dùng 3 tính chất trên chuyển định thức về dạng Trong đó là phần bù đại số của phần tử tương ứng mà là định thức thu được từ sau khi đã bỏ đi hàng i, cột j tương ứng với phần tử Định lý:
Trang 1A ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH:
I SỐ PHỨC:
1 Định nghĩa:
(i: đơn vị ảo)
2 Phép toán:
- Cộng, trừ:
- Nhân:
- Chia:
3 Dạng lượng giác:
Cho = a + bi thì xác định nếu:
- Độ dài (môđun) của Ký hiệu:
- Góc giữa Ox và gọi là arcgument của
.xác định hoặc
.=> a = rcos
.gọi là dạng lượng giác của
4 Khai căn số phức:
- Nếu có dạng lượng giác thì
Chú ý:
Ví dụ: tính
Giải
- Đổi 1 ra dạng lượng giác
II.ÁNH XẠ:
1 Định nghĩa:
Cho 2 tập X, Y Một quy tắc f từ X Y, đặt tương ứng mỗi phần tử x X với 1 phần tử duy nhất y Y thì gọi là 1 ánh xạ X Y
Ký hiệu: f
X: TXĐ (tập nguồn)
Y: TGT (tập đích)
.thì viết y = f(x)
.x: tạo ảnh của y
.y: ảnh của x
Mỗi y Y thì tập gọi là tạo ảnh toàn phần của y
.gọi là ảnh của A qua f
.gọi là tạo ảnh toàn phần của B qua f
2 Các loại ánh xạ:
- Đơn ánh: (1-1)
Ánh xạ f: X Y gọi là đơn ánh nếu mà
.f không đơn ánh nếu nhưng
- Toàn ánh: (lên)
.f: X Y gọi là toàn ánh
- Song ánh: (1-1 lên)
.f : XY (đơn ánh + toàn ánh) = song ánh
3 Phép thế:
Cho X =
- Định nghĩa:
Một song ánh f: X X gọi là 1 phép thế bậc n
Tập các phép thế bậc n Ký hiệu
Thực hành nhân các phép thế:
Ví dụ:
(thực hiện lấy ảnh liên tiếp từ phải sang trái)
Vd:
1 có ảnh qua g là 2
2 có ảnh qua f là 1
.=> 1 có ảnh qua fg là 1
Trang 2Do đó:
- Phép thế ngược:
- Dấu phép thế, phép thế chẳn, lẻ:
Cho
Cách 2: phân tích phép thế thành tích các vòng xích độc lập
Vd:
( 1 3 2): vòng xích có độ dài 3
(4 6 7): vòng xích có độ dài 3
(5): vòng xích có độ dài 1
(8): vòng xích có độ dài 1
Vòng xích có độ dài 1 thì bỏ
Lúc đó:
.g = (1 3 2) (4 6 7)
.s(g) g chẳn (dấu của g = (-1) mũ độ dài từng vòng xícg + 1)
- Các kết quả:
Mệnh đề 1:
Dấu của tích của các phép thế bằng tích các dấu s(fg) = s(f).s(g)
Hệ quả: tích 2 phép thế chẳn là 1 phép thế chẳn
Mệnh đề 2:
.s(f)
Mệnh đề 3:
Số phép thế chẳn = số các phép thế lẻ
III MA TRẬN:
1 Định nghĩa:
Ma trận cở (m,n) trên trường K là 1 bảng m hàng, n cột các số thuộc K, dạng
A =
Viết gọn
2 Phép toán:
- Cộng ma trận:
- Nhân 1 số với 1 ma trận:
- Nhân ma trận:
.trong đó mỗi hay tức là mỗi phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận tích là được tính bằng tổng của tích hàng i của ma trận A với các phần tử ở cột j của ma trận B
3 Các tính chất:
a) Cộng ma trận giao hoán: A + B = B + A
b) Cộng ma trận kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C
c) A + 0 = 0 + A
d) A + (-A) = (-A) + A =0
e) k(A + B) = kA + kB
f) (k +l)A = kA + lA
g) (kl)A = k(lA) = l(kA)
h) k(AB) = (kA)B = A(kB)
i) Nhân kết hợp: A(BC) = (AB)C
j) Nhân phân phối đối với cộng: A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA
k) Ma trận đơn vị:đơn vị cấp n
IV ĐỊNH THỨC:
Gọi định thức của A là detA hoặc mà
Định thức cấp 2:
Định thức cấp 3;
Với định thức cấp n đủ lớn ta dùng các tính chất của định thức để biểu diễn định thức về dạng đặc biệt:
1 Đổi chỗ 2 hàng (cột) thì định thức đổi dấu
2 Một hàng (cột) của định thức có 1 thừa số chung thì có thể đưa thừa số đó ra ngoài định thức
Trang 33 Định thức không thay đổi nếu ta nhân 1 hàng (cột) của định thức với 1 số rồi cộng tương ứng vào hàng (cột) khác
(dùng 3 tính chất trên chuyển định thức về dạng
Trong đó là phần bù đại số của phần tử tương ứng mà là định thức thu được từ sau khi đã bỏ đi hàng i, cột j tương ứng với phần tử
Định lý:
Ma trận nghịch đảo:
1 Định nghĩa
A = gọi là có ma trận nghịch đảo nếu tồn tại 1 ma trận vuông cấp n, B = sao cho
AB = BA = I (đơn vị cấp n) thì B gọi là nghịch đảo của A Ký hiệu:
2 Định lý:
Ma trận A cấp n có ma trận nghịch đảo A là ma trận không suy biến
3 Cách tìm
- Phương pháp 1:
Cho thì
Ví dụ:
Cho Tìm
Ta có:
Vậy:
- Phương pháp 2:
Dùng biến đổi sơ cấp để tìm với
Ta viết A cạnh ma trận đơn vị I cùng cấp dạng (A/I)
Sau đó dùng 3 phép biến đổi sơ cấp trên đồng thời các hàng của A và I
a) Đổi chỗ 2 hàng bất kỳ
b) Nhân 1 hàng nào đó với 1 số khác 0
c) Nhân 1 hàng nào đó với 1 số rồi cộng tương ứng vào 1 hàng khác
Sau 1 số hữu hạn phép biến đổi ta đưa A thành I thì I biến thành
Ví dụ;
Vậy:
V.HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:
1 Hệ Cramer:
Là hệ phương trình gồm n hàng, n cột dạng:
Trong đó: thì có nghiệm duy nhất
Với mà mỗi là định thức thu được từ định thức D sau khi đã thay cột thứ j bởi cột các hệ tử tự do
2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Hệ phương trình (II) có thể viết gọn thành ma trận mở rộng của hệ phương trình là:
Dùng 3 phép biến đổi sơ cấp sau đây trên các hàng của ma trận B
- Đổi chổ 2 hàng
- Nhân 1 hàng với 1 số khác 0
- Nhân 1 hàng nào đó với 1 số rồi cộng tương ứng vào 1 hàng khác thì ta đưa ma trận B về dạng và dể tính được nghiệm của hệ phương trình
Định lý: (Cronce-Kapely)
Hệ pttt (2) có nghiệm
Hạng của ma trận:
Cho ma trận A = gọi hạng của A, ký hiệu Rank(A) là cấp của định thức con khác 0 cao nhất trong
A
Cách tính hạng của ma trận; bằng biến đổi sơ cấp:
Định lý:
Hạng của ma trận không thay đổi qua 1 trong 3 phép biến đổi sau đây:
- Đổi chỗ 2 hàng (cột) tùy ý
- Nhân 1 hàng (cột) với 1 số khác 0
- Nhân 1 hàng (cột) với 1 số rồi cộng tương ứng vào hàng khác, cột khác
Dùng liên tiếp 3 phép biến đổi sơ cấp vào ma trận A Sau 1 số hữu hạn bước ta đưa ma trận
A về dạng:
RankA = số chữ số 1 của ma trận trên
Trang 43 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: (đẳng cấp) là hệ dạng:
Hệ pttt thuần nhất (3) luôn luôn có nghiệm 0 =(0,0,0,………… )
Nếu rankA = k, k thì (3) sẽ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số
Ví dụ: giải và biện luận hệ phương trình sau:
Giải
Ta có:
(đặt điều kiện cho tất cả các phần tử trên đường chéo chính)
Biện luận:
- Nếu a 1 và a 2 thì hệ có nghiệm duy nhất:
(chia 2 vế cho (a - 1))
- Nếu a = 1 thì hệ tương đương hệ:
- Nếu a = -2 thì hệ tương đương hệ:
vô nghiệm
VI KHÔNG GIAN VECTƠ:
1 Định nghĩa:
Gọi 1 không gian vectơ trên trường K (R,C) là 1 tập V cùng với 2 phép toán:
- Phép cộng: là 1 ánh xạ + : V.V V
.gọi là tổng của x và y
- Phép nhân vô hướng với các phần tử thuộc K là 1 ánh xạ
K
.gọi là tích của k với vectơ x
Hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:
a) x + y = y + x
b) x + (y + z) = (x + y) + z
c) : x + 0 = 0 + x = x
d) : x + (-x) = (-x) + x = 0
e) k(x + y) = kx + ky
f) (k + l)x = kx + lx
g) (kl)x = l(kx)
h) 1x = x
2 Một số mô hình của không gian vectơ:
a) b) 2 phép toán:
c) = đa thức 1 ẩn x bậc tùy ý trên trường R d) = đa thức 1 ẩn x trên trường R bậc n cho trước
3 Cơ sở, số chiều, tọa độ:
- Định nghĩa cơ sở:
Hệ vectơ: e1,………….,en (1) trong không gian vectơ V (trên K) gọi là hệ cơ sở của V nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
a) Hệ (1) là hệ độc lập tuyến tính Nếu k1e1 + k2e2 + ………….+ knen = 0
(vectơ không) thì k1 = k2 = ……….= kn = 0
b) Hệ (1) là hệ sinh của V: với mọi x thuộc V thì x biểu thị tuyến tính đựơc
qua hệ (1), nghĩa là a1, a2,…………,an K sao cho x = a1e1 + a2e2
+………… +anen
- Tọa độ:
Nếu hệ (1) là hệ cơ sở của không gian V và x = a1e1 + ………+ anen thì bộ số
[a1,……… ,an] gọi là tọa độ của x đối với cơ sở (1)
- Số chiều:
Số chiều của không gian vectơ V là số vectơ trong 1 cơ sở bất kỳ của V, ký hiệu là dimV
Ví dụ 1:
Rn có cơ sở chính tắc:
.=> dimRn = n
Ví dụ 2:
M(m,n)(R) trên R có hệ cơ sở: là 1 cơ sở của M(m,n)(R) => dim M(m,n)(R) = m.n
Mn(R) = n2
Trang 5- Định lý:
Trong một không gian n-chiều thì:
a) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong Vn đều có n vectơ b) Mọi hệ n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của Vn
c) Mọi hệ có ít hơn n vectơ độc lập tuyến tính đều bổ sung được đến 1 cơ sở
của Vn
d) Mọi hệ > n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính
4 Ma trận chuyển cơ sở:
Trong không gian cho 2 hệ cơ sở:
Ta biểu thị tuyến tính mỗi vectơ trong (2) qua (1), giả sử: hay
Ma trận chuyển vị các hệ số trong sự biểu thị tuyến tính các vectơ trong hệ cơ sở (2) qua hệ cơ sở (1) là gọi là ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (2)
5 Không gian con:
- Định lý: (tiêu chuẩn KGC):
Tập con A của không gian V (trên K) là không gian con của V
- Không gian con sinh bởi 1 hệ vectơ:
Cho 1 hệ vectơ thì tập hợp tầt cả các tổ hợp tuyến tính của hệ đã cho, ký hiệu: là 1 không gian con của không gian V và là không gian con bé nhất của V chứa hệ Không gian con đó gọi là không gian con của V sinh bởi hệ vectơ
- Cơ sở của: là bộ phận độc lập tuyến tính tối đại trong hệ sinh
Muốn tìm một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1) ta tìm hạng của ma trận tọa độ của hệ (1) đối với 1 cơ sở nào đó của không gian V
Sau đó lấy 1 hệ con độc lập tuyến tính của hệ (1) có số vectơ bằng hạng của hệ (1) Bộ phận đó là cơ sở của
6 Tổng và tổng trực tiếp các không gian con:
- Tổng của 2 không gian con:
Cho 2 không gian con A,B V
Gọi tổng của A và B là không gian con
- Tồng trực tiếp:
Cho 2 không gian con A,B V mà:
V = A + B và thì V gọi là phân tích được thành tổng trực tiếp của các không gian con A,B
Ký hiệu:
Ta cũng nói; B là không gian con bù của không gian con A trong V
- Định lý:
Mọi không gian con A của V đều tồn tại không gian con bù trong V
Chú ý:
Không gian con bù của A V không duy nhất
.dimV = dimA + dimB
7 Không gian thương:
Cho không gian con
Tập với 2 phép toán:
Cộng: (x + A) + (y + A) = (x + y) + A
Nhân vô hướng: k(x + A) = kx + A sẽ lập thành 1 không gian véctơ trên K gọi là không gian thương của không gian V theo không gian con A
Chú ý: x + A = y + A x – y thuộc A
VII.ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
VIII.MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
IX VECTƠ RIÊNG, GIÁ TRỊ RIÊNG:
B ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG:
1 NHÓM:
a Định nghĩa:
Là tập G, xác định một phép toán 2 ngôi, ký hiệu: (nhân), thỏa mãn 3 tiên đề sau:
1 Phép toán kết hợp: a.(b.c)=(a.b).c
2 Trong G có phần tử đơn vị (trung hòa)
Trang 63 phần tử thuộc G đều khả nghịch:
Một nhóm mà phép toán a.b=b.a thì nhóm là nhóm giao hoán (Abel)
Số phần tử của nhóm G gọi là cấp của G
Ký hiệu: hay Ord(G)
b Định lý:
Một tập con A của nhóm (G,.) là nhóm con của G
c Nhóm con sinh bởi một tập, nhóm Xiclic:
Định lý:
Giao của 1 họ tùy ý các nhóm con của 1 nhóm G là 1 nhóm con của G
Định nghĩa: nhóm con sinh bởi 1 tập
Cho G là 1 nhóm, S là 1 tập con của G thì giao của tất cả các nhóm con của G chứa tập S sẽ là nhóm con của G chứa tập S
Nhóm con đó là nhóm con bé nhất của G chứa tập S và được gọi là nhóm con của G sinh bởi tập S
Ký hiệu: <S>
Định nghĩa nhóm con Xiclic, nhóm Xiclic:
Nếu S thì nhóm con của G sinh bởi S tức là nhóm con G sinh bởi a là <a> gọi là nhóm con Xiclic của G sinh bởi a
Nếu nhóm G mà sao cho thì G gọi là nhóm Xiclic
Cấu trúc của nhóm Xiclic:
nhóm G thì
Có 2 loại nhóm Xiclic:
Nếu ta có nhóm Xiclic vô hạn
Nếu bé nhất sao cho thì ta có nhóm Xiclic hữu hạn cấp n
Ví dụ 1:
là 1 nhóm Xiclic hữu hạn cấp n
Giải:
1 có dạng là 1= cos0 + isin0
Khai căn:
Chứng minh là 1 nhóm
Phép nhân các số phức là phép toán đại số hai ngôi trên
Phép nhân trên có tính chất kết hợp
Ta có:
Do đó:
Vậy:
Ví dụ 2:
thì là 1 nhóm, đơn vị là
Mệnh đề:
a) Mọi nhóm Xiclic vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z
b) Mọi nhóm Xiclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm
Mệnh đề:
- Nhóm con của nhóm Xiclic là nhóm Xiclic
- Nhóm thương của nhóm Xiclic là nhóm Xiclic
Mệnh đề;
Nếu G là nhóm Xiclic hữu hạn cấp n sinh bởi a thì cũng sinh ra G
Chứng minh:
Nếu cũng sinh ra G, tức là
Khi đó
Nếu (k,n)=1 suy ra
d Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương:
1 Định lý: tiêu chuẩn nhóm con chuẩn tắc:
Một nhóm con H của nhóm (G,.)
Tập con H của G:
nhóm G thì và
G là nhóm Abel
2 Nhóm thương:
Trang 7Nếu H G thì
với phép toán: (xH)(yH) = (xy)H sẽ lập thành 1 nhóm gọi là nhóm thương của G theo nhóm con chuẩn tắc H
Chú ý:
Hai phần tử x,y G thuộc lớp ghép H theo nhóm con chuẩn tắc H, nghĩa là: xH = yH
.xH =
Để tìm nhóm thương ta lấy
Tìm các phần tử y G sao cho x và y cùng thuộc 1 lớp ghép của G theo H
Tức là xH = yH
.tìm được y
Ví dụ:
Cho GL(n, R) là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trường R
H =
CMR: , tìm
Giải:
Vậy:
GL/H =?
Lấy 1 ma trận A bất kỳ GL(n, R), ma trận B B GL(n, R) thuộc 1 lớp ghép với A theo nhóm con chuẩn tắc H
e Đồng cấu nhóm:
Định nghĩa:
Một ánh xạ f: gọi là đồng cấu nhóm nếu
( f bảo toàn phép toán của G, G’)
Một đồng cấu nhóm là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh thì gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nhóm G G’ ánh xạ đẳng cấu G G’ hoặc G’ G
Tính chất cơ bản của đồng cấu:
Cho f: G G’ là đồng cấu nhóm thì:
1 f(e) = e’
2 Tích 2 đồng cấu nhóm là 1 đồng cấu nhóm
3 Ảnh của nhóm con là nhóm con, tạo ảnh toàn phần của nhóm con chuẩn tắc là nhóm con chuẩn tắc
4 f: G G’ là đơn cấu Kerf =
Hệ quả tính chất 3:
5 Định lý đồng cấu nhóm:
Nếu f: G G’ là toàn cấu nhóm thì
Nếu f: G G’ là đồng cấu nhóm thì
Ứng dụng để mô tả nhóm thương của 1 nhóm G theo 1 nhóm con chuẩn tắc H G
Cụ thể là: Cho H G để tìm nhóm thương G/H
Ta tìm 1 nhóm G’ và 1 toàn cấu nhóm f: G G’ sao cho Kerf = H
Theo định lý đồng cấu nhóm thì và ta xem G/H là G’
Ví dụ:
Tìm
Giải:
Lập f: f là toàn cấu nhóm
và f(A) =
Ta có:
Kerf =
Theo định lý đồng cấu nhóm thì
f Định lý Lagrange và hệ quả:
Định lý:
Nếu G là 1 nhóm hữu hạn thì với mọi nhóm con đều là nhóm hữu hạn và cấp của H là ước của cấp của G
Ghi chú: định lý Lagrange chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ
Định nghĩa cấp của phần tử a trong nhóm G là cấp của nhóm con Xiclic sinh bởi a
Trang 8.=> cấp của 1 phần tử a G là n thì n là số nguyên dương bé nhất sao cho
Hệ quả 1:
Nếu G là 1 nhóm hữu hạn, cấp là 1 số nguyên tố p thì G là nhóm Xĩclic và được sinh bởi bất kỳ phần tử nào khác đơn vị của G
Hệ quả 2:
Cấp của mọi phần tử trong 1 nhóm hữu hạn đều là ước của cấp của G
Hệ quả 3:
Nếu G là nhóm hữu hạn cấp n thì đều có
2 VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG:
a Các định nghĩa vành, miền nguyên, trường:
1 Vành:
Ta gọi là 1 vành, 1 tập hợp V trên đó đã xác định 2 phép toán đại số 2 ngôi, ký hiệu +, sao cho:
a) (V,+) là nhóm Abel
b) (V,.) là một nửa nhóm (phép nhân kết hợp)
c) Phép nhân phân phối đối với phép cộng
Một vành mà phép nhân giao hoán (có phần tử đơn vị e) thì gọi là vành giao hoán (vành có phần tử đơn vị)
2 Miền nguyên:
- Ước của không:
Cho V là vành, 2 phần tử a,b 0 V ma ab = 0 thì a, b gọi là ước của 0
- Miền nguyên:
Một vành V giao hoán có đơn vị, có nhiều hơn 1phần tử và không có ước của không thì gọi
là 1 miền nguyên
3 Trường:
Một vành X giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử mà mọi phần tử khác 0 trong X đều khả nghịch thì gọi là 1 trường
Ví dụ:
Vành là 1 trường p là 1 số nguyên tố
.là 1 vành, giao hoán, có đơn vị là p nguyên tố thì mà
Giả sử 0<a<p
Do p nguyên tố và 0<a<p
(mà )
.cần tìm
Vậy là 1 trường
Ngược lại, là 1 trường thì p>1 thì
Đặt
.=> p nguyên tố
b Vành con, trường con:
Định lý tiêu chuẩn vành con:
Tập con A của vành V
Định lý tiêu chuẩn trường con:
Tập con A của trường X:
c Iđêan:
1 Định lý tiêu chuẩn Iđêan:
Tập con A của 1 vành V
Với mọi vành V đều tồn tại 2 vành con , V là 2 vành con tầm thường và là 2 Iđêan tầm thường của V
2 Iđêan sinh bởi 1 tập:
- Định lý:
Giao của 1 họ tùy ý các Iđêan của 1 vành v là 1 Iđêan của V
- Định nghĩa Iđêan sinh bởi 1 tập:
Cho B là 1 tập con của vành V: B V Giao của tất cả các Iđêan của V chứa B sẽ là Iđêan bé nhất của V chứa B, Iđêan đó được gọi là Iđêan sinh bởi B
Trang 9Ký hiệu: <B> hoặc (B)
- Định lý:
Nếu tập con B của V là vành giao hoán có đơn vị, có hữu hạn phần tử của V thì
Ví dụ: trong Z, a Z
<a> =
d Vành thương:
Cho A X thì (A, +) (X, +) mà X là vành thì (X, +) là nhóm Abel nên A nhóm con chuẩn tắc của
X và ta có nhóm thương
Với phép cộng:
(x +A) + (y +A) = (x+y) +A và do (X, +) là nhóm Abel nên nhóm thương (X/A, +) là nhóm Abel
Ta định nghĩa phép nhân:
(x +A)(y + A) = xy +A thì (X/A, +, ) là 1 vành và gọi là vành thương X cho Iđêan A
Chú ý:
2 phần tử x,y X thuộc cùng 1 lớp ghép của vành thương X/A
Ví dụ: vì mà
(có có cùng số dư khi chia cho m)
e Đồng cấu vành:
- Định nghĩa:
Ánh xạ f: X Y là đồng cấu vành nếu thì
1 f(a+b) = f(a) + f(b)
2 f(ab) = f(a).f(b)
Ta có các khái niệm đơn cấu, toàn cầu, đẳng cấu vành như trong nhóm
- Tính chất:
.f:X Y là đồng cấu vành thì:
1 f(0) = 0, f(-x) = -f(x)
2 Tích 2 đồng cấu vành là đồng cấu vành
3
Hệ quả:
Imf, Kerf =
4 f đơn cấu vành
5 Định lý đồng cấu vành:
Nếu f : X Y là 1 toàn cấu vành thì
f Vành chính, vành Euclide, vành Gauxơ:
1 Iđêan chính:
Một Iđêan A của vành X giao hoán, có đơn vị được gọi là Iđêan chính nếu A được sinh bởi 1 phần tử a A
Một vành X được gọi là vành chính nếu mọi Iđêan của X đều là Iđêan chính
Ví dụ:
Z là vành chính
Chứng minh;
(<=) A=mZ thì vì
(=>) Cho A X bất kỳ Xét 2 trường hợp:
A = => A = 0Z
A =>
Từ a A=> -a A vì A Z
Trong 2 phần tử a,-a A thì có 1 phần tử là số tự nhiên >0
Xét tập con các số nguyên dương Athì do N sắp thứ tự tốt nên mọi tập con của nó đều có phần tử bé nhất, gọi số đó là m
Ta chứng minh A=mZ
.do do
Ta chia a cho m
.a = mq + r ,0 r < m => r = a – mq A do giả thuyết về m thì r = 0
.=> a = mq mZ => A mZ
Vậy A = mZ => Z là vành chính
Trang 10Mệnh đề 1:
Trong 1 vành chính X thì UCLN của các phần tử luôn luôn tồn tại
Mệnh đề 2:
Nếu d = UCLN thì sao cho d =
Mệnh đề 3:
Trong vành chính X nếu d là UC của và thỏa mãn (1) thì d = UCLN
2 Vành Euclide:
Định nghĩa:
Miền nguyên X cùng với 1 ánh xạ: gọi là chuẩn của x gọi là 1 vành Euclide nếu thỏa mãn điều kiện sau:
.thì a = bq + r trong đó r = 0 hoặc r 0 thì
Ví dụ:
Z là vành Euclide
+ Z là miền nguyên
+ Ta xác định ánh xạ chuẩn
3 Vành Gauxơ:
Một miền nguyên X đƣợc gọi là vành Gauxơ nếu với mọi phần tử khác 0 không khả nghịch trong X đều phân tích đƣợc thành tích của các phần tử bất khả quy của X và sự phân tích đó
là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các nhân tử bất khả quy
Ví dụ: a = bc, b/a
+ a, b liên kết nếu a/b và b/a
+ X: vành có đơn vị 1 thì với mọi phần tử khả nghịch của X đều là ƣớc của 1
+ Phần tử trong vành X là phần tử khác 0, không khả nghịch và có ƣớc thật sự
Ví dụ:
Z Gauxơ
Z[x], Q[x], R[x], C[x] là các vành Gauxơ
Mối quan hệ giữa 3 vành:
Định lý 1:
Mọi vành chính đều là vành Euclide
Định lý 2:
Mọi vành Euclide đều là vành Gauxơ