Kiểm tra một không gian vector là không gian Euclide, chứng minh các tính chất của tích vô hướng Chứng minh ánh xạ được định nghĩa là một tích vô hướng, hay chứng minh các điều kiện sau:
Trang 1Chương 3 Không gian Euclide
1 Kiểm tra một không gian vector là không gian Euclide, chứng minh các tính chất của tích vô hướng
Chứng minh ánh xạ được định nghĩa là một tích vô hướng, hay chứng minh các điều kiện sau:
và
Ví dụ:
Không gian vector với ánh xạ được định nghĩa như sau
là một tích vô hướng Đây là không gian Euclide
Hướng dẫn:
Với
3
1 1 2 2 3 3
x x x x x x x x
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
x y x y
Với
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
kx y k x y kx y kx y kx y k x y x y x y
Với
2 2 2
1 2 3
,
x x x x x
Vậy đây là tích vô hướng tầm thường trên
1) Chứng tỏ rằng không gian vector với
là một không gian Euclide Tìm một cơ sở trực chuẩn của nó
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như ví dụ
Cơ sở trực chuẩn của nó
Lấy một cơ sở bất kỳ của , ví dụ như cơ sở chính tắc của , rồi áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn của đối với tích vô hướng này Một cơ sở trực chuẩn của đối với tích vô hướng này là: (1, 0, 0); (-1, 1, 0);
(-1, 0, 1)
2) Tìm điều kiện cần và đủ để không gian vector với
là không gian Euclide
Hướng dẫn:
Trang 2Sử dụng các điều kiện của một tích vô hướng để tìm giá trị của
Tức là:
Suy ra, điều kiện là
3) Cho là không gian vector các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] CMR.
là không gian vector Euclide với tích vô hướng là ,
Hướng dẫn:
Chứng minh rằng
Là một tích vô hướng
4) Chứng minh rằng trong không gian Euclide E thì
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa độ dài của vector và các tính chất của tích vô hướng, chứng minh vế phải bằng vế trái
5) Chứng minh rằng ánh xạ
là một tích vô hướng trên
Hướng dẫn:
Chứng minh:
i)
ii)
iii)
2) Hệ trực giao - Cơ sở trực giao – Cơ sở trực chuẩn:
Trang 3Chú ý: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của hệ trực giao, cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn
1) Chứng minh rằng hệ vector sau là hệ trực giao trong không gian vector Euclide
Hướng dẫn:
Trong xét tích vô hướng được định nghĩa như sau:
Khi đó,
Các câu còn lại sinh viên làm tương tự
2) Hãy tìm một cơ sở trực giao của không gian con với L được sinh bởi các vector
trong
Hướng dẫn:
Suy ra, ta có hệ pt thuần nhất sau:
Giải hệ pt này được
Chọn t = (-2, 0, ½, 1) là vector của cơ sở L
Đây là cơ sở trực giao cần tìm
3) Không gian con V của được xác định bởi hệ phương trình
Hãy tìm cở sở của V và một cơ sở của
Hướng dẫn:
Trang 4- Giải hệ pt trên ta được nghiệm tổng quát của hệ
Cơ sở của V gồm 2 vector sau: w = (-6, 9, 1, 0); v = (0, 1, 0, 0).
- Nhận xét vector để thì Suy ra,
Giải hệ pt này ta được cơ sở của
4) Trong không gian với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
a) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
b) Với giá trị nào của m thì vectơ trực giao với không gian con F?
Hướng dẫn:
Ta tìm được
Dễ thấy hệ độc lập tuyến tính nên là một cơ sở của F, và số chiều của F là 2.
b) Vectơ x trực giao với F khi và chỉ khi:
5) Trong không gian vectơ Euclide , cho không gian vectơ con
a) Tìm một cơ sở của
b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với
Hướng dẫn:
Suy ra W có 2 vectơ trên là cơ sở và
b) Gọi là vectơ trực giao với W
Ta có y trực giao với và y trực giao với
Trang 5Suy ra, ta có hệ:
Vậy,
Kết luận, các vectơ trực giao với W là các vectơ và 6) Trong không gian Euclide với tích của hai vectơ được định nghĩa như sau:
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng trong
Xác định a và b để 3 vectơ trên tạo thành một hệ trực giao của
Hướng dẫn:
a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau:
(i)
(ii)
(iii)
(iv) ;
Với mọi ; với mọi
b) Ta có là một hệ trực giao khi và chỉ khi:
Vậy
7) Trong không gian vectơ Euclide với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ:
a) Chứng tỏ rằng hệ là hệ trực giao
Trang 6b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của
Hướng dẫn:
a) Ta có
nên là một hệ trực giao
b) Giả sử trực giao với các vectơ ta có:
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được
Vậy cần bổ sung vào hệ đã cho vectơ hay để trở thành một
cơ sở trực giao của
8) Trong không gian vectơ Euclide với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ
a) Chứng tỏ rằng hệ là một hệ trực giao
b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 7
9) Trong không gian vector Euclide , cho hai không gian con
a) Tìm một cơ sở và số chiều của
b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao?
Hướng dẫn:
a) Ta tìm được
Suy ra, cơ sở của là hệ vectơ ,
Mặt khác, ma trận có hạng bằng 2 nên hệ là độc lập tuyến tính Do đó, một cơ sở của là và
Xét :
Trang 7Dễ dàng kiểm tra hệ vectơ độc lập tuyến tính nên là cơ sở của
b) Ta có
Suy ra, các vectơ của đều trực giao với vectơ của , nên và trực giao nhau 10) Trong không gian vector Euclide , cho một tập con
a) Chứng tỏ là một không gian con của
b) Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của
Hướng dẫn:
Với mọi , ta chứng minh được
Vì
Do đó, là một không gian con của
b) Ta có:
Vì ma trận có hạng bằng 2 nên hệ là độc lập tuyến tính
Do đó, là một cơ sở của
Thực hiện quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt, ta đựợc một cơ sở trực giao của
là
Trực chuẩn hóa hệ trực giao trên, ta được một cơ sở trực chuẩn của là:
Trang 811) Trong không gian vectơ , ta định nghĩa tích của hai vectơ như sau:
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng
b) Hãy trực giao hóa hệ vectơ trong không gian bằng phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt
Hướng dẫn:
a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau:
(i)
(ii)
(iii)
(iv) ;
Với mọi ; với mọi
Cần trực giao hóa hệ vectơ
Cần tìm sao cho trực giao với Do nên
Tiếp tục, cần tìm sao cho trực giao với , ta được:
Vậy, ta được một hệ trực giao của là:
12) Cho không gian Euclide E, gọi là những không gian con của E và sinh bởi
; sinh bởi Chứng minh rằng nếu trực giao với thì trực giao với
Hướng dẫn:
Khi đó,
Trang 913) CMR nếu là một hệ trực chuẩn của không gian Euclide E thì , ta luôn có:
3) Phần bù trực giao:
1) là hai không gian con của không gian vector Euclide n chiều E với
Chứng minh rằng trong luôn tồn tại ít nhất một vector khác 0 trực giao với
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức chiều:
và Suy ra,
Sinh viên cho ví dụ minh họa
2) Ký hiệu là phần bù trực giao của không gian con L của không gian vector Euclide
n chiều E Chứng minh:
a) là không gian con của E
b) dimL+ dim = n
Hướng dẫn:
a) Dựa vào định nghĩa không gian con
b) Dựa vào định lý về số chiều
Sinh viên cho ví dụ minh họa
Sinh viên tự chứng minh các tính chất của phần bù trực giao trong tài liệu
3) Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Lấy
Vì
Suy ra,
Vậy
4 Vector trực giao – Hình chiếu – Khoảng cách – Góc giữa hai vector:
Cho và là không gian con của không gian Euclide Giả sử là một
cơ sở trực giao của V Khi đó, vector hình chiếu của x lên V có thể được tính bằng công
thức sau:
(Sinh viên tự chứng minh công thức trên như bài tập nhỏ)
Ví dụ:
Tìm vector hình chiếu và vector độ cao của vector x lên không gian con sinh bởi các vector trong các trường hợp sau:
a) x = (2, -1, 3, -2) và
Trang 10Hướng dẫn:
Tìm cơ sở và cơ sở trực giao của V.
Rank A = 2
Cơ sở của V gồm hai vector sau
Trực giao hóa cơ sở này bằng phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt ta được
Khi đó, vector hình chiếu của x lên V được xác định bởi công thức:
Vector độ cao là:
b) Sinh viên làm tương tự như câu a)
1) Hãy tìm hình chiếu vuông góc và đường trực giao hạ từ vector x xuống L với
a) và L là không gian con của sinh bởi các vector b) và L là không gian con của sinh bởi các vector c) và L là không gian con của sinh bởi các vector d) và L là không gian con của sinh bởi các vector
e) và L là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
sau:
Hướng dẫn:
Các câu a, b, c, d sinh viên làm tương tự ví dụ
Câu e) Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, rồi giải tương tự như các câu trên
2) Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide n chiều E và vector
Ta gọi tập là một đa tạp tuyến tính của E Ta gọi khoảng
cách từ một vector tới đa tạp P là số: Chứng minh rằng khoảng
cách từ tới đa tạp P bằng độ dài đường trực giao hạ từ vector đến L
3) Tìm khoảng cách từ vector thuộc tới đa tạp P:
a)
Trang 11Hướng dẫn:
Giải hệ pt sau:
Hệ pt trên có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:
Cơ sở trực giao của L:
Khi đó,
Tìm độ dài đường trực giao hạ từ vector đến L với cơ sở trực giao u 1 , u 2
Sinh viên làm như bài tập nhỏ
b) (2,4, 4,2) và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:
Sinh viên làm tương tự
4) Ta gọi khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính và là số nhỏ nhất trong tất cả các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, một điểm thuộc và điểm còn lại thuộc
Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính và bằng
độ dài đường trực giao hạ từ vector xuống không gian con
5) Hãy tìm khoảng cách giữa hai đa tạp sau:
Trang 12và Trong đó:
4) Chứng minh rằng trong tất cả các vector thuộc không gian con L, hình chiếu vuông góc v (xuống L) của vector u tạo với u một góc nhỏ nhất Hơn nữa, nếu có sao cho
cos(u, v) = cos(u, v’) thì v’=kv với k là số dương Ta gọi góc nhỏ nhất này là góc giữa vector
u và không gian con L
5) Tính cosin của góc giữa hai vector sau:
a) u = (-1, 2, -3) và v = (2, 1, 4) trong
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức:
6) Tìm góc giữa vector u và L:
b) u = (1,0,3,0) và L sinh bởi
7) Cho u, v là hai vector khác 0 của không gian Euclide Chứng minh rằng:
a) với khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng 0
b) với khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng
Hướng dẫn:
Dựa vào công thức
5) Phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt – Ma trận Gram – Toán tử trực giao:
1) Áp dụng phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt, tìm một cơ sở trực giao của không gian con sinh bởi các vector
2) Chứng minh rằng trong không gian Euclide thì:
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram
Cho ví dụ minh họa
3) Cho là các vector thuộc không gian Euclide E Chứng minh rằng ma trận
là ma trận đối xứng
Cho ví dụ minh họa
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram
Cho ví dụ minh họa
Trang 134) Cho là một toán tử trực giao trong , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
Tìm một cơ sở trực chuẩn của để ma trận của có dạng chéo
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của
Tìm giá trị riêng – vector riêng của
Trực chuẩn hóa các vector riêng
4) Cho là một toán tử trực giao trong , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
Tìm một cơ sở trực chuẩn của để ma trận của có dạng chéo
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của
Tìm giá trị riêng – vector riêng của
Trực chuẩn hóa các vector riêng