Tài liệu đại số tuyến tính

Tổng quan về đại số tuyến tính Tài liệu đại số tuyến tính Kiến thức về toán tuyến tính ở đại học Ôn thi môn đại số tuyến tính Tài liệu tham khảo đại số tuyến tính Toán cao cấp 1 đại số tuyến tính Đối với sinh viên đại học hẳn các em sẽ có suy nghĩ “Liệu định nghĩa định thức của matrận qua một loạt biến đổi như thế thì giá trị định thức có bị phụ thược vào quá trình chéo hóa không?” Tất nhiên là không bị phụ thuộc vào quá trình chéo hóa, tuy nhiên điều này thì cần phải chứng minh. Để chứng minh chúng ta nhận xét quá trình chéo hóa bắt đầu từ cột thứ nhất cho tới cột cuối cùng. Và nếu bắt đầu từ ma trận chéo hóa rồi thực hiện các phép biến đổi ngược lại từ cột cuối cùng tới cột đầu tiên thì chúng ta sẽ thu được ma trận ban đầu. Phép biến đổi ngược lại cũng có dạng thêm vào một dòng một dòng khác sau khi đã nhân với một hệ số, có điều khi biến đổi thuận nhân với một số thì biến đổi ngược vẫn nhân với số ấy nhưng đổi dấu.

1 10:24||8-3-2019 (đang soạn) Matran hình chữ nhật phần tử có dạng số cột chạy từ m) (i số dòng chạy từ n, j Người ta sử dụng cách viết đưa số thứ lên Sau xét matran vuông, tức matran có số dòng số cột Nhân số với matran nhân vào tất số hạng matran Matan mà tất vị trí gọi ký hiệu matran Matran mà phần tử nằm ngồi đường chéo 0, tức , gọi matran chéo Matran chéo mà tất giá trị đường chéo gọi matran đơn vị, ký hiệu I Cộng hai matran Nhân hai matran , viết tắt Đối với matran tồn ma trận cho nnghịch Ma trận nnghịch ký hiệu Sau trình bày phương pháp tìm ma trận nghịch Trước hết nói giải hệ phương trình tuyến tính gọi ma trận có Sử dụng phép nhân ma trận, hệ phương trình tuyến tính viết dạng sau Lý thuyết matran phức tạp chất đơn giản Đầu tiên cần phải hiểu giải hệ phương trình? Chúng ta thực biến đổi hệ phương trình để đưa dạng đơn giản hơn, việc biến đổi không làm ảnh hưởng tới nghiệm Những phép biến đổi gọi biến đổi tương đương Có ba phép biến đổi tương đương đơn giản Đổi chỗ hai phương trình cho Nhân phương trình, tức nhân hai vế phương trình, với số khác Cộng thêm vào phương trình, phương trình khác sau nhân với số Phép biến đổi “Cộng thêm vào phương trình, phương trình khác sau nhân với số” gọi biến đổi sơ cấp Chúng ta sử dụng liên tiếp biến đổi sơ cấp để biến đổi hệ phương trình dạng đơn giản Để giải hệ phương trình Chúng ta tiến hành khử cho phương trình thứ Chúng ta thêm vào phương trình thứ hai, phương trình thứ sau nhân với -2; thêm vào phương trình thứ hai, phương trình thứ sau nhân với -1 Bây cần giải hệ với số ẩn Khi tìm nghiệm từ phương trình thứ tìm giá trị Để tiếp tục khử sau nhân với cách thêm phương trình thứ hai vào với phương trình thứ ba, Chúng ta nên khử ln phương trình đầu Tiếp tục khử , Chia hai vế phương trình thứ hai cho -3 phương trình thứ ba cho , Nếu sử dụng biện pháp viết dạng ma trận ý tưởng viết sau Ma trận ma trận đường chéo với số hạng đường chéo khác Tích giá trị đường chéo gọi định thức ma trận Như Vậy định thức ma trận khác hệ phương trình có nghiệm Như cần thực liên tiếp phép biến đổi sơ cấp “thêm vào dòng dòng khác sau nhân với số” thu Thực phép chia để ma trận hệ số ma trận đơn vị Và nghiệm hệ phương trình cột cuối Nếu cần giải phương trình ma trận, ví dụ Thì điều tương đương với việc thực việc giải lúc hệ phương trình sau Thì áp dụng phép biến đổi “thêm vào dòng dòng khác sau nhân với số” Như phương trình ma trận Có nghiệm Như Qy tắc tìm ma trận nnghịch đảo sau Để tìm ma trận nghịch Chúng ta viết thêm vào ma trận đơn vị Rồi tiến hành biến đổi chuyển ma trận cần tìm nghịch dạng đơn vị Khi kết xong lấy ma trận nnghịch vị trí thêm vào Để lấy nnghịch ma trận nnghịch, làm tương tự Lẽ dĩ nhiên thu Như nghịch ma trận nghịch Như ma trận ngược ma trận tồn thực phép biến đổi để đưa ma trận đơn vị, tức phép biến đổi sơ cấp “thêm vào dòng dòng khác sau nhân với số” để đưa dạng đường chéo với số hạng đường chéo khác Như lưu ý “Tích giá trị đường chéo gọi định thức matran” định thức trận khác điều kiện cần đủ để ma trận có nghịch Mỗi người có phương pháp thực phép biến đổi sơ cấp ma trận chéo thu khác Như việc định nghĩa định thức chấp nhận Sau trình bày định nghĩa định thức chứng minh thật tích giá trị ma trận chéo hóa nói khơng phụ thuộc vào dãy trình biến đổi sơ cấp, mà định thức ma trận Đang viết Ví dụ nhân matran với matran P Như matran thu từ P dòng thứ j cộng thêm dòng thứ i sau nhân với Phép biến đổi gọi biến đổi sơ cấp sử dụng dòng i Tương tự matran thu từ P cột thứ i cộng thêm cột thứ j sau nhân với Nếu P matran chéo, Các matrận dạng gọi matrận biến đổi sơ cấp Vậy matran chéo giao hoán với matran biến đổi sơ cấp Bằng cách thực phép biến đổi sơ cấp chuyển cột thứ dạng tất giá trị ngoại trừ vị thứ Chúng ta biến đổi với cột thứ thứ hai không làm cho giá trị cột thứ trở nên hết, khơng tồn cột Tiếp theo chuyển sang cột thứ hai Nếu cột Cứ tiếp tục cho cột Nếu đến cột cuối củng đưa ma trận dạng, cột có có giá trị khác khơng nằm đường chéo Tích giá trị đường chéo gọi định thức matran, ký hiệu det(A) Như định thức matran đổi dấu đổi chỗ hai dòng hai cột cho nhau, khơng thay đổi cộng thêm vào dòng, dòng khác sau nhân lên với số; hay cộng thêm vào cột, cột khác sau nhân lên với số Matran tích dạng PQ thu từ chéo hóa P Q, sau nhờ tính chất kết hợp đổi matran đơn giản bên phải P sang trái Matran tích có dạng chéo hóa tích chéo hóa định thức tích hai matran tích định thức chúng Matran A có định thức khác ln có matran ngược, tức matran X mà Để tìm X nhân matran đơn giản vào vế trái phương trình để chéo hóa A Do định thức khác số hạng đường chéo khác Chia vế cho giá trị đường chéo chuyển A matran đơn vị, X giá trị vế phải Viết dạng matran sau Matran nnghịch matran vuông A matran X mà Bằng cách nhân liên tiếp hai vế với matran đơn giản thực phép chia dòng tiến hành chuyển matran đầu dạng matran chéo Khi ma trận đơn vị thành matran Như Matran nnghịch ký hiệu Vậy phương trình có lời giải Lưu ý - - - Hai matran cỡ số hạng vị trí tương ứng Như với Chỉ cộng hai matran có só dòng số cột Phép cộng có tính giao hốn kết hợp Như Matrận gọi matrận ngược Rõ ràng Chỉ nhân hai matran số cột matran trước với số dòng matran sau Phép nhân khơng giao hốn có tính kết hợp Như Nhân với tổng nhân với số hạng cộng lại Như Matran không thay đổi nhân bên phải hay bên trái với matran đơn vị Matran có nnghịch tồn có định thức khác Phương trình có nghiệm Bài tập Thực hành biến đổi chéo hóa ma trận - “ma trận  ma trận 2”: Dòng thứ thêm vào dòng thứ - “ma trận  ma trận 3”: Lấy dòng thứ nhân với -2 thêm vào dòng thứ hai, lấy dòng thứ nhân với -1 thêm vào dòng thứ ba - “ma trận  ma trận 4”: Lấy dòng thứ hai thêm vào dòng thứ nhất, lấy dòng thứ hai nhân với thêm vào dòng thứ ba 9 - “ma trận  ma trận 5”: Lấy dòng thứ ba nhân với -3 thêm vào dòng thứ nhất, lấy dòng thứ ba nhân với thêm vào dòng thứ Như nhân ma trận Vào bên trái ma trận Chúng ta thu matran Vậy Bài tập Thực hành lấy nnghịch Ký hiệu Giải phương trình Tiến hành chéo hóa cách nhân Vào hai vế 10 Các biển đổi theo dòng khơng liên quan tới ma trận nên thực biến đổi gộp dòng cho hai ma trận - Dòng thứ thêm vào dòng thứ - Dòng thứ nhân với -2 thêm vào dòng thứ hai, dòng thứ nhân với -1 thêm vào dòng thứ ba - Dòng thứ hai thêm vào dòng thứ nhất, dòng thứ hai nhân với - Dòng thứ ba nhân với -3 thêm vào dòng thứ nhất, dòng thứ ba nhân với dòng thứ Như Thực phép chia thêm vào dòng thứ ba thêm vào 11 Như Tức Nâng cao Đối với sinh viên đại học hẳn em có suy nghĩ “Liệu định nghĩa định thức matrận qua loạt biến đổi giá trị định thức có bị phụ thược vào q trình chéo hóa khơng?” Tất nhiên khơng bị phụ thuộc vào q trình chéo hóa, nhiên điều cần phải chứng minh Để chứng minh nhận xét q trình chéo hóa cột thứ cột cuối Và ma trận chéo hóa thực phép biến đổi ngược lại từ cột cuối tới cột thu ma trận ban đầu Phép biến đổi ngược lại có dạng thêm vào dòng dòng khác sau nhân với hệ số, có điều biến đổi thuận nhân với số biến đổi ngược nhân với số đổi dấu Nếu có q trình chéo hóa khác từ cột thứ tới cột cuối thu ma trận chéo hóa Như E F hai chéo hóa ... số hạng vị trí tương ứng Như với Chỉ cộng hai matran có só dòng số cột Phép cộng có tính giao hoán kết hợp Như Matrận gọi matrận ngược Rõ ràng Chỉ nhân hai matran số cột matran trước với số. .. cộng thêm vào dòng, dòng khác sau nhân lên với số; hay cộng thêm vào cột, cột khác sau nhân lên với số Matran tích dạng PQ thu từ chéo hóa P Q, sau nhờ tính chất kết hợp đổi matran đơn giản bên phải... hai vế phương trình, với số khác Cộng thêm vào phương trình, phương trình khác sau nhân với số Phép biến đổi “Cộng thêm vào phương trình, phương trình khác sau nhân với số gọi biến đổi sơ cấp