Tài liệu Đại số tuyến tính ôn thi cao học tham khảo ppt

A. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH: I. SỐ PHỨC: 1. Định nghĩa: (i: đơn vị ảo) 2. Phép toán: - Cộng, trừ: - Nhân: - Chia: 3. Dạng lƣợng giác: Cho = a + bi thì xác định nếu: - Độ dài (môđun) của . Ký hiệu: - Góc giữa Ox và gọi là arcgument của .xác định hoặc .=> a = rcos .gọi là dạng lƣợng giác của 4. Khai căn số phức: - Nếu có dạng lƣợng giác thì Chú ý: Ví dụ: tính Giải - Đổi 1 ra dạng lƣợng giác II.ÁNH XẠ: 1. Định nghĩa: Cho 2 tập X, Y . Một quy tắc f từ X Y, đặt tƣơng ứng mỗi phần tử x X với 1 phần tử duy nhất y Y thì gọi là 1 ánh xạ X Y Ký hiệu: f X: TXĐ (tập nguồn) Y: TGT (tập đích) .thì viết y = f(x) .x: tạo ảnh của y .y: ảnh của x Mỗi y Y thì tập gọi là tạo ảnh toàn phần của y. .gọi là ảnh của A qua f .gọi là tạo ảnh toàn phần của B qua f. 2. Các loại ánh xạ: - Đơn ánh: (1-1) Ánh xạ f: X Y gọi là đơn ánh nếu mà .f không đơn ánh nếu nhƣng - Toàn ánh: (lên) .f: X Y gọi là toàn ánh - Song ánh: (1-1 lên) .f : XY (đơn ánh + toàn ánh) = song ánh 3. Phép thế: Cho X = - Định nghĩa: Một song ánh f: X X gọi là 1 phép thế bậc n Tập các phép thế bậc n. Ký hiệu Thực hành nhân các phép thế: Ví dụ: (thực hiện lấy ảnh liên tiếp từ phải sang trái) Vd: 1 có ảnh qua g là 2 2 có ảnh qua f là 1 .=> 1 có ảnh qua fg là 1 Do đó: - Phép thế ngƣợc: - Dấu phép thế, phép thế chẳn, lẻ: Cho Cách 2: phân tích phép thế thành tích các vòng xích độc lập Vd: ( 1 3 2): vòng xích có độ dài 3 (4 6 7): vòng xích có độ dài 3 (5): vòng xích có độ dài 1 (8): vòng xích có độ dài 1 Vòng xích có độ dài 1 thì bỏ Lúc đó: .g = (1 3 2) (4 6 7) .s(g) g chẳn (dấu của g = (-1) mũ độ dài từng vòng xícg + 1) - Các kết quả: Mệnh đề 1: Dấu của tích của các phép thế bằng tích các dấu s(fg) = s(f).s(g) Hệ quả: tích 2 phép thế chẳn là 1 phép thế chẳn. Mệnh đề 2: .s(f) Mệnh đề 3: Số phép thế chẳn = số các phép thế lẻ III. MA TRẬN: 1. Định nghĩa: Ma trận cở (m,n) trên trƣờng K là 1 bảng m hàng, n cột các số thuộc K, dạng A = Viết gọn 2. Phép toán: - Cộng ma trận: - Nhân 1 số với 1 ma trận: - Nhân ma trận: .trong đó mỗi hay tức là mỗi phần tử nằm ở hàng i, cột j của ma trận tích là đƣợc tính bằng tổng của tích hàng i của ma trận A với các phần tử ở cột j của ma trận B 3. Các tính chất: a) Cộng ma trận giao hoán: A + B = B + A b) Cộng ma trận kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C c) A + 0 = 0 + A d) A + (-A) = (-A) + A =0 e) .k(A + B) = kA + kB f) (k +l)A = kA + lA g) (kl)A = k(lA) = l(kA) h) .k(AB) = (kA)B = A(kB) i) Nhân kết hợp: A(BC) = (AB)C j) Nhân phân phối đối với cộng: A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA k) Ma trận đơn vị:đơn vị cấp n IV. ĐỊNH THỨC: Gọi định thức của A là detA hoặc mà Định thức cấp 2: Định thức cấp 3; Với định thức cấp n đủ lớn ta dùng các tính chất của định thức để biểu diễn định thức về dạng đặc biệt: 1. Đổi chỗ 2 hàng (cột) thì định thức đổi dấu. 2. Một hàng (cột) của định thức có 1 thừa số chung thì có thể đƣa thừa số đó ra ngoài định thức. 3. Định thức không thay đổi nếu ta nhân 1 hàng (cột) của định thức với 1 số rồi cộng tƣơng ứng vào hàng (cột) khác. (dùng 3 tính chất trên chuyển định thức về dạng Trong đó là phần bù đại số của phần tử tƣơng ứng mà là định thức thu đƣợc từ sau khi đã bỏ đi hàng i, cột j tƣơng ứng với phần tử Định lý: Ma trận nghịch đảo: 1. Định nghĩa A = gọi là có ma trận nghịch đảo nếu tồn tại 1 ma trận vuông cấp n, B = sao cho AB = BA = I (đơn vị cấp n) thì B gọi là nghịch đảo của A. Ký hiệu: 2. Định lý: Ma trận A cấp n có ma trận nghịch đảo A là ma trận không suy biến 3. Cách tìm - Phƣơng pháp 1: Cho thì Ví dụ: Cho . Tìm Ta có: Vậy: - Phƣơng pháp 2: Dùng biến đổi sơ cấp để tìm với Ta viết A cạnh ma trận đơn vị I cùng cấp dạng (A/I) Sau đó dùng 3 phép biến đổi sơ cấp trên đồng thời các hàng của A và I a) Đổi chỗ 2 hàng bất kỳ b) Nhân 1 hàng nào đó với 1 số khác 0 c) Nhân 1 hàng nào đó với 1 số rồi cộng tƣơng ứng vào 1 hàng khác. Sau 1 số hữu hạn phép biến đổi ta đƣa A thành I thì I biến thành Ví dụ; Vậy: V.HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 1. Hệ Cramer: Là hệ phƣơng trình gồm n hàng, n cột dạng: Trong đó: thì có nghiệm duy nhất Với mà mỗi là định thức thu đƣợc từ định thức D sau khi đã thay cột thứ j bởi cột các hệ tử tự do. 2. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát: Hệ phƣơng trình (II) có thể viết gọn thành ma trận mở rộng của hệ phƣơng trình là: Dùng 3 phép biến đổi sơ cấp sau đây trên các hàng của ma trận B - Đổi chổ 2 hàng. - Nhân 1 hàng với 1 số khác 0 - Nhân 1 hàng nào đó với 1 số rồi cộng tƣơng ứng vào 1 hàng khác thì ta đƣa ma trận B về dạng và dể tính đƣợc nghiệm của hệ phƣơng trình. Định lý: (Cronce-Kapely) Hệ pttt (2) có nghiệm Hạng của ma trận: Cho ma trận A = gọi hạng của A, ký hiệu Rank(A) là cấp của định thức con khác 0 cao nhất trong A. Cách tính hạng của ma trận; bằng biến đổi sơ cấp: Định lý: Hạng của ma trận không thay đổi qua 1 trong 3 phép biến đổi sau đây: - Đổi chỗ 2 hàng (cột) tùy ý. - Nhân 1 hàng (cột) với 1 số khác 0 - Nhân 1 hàng (cột) với 1 số rồi cộng tƣơng ứng vào hàng khác, cột khác. Dùng liên tiếp 3 phép biến đổi sơ cấp vào ma trận A. Sau 1 số hữu hạn bƣớc ta đƣa ma trận A về dạng: RankA = số chữ số 1 của ma trận trên. 3. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất: (đẳng cấp) là hệ dạng: Hệ pttt thuần nhất (3) luôn luôn có nghiệm 0 =(0,0,0,………… ) Nếu rankA = k, k thì (3) sẽ có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Ví dụ: giải và biện luận hệ phƣơng trình sau: Giải Ta có: (đặt điều kiện cho tất cả các phần tử trên đƣờng chéo chính) Biện luận: - Nếu a 1 và a 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (chia 2 vế cho (a - 1)) - Nếu a = 1 thì hệ tƣơng đƣơng hệ: - Nếu a = -2 thì hệ tƣơng đƣơng hệ: vô nghiệm VI. KHÔNG GIAN VECTƠ: 1. Định nghĩa: Gọi 1 không gian vectơ trên trƣờng K (R,C) là 1 tập V cùng với 2 phép toán: - Phép cộng: là 1 ánh xạ + : V.V V .gọi là tổng của x và y. - Phép nhân vô hƣớng với các phần tử thuộc K là 1 ánh xạ K .gọi là tích của k với vectơ x. Hai phép toán trên thỏa mãn 8 tiên đề sau: a) x + y = y + x b) x + (y + z) = (x + y) + z c) : x + 0 = 0 + x = x d) : x + (-x) = (-x) + x = 0 e) .k(x + y) = kx + ky f) (k + l)x = kx + lx g) (kl)x = l(kx) h) 1x = x 2. Một số mô hình của không gian vectơ: a) . b) 2 phép toán: c) = đa thức 1 ẩn x bậc tùy ý trên trƣờng R d) = đa thức 1 ẩn x trên trƣờng R bậc n cho trƣớc 3. Cơ sở, số chiều, tọa độ: - Định nghĩa cơ sở: Hệ vectơ: e 1 ,………….,e n (1) trong không gian vectơ V (trên K) gọi là hệ cơ sở của V nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: a) Hệ (1) là hệ độc lập tuyến tính. Nếu k 1 e 1 + k 2 e 2 + ………….+ k n e n = 0 (vectơ không) thì k 1 = k 2 = …………….= k n = 0. b) Hệ (1) là hệ sinh của V: với mọi x thuộc V thì x biểu thị tuyến tính đựơc qua hệ (1), nghĩa là a 1 , a 2 ,…………,a n K sao cho x = a 1 e 1 + a 2 e 2 +…………. +a n e n - Tọa độ: Nếu hệ (1) là hệ cơ sở của không gian V và x = a 1 e 1 + ………+ a n e n thì bộ số [a 1 ,……… ,a n ] gọi là tọa độ của x đối với cơ sở (1). - Số chiều: Số chiều của không gian vectơ V là số vectơ trong 1 cơ sở bất kỳ của V, ký hiệu là dimV. Ví dụ 1: R n có cơ sở chính tắc: .=> dimR n = n Ví dụ 2: M (m,n) (R) trên R có hệ cơ sở: là 1 cơ sở của M (m,n) (R) => dim M (m,n) (R) = m.n M n (R) = n 2 - Định lý: Trong một không gian n-chiều thì: a) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V n đều có n vectơ b) Mọi hệ n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V n c) Mọi hệ có ít hơn n vectơ độc lập tuyến tính đều bổ sung đƣợc đến 1 cơ sở của V n d) Mọi hệ > n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. 4. Ma trận chuyển cơ sở: Trong không gian cho 2 hệ cơ sở: Ta biểu thị tuyến tính mỗi vectơ trong (2) qua (1), giả sử: hay Ma trận chuyển vị các hệ số trong sự biểu thị tuyến tính các vectơ trong hệ cơ sở (2) qua hệ cơ sở (1) là gọi là ma trận chuyển cơ sở từ (1) sang (2). 5. Không gian con: - Định lý: (tiêu chuẩn KGC): Tập con A của không gian V (trên K) là không gian con của V - Không gian con sinh bởi 1 hệ vectơ: Cho 1 hệ vectơ thì tập hợp tầt cả các tổ hợp tuyến tính của hệ đã cho, ký hiệu: là 1 không gian con của không gian V và là không gian con bé nhất của V chứa hệ. Không gian con đó gọi là không gian con của V sinh bởi hệ vectơ - Cơ sở của: là bộ phận độc lập tuyến tính tối đại trong hệ sinh Muốn tìm một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1) ta tìm hạng của ma trận tọa độ của hệ (1) đối với 1 cơ sở nào đó của không gian V. Sau đó lấy 1 hệ con độc lập tuyến tính của hệ (1) có số vectơ bằng hạng của hệ (1). Bộ phận đó là cơ sở của 6. Tổng và tổng trực tiếp các không gian con: - Tổng của 2 không gian con: Cho 2 không gian con A,B V Gọi tổng của A và B là không gian con - Tồng trực tiếp: Cho 2 không gian con A,B V mà: V = A + B và thì V gọi là phân tích đƣợc thành tổng trực tiếp của các không gian con A,B. Ký hiệu: Ta cũng nói; B là không gian con bù của không gian con A trong V - Định lý: Mọi không gian con A của V đều tồn tại không gian con bù trong V Chú ý: Không gian con bù của A V không duy nhất. .dimV = dimA + dimB 7. Không gian thƣơng: Cho không gian con Tập với 2 phép toán: Cộng: (x + A) + (y + A) = (x + y) + A Nhân vô hƣớng: k(x + A) = kx + A sẽ lập thành 1 không gian véctơ trên K gọi là không gian thƣơng của không gian V theo không gian con A. Chú ý: x + A = y + A  x – y thuộc A VII.ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH: VIII.MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH: IX. VECTƠ RIÊNG, GIÁ TRỊ RIÊNG: B. ĐẠI SỐ ĐẠI CƢƠNG: 1. NHÓM: a. Định nghĩa: Là tập G, xác định một phép toán 2 ngôi, ký hiệu: . (nhân), thỏa mãn 3 tiên đề sau: 1. Phép toán . kết hợp: a.(b.c)=(a.b).c 2. Trong G có phần tử đơn vị (trung hòa) 3. phần tử thuộc G đều khả nghịch: Một nhóm mà phép toán a.b=b.a thì nhóm là nhóm giao hoán (Abel) Số phần tử của nhóm G gọi là cấp của G Ký hiệu: hay Ord(G) b. Định lý: Một tập con A của nhóm (G,.) là nhóm con của G c. Nhóm con sinh bởi một tập, nhóm Xiclic: Định lý: Giao của 1 họ tùy ý các nhóm con của 1 nhóm G là 1 nhóm con của G. Định nghĩa: nhóm con sinh bởi 1 tập Cho G là 1 nhóm, S là 1 tập con của G thì giao của tất cả các nhóm con của G chứa tập S sẽ là nhóm con của G chứa tập S. Nhóm con đó là nhóm con bé nhất của G chứa tập S và đƣợc gọi là nhóm con của G sinh bởi tập S. Ký hiệu: <S> Định nghĩa nhóm con Xiclic, nhóm Xiclic: Nếu S thì nhóm con của G sinh bởi S tức là nhóm con G sinh bởi a là <a> gọi là nhóm con Xiclic của G sinh bởi a Nếu nhóm G mà sao cho thì G gọi là nhóm Xiclic. Cấu trúc của nhóm Xiclic: . nhóm G thì Có 2 loại nhóm Xiclic: Nếu ta có nhóm Xiclic vô hạn Nếu bé nhất sao cho thì ta có nhóm Xiclic hữu hạn cấp n Ví dụ 1: . là 1 nhóm Xiclic hữu hạn cấp n. Giải: 1 có dạng là 1= cos0 + isin0 Khai căn: Chứng minh là 1 nhóm Phép nhân các số phức là phép toán đại số hai ngôi trên Phép nhân trên có tính chất kết hợp Ta có: Do đó: Vậy: Ví dụ 2: . thì là 1 nhóm, đơn vị là Mệnh đề: a) Mọi nhóm Xiclic vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. b) Mọi nhóm Xiclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với nhóm Mệnh đề: - Nhóm con của nhóm Xiclic là nhóm Xiclic. - Nhóm thƣơng của nhóm Xiclic là nhóm Xiclic. Mệnh đề; Nếu G là nhóm Xiclic hữu hạn cấp n sinh bởi a thì cũng sinh ra G Chứng minh: Nếu cũng sinh ra G, tức là Khi đó Nếu (k,n)=1 suy ra d. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thƣơng: 1. Định lý: tiêu chuẩn nhóm con chuẩn tắc: Một nhóm con H của nhóm (G,.) Tập con H của G: . nhóm G thì và G là nhóm Abel 2. Nhóm thƣơng: Nếu H G thì . với phép toán: (xH)(yH) = (xy)H sẽ lập thành 1 nhóm gọi là nhóm thƣơng của G theo nhóm con chuẩn tắc H. Chú ý: Hai phần tử x,y G thuộc lớp ghép H theo nhóm con chuẩn tắc H, nghĩa là: xH = yH .xH = Để tìm nhóm thƣơng ta lấy Tìm các phần tử y G sao cho x và y cùng thuộc 1 lớp ghép của G theo H. Tức là xH = yH .tìm đƣợc y Ví dụ: Cho GL(n, R) là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trƣờng R H = CMR: , tìm Giải: Vậy: GL/H =? Lấy 1 ma trận A bất kỳ GL(n, R), ma trận B B GL(n, R) thuộc 1 lớp ghép với A theo nhóm con chuẩn tắc H. e. Đồng cấu nhóm: Định nghĩa: Một ánh xạ f: gọi là đồng cấu nhóm nếu ( f bảo toàn phép toán của G, G’) Một đồng cấu nhóm là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh thì gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nhóm G G’ ánh xạ đẳng cấu G G’ hoặc G’ G Tính chất cơ bản của đồng cấu: Cho f: G G’ là đồng cấu nhóm thì: 1. f(e) = e’ 2. Tích 2 đồng cấu nhóm là 1 đồng cấu nhóm. 3. Ảnh của nhóm con là nhóm con, tạo ảnh toàn phần của nhóm con chuẩn tắc là nhóm con chuẩn tắc. 4. f: G G’ là đơn cấu Kerf = Hệ quả tính chất 3: 5. Định lý đồng cấu nhóm: Nếu f: G G’ là toàn cấu nhóm thì Nếu f: G G’ là đồng cấu nhóm thì Ứng dụng để mô tả nhóm thƣơng của 1 nhóm G theo 1 nhóm con chuẩn tắc H G Cụ thể là: Cho H G để tìm nhóm thƣơng G/H Ta tìm 1 nhóm G’ và 1 toàn cấu nhóm f: G G’ sao cho Kerf = H Theo định lý đồng cấu nhóm thì và ta xem G/H là G’. Ví dụ: Tìm Giải: Lập f: f là toàn cấu nhóm . và f(A) = Ta có: Kerf = Theo định lý đồng cấu nhóm thì f. Định lý Lagrange và hệ quả: Định lý: Nếu G là 1 nhóm hữu hạn thì với mọi nhóm con đều là nhóm hữu hạn và cấp của H là ƣớc của cấp của G. Ghi chú: định lý Lagrange chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ. Định nghĩa cấp của phần tử a trong nhóm G là cấp của nhóm con Xiclic sinh bởi a. .=> cấp của 1 phần tử a G là n thì n là số nguyên dƣơng bé nhất sao cho Hệ quả 1: Nếu G là 1 nhóm hữu hạn, cấp là 1 số nguyên tố p thì G là nhóm Xĩclic và đƣợc sinh bởi bất kỳ phần tử nào khác đơn vị của G. Hệ quả 2: Cấp của mọi phần tử trong 1 nhóm hữu hạn đều là ƣớc của cấp của G. Hệ quả 3: Nếu G là nhóm hữu hạn cấp n thì đều có 2. VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƢỜNG: a. Các định nghĩa vành, miền nguyên, trƣờng: 1. Vành: Ta gọi là 1 vành, 1 tập hợp V trên đó đã xác định 2 phép toán đại số 2 ngôi, ký hiệu +, . sao cho: a) (V,+) là nhóm Abel. b) (V,.) là một nửa nhóm (phép nhân kết hợp) c) Phép nhân phân phối đối với phép cộng Một vành mà phép nhân giao hoán (có phần tử đơn vị e) thì gọi là vành giao hoán (vành có phần tử đơn vị) 2. Miền nguyên: - Ƣớc của không: Cho V là vành, 2 phần tử a,b 0 V ma ab = 0 thì a, b gọi là ƣớc của 0 - Miền nguyên: Một vành V giao hoán có đơn vị, có nhiều hơn 1phần tử và không có ƣớc của không thì gọi là 1 miền nguyên. 3. Trƣờng: Một vành X giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử mà mọi phần tử khác 0 trong X đều khả nghịch thì gọi là 1 trƣờng. Ví dụ: Vành là 1 trƣờng p là 1 số nguyên tố .là 1 vành, giao hoán, có đơn vị là p nguyên tố thì mà Giả sử 0<a<p Do p nguyên tố và 0<a<p (mà ) .cần tìm Vậy là 1 trƣờng. Ngƣợc lại, là 1 trƣờng thì p>1 thì Đặt .=> p nguyên tố b. Vành con, trƣờng con: Định lý tiêu chuẩn vành con: Tập con A của vành V Định lý tiêu chuẩn trƣờng con: Tập con A của trƣờng X: c. Iđêan: 1. Định lý tiêu chuẩn Iđêan: Tập con A của 1 vành V Với mọi vành V đều tồn tại 2 vành con , V là 2 vành con tầm thƣờng và là 2 Iđêan tầm thƣờng của V 2. Iđêan sinh bởi 1 tập: - Định lý: Giao của 1 họ tùy ý các Iđêan của 1 vành v là 1 Iđêan của V - Định nghĩa Iđêan sinh bởi 1 tập: Cho B là 1 tập con của vành V: B V. Giao của tất cả các Iđêan của V chứa B sẽ là Iđêan bé nhất của V chứa B, Iđêan đó đƣợc gọi là Iđêan sinh bởi B Ký hiệu: <B> hoặc (B) - Định lý: Nếu tập con B của V là vành giao hoán có đơn vị, có hữu hạn phần tử của V thì Ví dụ: trong Z, a Z <a> = d. Vành thƣơng: Cho A X thì (A, +) (X, +) mà X là vành thì (X, +) là nhóm Abel nên A nhóm con chuẩn tắc của X và ta có nhóm thƣơng Với phép cộng: (x +A) + (y +A) = (x+y) +A và do (X, +) là nhóm Abel nên nhóm thƣơng (X/A, +) là nhóm Abel. Ta định nghĩa phép nhân: (x +A)(y + A) = xy +A thì (X/A, +, .) là 1 vành và gọi là vành thƣơng X cho Iđêan A Chú ý: 2 phần tử x,y X thuộc cùng 1 lớp ghép của vành thƣơng X/A Ví dụ: vì mà (có có cùng số dƣ khi chia cho m) e. Đồng cấu vành: - Định nghĩa: Ánh xạ f: X Y là đồng cấu vành nếu thì 1. f(a+b) = f(a) + f(b) 2. f(ab) = f(a).f(b) Ta có các khái niệm đơn cấu, toàn cầu, đẳng cấu vành nhƣ trong nhóm. - Tính chất: .f:X Y là đồng cấu vành thì: 1. f(0) = 0, f(-x) = -f(x) 2. Tích 2 đồng cấu vành là đồng cấu vành 3. . Hệ quả: Imf, Kerf = 4. f đơn cấu vành 5. Định lý đồng cấu vành: Nếu f : X Y là 1 toàn cấu vành thì f. Vành chính, vành Euclide, vành Gauxơ: 1. Iđêan chính: Một Iđêan A của vành X giao hoán, có đơn vị đƣợc gọi là Iđêan chính nếu A đƣợc sinh bởi 1 phần tử a A Một vành X đƣợc gọi là vành chính nếu mọi Iđêan của X đều là Iđêan chính. Ví dụ: Z là vành chính Chứng minh; (<=) A=mZ thì vì (=>) Cho A X bất kỳ. Xét 2 trƣờng hợp: A = => A = 0Z A => Từ a A=> -a A vì A Z Trong 2 phần tử a,-a A thì có 1 phần tử là số tự nhiên >0 Xét tập con các số nguyên dƣơng Athì do N sắp thứ tự tốt nên mọi tập con của nó đều có phần tử bé nhất, gọi số đó là m Ta chứng minh A=mZ .do do Ta chia a cho m .a = mq + r ,0 r < m => r = a – mq A do giả thuyết về m thì r = 0 .=> a = mq mZ => A mZ Vậy A = mZ => Z là vành chính Mệnh đề 1: Trong 1 vành chính X thì UCLN của các phần tử luôn luôn tồn tại Mệnh đề 2: Nếu d = UCLN thì sao cho d = Mệnh đề 3: Trong vành chính X nếu d là UC của và thỏa mãn (1) thì d = UCLN 2. Vành Euclide: Định nghĩa: Miền nguyên X cùng với 1 ánh xạ: gọi là chuẩn của x gọi là 1 vành Euclide nếu thỏa mãn điều kiện sau: .thì a = bq + r trong đó r = 0 hoặc r 0 thì Ví dụ: Z là vành Euclide + Z là miền nguyên + Ta xác định ánh xạ chuẩn 3. Vành Gauxơ: Một miền nguyên X đƣợc gọi là vành Gauxơ nếu với mọi phần tử khác 0 không khả nghịch trong X đều phân tích đƣợc thành tích của các phần tử bất khả quy của X và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các nhân tử bất khả quy. Ví dụ: a = bc, b/a + a, b liên kết nếu a/b và b/a + X: vành có đơn vị 1 thì với mọi phần tử khả nghịch của X đều là ƣớc của 1 + Phần tử trong vành X là phần tử khác 0, không khả nghịch và có ƣớc thật sự. Ví dụ: Z Gauxơ Z[x], Q[x], R[x], C[x] là các vành Gauxơ Mối quan hệ giữa 3 vành: Định lý 1: Mọi vành chính đều là vành Euclide Định lý 2: Mọi vành Euclide đều là vành Gauxơ . hợp tuyến tính của hệ đã cho, ký hiệu: là 1 không gian con của không gian V và là không gian con bé nhất của V chứa hệ. Không gian con đó gọi là không. dạng: RankA = số chữ số 1 của ma trận trên. 3. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất: (đẳng cấp) là hệ dạng: Hệ pttt thuần nhất (3) luôn luôn có nghiệm