với chu kì |a| (d) Tổng hiệu hàm số tuần hồn với chu kì T hàm tuần hồn với chu kì T Trường hợp số hạng tuần hồn khác chu kì, hàm TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.1 Hàm số biến số tổng hàm số tuần hoàn với chu kì bội chung nhỏ chu kì hàm số hạng 44 ■ CHAPTER FUNCTIONS AND MODELS Ví dụ 1.1 (1) The Hàm số yis called = acomposition cos(αx)because + b sin(αx), α is>composed hàm số tuần hoàn với procedure the new function of the two given functions f and t chu kì 2π α In general, given any two functions f and t, we start with a number x in the domain andcos find its If this number domain of f ,số thentuần we can hoàn calt͑x͒ is in the (2) Hàm số ofy t= x image + t͑x͒ cos(2x) + 13 cos(3x) hàm với chu kì culate the value of f2͑t͑x͒͒ The result is a new function h͑x͒ f ͑t͑x͒͒ obtained by 2π? substituting t into f It is called the composition (or composite) of f and t and is denoted by f ؠt (“f circle t”) Hàm số hợp CóDefinition nhiều cách khác fnhau đểcomposite tổ hợp hai hàm số thành hàm số Given two functions and t,√ the function f ؠt (also calledhàm the composition and t= ) is defined by u = g(x) = x2 + Do y biểu u Giả sử cho hai số y =offf(u) f ؠt͒͑x͒biến f ͑t͑x͒͒ diễn theo u u lại biểu diễn ͑theo x nên ta biểu diễn y theo x The domain of f ؠt is the set of all x in the domain t such that y = f (u) = f (g(x)) = f (x2 + 1)of = x2 t͑x͒ + 1is in the domain of f In other words, ͑ f ؠt͒͑x͒ is defined whenever both t͑x͒ and f ͑t͑x͒͒ are defined The best way to picture f ؠt is by a machine diagram (Figure 13) or an√ arrow diagram tạo ra(Figure một14).hàm số y = h(x) = f (g(x)) = x2 Quá trình hợp FIGURE f và13g kí hiệu f ◦ g đọc ’f o trịn g’ The f • g machine is composed of the g machine (first) and then the f machine x (input) g g(x) f + gọi hàm f{ ©} (output) f•g f g FIGURE 14 Arrow diagram for f • g x © ■ 68 f{ ©} CHAPTER FUNCTIONS AND MODELS EXAMPLE If f ͑x͒ x and Hình find the hợp composite functions f ؠϪ1 t͑x͒ x1.3: Ϫ 3, Hàm t if f ͑b͒ a, the point ͑a, b͒ is on the graph of f if and only if th the graph of f Ϫ1 But we get the point ͑b, a͒ from ͑a, b͒ by refle y x (See Figure 8.) and t ؠf SOLUTION We have Hàm ngược Cho hàm số f (x) song ánh (1 − 1) y ͑ f ؠt͒͑x͒ f ͑t͑x͒͒ f ͑x Ϫ 3͒ ͑x Ϫ 3͒ từ A lên B = f (A) ⊂ R (1 − nghĩa f (x1 ) = f (x2 ), ͒͑x͒ t͑ f ͑x͒͒ t͑x ͒ x Ϫ ∀x1 = x2 ) Khi với y͑t∈ ؠfB ta có quy tắc kí hiệu f −1 xác định | đượcNOTEduyYounhất x ∈ A7 that, saoincho f (x) can seemột from Example general, f ؠt =t y ؠf Remember, the that thengược function ؠt means t is applied f is applied second Quy tắc f −1 notation fgọi hàm hàmfirstsốandf then Vậy In Example 7, f ؠt is the function that first subtracts and then squares; t ؠf is the y = f (x) ⇔ x =function f −1 (y) that first squares and then subtracts y=x Chú ý nếuEXAMPLE điểm8 (a, b) điểm thuộc đồ thị If f ͑x͒ sx and t͑x͒ s2 Ϫ x, find each function and its domain (c) f ؠf (d) t ؠt f ؠt đồ (b) f hàm f (b, a)(a)thuộc thịt ؠcủa f −1 2 ● SOLUTION (a) f –! (a, b) x y=x FIGURE FIGURE ͑ f ؠt͒͑x͒ f ͑t͑x͒͒ f (s2 Ϫ x ) ss2 Ϫ x s 2Ϫx Ví dụ 1.2 TìmThehàm ngược hàm số domain of f ؠt is ͕x Ϫ x ജ 0͖ ͕x x ഛy2͖ ͑Ϫϱ, 2͔ (a) f (x) = x3 + √ (b) f (x) = −1 − x y (b, a) Խ y=ƒ Խ Therefore, as illustrated by Figure 9: The graph of f Ϫ1 is obtained by reflecting the graph of f abou y=x EXAMPLE Sketch the graphs of f ͑x͒ sϪ1 Ϫ x and its inverse (_1, 0) Giải x (0, _1) same coordinate axes SOLUTION First we sketch the curve y sϪ1 Ϫ x (the top half of t y=f –!(x) FIGURE 10 y Ϫ1 Ϫ x, or x Ϫy Ϫ 1) and then we reflect about the lin graph of f Ϫ1 (See Figure 10.) As a check on our graph, notice th for f Ϫ1 is f Ϫ1͑x͒ Ϫx Ϫ 1, x ജ So the graph of f Ϫ1 is the ri parabola y Ϫx Ϫ and this seems reasonable from Figure 10 Logarithmic Functions TS NGUYỄN ĐỨC HẬU If a Ͼ and a 1, the exponential function f ͑x͒ a x is e decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test http://nguyenduchau.wordpress.com inverse function f Ϫ1, which is called the logarithmic function denoted by log a If we use the formulation of an inverse function f Ϫ1͑x͒ y &? f ͑y͒ x then we have log a x y &? ay x 68 ■ CHAPTER FUNCTIONS AND MODELS if f Ϫ1͑b͒ a, the point ͑a, b͒ is on the graph of f if and only if the point ͑b, a͒ is on the graph of f Ϫ1 But we get the point ͑b, a͒ from ͑a, b͒ by reflecting about the line y x (See Figure 8.) ODELS f f Ϫ1͑b͒ a, the point ͑a, b͒ is on the 1.1 graph of f if and if the pointsố ͑b, a͒ is on Hàm sốonly biến he graph of f Ϫ1 But we get the point ͑b, a͒ from ͑a, b͒ by reflecting about the line y x (See Figure 8.) y f –! (a, b) x y=x FIGURE FIGURE y=ƒ f y=xcùng đổi chỗ x với yy=x Cuối ta x √ y = 3FIGURE x − 92 FIGURE √ Therefore, as illustrated by Figure 9: Vậy hàm ngược cần tìm f −1 (x) = x − y=x y (b, a) (a) Giải phương trình y = x3 +f –!2 theo biến x ta (a, b) x3 = y − hay y−2 x xx = y (b, a) y f y The graph of f Ϫ1 is obtained by reflecting the graph of f about the line y x √ (b) Như hình vẽ đường cong y = −1 − x nửa EXAMPLE Sketch the f ͑x͒ sϪ1 Ϫ x and its parabol y graphs = −1of − x hay x = −y inverse − 1.function Lấy using đối the xứng x (_1, 0) same coordinate axes (0, _1) the line y x The graph of f Ϫ1 is obtained by reflecting the graph of f about −1 qua đường y = x ta đồ thị hàm f Nó SOLUTION First we sketch the curve y sϪ1 Ϫ x (the top half of the parabola −12(x) − or x fϪy reflect to getthị the y Ϫ1 Ϫ x,bởi Ϫ 1) and y xđồ biểu diễn = then −xwe 1, about x ≥the0.lineVậy y=f –!(x) Ϫ1 EXAMPLE Sketch the graphs of f ͑x͒ sϪ1 Ϫ x and its inverse function using the graph of (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression f −1 f for f Ϫ1 làismột −x half −of1.the So the parabol graph of f Ϫ1yis = the right f Ϫ1͑x͒nửa Ϫx bên Ϫ 1, xtrái ജ same coordinate axes FIGURE 10 số sơ cấp parabolaCác and this seems reasonable from Figuresố 10.sơ cấp y Ϫx Ϫ số Các hàm hàm sau gọi hàm SOLUTION First we sketch the curve y sϪ1 Ϫ x (the top half of the parabola y=x Therefore, as illustrated by Figure 9: y Ϫ1 Ϫ x, or x Ϫy Ϫ 1) and then we reflect about the line y x to get the Logarithmic Functions graph of f Ϫ1 (See Figure 10.) As a check on graph,luỹ noticethừa that the 1.ourHàm xαexpression for f Ϫ1 is f Ϫ1͑x͒ Ϫx Ϫ 1, x ജ So the graph of f Ϫ1 is the right half of the If a Ͼ and a 1, the exponential function f ͑x͒ a x is either increasing or parabola y Ϫx Ϫ and this seems reasonable from Figure 10 x decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test It therefore has an Hàm mũ a Logarithmic Functions inverse function f Ϫ1, which is called the logarithmic function with base a and is denoted by log a If we use the formulation of an inverse function given by (3), Hàm số logarit loga x f Ϫ1͑x͒ y &? f ͑y͒ x If a Ͼ and a 1, the exponential function f ͑x͒ a x is either increasing or have then we Các hàm số Itlượng giác decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test therefore has sin an x, cos x, tan x, cot x nverse function f Ϫ1, which is called the logarithmic function with base a and6 is log a x y &? a y x denoted by log a If we use the formulation of inverse function given giác by (3),ngược arcsin x, arccos x, arctan x, arccotx 5.anCác hàm lượng f Ϫ1͑x͒ y &? hen we have f ͑y͒ x Thus, if x Ͼ 0, then log a x is the exponent to which the base a must be raised to give Ϫ3 log10 0.001 Ϫ3 thành 0.001 số hữu hạn phép Forcác example, because 10bởi Hàm sơ cấp Hàm sơ cấpx.là hàm tạo The cancellation equations (4), when applied to f ͑x͒ a x and f Ϫ1͑x͒ log a x, tính đạiy số phép hợp hàm số sơ cấp become log a x y &? a x = cos 5x, y =log x 3x for every x ʦ+ ޒ2), y = Vítodụ (a)a Các hàm xa4͑a+x ͒ tan − ln(x Thus, if x Ͼ 0, then log a x is the exponent which1.3 the base must be raisedsố to y give x For example, log10 0.001 Ϫ3 because 10Ϫ3 0.001 làapplied hàm cấp sơ a x and f Ϫ1͑x͒ log a x, The cancellation equations (4), when to f ͑x͒số become (b) Các hàm số y = |x|, y = sgnx, y = log a͑a x ͒ x for every x ʦ ޒ a log a x x for every x Ͼ 0 x − e− ex + tan 6x , log3 x − x < x ≥ hàm số sơ cấp a log a x x for every x Ͼ Hàm ẩn Cho biểu thức F (x, y) = 0, (x, y) ∈ X × Y Nếu ứng với x ∈ X ta xác định y ∈ Y ta nói biểu thức F (x, y) = xác định cho ta hàm ẩn y x Ví dụ 1.4 (a) Biểu thức x2 + 2x − y = xác định hàm ẩn (biểu diễn dạng tường minh y theo x y = x2 + 2x) (b) Biểu thức exy + y = xác định hàm ẩn biểu diễn dạng tường minh y theo x (c) Biểu thức x2 + y + = không xác định hàm ẩn TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com (d) reflecting about the y-axis 1.7 1.1 Hàm số biến số Hàm số theo tham số Cho x = f (t), y = g(t) hàm số xác định T Khi với x = f (t0 ) cho ta y = g(t0 ) t0 xác định cho ta hàm số y theo đối số x gọi hàm cho theo tham số x = f (t), y = g(t) Với giá trị t xác định điểm (x, y) mặt phẳng xOy Khi t thay đổi điểm (x, y) = (f (t), g(t)) chạy đường cong C gọi đường cong tham số y Parametric 8Curves C (x, y)={ f(t), g(t)} x ● ● Imagine that a pa describe C by an But the x- and yx f ͑t͒ and y ing a curve and g Suppose that parameter) by t FIGURE Ví dụ 1.5 (a) Hàm số y = f (x) xác định X viết dạng tham số x = t, y = f (t), t ∈ X x2 y (b) Hàm ẩn + = viết dạng tham số a b x = a cos t , y = b sin t (called paramet can plot in a co traces out a curve essarily represen ter But in many we can interpret ≤ t ≤ 2π EXAMPLE Sketc Các hàm số hyperbolic SOLUTION Each va instance, if t Figure we plot we join them to ex − e−x Hàm sine hyperbolic sinh x = 2 Hàm cosine hyperbolic cosh x = Hàm tang hyperbolic x = ex + e−x t sinh x cosh x Hàm cotang hyperbolic coth x = Ϫ2 Ϫ1 cosh x sinh x Các hệ thức cosh2 x − sinh2 x = 1 1 − tanh2 x = , − coth2 x = cosh2 x sinh2 x sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x sinh(x − y) = sinh x cosh y − sinh y cosh x cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh y sinh x cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh y sinh x Các hàm số khác sec x = , cos x csc x = sin x TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 1.2 Giới hạn dãy số thực 1.2 Giới hạn dãy số thực Định nghĩa 1.2 Dãy số Cho hàm số f : N → R, n → f (n) = an Dãy số thực a1 , a2 , gọi dãy số, an gọi số hạng tổng quát dãy số Kí hiệu dãy số {an } Dãy bị chặn Dãy {an } gọi bị chặn tồn M cho an ≤ M , ∀n ∈ N Dãy {an } gọi bị chặn tồn M cho an ≥ M , ∀n ∈ N Dãy {an } gọi bị chặn (giới nội) vừa bị chặn vừa bị chặn tồn M cho |an | ≤ M , ∀n ∈ N Dãy đơn điệu Dãy {an } gọi đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ≤ (tương ứng a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ≥ ) Nếu khơng xảy dấu ta nói dãy tăng giảm thực Định nghĩa 1.3 Giới hạn hữu hạn dãy số Cho dãy số {an } Số thực a gọi giới hạn dãy số an ∀ε > cho trước ∃N0 cho |an − a| < ε, ∀n ≥ N0 Kí hiệu lim an = a an → a n → +∞ Hay n→+∞ cịn nói {an } dãy hội tụ đến a, trường hợp trái lại {an } gọi dãy phân kì Viết gọn lại lim an = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 : ∀n ≥ N0 ⇒ |an − a| < ε n→+∞ Chú ý 1.2 Nếu lim an = dãy {an } gọi dãy vô bé n→+∞ Định nghĩa 1.4 Dãy dần đến vô lim an = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 : ∀n ≥ N0 ⇒ |an | > M n→+∞ Các tính chất Giới hạn dãy số có Nếu an → a, bn → b n → +∞ (a, b hữu hạn) an ±bn → a±b, an bn → ab, an a bn → b , b = Cho hai dãy hội tụ {an }, {bn } • Nếu tồn N0 ∈ N : an = bn , ∀n ≥ N0 lim an = lim bn n→+∞ n→+∞ • Nếu tồn N0 ∈ N : an ≥ bn , ∀n ≥ N0 lim an ≥ lim bn n→+∞ n→+∞ • Nếu tồn N0 ∈ N : an ≤ bn , ∀n ≥ N0 lim an ≤ lim bn n→+∞ n→+∞ TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com ▲ The graph of the function y x x, x Ͼ 0, is shown in Figure Notice that although 0 is not defined, the values of the function approach as x l 0ϩ This 39 confirms the result of Example 2.6 Quy tắc Lô-pi-tan EXAMPLE Find lim x l 0ϩ SOLUTION Notice that t x for any x as an exponential: Ví dụ 2.20 In Example we use lim x x (Dạng ) x→0+ lim x ln x = e0 = = exp _1 x→0+ FIGURE Ví dụ 2.21 lim x→0+ 1/x2 sin x x (Dạng 1∞ ) ln(sin x) − ln x L (cos x/ sin x) − 1/x = exp lim + x 2x x→0 x cos x − sin x x cos x − sin x = exp lim = exp lim (thay sin x ∼ x) 2x2 sin x 2x3 x→0+ x→0+ −x sin x = e−1/6 = exp lim + 6x2 x→0 = exp lim x→0+ Ví dụ 2.22 lim (1 + sin 4x)cot x (Dạng 1∞ ) x→0+ = exp lim x→0+ ln(1 + sin 4x) L = exp tan x lim x→0+ cos 4x 1+sin 4x sec2 x = e4 (x) ta áp dụng quy tắc Lơ-pi-tan Chú ý 2.8 Khi tồn giới hạn lim fg (x) Ví dụ 2.23 Tìm x2 sin(1/x) x→0 sin x lim Giải Dạng 0/0 Ta có lim x→0 x2 sin(1/x) (sin x) 2x sin(1/x) − cos(1/x) x→0 cos x = lim Giới hạn khơng tồn Ta tìm giới hạn cách khác x2 sin(1/x) = lim x→0 x→0 sin x lim x sin x x sin x =0 TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Therefore 40 2.7 Khảo sát hàm số 2.7 Khảo sát hàm số Định lý 2.8 Sự tăng giảm hàm dấu đạo hàm Giả sử f (x) có đạo hàm khoảng (a, b) • Nếu f (x) > với x thuộc (a, b) f (x) tăng (a, b) • Nếu f (x) < với x thuộc (a, b) f (x) giảm (a, b) • Nếu f (x) = với x thuộc (a, b) f (x) hàm (a, b) • Nếu f (x) tăng (a, b) f (x) ≥ với x thuộc (a, b) dấu xảy hữu hạn điểm • Nếu f (x) giảm (a, b) f (x) ≤ với x thuộc (a, b) dấu xảy hữu hạn điểm • Nếu f (x) hàm (a, b) f (x) = với x thuộc (a, b) Ví dụ 2.24 Xét hàm số f (x) = x3 Ta có f (x) = 3x2 ≥ 0, dấu xảy x = Hàm số tăng toàn R Định nghĩa 2.8 Cực trị Cho hàm số f (x), điểm x0 gọi điểm cực đại (CĐ) f (x) tồn lân cận V x0 cho với x thuộc V f (x) ≤ f (x0 ), điểm x0 gọi điểm cực tiểu (CT) f (x) tồn lân cận V x0 cho với x thuộc V f (x) ≥ f (x0 ) Điểm CĐ, CT gọi chung điểm cực trị Định lý 2.9 Điều kiện cần để có cực trị Nếu f (x) đạt cực trị x0 f (x0 ) = f (x0 ) không tồn Định lý 2.10 Điều kiện đủ để có cực trị Cho hàm số f (x) xác định lân cận V điểm x0 Giả sử f (x0 ) = không tồn f (x0 ) giả sử f (x) liên tục x0 Khi • Nếu f (x) > lân cận bên trái x0 f (x) < lân cận bên phải x0 f (x) đạt cực đại x0 • Nếu f (x) < lân cận bên trái x0 f (x) > lân cận bên phải x0 f (x) đạt cực tiểu x0 • Nếu f (x) có dấu lân cận hai phái x0 f (x) khơng đạt cực trị x0 Định lý 2.11 Điều kiện đủ để có cực trị Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp c f (c) = 0, f (c) khác Khi TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com at c (c) If f Ј does not change sign at c (that is, f Ј is positive on both sides of c or negative on both sides), then f has no local maximum or minimum at c The First Derivative Test is a consequence of the I͞D Test In part (a), for instance, since the sign of f Ј͑x͒ changes from positive to negative at c, f is increasing to the left of c and decreasing to the right of c It follows that f has a local maximum at c a It is easy to remember the First Derivative Test by visualizing diagrams such 41 as those in Figure CU FIGURE 2.7 Khảo sát hàm số y y y P b CD y fª(x)0 fª(x)0 EXAMPLE Find the local minimum and maximum values of the function f in Example Concavity Test • Nếu f (c) > fSOLUTION (x) đạt cực From the tiểu chart intại the c solution to Example we from f Ј͑x͒ (a)seeIf that f Љ͑x͒ Ͼchanges for all x in I , then the graph of f negative to positive at Ϫ1, so f ͑Ϫ1͒ is a local minimum value by the First If f Љ͑x͒ forall x in I , then the graph of f Ͻ f0͑2͒ changes from negative to(b) positive at 2, so Ϫ27 • Nếu f (c) < fDerivative (x) đạtTest cựcSimilarly, đại tạif Јc is also a local minimum value As previously noted, f ͑0͒ is a local maximum value because f Ј͑x͒ changes from positive to negative at In view of the Concavity Test, there is a point of i second derivative changes sign A consequence of the test for maximum and minimum values y Concavity Let us recall the definition of concavity from Section 2.10 Derivative Test A function (or its graph) on Second an interval I if f Ј is an Suppose f Љ is continuous P is called concave upwardThe increasing function on I It is called concave downward onf Ј͑c͒ I if f Ј is0decreas(a) If and f Љ͑c͒ Ͼ 0, then f has a local ƒ f ª(c)=0 ing on I f(c) (b) If f Ј͑c͒ and f Љ͑c͒ Ͻ 0, then f has a local c x x For instance, part (a) is true because f Љ͑x͒ Ͼ nea Hình 2.6: FIGURE f (c) > 0, c hàm số đạt cực tiểu near c This means that the graph of f lies above its h has a local minimum at c (See Figure 6.) f ·(c)>0, concave upward Ví dụ 2.25 Tìm cực trị hàm số y = √ 2x2 − x3 EXAMPLE Discuss the curve y x Ϫ 4x with resp inflection, and local maxima and minima Use this in Giải Ta có y = SOLUTION If f ͑x͒ x Ϫ 4x 3, then − 3x f Ј͑x͒ 4x Ϫ 12x 4x 2͑x 3 x(2 − x) f Љ͑x͒ 12x Ϫ 24x 12x͑ Lập BBT suy ymax = y(4/3) = (2/3)41/3 , ymin = y(0) = Ví dụ 2.26 Tìm cực trị hàm số y = sin 2x Giải Ta có y = cos 2x, y = −4 sin 2x y = ⇔ cos 2x = ⇔ x = π kπ + , k∈Z Nhận xét y π kπ + = −4 sin π + kπ −4 k = 2l k = 2l + Vậy ymax = y π π + lπ = sin + 2lπ = TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 42 2.7 Khảo sát hàm số ymin = y 3π + lπ = sin 3π + 2lπ = −1 Chú ý 2.9 Ta mở rộng định lý 2.11 sau: Nếu f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp k f (x0 ) = f (x0 ) = = f (k−1) (x0 ) = 0, f (k) (x0 ) khác • Nếu k lẻ f (x) khơng đạt cực trị x0 • Nếu k chẵn f (x) đạt cực trị x0 (đạt cực đại f (k) (x0 ) < đạt cực tiểu f (k) (x0 ) > 0) Giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hàm số f (x) liên tục [a, b] Để tìm GTLN GTNN f (x) [a, b] ta thực bước sau Tìm điểm x1 , x2 , , xn thuộc (a, b) mà f (x) = khơng tồn Tính f (x1 ), f (x2 ), , f (xn ), f (a), f (b) max f (x) = max {f (x1 ), , f (xn ), f (a), f (b)} x∈[a,b] f (x) = {f (x1 ), , f (xn ), f (a), f (b)} x∈[a,b] Ngoài ta sử dụng bảng biến thiên hay sử dụng bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN Chiều lõm điểm uốn đồ thị hàm số Cho hàm số f (x) liên tục khả vi (a, b) Khi đó: f (x) gọi lõm (a, b) khoảng tiếp tuyến điểm phía đồ thị f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f (x) gọi lồi (a, b) khoảng tiếp tuyến điểm phía đồ thị f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) Điểm uốn đồ thị điểm chia phần lồi phần lõm Nếu f (x0 ) = f (x0 ) không tồn qua x0 mà f (x) đổi dấu điểm (x0 , f (x0 )) điểm uốn Định nghĩa 2.9 Các đường tiệm cận đồ thị hàm số Nếu lim f (x) = ∞ đồ thị hàm số f (x) có tiệm cận đứng x = x0 x→x0 Nếu lim f (x) = y0 đồ thị hàm số f (x) có tiệm cận ngang y = y0 x→∞ TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 284 ■ CHAPTER APPLICATIONS OF DIFFERENTIATION Notice in Figure that the slopes of the tangent lines increase from left to right on the interval ͑a, b͒, so f Ј is increasing and f is concave upward (abbreviated CU) on ͑a, b͒ [It can be proved that this is equivalent to saying that the graph of f lies above all of its tangent lines on ͑a, b͒.] Similarly, the slopes of the tangent lines decrease ■ 134 CHAPTER ■ 2CHAPTER LIMITS 2AND LIMITS DERIVATIVES AND DERIVATIVES from left to right 2.7 Khảo sát hàm số on ͑b, c͒, so f Ј is decreasing and f is concave downward (CD) on ͑b, c͒ As x grows As x larger grows and larger larger and you larger canyou seecan thatsee thethat values the values of f ͑x͒ofgetf ͑x͒ closer get and closer and Explore concavity on a roller coaster Resources / Module / Concavity / Introduction 134 43 y closer to closer Into fact, In it seems fact, it that seems wethat can we make canthe make values the of values as fclose we like as we to like to f ͑x͒ of ͑x͒ asasclose by taking by xtaking sufficiently large This large.situation This situation is expressed is expressed symbolically symbolically by writing by writing x sufficiently x2 Ϫ 1x2 Ϫ 1 lim x P xϩl ϱ1 x ϩ lim x lϱ Q In general, In general, we use we the use notation the notation lim f ͑x͒lim fL͑x͒ L x lϱ x lϱ to0indicate to aindicate that thethat values the of values approach larger larger larger and larger x f ͑x͒ of f ͑x͒ L as x becomes L as x becomes b approach c and FIGURE CU CD CU Definition Definition Letsố Let a function a function defined defined on someon interval some Then f be f betrên ͑a, ϱ͒ ͑a,trên ϱ͒ Then 4hàm Hình 2.7: Đồ4 thị lõm khoảng (a, b) interval lồi khoảng (b, c) fL͑x͒ L lim f ͑x͒lim ▲ A more ▲ precise A moreversion preciseofversion Definition of Definition 4 ϱ x lϱ A point where a curve changes itsx ldirection of concavity is called an inflection point The curve Figure changes from upward towe concave downward at f (x) meansin that means thethat values the of values canf ͑x͒ be made can concave beasmade closeastoclose to weLlike as by like taking by xtaking f ͑x͒ of = asufficiently vàlarge.lim [f (x) − ax]Ϫ = b thìL asđồ thị hàm số fx(x) có tiệm cận Nếu lim x sufficiently large tothat and from concave downward concave both Ponly andvalues P x→∞ Q,wesoconsider Q areofinflecremembering “x l aupward ” meansat that x that are less than x→∞ ϩ , and similarly “ ” means that we consider only Illustrations of these a x l a x Ͼ a tion points xiên y = ax + b four cases Figure notation for is is limare lim f ͑x͒xif L is xfor lthat ϱgiven l ϱin Because f ЉAnother , we know positive, then f Ј is an increasing func ͑ Another f notation Ј͒Ј ffL͑x͒ Љ͑x͒ then f Ј is decreasing Љ͑x͒ y ylnegative, y tion and so f is concave y upward Similarly, as ϱ xis f ͑x͒ lfL͑x͒ as lifLxf l ϱ and f is concave downward Thus, we have the following test for concavity is given132 in is given Appendix in■Appendix D CHAPTER D LIMITS AND DERIVATIVES The symbol The symbol notdoes represent not represent a number a number Nonetheless, Nonetheless, the expression the expression ϱ does ϱ lim f ͑x͒lim fL͑x͒ L x lϱ x lϱ is oftenisread often as read as “theoflimit approaches , as x approaches infinity, is L” ais L” x f ͑x͒,ofas infinity, “the x x f x͑x͒ a limit a Concavity Test or (a) lim x FIGURE y y y P ƒ f(c) y (a) If f Љ͑x͒ Ͼ for all x in I , then the graph of f is concave upward on I or or “the limit “theoflimit increases , as x increases withoutwithout bound, bound, is L” is L” f ͑x͒,ofasf x͑x͒ (b) If f Љ͑x͒ Ͻ for(b)all x in I , then the graph of(c)f lim is concave downward on(d)I lim ƒ=` lim ƒ=` ƒ=_` The meaning The meaning of such such phrases is givenisby given Definition by Definition x a4 +phrases _ x aof x Geometric Geometric illustrations illustrations of Definition of Definition are shown are in shown Figure in Figure Notice Notice that there thatare there are many ways manyfor ways the for graph theof graph approach the linethe is calledis acalled horizonay=L horizonf to of f to approach y line L (which y L (which of thetalConcavity Test, there is a point of inflection at any point where tal asymptote) asymptote) c x x FIGURE FIGURE ƒ=_` In general, as shown in Figure SECTION 2.5 LIMITS INVOLVING I x statements is true: y f ͑x͒ if at least one of the followingy=ƒ y=L y=L y=L y=ƒ y=ƒ x l aϪ x l Ϫϱ x l aϩ Các đường tiệm cận ngang y Definition The line y FIGURE means10 that the values of f ͑x͒ can be made arbitrarily close to L by t y f ͑x͒ if either Examples illustrating lim ƒ=L large negative part (a) is true because f Љ͑x͒ Ͼ near c and so f is concave upwardx _` Again, the symbol 2Ϫϱ does not represent a number, butlim thefex ͑x y=ƒ For instance, the -axis is a vertical asymptote of the curve y y f1͞x because x lϱ near cTìm This means that graph of see lies above horizontal at and f8,của Ví dụ 2.27 đường cận đồ thị hàm số ftangent (x) xarccotx lim ͑x͒x,so L is often read as y=L Referring Referring backthe totiệm back Figure to28, Figure we we thatsee for that numerically forits numerically large negative large negative values= of values x, cfof x l Ϫϱ In Figure the line is a vertical asymptote in each of the lim ͑1͞x ͒ ϱ x a xof l 0f ͑x͒ values the of values fat ͑x͒c are close areFigure toclose Bytoletting By xletting decrease x decrease throughthrough negativenegative values withvalues withhas a local the minimum (See 6.) Examples Examples illustrating illustrating lim ƒ=L lim ƒ=L For instance, x ` FIGURE f ·(c)>0, concave upward a+ out bound, we can make f ͑x͒ y=ƒ Các đường tiệm cận đứng In view the second derivative changes sign A consequence of the Concavity Test is the following y y y y test for maximum and minimum values y a vertical asymptote y Definition The line x a is called of the out bound, we curve can make x la x to 1that as the we values like This is ex f ͑x͒ as close means of f ͑x͒ c large x 2negative Ϫ1 lim Again, the symbol Ϫϱ doe y=ƒ x l Ϫϱ x ϩ The Second Derivative Test Suppose ϱ lim f ͑x͒ L is often read as lim f ͑x͒f Љisϱcontinuous limϪnear f ͑x͒ c limϩy=L f ͑x͒ ϱ y=ƒ y=ƒ x l Ϫϱ x la x la y=ƒ y=ƒ x l a y=L (a) If f Ј͑c͒ and f y=L a local minimum at c In general, as shown in Figure 10, the notation “the limit of f ͑x Љ͑c͒ Ͼ 0, then f hasy=L 0 x x x x lim f ͑x͒ L lim0,f ͑x͒ xfϪϱ lim f ͑x͒ Ϫϱat c lim f ͑x͒ Ϫϱ (b) Ifx f Ј͑c͒x 00 and 0f Љ͑c͒ Ͻ then has xa local maximum y=L f ª(c)=0 a_ a “the limit “theoflimit becomes , as x becomes infinite,infinite, is L” is L” f ͑x͒,ofasf x͑x͒ or x ` “the limit of f ͑x͒, as x approaches negative infinity, four cases shown y x For instance, the curve illu Giải TXĐ R, đồ thị khơng có tiệm cận đứng Tìm tiệm cận ngang asymptote because EXAMPLE Discuss the curve y x Ϫ 4x with respect to concavity, points of 2x 2x Definition The line is called a horizontal asymptote y L FIGURE 10 xiên inflection, and local maxima minima this lim information EXAMPLE 1and Find and to sketch the curve lim Use π x l 3ϩ • y f ͑x͒ if either illustrating x l 3Ϫ x Ϫlim x ϪExamples 3 ƒ=L x _` SOLUTION If f ͑x͒ x Ϫ 4x , then lim f ͑x͒ x L or lim f ͑x͒ L SOLUTION If x is close to but larger than 3, then the denominator x Ϫ is a small x lϱ x l Ϫϱ Xét x → +∞ Ta có An example of a curve with tw positive number and is close to So the quotient is a large positive 2x 2x͑͞x Ϫ 3͒ In fact, f Ј͑x͒ 4x Ϫ 12x 4x 2͑x Ϫ 3͒ _ π2 number Thus, intuitively we see that y f (x) 12x Ϫ 24x 12x͑xarccotx Ϫ 2͒ a f=Љ͑x͒lim = lim =0 x→+∞ 2x x→+∞ x lim ϱ For instance, the curve illustrated in Figure has the line y asymptote FIGURE 11 because lim ta x l Ϫϱ y=tan–!x x2 Ϫ x l 3ϩ x Ϫ lim 1 x lϱ x ϩ x so both of the lines y Ϫ͞2 Likewise, if x is close to but smaller than 3, then x Ϫ is example a smallofnegative number 3An arccotx a curve with two horizontal asymptotes is y tanϪ from the fact that the lines x lim limnumber xarccotx but 2x f is(x) still a=positive (close to= 6) Solim is a numerically large 2x͑͞x ϪIn3͒fact, π π y 2x y= x-3 b= x x=3 L x→+∞ negative number x→+∞ Thus −1/(x + 1) = lim x→+∞ −1/x2 _2 1/x x→+∞ x2 11 2x =FIGURE lim =1 y=tan–!xlim Ϫϱ x→+∞ +3x x l 3Ϫ xϪ y EXAMPLE Find the infinite lim graph is shown lim tanϪ1 x f whose Ϫ lim tanϪ1 xin Fig x l Ϫϱ x lϱ 2 SOLUTION We see that the values both of line the lines graph of the curve The 2x͑͞x x y 3isϪa͞2 and y ͞2 are horizontal asympt đồ thị có tiệmThecận ngang bêny phải yϪ =3͒1.is given in Figureso from the0fact that the lines x xϮ͞2 are vertical asymptotes of th FIGURE vertical asymptote TS NGUYỄN ĐỨC HẬU y Notice that f ͑x͒ becomes large positive as x approaches from EXAMPLE Find the infinite limits, limits at infinity, and asymptote Two familiar functions whose graphs have vertical asymptotes are y tan x and f whose graph is shown in Figure 12 y ln x From Figure we seehttp://nguyenduchau.wordpress.com that lim f ͑x͒ x l 2Ϫ SOLUTION FIGURE 12 We see that the values of f ͑x͒ become large as x l Ϫ1 f Thus, both of the lines x Ϫ lim f ͑x͒ ϱ x l Ϫ1 x Notice that f ͑x͒ becomes large negative as x approaches from th positive as x approaches from the right So lim f ͑x͒ Ϫϱ x l 2Ϫ and lim f ͑x͒ ϱ x l 2ϩ 44 2.7 Khảo sát hàm số • Xét x → −∞ Ta có f (x) = lim arccotx = π x→−∞ x x→−∞ a = lim b = lim [f (x) − πx] = lim x(arccotx − π) = lim x→−∞ L x→−∞ x→−∞ arccotx − π 1/x −1/(x2 + 1) x2 = lim =1 x→−∞ x→−∞ + x2 −1/x2 = lim đồ thị có tiệm cận xiên bên trái y = πx + Khảo sát hàm số Lược đồ khảo sát hàm số y = f (x) Tìm miền xác định Nhận xét tính chẵn lẻ, tuần hồn (nếu có) hàm Tìm đường tiệm cận Tìm chiều biến thiên cực trị hàm (Tính y , giải phương trình y = 0, kết thúc BBT) Tìm chiều lõm, điểm uốn đồ thị (Tính y , giải phương trình y = 0, kết thúc bảng xét chiều lõm điểm uốn) Vẽ đồ thị (Lấy thêm số điểm đặc biệt, ví dụ giao với trục Ox, Oy, ) Ví dụ 2.28 Khảo sát hàm số y = (x + 1)2/3 − (x − 1)2/3 Giải • Miền xác định R Hàm số hàm lẻ • Các tiệm cận Khơng có tiệm cận đứng, lim x→∞ (x + 1)2 − (x − 1)2 (x + 1)4 + (x2 − 1)2 + (x − 1)4 =0 nên đồ thị có tiệm cận ngang y = Đồ thị khơng có tiệm cận xiên • Chiều biến thiên y = (2/3)[(x + 1)−1/3 − (x − 1)1/3 ] √ =− √ 3 2 x − 1( (x − 1) + x2 − + (x + 1)2 ) BBT TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 45 2.8 Đường cong cho phương trình tham số • Chiều lõm điểm uốn y = (2/9)[(x − 1)−4/3 − (x + 1)4/3 ] = (x + 1)4/3 − (x − 1)4/3 (x2 − 1)4/3 Ta có y > ⇔ (x + 1)4/3 > (x − 1)4/3 ⇔ (x + 1)2 > (x − 1)2 ⇔ x > Bảng xét chiều lõm điểm uốn Đồ thị có điểm uốn U (0, 0) • Đồ thị (The maximum charge capacity is Q and t is measured seconds.) (a) Find the inverse of this function and explain its mean (b) How long does it take to recharge the capacitor to of capacity if a 2? 59 Starting with the graph of y ln x, find the equation of graph that results from (a) shifting units upward (b) shifting units to the left (c) reflecting about the x-axis (d) reflecting about the y-axis Hình 2.8: Đồ thị y = (x + 1)2/3 − (x − 1)2/3 2.8 Đường cong cho phương trình tham số 1.7 Parametric Curves Đường cong cho phương trình tham số Cho x = f (t), y = g(t) hàm số xác định y C T Khi với x = f (t0 ) cho ta y = g(t0 ) t0 xác định cho ta hàm số y theo đối số x gọi hàm (x, y)={ f(t), g(t)} cho theo tham số x = f (t), y = g(t) Với giá trị t xác định điểm (x, y) mặt phẳng xOy Khi t thay đổi điểm (x, y) = (f (t), g(t)) chạy đường cong C gọi x đường cong tham số Lược đồ khảo sát hàm số cho phương trình tham số x = f (t), y = g(t) biến thiên theo Nói chung gồm bước với ý làFIGURE ta xét t, từ rút biến thiên y theo x ● ● Imagine that a pa describe C by an But the x- and yx f ͑t͒ and y ing a curve and g Suppose that parameter) by t (called paramet can plot in a co traces out a curve essarily represen ter But in many we can interpret EXAMPLE Sketc TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com SOLUTION Each va instance, if t Figure we plot we join them to x t Ϫcurves, 2t ͑yt does Ϫ 1͒2denote Ϫ 2͑ytime Ϫ 1͒and ytherefore Ϫ 4y ϩ ter But in many applications of parametric we can interpret ͑x, y͒ the position particle at time t.equations is the parabola ͑ fthe ͑t͒, curve t͑t͒͒ as andso represented by of thea given parametric x y Ϫ 4y ϩ EXAMPLE Sketch and identify the curve defined by the parametric equations y No restriction the1 parameter t in Example 1, so we assumed that t x t Ϫwas 2t placed y ont ϩ could be any real number But sometimes we restrict t to lie in a finite interval For SOLUTION Eachtrình value of t gives a point on the curve, as shown in the table For 2.8 Đường cong cho phương tham 46 instance,sốthe parametric curve instance, if t 0, then x 0, y and so the corresponding point is ͑0, 1͒ In Figure we plot the points ͑x, y͒ determined several x by t2 Ϫ 2t values y tof ϩthe parameter ഛ t ഛand Ví dụ 2.29 Vẽ đườngwecong xác tođịnh bởia curve phương trình join them produce (0, 1) shown in Figure is the part of the parabola in Example that starts at the point ͑0, 1͒ tham số y x the direction in which the curve x = t − 2t, ty = t +x and endsy at the point ͑8, 5͒ The arrowhead indicatest=4 is tracedSECTION as t increases from to CURVES t=3 1.7 PARAMETRIC ◆ 79 Ϫ2 In general, Ϫ1 the curve witht=2 parametric equations (8, 5) Giải Ta xác định3 số điểmϪ1(x, y) tương ứng FIGURE với giá trị complicated f ͑t͒ y t͑t͒ a ഛFor tഛb 0 t =Graphing −2, −1, 0,devices 1, 2, 3, are Hình vẽ bên biểu đường congx t=1 particularly usefuldiễn when sketching curves (0, 1) Ϫ1 tham số nối điểminđó Ta thấy rằng12 đường t=0 impossible to 8proinstance, the ta curves shown Figures 11has and would be virtually initial point ͑ f ͑a͒, t͑a͒͒ and terminal point ͑ f ͑b͒, t͑b͒͒ x parabol Ta kiểm tra lại điều khử tham số t duce by hand t=_1 3 EXAMPLE What curve is represented by the parametric equations x cos t, t=_2 Ta có t = y − x = t − 2t = (y − impression by eliminating t Observe that x = cos t, y = sin t, _8 example the parameter t can be interpreted as the angle (in radians) shown in Fig4 As t increases from to 2, the point ͑x, y͒ ͑cos t, sin t͒ moves once ≤ure t≤ 2π around the circle in the counterclockwise direction starting from the point ͑1, 0͒ _3 Giải Khử FIGURE 11 tham số t ta thu FIGURE 12 π y SECTION 1.7 PARAMETRIC CURVES x=cos t-cos 80t sin t,t=y=2 sin t-sin 80t x=t+2 sin 2t, y=t+2 cos 5t x2 + y = cos2 t + sin2 t = (cos t, sin t ) ◆ 77 Again curves we have is in computer-aided design One of the most important uses of SOLUTION parametric t=0 Vậy đâyInlàthe đường tròn đơnProject vị x2 + y2 = được3.5 biểu (CAD) Laboratory after Section wediễn willx t=π investigate ϩ y sin 2tspecial 1 t ϩ cos 2tparax hình vẽ bên Chú ý tthat tăng từused đến 2π in manufacturing, (1, 0) metric curves, called Bézier curves, are extensively espeso the parametric equations again represent the unit circle x ϩ y But as t điểm (x, y) =automotive (cos t, sin t)industry di chuyển mộtcurves vòng đường t=2π cially in the These are employed increases from toalso point ͑x, y͒inspecifying starts at ͑0, 1͒ and moves 2, the ͑sin 2t, cos 2t͒the tròn theo chiều ngược chiều quay kim hồ around the bắt circleđầu in the clockwise 3π direction as indicated in Figure shapes of letters and other symbols in twice laserđồng printers t= từ điểm (1, 0) FIGURE y Chú ý phương trình tham số t=0, π, 2π EXAMPLE What curve is represented by the parametric equations x sin 2t, The Cycloid y cos 2t, ഛ t ഛ 2 ? (0, 1) x = sin 2t, y = cos 2t, ≤ t ≤ 2π EXAMPLE The curve traced out by a point P on the circumference of a circle as biểurolls diễnalong đường tròn đơn vị isx2called + y a=cycloid nhiên the circle a straight line (see Figure 13).0If the circle t tăng từ đến 2π điểm (x, y) = (sin 2t, cos 2t) has radius r and rolls along the x-axis and if one position di of P is the origin, find chuyển haiequations vòng trênforđường tròn theo chiều chiều parametric the cycloid x quay kim đồng hồ điểm (0, 1) FIGURE P FIGURE 13 (_1, 1) y P PExamples and show that different sets of parametric equations can represent the same curve Thus, we distinguish between a curve, which is a set of points, and a parametric curve, in which the points are traced in a particular way (1, 1) EXAMPLE Sketch the curve with parametric equations x sin t, y sin 2t of the circle ͑ when at the origin) Suppose the Đường circle has through radians the PVíis dụ since 2.31 Đường Cycloid vẽalso bởithat, điểm Psinnằm But note we have ycong rotated x Ϫ1 ഛBecause t ഛ 1,trên Ϫ1 ഛ x ഛ 1, so the x đườnghas tròn in cho đườngwith trịnthe lănparametric đường thẳng đường cycloid circle been contact line, we see from Figure 14gọi thatlà the distance it equations represent only the part of the parabola for which Ϫ1 ഛ x ഛ Since is periodic, the point moves back and forth infinitely sin t ͑x, y͒ ͑sin t, sin t͒ has rolledFIGURE from6 the origin is often along the parabola from ͑Ϫ1, 1͒ to ͑1, 1͒ (See Figure 6.) Խ OT Խ arc PT r SOLUTION We choose as parameter the angle of rotation SOLUTION Observe that y ͑sin t͒ x and so the point x, y moves on the parabola C (ră,r) ă x Therefore, the center of the circle is C͑r, r͒ Let the coordinates of P be ͑x, y͒ Module animaThen from Figure 141.7A wegives seeanthat Q T x TS NGUYỄN ĐỨC HẬU tion of the relationship between f ͑t͒, motion alongxa parametric OT curve Ϫ x PQ y t͑t͒ and motion along the graphs of f and t as functions of t Clicking on r͑ Ϫ sin ͒ Խ Խ Խ Խ r Ϫ r sinhttp://nguyenduchau.wordpress.com y Խ TC Խ Ϫ Խ QC Խ r Ϫ r cos r͑1 Ϫ cos ͒ TRIG gives you the family of parametric curves x=cost ă FIGURE 2 we1) plot=points, appears 1)SOLUTION − 2(yIf − y −it4y + that the curve is a circle We can confirm this Vậy đường cong cho phương trình tham số parabol x = y − 4y +2 x ϩ y cos 2t ϩ sin _6.5 6.5 _1.5 1.5t Ví dụ 2.30 Xác định đường cong cho phương trình Thus, the point ͑x, y͒ moves on the unit circle x ϩ y Notice that in this tham số animation in Module 1.7B ws how the cycloid is formed moves r y sin t, ഛ t ഛ 2? Therefore, parametric x a cos bt equations y c sin dtof the cycloid are If you choose a b c d and EXAMPLE The curve tr An animation in Module 1.7B shows how the cycloid is formed as the circle moves the circle rolls along a s has radius r and rolls al parametric equations fo 47 2.8 Đường cong cho phương trình tham số FIGURE 13 Chọn tham số góc quay θ đường trịn (θ = P gốc tọa độ) Ta có |OT | = arcP T = rθ Do tâm đường tròn C(rθ, r) Giả sử P (x, y) x = |OT | − |P Q| = rθ − r sin θ = r(θ − sin θ) y = |T C| − |QC| = r − r cos θ = r(1 − cos θ) Vậy phương trình tham số đường cycloid y P SOLUTION We choose as p P is at the origin) Supp circle has been in conta has rolled from the orig r P C (ră,r) ă Therefore, the center of Then from Figure 14 we Q y Խ x O x O T x ră x = r( sin ), y = r(1 − cos θ), θ ∈ R Mỗi cung đường cycloid tương ứng với vòng quay FIGURE 14 đường tròn ≤ θ ≤ 2π gọi nhịp đường cycloid Խ y T Therefore, parametric eq x r͑ One arch of the cycloid ഛ ഛ 2 Although the case where Ͻ Ͻ other values of (see E Hình 2.9: Đồ thị đường ”lá đề các” x3 + y − 3axy = 0, (a > 0) Ví dụ 2.32 Khảo sát đường ”lá đề các” x3 + y − 3axy = 0, (a > 0) Giải Đặt y = tx Thay vào phương trình ta có x3 + t3 x3 − 3atx2 = ⇔ x = x = 3at/(1 + t3 ) Vậy đường cho có phương trình tham số là: x= 3at , + t3 y= 3at2 + t3 • Miền xác định hàm x(t), y(t) R|{−1} • Tiệm cận Nhận xét lim x(t) = ∞, lim y(t) = ∞ Vậy đồ thị hàm số khơng t→−1 t→−1 có tiệm cận đứng Ta tìm tiệm cận ngang tiệm cận xiên lim y/x = lim t = −1 t→−1 t→−1 lim (y − (−x)) = lim 3at(t + 1)/(t + 1)(t2 − t + 1) = −a t→−1 t→−1 Vậy đồ thị có tiệm cận xiên y = −x − a TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com 48 2.9 Đường cong tọa độ cực • Chiều biến thiên cực trị A58 ■ APPENDIX G INTEGRATION OF RATIONAL FUNCTIONS B 3a(1 − 2t3 ) x = , (1 + t3 )2 3at(2 − t3 ) y = Use part (a) to find x f ͑x͒ dx (by hand) and compare (1 + t3 )2 (b) with the result of using the CAS to integrate f directly Comment on any discrepancy √ √ x = ⇔ t = 1/ 2, y = ⇔ t = t = BBTCAS 34 (a) Find the partial fraction decomposition of the function A58 ■ f ͑x͒ • Đồ thị Ví dụ 2.33 Đường Astroid CAS Phương trình tọa độ đề a>0 (b) Use part (a) to find x f ͑x͒ dx and graph f and its indefi● ● ● ● graph of x f ͑x͒ dx x = a cos θ, 2.9 12x Ϫ 7x Ϫ 13x ϩ 100x Ϫ 80x ϩ 116x Ϫ 80x ϩ 41x Ϫ 20x ϩ integral on the same screen H(c) nite Polar Coordinates Use the graph of f to discover the main features of the Phương trình tham số P f ͑x͒dxdx(by (b) Use Use part part(a) (a)totofind findxxf ͑x͒ and graph and its indefi(b) hand) andf compare nite integral same with the resultonofthe using thescreen CAS to integrate f directly (c) Comment Use the graph of discrepancy f to discover the main features of the on any graph of x f ͑x͒ dx 34 (a) Find the partial fraction decomposition of the function f ͑x͒ x2/3 + y 2/3 = a2/3 , 12x Ϫ 7x Ϫ 13x ϩ APPENDIX G INTEGRATION OF RATIONAL FUNCTIONS BY 100x Ϫ 80x ϩ 116x Ϫ 80x ϩ 41x Ϫ 20x ϩ y = a sin θ Đường cong tọa độ cực H Polar coordinates offer ful because, for certain simple descriptions and variable calculus: the Polar Coordinateslaws of planetary motio ● ● ● ● Polar coordinates offer an Curves in Polar Coordinates ful because, for certain ty Tọa độ cực mặt phẳng simple descriptions and eq Trong mặt phẳng chọn điểm gọi điểm cực kí hiệu variable calculus: the eva A coordinate system re laws of planetary motion O Vẽ tia gốc O gọi trục cực Thông thường tia ta called coordinates Usu from two perpendicul P (r,ă ) ly chớnh l tia Ox hệ tọa độ đề vng góc Hệ bao by Newton, called the gồm cực điểm O trục cực OP gọi hệ tọa độ cực Xét H.1 Curves in Polar Coordinates purposes −−→ −→ −−→ r We choose a point i điểm P mặt phẳng Đặt r = |OP |, θ = (Ox, OP ) Then we draw a rayrepr (ha A coordinate system Rõ ràng vị trí P xác định r θ (r, θ) drawn horizontally to called coordinates Usuall ă gi l ta cc ca im P , r gọi bán kính cực, θ O coordinates from two perpendicular P (r,ă ) x polar axis If P is any other by Newton, called the po gọi góc cực purposes the angle (usually mea FIGURE Theo định nghĩa ≤ r < +∞, −∞ < θ < +∞ Nếu xét 1≤ θ r< 2π, ứng Figure We choose a point in t Then the poin wecoordinates draw a ray (halfvới điểm P có (r, θ), nghĩa tọa độ cực có tương ứng (r,ă 1) Then polar of P drawn to the in thehorizontally counterclockwis tọa độ Đề (trừ im O) ă coordinates O direction If , th P O ă+ x polar axis ă Ta cú th mở rộng thành trường hợp −∞ < r < +∞, If P is value ofany other point O the angle (usually −∞ < θ < +∞ cách xác định điểm P (r, θ) sau: FIGURE We extend themeasur mean Figure agreeing Then the that, pointaP −→ tive by Vẽ trục Ou tạo với Ox gúc Trờn trc Ou ly im (r,ă ) polar coordinates through theP.saW O and at of inthe thepoint counterclockwise P cho r = OP , Khi (r, ) gi l ta cc m rng (_r,ă ) ͑r, ͒ lies in td direction If P O, then opposite side of the po P Trên hệ trục tọa độ cặp (r, θ) xỏc nh mt FIGUREă+ ă value of O We extend the meanin điểm P ngược lại điểm P ứng với vô số cặp EXAMPLE Plot the poi tive by agreeing that, as i (r, θ + 2kπ), (−r, θ + π + 2kπ), nghĩa tọa độ cực không (a) (b ͑1, 5͞4͒ through O and at the sam (_r,ă ) cú s tng ng − the point ͑r, ͒ lies in the opposite side of the pole FIGURE H.1 ● ● ● ● EXAMPLE Plot the points (a) ͑1, 5͞4͒ TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com (b) ͑ SECTION H.1 CURVES IN POLAR COORDINATES ◆ SOLUTION The points a located three units fro the second quadrant a A59 3π 5π SOLUTION The points are plotted in Figure In part (d)Othe point ͑Ϫ3, 3͞4͒ is (2, 3π) SECTION H.1 CURVES IN POLAR COORDINATES ◆ A59 2.9 Đường cong tọa located độ cực three units from the pole in the fourth quadrant because the angle 3͞449 is in 5π 5π 5π ”1, ’ 4 O 5π the second quadrant and r Ϫ3 is negative ”1, 4 ’ SOLUTION The points are plotted in Figure In part (d) the point ͑Ϫ3,3π 3͞4͒ is 3π O O located three units from the pole inO the fourth quadrant because the angle 3͞4 is in FIGURE second quadrant and r Ϫ3 is negative O the (2, 3π) O 3π (2, 3π) O O 2π ”2, _ ’ _ 2π FIGURE 5π ”1, ’ 3π _ 2π O ”_3, 3π ’ In the Cartesian co the polar coordinate point ͑1, 5͞4͒ in E ͑Ϫ1, ͞4͒ (See Figu 5π 2π Hình vẽ biểu diễn Inđiểm có tọa độ2π3 ’cực , (2, 2, −3π ”2, _ the Cartesian coordinate system1, every point has 3π), only one representation, but in ”_3, ’ 5π representations For O FIGURE the polar coordinate system each point has many instance, the O 3π 5π 3π point ͑1, 5͞4͒ in Example 1(a) could be written as ͑1, Ϫ3͞4͒ or ͑1, 13͞4͒ or _ 3π −3, Hình vẽ cho điểmcoordinate 1, system cóevery thể point thành 1, − but in In thấy the Cartesian hasviết only one representation, ͑Ϫ1, ͞4͒ (See Figure 4.) 4 the ”1, _ 3π ’ 5π ’ the polar coordinate system 4each point has many”1, representations For instance, 4 π ͞4͒ or π O ͑1, 5͞4͒ in Example 1(a)13πcould be written as ͑1, Ϫ3͞4͒ or ͑1, 13 13π point 5π −1, ͑Ϫ1, ͞4͒ (See Figure 4.) hay 1, 4 FIGURE 4 3π O O O In fact, since a co 5π 5π ”1, ’ O FIGURE ”1, 5π ’ O ”1, _ 3π ’ _ 13π 13π ”1, 4 ’ _ 3π 13π ”1, _ 3π ’ π O ”_1, ’ O4 π point represented by ͑r, π ’ In fact, since a complete ”1, counterclockwise rotation is ”_1, ’ given 4 by an angle 2, the where n is any intege point represented by polar coordinates is also ͑r, ͒ tọa độ đề vng góc Oxy y represented by Giả FIGUREsử P (x, y) hệ fact, sinceta a complete counterclockwise rotation given angle 2, the ͑r, ϩ 2n ͒ and ͑Ϫr, ϩis ͑2n by 1an P (r,ă P (r, ) h tọa độ cực.InKhi có )=P (x, y) The connection be in which the pole cor itive x-axis If the poi then, from the figure, point represented by polar coordinates ͑r, ͒ is also represented by where n is any integer ϩ 2n͒ and ͑Ϫr, ϩ ͑2n ϩ 1͒͒ y x = r cos θ, They connection = r sin͑r,θbetween polar and Cartesian coordinates canr be seen from y Figure 5, in which the pole corresponds to the origin and the polar axis coincides with the posP (r,ă )=P (x,y) where integer n is any itive -axis If thebetween point P polar has Cartesian coordinates x, ycan ăandbepolar vy Thexconnection and Cartesian coordinates seen coordinates from Figure ͑r, 5, ͒, y we have then, from the figure, and so x O in which the pole corresponds to the origin and the polar axis coincides with the pos2 (x, y) r P (r,ăr)=P x =y x + y , tan = x y polar coordinates ͑r, ͒, itive x-axis If the pointxP has Cartesian coordinates ͑x, y͒ and cos sin then, from the figure, we have FIGURE 5r r ă r y x y and so x O x π cos sin r l 2, Vớ d ă2.34 Tỡm ta đề điểm có tọa độr tọa cực FIGURE and so1 Although Equatio x O y r sin x r cos x FIGURE 5Ta có r = θ = Giải where r Ͼ and Ͻ π Although the general definition x r cos y r sin Equations were deduced from Figure 5, which illustrates the case Equations allow where r Ͼ and Ͻ Ͻ ͞2, these equations are valid for all values of r and (See coordinates are know π Although Equations were deduced Figure 5, sin and the definition in Appendix C.)which illustrates the case xgeneral = r cos θ = of 21 cos =cos1 from theequations r Ͼ and1 0allow where , these valid for allofvalues of rwhen and .the (See ϽϽ Equations us to͞2find Cartesianarecoordinates a point polar √ Appendix π rcos the general definition of sin and x andC.) y are known, we use the equations coordinates are known Tofind andinwhen coordinates of a point when the polar y = r sin θ =us2tosin Equations allow find3the=Cartesian coordinates are known To find r and when x and y are known, we use the equations √ 2 y r x ϩy tan Vậy tọa độ đề điểm cần tìm (1, 3) x which can be deduced y r2 x2 ϩ y2 tan Ví dụ 2.35 Tìm tọa độ cực điểm có tọa độ đề x(1, −1) which can be deduced from Equations or simply read from Figure which be deduced Giải Nếu ta chọn r cho r can dương from Equations or simply read from Figure √ r = x2 + y = 12 + (−1)2 = y tan θ = = −1 x Ta chọn θ = − π4 θ = √ √ ( 2, − π4 ) ( 2, 7π ) Đường cong tọa độ cực 7π Vậy tọa độ cực điểm cho TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com as increases through the interval ഛ Ͻ 2, each value of tan occurs twice Therefore, in converting from Cartesian to polar coordinates, it’s not good enough just to find r and that satisfy Equations As in Example 3, we must choose so that the point ͑r, ͒ lies in the correct quadrant The graph of a polar equation r f ͑ ͒, or more generally F͑r, ͒ 0, consists of all points P that have at least one polar representation ͑r, ͒ whose coordinates satisfy the equation 50 r 2? EXAMPLE What curve is represented by the polar equation 2.9 Đường cong tọa độ cực SOLUTION The curve consists of all points ͑r, ͒ with r Since r represents the distance from the point to the tọa pole, the represents Đường cong tọa độ cực đồ thị phương trình độcurve cực rr= f (θ) the circle with center O and radius In general, the equation r a represents a circle with center O and hay tổng quát F (r, θ) = radius Խ a Խ (See Figure 6.) Ví dụ 2.36 Vẽ đường có phương trình tọa độ cực r= r = r=4 r=2 r=1 Giải Đường cong gồm điểm có tọa độ (r, θ) với r = Vậy đường r = biểu diễn đường trịn tâm O bán kính Tổng qt đường r = a đường tròn tâm cực điểm bán kính |a| Hình vẽ bên biểu diễn đường r = 12 , FIGURE r = 1, r = r = Ví dụ 2.37 Vẽ đường có phương trình tọa độ cực EXAMPLE Sketch the polar curve θ = x SOLUTION This curve consists of all points ͑r, ͒ such that the polar angle is radian It is the straight line that passes through O and makes radian withFigure the 7) (3, 1) an angle of polar axis (see (r, θ) với θ = the first quadrant, where Giải Đường cong gồm điểm có tọa độ radian Đó đường thẳng qua O tạo với tia Ox góc radian Chú ý điểm (r, 1) với r > nằm góc phần tư thứ với r < nằm góc phần tư thứ ba Tổng quát đường θ = θ0 đường thẳng xuất phát từ cực điểm tạo với OP góc θ0 Khảo sát đường cong r = r() (2,1) ă=1 EXAMPLE (1,1) O x (a) Sketch the curve wi (b) Find a Cartesian equ SOLUTION (_1, 1) (a) In Figure we find corresponding points ͑r, appears to be a circle W let increase beyond , (_2, 1) FIGURE Tìm miền xác định, miền giá trị hàm r = r(θ) từ suy miền phẳng chứa đồ thị Nhận xét tính đối xứng đường cong • Nếu r(θ) = r(−θ) đồ thị nhận trục OP làm trục đối xứng đối • Nếu r(θ) = −r(−θ) đồ thị nhận trục đường θ = ± π2 làm trụcFIGURE Table of values and xứng graph of r=2cosă SECTION H.1 CURVES IN POLAR COORDINATES A61 ã Nếu r = r(θ) tuần hồn với chu kì 2π n (n số tự nhiên khác 0) đồ thị có trục đối xứng bậc(3, 1)n qua gốc O.Figure 7) Notice that the points ͑r, 1͒ on the line with r Ͼ are in (b) polar axis (see the first quadrant, whereas those with r Ͻ are in the third quadrant (2,1) Tỡm chiu bin ă=1 thiên cực trị hàm r = r(θ) (Lập BBT) Trong nhiều EXAMPLE (1, 1) trường hợp việc làm1 thay lập bảng (a) Sketchbằng the curve việc with polar equation r 2tính cos số giá trị O (b) Find a Cartesian equation for this curve x r theo θ (_1, 1) Vẽ đồ thị (_2, 1) SOLUTION (a) In Figure we find the values of r for some convenient values of and plot the corresponding points ͑r, ͒ Then we join these points to sketch the curve, which appears to be a circle We have used only values of between and , since if we let increase beyond , we obtain the same points again FIGURE có phương trình Ví dụ 2.38 Vẽ đường tọa độ cực r = cos θ tìm phương trình tọa độ đề tương ứng Giải Ta lấy vài giá trị r θ sau FIGURE nối điểm suy ng Table ofcong values andcn graph of r=2cosă tỡm có dạng đường trịn TS NGUYỄN ĐỨC HẬU r cos ͞6 ͞4 ͞3 ͞2 2͞3 3͞4 5͞6 s3 s2 Ϫ1 Ϫs2 Ϫs3 Ϫ2 Ϫ Ϫ To convert the given From x r cos we r 2x͞r, which gives 2x r Completing the square, which is an equation of ” œ„, ’ π4 π ▲ Figure 9”1, ’ shows a geometrical ” œ„, ’ π6 illustra3 tion that the circle in Example has the equation r cos The angle OPQ is a right angle (Why ?) and so r͞2 cos (2, 0) π ”0, ’ 2π ”_1, ’ ’ ”_ œ„, 3π ’ ”_ œ„, 5π FIGURE (b) To convert the given equation into a Cartesian equation we use Equations and From x r cos we have cos x͞r, so the equation r cos becomes EXAMPLE r 2x͞r, which gives http://nguyenduchau.wordpress.com 2x r x ϩ y or x ϩ y Ϫ 2x Completing the square, we obtain ͑x Ϫ 1͒2 ϩ y which is an equation of a circle with center ͑1, 0͒ and radius ▲ Figure shows a geometrical illustra- ͞6 ͞4 ͞3 ͞2 2͞3 3͞4 5͞6 r2 y Sketch the cu SOLUTION Instead of plott r ϩ sin in Cartes (b) To convert the given equation into a Cartesian equation we use Equations and From x r cos we have cos x͞r, so the equation r cos becomes r 2x͞r, which gives 2x r x ϩ y 2.9 Đường cong tọa độ cực x ϩ y Ϫ 2x or 51 Completing the square, we obtain ͑x Ϫ 1͒ ϩ y Để kiểm chứng điều ta chuyển sang tọa độ đề Thay cos θ = x/r vào phương trình r = cos θ ta which có ris = 2x/r of a circle with center ͑1, 0͒ and radius an equation r = 2x Từ phương trình tọa độ đề y 2 ▲ Figure shows a geometrical illustra- tion that the circle in Example has the P OPQ is 2x = r cos x2 + y = 2xequation hay là Thexangle + y2 − a right angle (Why ?) and so r2 cos r ă Tóm lại O (x − 1)2 + y = Đó đường trịn tâm (1, 0) bán kính Tổng qt ta có x Q FIGURE EXAMPLE Sketch the curve r ϩ sin Đường r = 2a cos θ, a > đường tròn qua cực điểm, tâm nằm Ox độ dài đường kính 2a SOLUTION Instead of plotting points as in Example 6, we first sketch the graph of r ϩ sin in Cartesian coordinates in Figure 10 (on page A62) by shifting the Đường r = 2a sin θ, a > đường tròn qua cực điểm, bán kính nối cực điểm tạo với Ox góc 90◦ độ A62 ■ APPENDIX H POLAR COORDINATES A62 ■ dài APPENDIX H POLARkính COORDINATES đường 2a sine curve up one unit Th Ví dụ 2.39 Khảo sát vẽ đồ thị đường hình tim r r spond to increasing values sine curve up one unit This enables us to read at a glance the values of r that corre(cardioid) r = + sin θ spond to increasing values of For instance, we see that as increases from to ͞2, r (the distance from O ) in r (the distance from O ) increases from to 2, so we sketch the corresponding part the polar curveθ introng Figure 11(a) As đề increases ͞2 to , Figure 10 shows Giải Ta vẽ đồ thị rof = + sin tọa cỏc from ă that r decreases from to 1, so we sketch the next part of theπ2curve π as in Figure 11(b) 0Điều πđó giúp ta biết biến thiên r θ tng ng ă As increases from to 3͞2, r decreases from to as shown in part (c) Finally, 2 Ta thấy θ biếnasthiên từ 0from đến π/2 r biến from thiên 1shown đến in2,part ta(d) vẽIftrong to 2thì 0FIGURE totừ as10 we increases 3͞2 , r increases increase or decrease beyond 0, we would retrace our path tọa10độ cực ứng với hìnhlet(a) Khi θbeyond biến2thiên từ /2 n r=1+sină thỡ rsimply gim t 2coordinates, xung FIGURE in Cartesian Putting together the parts of the curve from Figure0ă2 11(a)(d), we sketch the comr=1+sină in Cartesian coordinates, ng với hình (b) Khi θplete biến thiên 3π/2 rbecause giảmit’stừshaped xuống ứng với curve in parttừ (e).πIt n is called a cardioid like a heart 0ă2 of the polar curve in Figu that r decreases from to As increases from to as increases from 3͞2 let increase beyond 2 Putting together the parts plete curve in part (e) It i hình (c) Khi θ biến thiên từ 3π/2 đến 2π r tng t lờnă=1 ng vi hỡnh (d).ă= 2 ă= ă= 2 O O O ă=0 ă= O (a) ă= (b) O ă=2 ă= ă= (c) (d) ă=0 O ă= O ă= ă= (a) (b) (c (e) FIGURE 11 FIGURE Họ 11 đường lima¸con có phương trình dạng r = + c sin θStages biểu diễn in sketching the hình Stages in sketching the cardioid r=1+sină v di õy Khi c = đường cardioid xét cardioid r=1+sină EXAMPLE Sketch the curve r cos SOLUTION As in Example 7, we first sketch r cos 2, ഛ ഛ 2, in Cartesian Module12H shows helps you seer how coordinates in Figure 12 As increases from to ͞4, Figure that polar curves are polar tracedcurve out decreases from to and so we draw the corresponding portion of the animations Fig-Ϫ1 in Figure 13 (indicated by !) As increases frombyshowing , r goessimilar from to to ͞4 to ͞2 ures0 10–13 these polarin This means that the distance from O increases from to 1, butTangents insteadto of being curves canby also visualized in the first quadrant this portion of the polar curve (indicated on theasopposite @)belies Figure side of the pole in the third quadrant The remainder of 15 the curve is drawn in a simi- Module H helps you see how polar curves are traced out by showing animations similar to Figures 10–13 Tangents to these polar curves can also be visualized as in Figure 15 lar fashion, with the arrows and numbers indicating the order in which the portions are traced out The resulting curve has four loops and is called a four-leaved rose r r EXAMPLE Sketch the cur SOLUTION As in Example coordinates in Figure 12 decreases from to and in Figure 13 (indicated by This means that the distan the first quadrant this por side of the pole in the thir lar fashion, with the arrow are traced out The resulti ă= ă= ! $ TS NGUYN C HU % * &! ă= ^ $ % * ! $ http://nguyenduchau.wordpress.com π @ FIGURE 12 π 3π # π 5π ^ & ă ă= π % @ 12 FIGURE FIGURE 13 @ π ă=0 # # 3π ^ 7π & ■ A66 APPENDIX H POLAR COORDINATES and the curve becomes the cardioid that we sketched in Example For c between and 12 the cardioid’s cusp is smoothed out and becomes a “dimple.” When c ▲ In Exercise 39 you are asked to 2.9 Đườngwhat cong độ cựcfrom 12 to 0, the limaỗon is shaped like an oval This oval becomes 52 prove analytically we have dis- tọadecreases more circular as c l 0, and when c the curve is just the circle r covered from the graphs in Figure 18 c=1 c=1.7 c=0.7 c=0.5 c=0.2 ■ c=2.5 APPENDIX H POLAR COORDINATES A62 r sine curve up one unit This enables us to read at a glance the values of r that correspond to increasing values of For instance, we see that as increases from to ͞2, r (the distance from O ) increases from to 2, so we sketch the corresponding part of the polar curve in Figure 11(a) As increases from ͞2 to , Figure 10 shows that r decreases from to 1, so we sketch the next part of the curve as in Figure 11(b) π 3π ă As increases from to 32, r decreases from to as shown in part (c) Finally, 2 as increases from 3͞2 to 2, r increases from to as shown in partc=_2 (d) If we beyond 2 or decrease beyond 0, we would c=_0.8 c=_1 simply retrace our path c=_0.2 let increasec=_0.5 FIGURE 10 c=0 Putting together the parts of the curve from Figure 11(a)(d), we sketch the comr=1+sină in Cartesian coordinates, in part (e) đường It is calledhình a cardioid Ví dụ18 2.40 Khảo sát plete vẽ curve đồ thị tim because it’s shaped like a heart 0ă2 FIGURE The remaining parts of Figure 18 show that as c becomes negative, the shapes Members of the family of (cardioid) limaỗons ă= change in reverse order In fact, these curves are reflections about the horizontal ¨= r=1+c sin ¨ r = a(1 coscorresponding θ) axis + of the curves with positive c Giải.2 Hàm r = a(1 + cos θ) xác định liên tục với θ, H.1 Exercises O O a(1 + cos θ) O tuần hồn với chu kì 2π r 2a ú r = O O ă=2 ¨=0 ¨=π ¨=π 3π là1–2một congpolar kín, liên tục nằm honă= ton bờn ă= Plotng the point whose coordinates are given Then ഛ r ഛ 2, ͞2 ഛ ഛ 2 find two pairsrof= polar coordinates of this point, one with = r(θ) (a)other (b) (c)10 1nên (e) đường tròn 2a Hơn r(−θ) ഛ r Ͻđường 3, Ϫ͞4 ഛ(d) ഛ ͞4 r Ͼ and one with r Ͻ cong nhận OP (b) làm trục đối (c) xứng FIGURE 11 Ͻ r Ͻ 3, 5͞3 ഛ ഛ 7͞3 (a) 11 ͑Ϫ2, ͞4͒ ͑3, 2͒ ͑1, ͞2͒ Stages in tính sketching the số giá trị r theo θ Đồ thị biểu diễn hình vẽ Bảng 12 Ϫ1 ഛ r ഛ 1, ͞4 ഛ ഛ 3͞4 (a) ͑3, 0͒ (b) ͑2, Ϫ͞7͒ (c) ͑Ϫ1, Ϫ͞2͒ ● ● ● ● ■ ■ ■ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● EXAMPLE Sketch the curve r cos cardioid r=1+sină ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ SOLUTION As in Example 7,13–16 we first sketch in Cartesian r cos 2, for ഛ theഛcurve 2, described ■ Find a Cartesian equation by 3–4 Plot the point whose polar coordinates are given Then As given from to ͞4, Figure 12 shows that r increases polar equation find theModule Cartesian coordinates the point.coordinates in Figure 12 the H helps you seeofhow ■ Chú ý 2.10 Phương trìnhdecreases from tọa 1độ hình timportion r = of a(1 coscurve θ) to 0đề andcác so we drawđường the corresponding the+ polar curves are traced 13 r sin 14 r cos (a) polar (b) (2 out (c) ͑Ϫ1, ͞3͒ ͑3, ͞2͒ s2, 3͞4) in Figure 13 (indicated by As increases from to , goes from to ͞4 ͞2 r Ϫ1 !) by showing animations similar to Fig sin 1͑͞1 ϩ sin being ͒ 16.1,r but (a) ͑2, 2͞3͒ (b) ͑4, 3͒ (c) ͑Ϫ2, Ϫ5 ͞6͒ 2means 15 r2 2O 2increases This that the distance from from to instead of in ures 10–13 Tangents to these polar (x + y − ax) = a (x + y ) the first quadrant this portion of the polar curve (indicated by @) lies on the opposite curves can also be visualized as in ■ Find The 17–20 a polar equation for side the pole in the third quadrant remainder of the thecurve curverepresented is drawnby in the a simi5–6 ■15 The Cartesian coordinates of a point areof given Figure ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ given equation (i) Find coordinates point, where ͒ of the and lar fashion, with thebốn arrows andCartesian numbers indicating the order in which the portions Ví dụpolar 2.41 Khảo͑r, sát đường hoar Ͼhồng cánh r = cos 2θ ഛ Ͻ 2 are traced out The resulting a four-leaved rose 17 ycurve 18.called has four loops and is y 2x Ϫ1 (ii) Find polar coordinates ͑r, ͒ of the point, where r Ͻ and 19 x ϩ y 25 20 x π 4y r ഛ ă= (a) 1, (b) (2 s3, 2) ă= ă= 2122 ■ For each of the described curves, & decide^if the curve4 (a) (Ϫ1, ! Ϫs3 ) $ (b) ͑Ϫ2, 3͒% * would be more easily given by a polar equation or a Cartesian ! $ equation Then write an equation for the curve 7–12 ■ Sketch the region in the plane consisting of points ă= 21 (a) A coordinates the given ă=0 ă line through the origin that makes an angle of ͞6 π conditions 2π whose polar satisfy 4 4 with the positive x-axis ⑧ % r Ͼ ഛ Ͻ ͞4 (b) A vertical line through the point ͑3, 3͒ # & @ ^ # @ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Giải Giống ví dụ ta vẽ đồ thị r = cos 2θ tọa độ đề lập luận tương tự ta có đồ thị hỡnh vFIGURE trờn.13 FIGURE 12 Vi cỏch r=cos2ă in Cartesian coordinates Four-leaved rose r=cos2ă When we sketch polar curves it is sometimes helpful to take advantage of symmetry The following three rules are explained by Figure 14 (a) If a polar equation is unchanged when is replaced by Ϫ, the curve is symmetric about the polar axis TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com Hình 16.10 2.9 Đường cong tọa độ cực Ví dụ 15 Đường cong r = a sin 2θ với a > gọi bơng hồng bốn cánh Ví dụ 2.42 Khảo sát đường hoa hồng bốn cánh 53 + Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π , đồa sin thị 2θ đối xứng qua Oy r= θ = π/4 Giải Hàm r = a sin 2θ xác định liên tục với θ r=a |r|π ≤ /4 a πđường /2 cong πkín, /4 liên tụcπnằm trọn đường trịn r = a Hơn hàm nên đường cong r a đường thẳng θ = ± π -làm a trục đối xứng Hàm tuần nhận hồn với chu kì0π đường cong có trục 0 đối xứng bậc hai qua gốc O Kết hợp hai đối xứng nói ta có đường đốiπxứng + Để để ý θ tcong ăng có từ trục → /4 , 2bậc θ tă4.ng từ → π /2 Bảng tính số giá trị r theo θ Đồ thị biểu diễn hình vẽ r tăng từ đến a ; θ Chú ý 2.11 Xét phương trình r = a sin(nθ) r =Hình a cos(nθ) 16.11 n số tự + Khi θ tăng từ π / đến π / , 2θ tăng từ π / đến π r nhiên lớn giảm từ đến a Nếu n chẵn đường hoa hồng 2n cánh + Từ cho ta thứ góc phần tư thứ (Hình 16.11) Nếu n lẻ đường hoa hồng n cánh + Giá trị θ π / π ( 2θ π 2π ) cho giá trị r âm, ta vẽ cách quay đường r = a sin(nθ) xung góc phần tư3.thĐường ứ tư; r = a cos(nθ) nhận −π quanh cực điểm O góc ta có 2n + θ π 3π / ( 2θ 2π 3π ) cho giá trị r dương, ta vẽ π π góc phần tư thứ ba; r = a cos(nθ) = a sin(nθ + ) = a sin n(θ + ) 2n + θ 3π / 2π ( 2θ 3π 4π ) cho giá trị r âm, ta vẽ góc phần tư thứ hai Ví dụ 2.43 Đường Lemniscate Phương trình tọa độ đề (x2 + y )2 = 2a2 (x2 − y ) Phương trình tọa độ cực r2 = 2a2 cos 2θ Ví dụ 2.44 Đường xoắn ốc Acsimet Hình vẽ bên trái biểu diễn đường xoắn ốc Acsimet có phương trình r = aθ, a>0 Hình vẽ bên phải biểu diễn đường xoắn ốc Acsimet có phương trình r= a , θ a>0 TS NGUYỄN ĐỨC HẬU http://nguyenduchau.wordpress.com ... givenisby given Definition by Definition x a4 +phrases _ x aof x Geometric Geometric illustrations illustrations of Definition of Definition are shown are in shown Figure in Figure Notice Notice... x (gi? ?i hạn tr? ?i gi? ?i hạn ph? ?i khác nhau) Do hàm số gián đoạn a = T? ?i ? ?i? ??m a = 5, hàm số xác định ∃ lim f (x) (gi? ?i hạn tr? ?i 2gi? ?i hạn ph? ?i FIGURE SOLUTION It looks as i break there The offi The... the limGi? ?i Chọn hai n }, {x n } its of complicated functions can be found rigorously from the Limit Laws without resorting to the definition directly 1 xn = (π/2) + 2nπ xn = Limits at Infinity
Ngày đăng: 21/03/2021, 18:23
Xem thêm: