Chương 2: Đại số tuyến tính

CHNG2:ĐISTUYNTÍNH  §1.CÁCPHNGTRÌNHĐISTUYNTÍNH 1.Hphngtrìnhđyđ:TaxéthphngtrìnhAx=B.Đtìmnghimca htadùnglnhMATLAB:  x=inv(A)*B hay:  x=A\B  2.Hphngtrìnhcóít phngtrìnhhnsn(underdetermined):Khigii htrêntađãdùngnghchđomatrn.Nhvytachnhnđcktqukhi matrnAvuông(sphngtrìnhbngsnsvàđnhthcc aAphikhác không).HcósphngtrìnhíthnsnhayđnhthccamatrnAca hđyđbng0gilàhunderdetermined.Mthnhvycóthcóvôs nghimvimthaynhiubinphthucvàocácbincònli.Vimthnh vyphngphápCramerhayphngphápmatrnnghchđokhôngdùng đc.Khisphng trìnhnhiuhnsnphngphápchiatráicũngcho nghim vi mt vàin s đc cho bng 0. Mt ví dđn gin là phng trìnhx+3y=6.Phngtrìnhnàycór tnhiunghimtrongđócómtnghim làx=6vày=0:  a=[13];  b=6;  x=a\b  x= 6 0 Snghimvôhncóthtnti ngayckhisphngtrìnhbngsn.Điu này xy ra khi det(A) = 0. Vi h này ta không dùngđc phng pháp Cramer và phng pháp ma trn nghchđo và phng pháp chia trái cho thông báolà matrnAsuy bin.Trongtrnghp nhvytacóthdùng phng pháp gi nghchđođtìmđc mt nghimgilànghimchun minimum. Víd:Chohphngtrình   x+2y+z=8  0x+y+0z=2  x+y+z=6 29 Khidùngphépchiatráitanhnđc:  y=a\b  Warning:Matrixissingulartoworkingprecision. y=   Inf   Inf   Inf Nutadùngphngphápginghchđothìcó:  a=[121;010;111] b=[8;2;6]  x=pinv(a)*b  x=   2.00000000000000   2.00000000000000   2.00000000000000  Mthcũngcóthcóvôsnghimkhicóđsphngtrình.Vídta cóh:  2x4y+5z=4 4x2y+3z=4  2x+6y8z =0 Tronghnàyphngtrìnhth3làtngcahaiphngtrìnhtrênnênhtht schcó2phngtrình.  Tómlimthmuncónghimduynhtphicócácph ngtrìnhđc lp.Vicxácđnhcácphngtrìnhtronghcóđclphaykhôngkhákhó, nht làđi vi h có nhiu phng trình. Tađa ra mt phng pháp cho phépxácđnhhph ngtrìnhcónghimvàliunghimđócóduynhthay không.Phngphápnàyđòihishiubitvhngcamatrn.  Taxemxétđnhthccamatrnsau:   ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 379 2106 143 Nutaloitrmthàngvàmtctcamatrnchúngtacònlimatrn2×2. Tutheohàngvàctbloitacó9matrncon.Đnhthccacácmatrnnày gilàđnhthccon.Vídnutabhàng1vàct1tacó:  44 37 210 = −  30 Cácđnh thcconcóthdùngđxácđnhhngcamatrn.Hngcama trnđcđnhnghĩanhsau: MtmatrnAm × ncóhngr ≥ 1nuvàchnu đnhthccaAchamtđnhthcr × rvàmiđnhthcconvuôngcór+1hàng hayhnbng0.  Đxácđnhhngcamatrntacólnhrank Víd:   a=[341;6102;973];  rank(a)  ans= 2  HphngtrìnhAx=Bcómphngtrìnhvànncónghimnuvàchnu rank(A)=rank([AB]).GihngcaAlàr,nur=nthìnghimlàduynht. N ur<nthìhcóvôsnghimvàrncóthbiudinnhlàthptuyn tínhcanrncònlimàgiátrcóthchnbtkì. Víd:Giihphngtrình  3x2y+8z=48 6x+5y+z=12  9x+4y+2z=24 Tavit:  a=[328;651;942];  b=[48;12;24];  rank(a)  ans= 3  rank([ab])  ans= 3 Vyhcónghimduynht:  x=a\b  x= 2 1 5  Víd:Giih  2x4y+5z=4 6x2y+3z=4  2x+6y8z=0 31 Tavit:  a=[245;623;268];  b=[4;4;0];  rank(a)  ans= 2  rank([ab])  ans= 2  Vyhcóvôsnghim.Mttrongcácnghimlà: x=pinv(a)*b x= 1.21481481481481 0.20740740740741 0.14814814814815  3. Hphng trìnhoverdetermined: H phng trình trongđó s phng trìnhđc lp nhiu hn s n gi là h overdetermined.Đi vi h này phngphápCramervàphngphápnghchđomatrnkhôngdùngđc. Tuynhiênmtshchonghimđúngxácđnhbngphépchiatrái.Đivi các h khác không có nghim chính xác. Khi r = rank(a) = rank([a b]) h có nghimvànur=nnghimlàduynht.Khirank(a) ≠rank([ab])hkhôngcó nghim. Víd:Giimchđingm3nhánhnisongsong:nhánh1cótngtrZ1= 5+2jvàngune=100sin(314t+30 0 ),nhánh2cótngtrZ2=3+4jvànhánh3 cótngtr5+6j.Tavitphngtrìnhcamchđintheodòngnhánh.Sauđó rútramatrnAvàB.CáclnhMATLAB: a=[111;5+2*i3+4*i0;0(3+4*i)5+6*i] e=100*exp(i*(30*pi/180)) b=[0;e;0]; i=a\b i= 25.25569272231586+19.27124163998603i 15.6348277775095011.44276084484129i 9.620864944806367.82848079514474i    32 §2.NISUY 1.Nisuyhàmmtbin:MATLABdùng2kiunisuy:nisuyđathcvà nisuytrêncsbinđiFourriernhanh,  a.Nisuyđathc:MATLABdùnghàminterp1(x,y,xi,<phngpháp>) vix,làgiátrcahàmtinhngđimđãchovàxilàgiátrmàtiđótacn nisuyragiátryi.<phngpháp>cóthlà mttrongcácgiátrsau:  ‘nearest’ phng pháp nàyđt giá tr ni suy vào giá tr đã cho gn nht,Phngphápnàynhanhnhngktqukémchínhxácnht Víd: x=[12345]; y=[5.543.1128290.7498.4]; yi=interp1(x,y,1.6,nearest) yi= 43.1000  ‘linear’ phng pháp này coiđng congđi qua 2đim cho trc là đngthng. Víd: yi=interp1(x,y,1.6,linear) yi= 28.0600   ‘spline”dùngphngphápnisuyspline Víd: yi=interp1(x,y,1.6,spline) yi= 24.9782   ‘cubic’phngphápnàycoiđngcongqua2đimlàđngcongbc 3 Víd: yi=interp1(x,y,1.6,cubic) yi= 22.3840  b.NisuyFTT:Hàminterpftthchinnisuyhàmmtbinsdng phngphápFFT(FastFourrierTransform).Phngphápnàytínhtoánbin điFourriermtvectchacácgiátrcamthàmchukì. Nhvyphng phápnàytínhbinđiFourrierngcsdngnhiuđim.Dnghàmlà:  y=interpft(x,n) Víd: y=interpft(x,4) y= 1.00002.62363.00005.3764  33 2.Ni suyhàmhai bin : Hàm interp2 thchin ni suy hàm 2 bin.Dng hàmtngquát:  ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,<phngpháp>)  Z–matrnchnhtchagiátrcahàm2bin  X,Y–mngcócùngkíchthc,chagiátrx,yđãcho  XI,YImngchagiátrcnnisuy Các<phngpháp>gm:‘nearest’,’linear’,’cubic’  3.Nisuyvàmngnhiuchiu: interp3 nisuyhàm3bin interpn nisuyhàmnhiubin  §3.TÍCHPHÂNVÀPHNGTRÌNHVIPHÂN 1.Tíchphân:Đtínhtíchphântadùnghàmquad(tínhtíchphântheophng phápSimpson)vàhàmquadl(tínhtíchphânbngphngphápLobatto). Víd(lutrongct2_1.m):  f=inline(1./((x0.3).^2+0.01)+1./((x0.9).^2+0.04)6);  q=quad(f,0,1)  q=   29.8583  r=quadl(f,0,1)  r=   29.8583  Víd(lutrongct2_2.m)   y=sin(x)  quad(‘sin’,0,pi)  ans=   2.00001659104794   quadl(sin,0,pi)  ans= 1.99999999999989 Tacũngcóthdùngphngpháphìnhthanhđtínhtíchphân: Víd(lutrongct2_3.m):  y=sin(x)  x=[0:pi/100:pi]];  y=sin(x); 34  trapz(x,y)  ans=   1.99983550388744  2.Viphâns :Đtínhviphântadùngdiff Víd:    a=[1425748]; diff(a) ans= 323234  3.Phngtrìnhviphân :Phngtrìnhviphâncpcaoy (n) =f(t,y,y’,..,y (n1) ) cóthđavhphngtrìnhviphâncp1bngcáchđty1=y;y2=y’,.., yn=y (n1) .Nhvy:   )y.,,.y,y,t(fy yy yy n21n 32 21 = ′ = ′ = ′ làhcónphngtrìnhviphâncp1. Víd:   y’’’3y”y’y=0viy(0)=0y’(0)=1y”=1 đcbinđithành   1233 32 21 yyy3y yy yy += ′ = ′ = ′ viđiukinđu:y 1(0)=0y2(0)=1y3(0)=1 ĐnhpphngtrìnhnàyvàoMATLABtadùngMfilef.mnhsau:  functiondy=f(t,y);  dy=[y(2);y(3);3*y(3)+y(3)*y(1)]; vàgiiphngtrìnhbnglnh:  [t,f]=solver(‘file’,tspan,y0) vi “file”làMfilechaODE  tspanlàvect[t0tfinal]xacđnhkhongtìmnghim  y0làvectgiátrđiukinđu.  solver là cách gii, thng dùng phng pháp RungeKutta bc 2/3(ode23)hay4/5(ode45) 35  [t,y]=ode45(‘f’,[01],[0;1;1]) Mihàngtrongvectnghimtngngvimtthiđimtrongvectctt. Nh vy trong ví d trên, y(:,1) là nghim, y(:,1) làđo hàm bc nht ca nghimvày(:,2)là đohàmbchaicanghim. Víd:TìmdòngquađkhiđóngmchRCnitipvàongunmtchiubit tíchsRC=0.1,đinápngunlà10Vvàđinápbanđutrêntlà2V.  Phngtrìnhcam chlà: e(t)=RC C C u dt du +  Thaysvàotacó:  0.1u′+u=10  u′=10u+100 TacócáclnhMATLABđtohàm:  functionuc=rc(t,u)  uc=10*u+100; vàgiibàitoán:  [t,u]=ode45(rc,[04],2);  plot(t,u,o)  §4.ĐISMATRN  1.PhântíchCholesky:PhngphápCholeskyphântíchmatrnAxácđnh dng thành tích ca hai ma trn A = R’*R vi R là ma trn tam giác trên. MunnhnđcmatrnRtadùnghàmchol(A). Víd: n=5; X=pascal(n) X= 11111 12345 1361015 14102035 15153570 R=chol(X)  2.PhântíchLU:TaphântíchmatrnA=L*UtrongđóLlàmatrntamgiác divàUlàmatrntamgiáctrên.Tavit[L,U]=lu(A). Víd(lutrongct2_4.m): 36 A=[ 123 456 780] [L,U]=lu(A)  3.PhântíchQR:TaphântíchmatrnA=Q*RviQlàmatrntrcgiaovàR làmatrntamgiáctrên. Víd(lutrongct2_5.m): A=[ 123 456 789 101112] [Q,R]=qr(A)  4.Lutha:NucómatrnAvuôngvàsp>0thìA^plàtíchplncaA:  Y=A^2  5.Giátrriêngvàvectriêng:eig(A)  [d,r]=eig(A)  6.Quaymatrn:b=rot90(a) a=[210;251;346] a= 210 251 346  b=rot90(a) b= 016 154 223  7.Đomatrn:fliplr(a)đomatrnttráisangphi c=fliplr(a) c= 37 012 152 643   flipud(a)đomatrnttrênxungdi d=flipud(a) d= 346 251 210  8.Cáchàmxlímatrnkhác: reshape(a,m,n)đnhdnglimatrnavishàngmimvàsctmi n  a=[123;567;891]; reshape(a,1,9) ans= 158269371   diag(a)lycácphnttrênđngchéochínhcamatrnavàluvào mtvect  diag(a,k)chnđngchéotutheogiátrcak k=0chnđngchéochính k>0chnđngchéothktrênđngchéochính k<0chnđngchéothkdiđngchéochính  a=   123   567   891  v=diag(a,1) v= 2   7  a=diag(v)nuvlàvectthìalàmatrnvuôngvivlàđngchéo chính  b=triu(a)toramatrnbcùngcvimatrna,chacácphntca ma trn a nm trênđng chéo chính và phía trênđng chéo chính. Các phntkhácbng0.  a=[123;456;789] 38 [...]... 1.0473 + 1.1359i 1.0473 1.1359i 4 a th c c tính: Cho ma tr n A, hàm poly xác nh a th c c tính c a ma tr n A Ví d : a=[1 2 3;3 4 5;4 5 6] a= 1 2 3 3 4 5 4 5 6 poly(a) ans = 1.0000 11.0000 9.0000 0.0000 5 Tính tr a th c: tính tr c a a th c t i x = x0 ta dùng hàm polyval(p) Ví d : polyval(p,0.2) ans = 5.3920 Ta có th tính tr c a ma tr n a th c Trong tr ng h p ó a th c P(x) = x3 – 2x – 5 tr thành : P(X)... a th c : Cho a th c a = x2 + 2x + 3 và a th c b = 4x2 + 5x + 6 tính tích 2 a th c ta vi t : a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c = conv(a,b) c= 4 13 28 27 18 tính th ng hai a th c ta vi t [ q , r ] = deconv(c,a) q= 4 5 6 r= 0 0 0 0 0 Trong ó q là th ng nguyên còn r là ph n d 7 o hàm a th c: Tính o hàm a th c b ng hàm polyder q = polyder(p) q= 3 0 2 tính o hàm c a tích hai a th c a và b ta vi t c = polyder(a,b)... th c tính tr c a a th c tính tr ma tr n a th c tìm nghi m c a a th c 2 Bi u di n a th c: MATLAB bi u di n a th c nh là m t vec t hàng ch a các h s c a a th c theo th t s m gi m d n Ví d : P(x) = x3 – 2x – 5 39 nh p a th c này vào MATLAB ta vi t : p = [ 1 0 – 2 –5 ] 3 Nghi m c a a th c : tìm nghi m c a a th c ta dùng hàm roots Ví d : roots(p) ans = 2.0946 1.0473 + 1.1359i 1.0473 1.1359i 4 a th c c tính: . CHNG 2: ĐISTUYNTÍNH  §1.CÁCPHNGTRÌNHĐISTUYNTÍNH 1.Hphngtrìnhđyđ:TaxéthphngtrìnhAx=B.Đtìmnghimca. §3.TÍCHPHÂNVÀPHNGTRÌNHVIPHÂN 1.Tíchphân:Đ tính tíchphântadùnghàmquad (tính tíchphântheophng phápSimpson)vàhàmquadl (tính tíchphânbngphngphápLobatto).