Đại số tuyến tính

Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bộ mơn Tốn Khoa Công nghệ thông tin-ĐH Thủy lợi Ngày 17 tháng năm 2020 Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 Giới thiệu môn học-tài liệu Tên mơn học: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Thời gian học: 45 tiết: Tài liệu: Tài liệu chính: Giáo trình: Nhập mơn Đại số tuyến tính Sách dịch Đại học Thuỷ lợi 2010 Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp tập 1, Nhà xuất GD, 2007 [2] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Tốn học cao cấp tập 1, Nhà xuất GD, 2007 [3] Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Lê Tuấn Hoa, Viện tốn học Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 I GIỚI THIỆU VÉC TƠ Khái niệm a Véc tơ hình học Véc tơ hình học đoạn thẳng định hướng Trong môn học này, ta thường quan tâm tới việc biểu diễn véc tơ dạng tọa độ b Véc tơ cột n chiều   x1 x   2 Véc tơ cột n chiều:u =     xn Đôi ta viết gọn u = (x1 ; x2 ; ; xn ) Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 Các phép toán véc tơ   x1    Cho u =   ; v =  xn a) Cộng hai véc tơ :   y1   yn   x1 ± y1 u ± v =   xn ± yn b) Nhân véc tơ với số:   c.x1   cu =   c.xn ∀c ∈ R C Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 c) Tổ hợp tuyến tính véc tơ v1 , v2 , là: v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn , với c1 , c2 , cn ∈ R d) Tích vơ hướng: u.v = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn e) Độ dài véc tơ (chuẩn Euclid): u = x12 + x22 + · · · xn2 f) Véc tơ đơn vị: Là véc tơ có độ dài Véc tơ đơn vị u hướng với u = u Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 VD:       1 2 1 0      Cho véc tơ u =   ; v = 2 w = 0 −1 0 Hãy tính (a) u + v − 3w =? (b) u · v =? (c) u =? (d) Tìm véc tơ đơn vị u? Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 Nhận xét: Trong không gian chiều: Khi véc tơ v = 0, tập hợp tất tổ hợp cv lấp đầy đường thẳng Khi véc tơ v1 , v2 khơng phương tất tổ hợp c1 v1 + c2 v2 lấp đầy mặt phẳng Khi véc tơ v1 , v2 , v3 khơng đồng phẳng tất tổ hợp c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 lấp đầy khơng gian Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa Một phương trình tuyến tính n ẩn phương trình có dạng a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b a1 , a2 , , an ∈ R; x1 , , xn n ẩn cần tìm Một hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn có dạng  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a x + a x + · · · + a x = b2 21 22 2n n (2.1)     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm aij , bj ∈ R; x1 , , xn n ẩn cần tìm Dạng hệ PTTT định nghĩa gọi dạng hàng Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 Những dạng khác hệ phương trình tuyến tính a) Dạng trình véc tơ (dạng cột ) Kíhiệu  phương  a1j b1 a  b   2j   2 vj =   , j = 1, 2, , n, véc tơ tự b =       amj bm Hệ phương trình trở thành x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn = b Nhận xét: Hệ có nghiệm ⇔ b tổ hợp tuyến tính véc tơ vj Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 b) Dạng phương trình ma trận (dạng ma trận) a11  a21 Ma trận hệ số: A =         x1 b1 a12 a1n     a22 a2n   x2   b2    ; x =   , b =       am2 amn xn bm am1 Hệ dạng ma trận Ax = b Ở     a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn h1 x a x + a x + ··· + a x  h x  22 2n n  21    Ax =  =      am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn hm x với véc tơ hàng A: hi = (ai1 , ai2 , , ain ) , i = 1, m Chú ý: Hệ Ax = b gọi là hệ tuyến tính b = 0, tức hệ Ax = Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 10 / 24 Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho phép biến đổi tuyến tính: R2 → R2 cho T (v1 ) = với v1 = −1 ; T (v2 ) = −2 ; v2 = 1 a) Tìm ma trận tắc T b) Tìm T −2 c) Tìm ImT ; KerT ; d) T có khả nghịch khơng? Tìm ma trận tắc T −1 T khả nghịch e) Tìm v ∈ R2 cho T (v ) = Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 13: PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH Ngày 29 tháng năm 2020 10 / 10 Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Bộ mơn Tốn Khoa Cơng nghệ thơng tin-ĐH Thủy lợi Ngày 06 tháng năm 2020 Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 I MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ Tọa độ véc tơ Định nghĩa: Cho sở E = {v1 , v2 , , } không gian Rn Khi v = (x1 ; x2 ; ; xn ) ∈ Rn bất kỳ, mà v = c1 v1 + c2 v2 + ·  · · +cn c1 Ta nói v có tọa độ   sở E = {v1 , v2 , , } c   n c1 Kí hiệu [v ]E =   hay [v ]E = (c1 ; · · · ; cn ) cn Chú ý: (x1 ; x2 ; ; xn ) tọa độ v sở tắc {e1 ; · · · ; en } Rn Tức là: v = (x1 ; x2 ; ; xn ) = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 Ví dụ: Tìm tọa độ −2 v= sở E = v1 = , v2 = 1 Nếu u = −2v1 + 3v2 Hãy tìm tọa độ u sở E ; Tọa độ u sở tắc R2 là??? Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 Ma trận chuyển sở: Trong không gian véc tơ Rn , cho hai sở E = {u1 , u , , un } , F = {v1 , v , , } Ta có vj = c1j u + c2j u2 + · · · + cnj un với j = 1, , n   c1j Tức tọa độ vj sở E [vj ]E =  , cnj   c11 c12 · · · c1n c c · · · c  2n   21 22 Khi C = [[v1 ]E [v2 ]E [vn ]E ] =     cn1 cn2 · · · cnn gọi ma trận chuyển sở từ E sang F Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 Chú ý: +) Ma trận chuyển sơ sở từ E sang F tính theo cơng thức C = [u1 u2 un ]−1 [v1 v2 ] +) C khả nghịch ma trận chuyển sở từ F sang E C −1 = [v1 v2 ]−1 [u1 u2 un ] VD Tìm ma trận chuyển sở từ −2 E = u1 = , u2 = −3 sang F = v1 = , v2 = −2 −5 Bộ môn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 Tọa độ véc tơ hai sở khác Trong Rn , cho hai sở E = {u1 , u , , un } , F = {v1 , v , , } Giả sử véc tơ v ∈ Rn có tọa độ sở E , F [v ]E = (x1 , x2 , , xn ) , [v ]F = (y1 , y2 , , yn ) Khi đó: [v ]E = C [v ]F [v ]F = C −1 [v ]E Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 VD Quay lại ví dụ mục 1, với −2 , u2 = , E = u1 = −3 F = v1 = , v2 = , −2 −5 v = 2v1 − 4v2 Hãy tìm tọa độ v sở E Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 II Chéo hóa ma trận Ma trận Am×n , có phân tích SVD: A = UΣV T với Um×m , Vn×n ma trận trực giao ma trận Σ = (σij )m×n , với σij = ∀i = j σii ≥ 0, ta chéo hóa A: U −1 AV = Σ Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 / 14 III Ma trận giả nghịch đảo Định nghĩa Ma trận Am×n , có phân tích SVD: A = UΣV T với Um×m , Vn×n ma trận trực giao, ma trận Σ = (σij )m×n , với σij = ∀i = j σij ≥ ∀i = j, ma trận Σ+ = (bij )n×m , với bij = 1/σij σij > bij = với vị trí cịn lại, ma trận giả nghịch đảo A, kí hiệu A+ , xác định công thức: A+ = V Σ+ U T VD: A= 1 1 √1 √1 − √12 √1 √ √1  √13  √1 − √13 − √13 = √1  √13  √1  0 0 − √13 − √13 √1 √1 T  T  = UΣV Khi  A+ = V Σ+ U T = Bộ mơn Tốn (Do not copy!) √1 √1  √1   0  0 √1 √1 Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO − √12 √1 T  1 = 1 Ngày 06 tháng năm 2020  1 / 14 CHÚ Ý Ma trận giả nghịch đảo định nghĩa ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose, kiểu định nghĩa khác là: A+ ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose A A+ thỏa mãn tính chất sau (AH ma trận chuyển vị liên hợp A): • AA+ A = A • (AA+ )H = AA+ • A+ AA+ = A+ • (A+ A)H = A+ A Nhận xét: với A+ = V Σ+ U T , thấy Σ+ ma trận giả nghịch đảo Σ; A+ ui = σii−1 vi σii > 0, A+ ui = σii = (ui , vi vector cột U, V ) Bộ môn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 10 / 14 Tớnh cht ã Mi ma trn A c m ì n có ma trận giả nghịch đảo, ma trận giả nghịch đảo A+ (cỡ n × m) • Nếu A khả nghịch A+ = A1 ã (Omìn )+ = Onìm vi Omìn l ma trn khụng c m ì n ã (A+ )+ = A, (kA)+ = k −1 A+ (k = 0) • (AT )+ = (A+ )T , (AH )+ = (A+ )H + • A = A+ (A = (aij )m×n ma trận liên hợp A = (aij )mìn ) ã AA+ , A+ A ln lượt ma trận chiếu xuống (C (A)), (C (AT )) • Nghiệm bình phương tối thiểu hệ Ax = b x+ = A+ b Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HĨA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 11 / 14 Một số trường hợp đặc biệt tìm A+ Am×n : • r (A) = ⇒ A có phân tích SVD: A = σuvT , A+ = T vu σ • r (A) = n, A có nghịch đảo trái: CA = In , A+ = C = (AT A)−1 AT • r (A) = m, A có nghịch đảo phải: AB = Im , A+ = B = AT (AAT )−1 Đặc biệt hơn, AAT = Im AT A = In A+ = AT • Nếu A ma trận chiếu trực giao (A2 = A, A = AT ) A+ = A Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 12 / 14 Nếu A rơi vào trường hợp đặc biệt nêu tính nhanh theo cơng thức đó, khơng ta làm theo cách tổng quát: Phân tích SVD: A = UΣV T , đó: A+ = V Σ+ U T VD1: Tìm A+ A = 8 −2 Cách 1: ∃A−1 A−1 = ⇒ A+ = A−1 −3 Cách 2: phân tích SVD: A = UΣV T ⇒ A+ = V Σ+ U T Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 13 / 14 Cách 1: dễ thấy |A| = ⇒ A−1 , √ phân tích 1 −4 85 A = UΣV T = √ 0 17 √ 1 −2 1/ 85 √ A+ = √ 0 17 Cách 2: dễ thấy r (A) = 1, (SV tự làm) VD2: Tìm A+ A = SVD: 1 √ ⇒ −2 1 = −4 85 VD3 Tìm ma trận giả nghịch đảo ma trận A= Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 14: CHÉO HÓA-GIẢ NGHỊCH ĐẢO Ngày 06 tháng năm 2020 14 / 14 ...Giới thiệu môn học-tài liệu Tên môn học: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Thời gian học: 45 tiết: Tài liệu: Tài liệu chính: Giáo trình: Nhập mơn Đại số tuyến tính Sách dịch Đại học Thuỷ lợi 2010 Tài liệu tham khảo:... học cao cấp tập 1, Nhà xuất GD, 2007 [3] Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Lê Tuấn Hoa, Viện tốn học Bộ mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 I GIỚI... mơn Tốn (Do not copy!) Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 17 tháng năm 2020 / 24 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa Một phương trình tuyến tính n ẩn phương trình có dạng a1 x1 + a2 x2