Bài giảng toán cao cấp

lOMoARcPSD|16911414 BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ KHOA CƠ BẢN THS NGUYỄN TRUNG ĐƠNG Slide giảng TỐN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING KHOA CƠ BẢN Môn : TỐN CAO CẤP Mơn : TỐN CAO CẤP Hình thức đánh giá mơn học Điểm trình (30%) Điểm kết thúc học (70%) Điểm học phần = (Điểm trình + Điểm kết thúc học) Số tín : Số tiết : 60 Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com Giảng viên : ThS Nguyễn Trung Đông Mail : nguyentrungdong144@gmail.com NỘI DUNG MÔN HỌC ĐÁNH GIÁ ĐIỂM QUÁ TRÌNH Chương Ma trận – Định thức Gồm tiêu chí sau Chương Hệ phương trình tuyến tính 1) Kiểm tra ngẫu nhiên (50%) Chương Không gian vectơ 2) Bài tập nhà (20%) Chương Số thực 3) Chuyên cần (20%) Chương Phép tính vi phân hàm biến Chương Tích phân 4) Tích cực học tập (10%) Chương Hàm nhiều biến TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương Phương trình vi phân TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1) Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học kinh tế Quốc Dân (Phần I: Giải tích Phần II : Đại số tuyến tính) 2) PGS.TS Lê Văn Hốt, Toán cao cấp, Trường ĐHKT TPHCM 3) Đỗ Cơng Khanh, Tốn cao cấp, NXB ĐHQG TPHCM (Đại số + Giải tích) 4) Lê Sĩ Đồng, Tốn cao cấp, NXB Giáo Dục 5) Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình giải tích (Một biến + nhiều biến), NXB ĐHQG TPHCM Tiếng Anh 6) Second edition CALCULUS CONCEPTS AND CONTEXTS JAMES STEWART 7) Edward T Dowling, Ph.D, Introduction to Mathematical economics 8) Ngoài ra, số tài liệu khác Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) Chương Ma Trận - Định Thức GV: ThS Nguyễn Trung Đông nguyentrungdong144@gmail.com Chương Ma Trận - Định Thức Ma trận Định thức ma trận vuông Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận 1 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Định nghĩa  a11 a12  a a 22 A   21     a m1 a m2 Ma trận  a1n    a 2n      a mn  A, B  M mn  AB [A]ij  [B]ij , i  1, m, j  1, n Các ma trận đặc biệt 3.1 Ma trận không A gọi ma trận cấp m  n , A  Mmxn Ký hiệu : A   a ij  m n hay A   a ij  m n [A]ij phần tử hàng i, cột j A mn 0  0   0  0         0  0 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các ma trận đặc biệt 3.2 Ma trận vuông (Square Matrix) Là ma trận có số hàng số cột A  Mnxn hay A  Mn , A gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử [A]11, [A]22, , [A]nn gọi thuộc đường chéo A Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, , [A]1n gọi thuộc đường chéo phụ A Các ma trận đặc biệt 3.2 Ma trận vng Ví dụ 1:  2    A  0   5     2    A  0   5    Đường chéo Đường chéo phụ Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các ma trận đặc biệt 3.3 Ma trận chéo (Diagonal Matrix) Là ma trận vuông mà phần tử không nằm đường chéo Ví dụ 2: 5 0 A   7  , gọi ma trận 0 0 chéo cấp   Các ma trận đặc biệt 3.4 Ma trận đơn vị (Identity Matrix) Là ma trận chéo mà phần tử nằm đường chéo Ký hiệu : In ma trận đơn vị cấp n Các ma trận đặc biệt 3.5 Ma trận tam giác (dưới) Là ma trận vng mà phần tử nằm phía (phía trên) đường chéo  1 Ví dụ 3:   4  A gọi ma trận tam giác       Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) A   7 0  1  In     0 Các ma trận đặc biệt 3.6 Ma trận hàng (cột) Là ma trận có hàng (cột) Còn gọi vectơ hàng (cột) Một ma trận cấp m  n xem tạo m vectơ hàng hay n vectơ cột 2 Ma trận hàng: A   1 0 Ma trận cột: A   1  10   Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép toán ma trận Cho A, B  Mmn , k   4.1 Phép nhân ma trận với số thực k.A ma trận xác định  kAij  k  Aij ,  i  1, m, j  1, n (–1).A hay –A gọi ma trận đối A 4.2 Phép cộng hai ma trận A + B ma trận xác định  A  Bij   Aij   Bij ,  i  1, m, j  1, n Phép trừ định nghĩa A + (–B) 11 Các phép tốn ma trận 4.3 Tính chất a A + B = B + A (tính giao hoán) b (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) c A + = A (0 hiểu 0mxn) d A + (A) = e h(kA) = k(hA) f h(A + B) = hA + hB g (h + k)A = hA + kA h 1.A = A Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 12 lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép toán ma trận 4.4 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A  M mn , B  M np Tích A B ma trận cấp m  p ký hiệu: AB xác định n  ABij    A ik  Bkj , Các phép toán ma trận 4.4 Phép nhân hai ma trận Ví dụ 4:  2  3   A   1   M3x , B     M 2x  2   3   i  1, m , j  1, p k 1 [AB]ij tích vơ hướng vectơ hàng thứ i ma trận A với vectơ cột thứ j ma trận B  2  -2     3   AB   1     -4 -2      2   2      14 13 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép tốn ma trận 4.5 Tính chất a A(BC) = (AB)C (tính kết hợp) b (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB (tính phân bố) c k(AB) = (kA)B = A(kB) Lưu ý: Tích A B khơng tồn khơng có tính giao hốn Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.1 Hoán vị hai hàng i j Ký hiệu (i) ~ (j) Ví dụ 5: 3  A 1   1 5 1    1 3   3 2 4   0  1 4  3 5  0 15 16 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.2 Nhân hàng i với số  ≠ Ký hiệu (i) := (i) Ví dụ 6: Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng 5.3 Thay hàng i hàng i cộng với  lần hàng j Ký hiệu (i) := (i) + (j) Ví dụ 7:  3   3     3: 3   A       0  0       1   1    3: 3 1   A   1    1       2   2  17 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 18 lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.1 Chuyển ma trận vuông ma trận tam giác  1  Ví dụ 8:  1  Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.2 Chuyển ma trận tam giác ma trận đơn vị Nếu phần tử thuộc đường chéo ma trận tam giác khác Ví dụ 10  A 1   3: 3 1  1   0 0 2    1  2   1       1   0 1    3 :  3    19 Ma Trận (Matrix) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.3 Ma trận bậc thang theo hàng Là ma trận với hai hàng bất kỳ, số hạng khác hàng nằm bên phải số hạng khác hàng 0  1   0 0 0 0  Ví dụ 12: A   0 4 0 0 0 0   6 0 ; B     5 0 0    4 1  3  0 8 0 0  0  1   1  1 0     (1) : (1)  (2)   1 :  1 A   1       : (2) : (2)                I3 (3) :  (3)  0 1  0 1  0 1       20 Ma Trận (Matrix) Áp dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng 6.4 Chuyển ma trận ma trận bậc thang theo hàng Ví dụ 13:  1   1   1    (2):( 2) (1)   (3):(3) 3.(2)     1   0 1  A   1 2   (3): (3)  2.(1)  3 0 1  0 3 5        21 22 Ma Trận (Matrix) Ma Trận (Matrix) Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) 7.1 Định nghĩa Cho A  Mmxn , chuyển vị A, ký hiệu AT ma trận cấp n  m định nghĩa : Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix)  A    A  ji ,  i  1, n, j  1, m ij T Ví dụ 15:  4  3   T A   M 23 ; A     M 32  6  6   7.2 Tính chất a A  b  A  B c  AB  T T T A T  A T  BT  BT A T 23 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 24 lOMoARcPSD|16911414 Ma Trận (Matrix) Định thức ma trận vuông Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix) 8.1 Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng A = AT  phần tử A đối xứng qua đường chéo  x 3 Ví dụ 16:   Ma trận bù Ký hiệu : Aij, ma trận nhận từ A sau bỏ hàng thứ i cột thứ j Ví dụ 17: 1 3 A   y 5  z   25   A     M3 7 9   5 6 A11   , 8 9 1 2  2 A 23    , A 33     M2   4 5 26 Định thức ma trận vuông Định thức ma trận vuông Định nghĩa: Cho A  Mn Định thức A, ký hiệu det(A) hay |A|, số thực định nghĩa quy nạp theo n sau : Nhận xét Với n = 1, ta có A = (a11), det(A) = a11 Với n  2, giả sử A = (aij)nxn , n 1 j det(A)  a11a 22  a 21a12  a1 a B   b1 b c c  a3  b2 b3  , B  a1 c2  c3  b3 b1 b b b2  a2  a3 c3 c1 c3 c1 c2  a1b2 c3  a b3c1  a b1c2  a1b3c2  a b1c3  a b2 c1 j1 27 Định thức ma trận vng Tính định thức cấp quy tắc Sarrus Xây dựng ma trận A'3x5 từ A3x3 cách viết cột cột kế bên cột A sau: a3   b3  c3  det(A)  (1)11 a11 det (A11 )  (1)1 a12 det ( A12 ) B  a1  b2 c3  b3c2   a  b1c3  b3c1   a  b1c2  b2 c1  det(A)    1 a 1j det A1j  a1 a  A33   b1 b c c  a  a A   11 12   a 21 a 22  A / 3  a1    b1 c  a2 a3 a1 b2 b3 b1 c2 c3 c1 a2   b2  c  28 Định thức ma trận vng Ví dụ 18 Det(A)  1 2   A/    1 2      1 2  Det(A)  1.4.5  2.0  1  3.3  2   3.4  1  1.0  2   2.3.5  16 số hạng mang dấu cộng định thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo số hạng mang dấu âm định thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo phụ 29 Lưu ý Cơng thức tính định thức ma trận vng trình bày mục định nghĩa cơng thức tính định thức khai triển theo dịng thứ Định thức ma trận vng không đổi ta khai triển theo hàng cột Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 30 lOMoARcPSD|16911414 Định thức ma trận vuông Định lý Cho A   a  , n i j n n det(A)   (1)i0  ja i0 j det(A i0 j ) (1) j1 n det(A)   (1)i  j0 a i j det(A i j0 ) (2) i 1 với  i0, j0  n Các tính chất định thức Tính chất 1: Cho A, B, C  Mn thỏa: [C]1j = [A]1j + [B]1j [A]ij=[B]ij=[C]ij  i = n, j = 1…n Ta có: detC = detA + detB Ví dụ 19: a b bc ca (1) công thức khai triển theo hàng i0, (2) công thức khai triển theo cột j0 Định thức ma trận vuông 31 Định thức ma trận vng Các tính chất định thức Tính chất 2: Cho k   A Mn Ta có : det(k.A) = kn.detA ,  A  Mn Ví dụ 20:   1 4  A  2 1   3 2 det(A)  46  det(2A)  23 det A  368 2 3 a b c  31 3 4 Định lý (i)  (i ) B det(B) = det(A) a Nếu A  (i): (i) b Nếu A   B det(B) = .det(A) (i): (i)  (i) c Nếu A B det(B) = det(A) d Định thức ma trận tam giác tích phần tử thuộc đường chéo e Định thức ma trận có hai dịng tỷ lệ với f det(A) = det(AT),  A  Mn 35 32 Định thức ma trận vng Các tính chất định thức Tính chất 3:  A, B  Mn, Ta có : det(AB) = det(BA) = det(A).det(B) Ví dụ 21: 1  3 2   A   ; B    ; 3 4 2 1 det(A)  2; det(B)  1  det(AB)  det(BA)  det(A)  det(B)  33 Định thức ma trận vuông b c a 34 Định thức ma trận vuông 10 Các ví dụ minh họa 6 a)  45   ; b)   90 0 0 0 0 1 3 1    (2):(2) 4(1)    c)A     (3): (3)  3(1)  6   0  4 9      1    (3): (3) 4(2)    6   B  0 33    det(A)  det(B)  1.1 (33)   33 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 36 lOMoARcPSD|16911414 Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Cho A, B  Mn A, B gọi hai ma trận nghịch đảo AB = BA = In Khi ta nói A, B ma trận khả nghịch Ký hiệu A = B-1 hay B = A-1 Ví dụ 22: Tính chất A khả nghịch det(A) ≠ Tìm MT nghịch đảo định thức Cho A  Mn, đặt B   bij     1i j det Aij   M n T Ta có b  b  b  7 A   2   7      2   B   22 53 12   9 22   1 0   AB  BA    0 1   37 Ma trận nghịch đảo 12 det(A)  1   2   A 1   22 53 12   9 22   39 40 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp theo hàng Ví dụ 24: Định lý 1 1 0   0 0  2  A I     7  0  0 0     2    22 53 12   I3 A 1  A 1   22 53 12   9 22   9 22    38 Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp theo hàng Bước 1: Lập ma trận  A I n  ma trận gồm n hàng 2n cột, n cột đầu ma trận An n cột cuối ma trận đơn vị In Bước 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng, chuyển ma trận  A I n  ma trận  In B  , B = A-1 Ma trận nghịch đảo  7   A   2  7    1n  b 22  b 2n      b n  b nn  Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo định thức Ví dụ 23:     A   2  7    11  1  b 21 A  BT  det(A) det(A)     b n1 1  41 Nếu A khả nghịch ma trận nghịch đảo A-1 tồn Tính chất Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n a)  A -1  =A -1 c)  A T  =  A -1  -1 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) b)  A1A  =A -12 A1-1 -1 T 42 lOMoARcPSD|16911414 Hạng (rank) ma trận Hạng (rank) ma trận Định thức Định thức Cho A  Mmxn Định thức cấp k A định thức ma trận vuông cấp k thu từ A sau bỏ số hàng cột Ví dụ 25 Cho ma trận sau 1 5   10  A  11 12 13 14 15    16 17 18 19 20  1 3  10      A1    ; A   13 14 15  16 17 18   18 19 20      43 44 Hạng ma trận Hạng ma trận Định nghĩa hạng ma trận Cho A  Mmxn Hạng A r nếu: a Mọi định thức A cấp lớn r b Trong A tồn định thức cấp r khác Ký hiệu: rank(A) hay r(A) Ta quy ước rank(0) =   r(A)  min{m,n} Định nghĩa hạng ma trận Ví dụ 25: 45 1  A  2 2  3  6  r A  detA = 0, A có định thức cấp 2 0 46 Hạng ma trận Hạng ma trận Tính chất a Hạng ma trận không đổi qua phép biến đổi sơ cấp b Rank(A) = Rank(AT) c Nếu A ma trận bậc thang theo hàng hạng A số hàng khác A Tìm hạng ma trận cách biến đổi ma trận bậc thang theo hàng Tìm hạng ma trận theo tính chất Ví dụ 26: 47 1  A   1 3  1   1 3  1   2 3  1   1     2  0 2 3   0 0  Vậy rank(A) = Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 48 lOMoARcPSD|16911414 3.3 Định nghĩa 3.3 Định nghĩa b Loại Nếu f :[a, b)   hàm liên tục với lim f (x)   b Loại Nếu f : (a,b]   hàm liên f (x)   tục với xlim a x b  Ta nhận tích phân suy rộng loại  Ta nhận tích phân suy rộng loại b b  f (x)dx  f (x)dx a a b b t   f (x)dx  lim  f (x)dx t b a a b t a a 31  f (x)dx  lim f (x)dx t 32 Ví dụ 14: Tính tích phân suy rộng  1) dx x  2x   2 2) x  3)   dx  4x  4) dx 1 x  5) x dx 1 2x  dx x  2x  33 3.5 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau a Định lý Cho f g hai hàm dương, liên tục [a, ) Giả sử  1) Nếu  g(x)dx hội tụ a f (x)  g(x), x  a   f ( x )dx hội tụ a   a a 2) Nếu  f (x)dx phân kỳ  g(x)dx phân kỳ 35 34 3.5 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau b Định lý Cho f g hai hàm dương, liên tục [a, ) Giả sử Khi đó, ta có    f (x)dx a  g(x)dx lim x f (x)  L   0,   g(x) chất a Nghĩa hai tích phân hội tụ hay phân kỳ Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 36 lOMoARcPSD|16911414 3.5 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau Ví dụ 15: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau b Định lý Trường hợp đặc biệt L0   a a  hội tụ x x dx 1 x 2) L      2) Nếu g(x)dx phân kỳ   f (x)dx a a  g(x)dx hội tụ a b  f ( x )d x hội tụ a b b 2) Nếu  f (x)dx phân kỳ  g(x)dx phân kỳ a a 39 Ví dụ 16: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau 1)  2) x2 1 dx 38 3.5 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau d Định lý Cho f g hai hàm dương, liên tục (a,b] Giả sử lim x a  Khi đó, ta có b b  f (x)dx  g(x)dx chất a a 40 Mệnh đề +  f(x) dx hội tụ +  a x f (x)  L   0,   g(x) Nghĩa hai tích phân hội tụ hay phân kỳ 1) Neáu dx e 1  37 c Định lý Cho f g hai hàm dương, liên tục (a,b] Giả sử f (x)  g(x), x b   x  1 3) phân kỳ 3.5 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau 1) Nếu x  x  dx  g(x)dx hội tụ  f (x)dx 1) Nếu  1) ta nói f(x)dx hộ i tụ a +  f(x)dx hội tụ tuyệt đối a x dx sin x e 1 2) Neá u +  f(x)dx hộ i tụ mà a ta nói 41 +  f(x) dx phân kỳ a +  f(x)dx bán hội tụ a Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 42 lOMoARcPSD|16911414 Ví dụ 17: Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng sau  1) x 1 2)  4sin 2x  x  2x  3cos 3x e x 1 dx dx 43 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN Chương Hàm nhiều biến GV : ThS Nguyễn Trung Đông nguyentrungdong144@gmail.com Chương Hàm nhiều biến         Các định nghĩa Giới hạn hàm nhiều biến Tính liên tục hàm nhiều biến Đạo hàm riêng cấp Vi phân toàn phần cấp Đạo hàm riêng cấp Vi phân toàn phần cấp Cực trị hàm nhiều biến Các định nghĩa Các định nghĩa 1.1 Không gian 1.3 Định nghĩa hàm nhiều biến  n   x1 , x , , x n  / x1 , x , , x n   f : D  n    x1 , x , , x n   f  x1 , x , , x n  X có dạng X   x1 , x , , x n  1.2 Các phép toán  n X  n , Cho gọi hàm số thực theo n biến số thực hay vắn tắt hàm nhiều biến X   x1 , x , , x n  , Y   y1 , y , , y n    n , k   D: tập xác định f X  Y   x1  y1 , x  y , , x n  y n  kX   kx1 ,kx , ,kx n  T=T(D): miền giá trị f Giới hạn hàm nhiều biến Các định nghĩa 1.4 Khoảng cách hai điểm  n Cho hai điểm Định nghĩa Cho f : D   n   Ta nói f (X) tiến L  f (X)  L  X tiến A  X  A  , X   x1 , x , , x n    n ; f (X)  L ký hiệu: Xlim A Y   y1 , y , , y n    n d  X, Y   X  Y  n  x  y  i Khi giá trị X  D đủ gần A, i giá trị f (X) tương ứng gần L tùy ý i 1 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Giới hạn hàm nhiều biến Tính liên tục hàm nhiều biến Định nghĩa Ví dụ 1: Tính giới hạn 1) lim ( x,y)(1,2) Cho f : D   n   A  D  2x  y2   Nếu giới hạn hàm f điểm A tồn 2x  ( x,y)(1,0)  3x  y xy 3) lim 0 ( x,y)(0,0) x  y2 2) lim với giá trị hàm số f (X)  f (A) Ta nói điểm A, nghĩa Xlim A hàm số f liên tục điểm A Tính liên tục hàm nhiều biến Ví dụ 2: Chứng minh hàm số sau Đạo hàm riêng cấp Cho hàm số f : D  n   liên tục  0,0   x1, x , , x n   f  x1, x , , x n  Đạo hàm riêng cấp theo biến x i f  x1, ,x i  h, ,x n   f  x1 , ,x i , ,x n  f x1 ,x , , x n   lim  x h h  xy , (x,y)  (0,0)  f(x, y)   x2  y2  , (x,y) = (0,0) 0 i (Nếu giới hạn tồn tại) Đạo hàm riêng cấp Đạo hàm riêng cấp Ví dụ 3: f : D     Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng cấp  x, y   f  x, y  1) f(x, y)  3x  y3  3xy2  xy  x  y  Đạo hàm riêng cấp f theo biến x xy 2) f(x, y)  arctan   xy f  x  h,y   f  x,y  f x,y   lim  h 0 x h 3) f(x, y)  x y  y x Đạo hàm riêng cấp f theo biến y f  x,y  k   f  x,y  f x, y   lim  k y k 0 10 11 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 12 lOMoARcPSD|16911414 Vi phân toàn phần cấp ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP Cho hàm số u  f  x, y  Cho hàm số f (x, y) liên tục (x , y0 ) x  x  t,s     u  f  x  t,s  , y  t,s   y  y  t,s   Ta gọi:df(x , y )  Đạo hàm riêng u theo t, s vi phân toàn phần hàm f (x , y0 ) u u x u y u u x u y   ;   t x t y t s x s y s Tổng Quát: df(x, y)  Ví dụ 5: Tính đạo hàm riêng u theo t s u  x  e y , x  sin(2t  s), y  cos(t  2s) f f (x,y)dx  (x, y)dy x y Cơng thức tính gần 14 13 Vi phân toàn phần cấp Đạo hàm riêng cấp Ví dụ 6: Cho hàm số sau f (x, y)  x y Xét hàm số f : D      x, y   f  x, y  a) Tính VPTP hàm số (1,3) Đạo hàm riêng cấp f theo biến x b) Tính gần A  1,02  f f (x ,y )x  (x ,y )y x y 2f x 2,97  x,y   x  xf (x, y)      Đạo hàm riêng cấp f theo biến y 2f 15 y  x,y   y  yf (x, y)      Đạo hàm riêng cấp Vi phân toàn phần cấp Đạo hàm riêng cấp hỗn hợp f Cho hàm số f : D      x, y   f  x, y   2 f   f x,y    (x,y)   xy x  y  Vi phân toàn phần cấp 2   f   f x,y    (x, y)   yx y  x  d f(x,y)  Ví dụ 7: Tính đạo hàm riêng cấp xy f (x, y)  arctan   xy 16 2f  2f 2f (x, y)dx  (x,y)dxdy  (x,y)dy 2 xy x y Ví dụ 8: Tính vi phân tồn phần cấp f (x, y)  x  2xy  3y 17 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 18 lOMoARcPSD|16911414 Cực trị hàm nhiều biến Hìnhhọa vẽ minh họa Hình vẽ minh Định nghĩa z  f (x, y) Cho hàm n biến f : D   n   f(X0) X   x10 , x 02 , , x 0n   D 1) Hàm f đạt cực đại điểm X f  X   f  X  ; X  D 2) Hàm f đạt cực tiểu điểm X f  X   f  X  ; X  D O X0 f : D  n   f 0  x1 , x , , x 0n   0, i  1, 2, , n (*) x i Nếu điểm X thỏa hệ (*) X gọi điểm dừng 21 Cực trị hàm nhiều biến   2f   x1   2f H3    x 2x1   2f   x x   2f x1x  2f x 22  2f x 3x  2f   x 2x   2f  x 32  y Cực đại 20   2f   x1   2f  H   x 2x1    f  x x  n  2f x1x  2f x 22  2f x n x  2f   x1x n        2f  x 2n  22 Cực trị hàm nhiều biến Điều kiện đủ cực trị Gọi H k , k  1, n ma trận cấp k H   2f  x12  H2    2f  2f    x1x   x 2x1 M ( x,0 y0 ) Ma trận Hessian f điểm dừng X Hàm số f đạt cực trị X   x10 , x 02 , , x 0n    2f  H1     x1  x Cực trị hàm nhiều biến Điều kiện cần cực trị  x0 y0 Cực tiểu 19 Cực trị hàm nhiều biến Cho hàm số f (x0 , y0 ) Định lý: (Điều kiện đủ cực trị)  2f   x1x   2f   x 22  Hn  H 23 Đặt a1  H1 ,a  H1 H , ,a n  H n 1 H n 1) Nếu a j  0, j X điểm cực tiểu 2) Nếu a j  0, j X điểm cực đại 3) Nếu i, j cho a i ,a j trái dấu X không điểm cực trị 4) Trường hợp i, Hi  chưa kết luận Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 24 lOMoARcPSD|16911414 Cực trị hàm nhiều biến Cực trị hàm nhiều biến Định lý: (Điều kiện đủ cực trị) Định lý: (Điều kiện đủ cực trị) 1) Nếu   A  hay C   x , y  điểm cực tiểu 2) Nếu   A  hay C   x , y0  điểm cực đại 3) Nếu    x , y0  không cực trị Ta gọi  x , y0  điểm yên ngựa 4) Trường hợp   chưa kết luận Trường hợp n  Đặt A  2f  2f  (x , y ); C (x , y0 ); 0 x y B  2f (x , y ) xy  A B B C  AC  B2 25 Cực trị hàm nhiều biến 26 Cực trị hàm nhiều biến Cực trị có điều kiện hàm nhiều biến Cho hàm f (x, y) với ràng buộc g(x, y)  Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ 9: Khảo sát cực trị hàm số sau 1) f(x,y)  x2  xy  y2  3x  6y 10 L(x, y, )  f (x, y)  g(x, y) 2) f(x,y)  2x3  xy2  5x2  y2 y z 3) f(x,y,z)  x    x y z Bước 1: Tìm điểm dừng hàm Lagrange Bước 2: Tính vi phân tồn phần cấp hàm Lagrange điểm dừng 27 Cực trị có điều kiện hàm nhiều biến Định lý: (điều kiện đủ) 1) Nếu d2L  x0 , y0 , 0    x , y0  điểm cực tiểu hàm f(x,y) 2) Nếu d L  x , y0 ,     x , y0  điểm cực đại hàm f(x,y) 3) Nếu d L  x , y0 ,   thay đổi dấu  x0,y0  khơng cực trị f(x,y) Ví dụ 10: Khảo sát cực trị có điều kiện sau f (x, y)  x  y điều kiện 3x  4y  12 29 d L  x , y0 ,     2L  2L  2L dx  dxdy  dy 2 x xy y 28 Lưu ý: Nếu ràng buộc miền đóng bị chặn ví dụ như: hình chữ nhật, hình vng, tam giác, đường trịn, …, ta thực sau: Bước 1: Tìm tất điểm dừng miền đóng bị chặn Bước 2: Tính giá trị hàm số điểm dừng Bước 3: So sánh tất giá trị GTLN (GTNN) lớn (nhỏ nhất) GT Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau miền D f  x,y  x2  2xy  2y, D  (x,y) /  x  3,0  y  2 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 30 lOMoARcPSD|16911414 31 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 32 lOMoARcPSD|16911414 Bài Giảng PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN Chương Phương trình vi phân GV : ThS Nguyễn Trung Đơng nguyentrungdong144@gmail.com Ví dụ 1: y /  2x  Phương trình vi phân cấp 2 Nghiệm PTVP hàm số Phương trình vi phân cấp n n Phương trình vi phân cấp 1.2 Nghiệm phương trình vi phân 1.1 Định nghĩa phương trình vi phân  Các Khái niệm 1 Các Khái niệm F x, y, y / , y / / , , y  Chương Phương trình vi phân khoaûng I   0 PTVP cấp Nghiệm PTVP Nghiệm kì dị 2.1 Phương trình tách biến F(x, y, y / )  hay y /  f (x, y) (*) Hàm số y  (x) xác định khả vi khoảng I gọi nghiệm phương trình (*) I, (x, (x))  G, x  I  /  (x)  f(x, (x)), x  I y  f (x,C) Nghiệm riê y ngf (x,C0 ) Tích phân TQ:   x, y,C   PTVP cấp 2 Phương trình vi phân cấp Dạng:   x, y    x  x(t) Dạng tham số   y  y(t) Dạng ẩn: Nghieäm TQ :  2x  y  dx   x  2y  dy  PTVP cấp y / /  3y /  2y  xe x Dạng hiện: y  f (x) Với G TXĐ f(x,y) Có dạng : y /  f (x)g(y) f (x)dx  g(y)dy  f1 (x)g1 (y)dx  f (x)g (y)dy  Phương pháp Bài tốn Cauchy Tìm hàm số y  (x) nghiệm PT (*) thỏa điều kiện y0  (x ) Phân ly biến x dx vế; y dy vế lấy tích phân hai vế Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 2.2 Phương trình đẳng cấp 2.1 Phương trình tách biến y Dạng: y /  f   (1) Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân sau / x x x x 1) y  e  dy  e dx  y  e  C Phương pháp 2)  x  sin x  dx  5y dy  / y x Đổi biến: u   y  ux  y /  u / x  u 3) y  xy  2xy 4) 1  x  ydy  x 1  y  dx Thay vào (1), ta được: F  x, u, u /   (2) Giải (2), tìm u suy y 2.2 Phương trình đẳng cấp 2.2 Phương trình đẳng cấp   Nếu vế phải có dạng: f  a1x  b1y  c1  Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân sau  a x  b y  c2  Ta đặt: y x y  2xy 2) y /  xy 3x  y  3) y /  x y3 1) y /   x  u    y  v   a   b   c  1 Trong đó:      a b c 2 0  2.3 PTVP tuyến tính cấp 10 2.3 PTVP tuyến tính cấp Dạng: y /  a(x)y  b(x) Bước 3: Nhân hai vế phương trình Trong : a(x), b(x) hàm liên tục vi phân cho v(x) (v(x)  0, x) ta có / v(x)y  a(x)v(x)y  v(x)b(x) Phương pháp   v(x)y  v(x)b(x) (*) / Bước 1: Tìm nguyên hàm a(x)  u(x)  a(x)dx Bước 2: Chọn thừa số tích phân v(x)  e u (x ) Bước 4: Lấy tích phân hai vế (*)  v(x)y  v(x)b(x)dx  y  11 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) v(x)b(x)dx v(x)  12 lOMoARcPSD|16911414 2.3 PTVP tuyến tính cấp 2.3 PTVP tuyến tính cấp Lưu ý: Cách giải khác y/  a(x)y  b(x) (1) y/  a(x)y  (2) Nghiệm tổng quát (1) nghiệm tổng quát (2) cộng với nghiệm riêng (1) 13 Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân sau 1) y/  y  Với x  0, y(1)  x 2) y  2xy  xe 3)  x  1 y  2y   x  1 / 4) y  cos x  y  e Dạng: y /  a(x)y  b(x)y , (  0,   1) Trong : a(x), b(x) hàm liên tục Phương pháp  x2 / 14 2.4 Phương trình Bernoulli 2.3 PTVP tuyến tính cấp / Phương pháp giải: Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát (2) phương pháp tách biến Bước 2: Tìm nghiệm riêng (1) dạng nghiệm tổng quát của (2) cách thay số nghiệm tổng quát (2) hàm theo biến x Bước 1: Chia vế PT cho y, ta y / y   a(x)y1  b(x)  sin x Bước 2: Đặt u  y1  u /  (1  )y  y / 15 2.4 Phương trình Bernoulli PT  u /  a1 (x)u  b1 (x) 16 Phương trình vi phân cấp Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân sau Nghiệm tổng quát PTVP cấp chứa hai tham số C1 , C2 Bài tốn Cauchy Tìm hàm số y  (x) thỏa điều kiện 1) y /  2xy  4x y 2 y y  x x / 2x 3) y  y  e y 4) y /  y  x y5 2x 2) y /   17  // (x)  f x, (x), / (x)     x   y , /  x0   y1  Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 18 lOMoARcPSD|16911414 3.1 PTVP cấp giảm cấp 3.1 PTVP cấp giảm cấp Dạng: Ví dụ 6: Giải phương trình vi phân sau F(x, y / / )  1) y //  x cos x F(x, y / , y / / )  F(y, y / , y / / )  y/  x(x  1) x 1 y/ 3) y //   x x // 4) y y  2) y //  Phương pháp Đặt u  y /  u /  y / / thay vào PT cho, ta PTVP cấp Giải PTVP cấp ta tìm u suy y 19 20 3.2 PTVP tuyến tính cấp hệ số khơng a) Giải phương trình Dạng: ay //  by /  cy  f (x) (1) Phương trình đặc trưng ay / /  by /  cy  (2) Phương trình // / ay  by  cy  ak  bk  c  (2) (3) Ta có   b  4ac Nghiệm TQ (1) nghiệm TQ Trường hợp 1: Nếu   PT (3) có (2) cộng với nghiệm riêng (1) nghiệm phân biệt k1 , k 21 22 a) Giải phương trình a) Giải phương trình kx k x NTQ (2) : y (x)  Ae  Be Với    Với A, B số NTQ (2) : Trường hợp 2: Nếu   PT (3) có nghiệm kép k1  k  k NTQ (2) : y0 (x)   A  Bx  e Trường hợp 3: Nếu   PT (3) có nghiệm phức liên hợp k1,2    i b  ; 2a 2a y (x)  ex  A sin x  Bcos  x  Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân sau 1) y //  4y /  3y  kx 2) y //  4y /  4y  23 3) y //  2y /  2y  Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 24 lOMoARcPSD|16911414 b) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp thừa số bất định b) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp thừa số bất định Trường hợp : f (x)  ex Pn (x) ( với Pn (x) đa thức bậc n x) Nếu  nghiệm đơn PT (3) Ta tìm nghiệm riêng (1) dạng: Nếu  khơng nghiệm PT (3) y r (x)  xex Q n (x) Ta tìm nghiệm riêng (1) dạng: Nếu  nghiệm kép PT (3) x y r (x)  e Qn (x) (với Q n (x) đa thức tổng quát Pn (x) ) Ta tìm nghiệm riêng (1) dạng: y r (x)  x ex Q n (x) b) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp thừa số bất định b) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp thừa số bất định Trường hợp 2: f (x)  ex  Pn (x)cos x  Q n (x)sin x  Trường hợp 2: f (x)  ex  Pn (x)cos x  Qn (x)sin x  25 (với Pn (x), Q n (x) hai đa thức bậc n x) Nếu   i không nghiệm PT (3) Ta tìm nghiệm riêng (1) dạng: Nếu   i nghiệm PT (3) Ta tìm nghiệm riêng (1) dạng: y r (x)  xex  A n (x) cos  x  Bn (x)sin x  y r (x)  ex  A n (x) cos x  Bn (x)sin x  (với A n (x), Bn (x) đa thức TQ 26 (với An (x), Bn (x) đa thức TQ Pn (x),Q n (x)) 27 Pn (x), Q n (x)) b) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp thừa số bất định c) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp biến thiên số Ví dụ 8: Giải phương trình vi phân sau Từ nghiệm TQ PT nhất, ta thay A  A(x); B  B(x) Tìm nghiệm riêng (1) dạng: y r (x)  A(x)y1 (x)  B(x)y (x) 1) y / /  4y /  3y  x 2) y //  2y /  2x  // / Thỏa điều kiện x 3) y  2y  5y  e sin 2x / / A (x)y1  B (x)y   / / / / A (x)y1  B (x)y  f (x) Nghiệm TQ (1): y(x)  y0 (x)  y r (x) 29 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) 30 lOMoARcPSD|16911414 c) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp biến thiên số c) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp biến thiên số Ví dụ 9: Giải phương trình vi phân sau: Nghiệm TQ PTVP // / y  3y  2y  sin x y (x)  Ae x  Be x (1) Bước Tìm nghiệm riêng dạng Bước Giải PTVP y r (x)  A(x)e x  B(x)e 2x y / /  3y /  2y  Thỏa điều kiện Phương trình đặc trưng: k  k  3k     k  2 31 c) Tìm nghiệm riêng (1) phương pháp biến thiên số Nếu y1 nghiệm riêng PT ay / /  by /  cy  f1 (x) 2x  B(x)   e (cos x  2sin x)  A(x)  e  x (cos x  sin x)  Nghiệm TQ (1): Nếu y nghiệm riêng PT y r (x)  sin x  cos x 10 10 y(x)  y (x)  y r (x)  Ae x  Be2x  sin x  cos x 33 10 10 d) Nguyên lý chồng chất nghiệm Ví dụ 10: Giải phương trình vi phân sau Thì y  y1  y một nghiệm riêng // / PT: ay  by  cy  f1 (x)  f (x) 34 d) Nguyên lý chồng chất nghiệm Nghiệm riêng của: y / /  y  2e x Nghiệm riêng (1) // PT nhất: y  y  Nghiệm TQ PT y r (x)  y1 (x)  y (x)  (A, B hằng) Nghiệm riêng của: y //  y  xe x y1 (x)   x  1 e x ay / /  by /  cy  f (x) y (x)  e  x y //  y  xe x  2e  x (1) y (x)  A sin x  Bcos x 32 d) Nguyên lý chồng chất nghiệm / 2x / 2x B (x)e  sin x  B (x)  e sin x  /   x / 2x / x A (x)e  B (x)e   A (x)  e sin x Nghiệm riêng (1): A / (x)e x  B/ (x)e 2x   / x / 2x A (x)e  2B (x)e  sin x  x  1 e x  e  x Nghiệm TQ (1) y(x)  y (x)  y r (x)  A sin x  Bcos x  35 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)  x  1 e x  e x 36 ... Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học kinh tế Quốc Dân (Phần I: Giải tích Phần II : Đại số tuyến tính) 2) PGS.TS Lê Văn Hốt, Tốn cao cấp, Trường ĐHKT TPHCM 3) Đỗ Cơng Khanh, Toán cao cấp, ... BẢN Môn : TỐN CAO CẤP Mơn : TỐN CAO CẤP Hình thức đánh giá mơn học Điểm q trình (30%) Điểm kết thúc học (70%) Điểm học phần = (Điểm q trình + Điểm kết thúc học) Số tín : Số tiết : 60 Giảng viên... chất hàm sơ cấp 3.2 Hàm mũ – Hàm logarit C kn (u)(n  k) (v)(k ) Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp 2014 hàm số sau 1 x 1 x 2) f (x)  e x 3.1 Hàm lũy thừa – Hàm thức k 0 f (x)  Đạo hàm cấp cao 1) f