Bài giảng toán cao cấp A1 Cao đẳng Ths. Đoàn Vương Nguyên

Tài liệu tham khảo gồm Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số . toán cao cấp A1 là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên các nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Để học tốt môn toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ xa, bên cạnh các...

dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 TOÁN CAO CẤP A1 CAO ĐẲNG PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 45 Chương Hàm số biến số Chương Phép tính vi phân hàm biến số Chương Phép tính tích phân hàm biến số Chương Chuỗi số Chương Đại số tuyến tính Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp (bậc Cao đẳng) – ĐH Cơng nghiệp TP HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp Tập 1, (Dùng cho SV Cao đẳng) –NXB Giáo dục Biên soạ soạn: ThS Đoà Đoàn Vương Nguyên Tải Slide bà giả giảng Toá Toán A1 CĐ tạ dvntailieu.wordpress.com §1 §2 §3 §4 Chương Hà Hàm số số biế biến số số Bổ túc hàm số Giới hạn hàm số Đại lượng vô bé – vô lớn Hàm số liên tục …………………………… §1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1 Khái niệm 1.1.1 Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) hàm số Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) f, ký hiệu Df, tập X – Miền giá trị (MGT) f là: G = y = f (x ) x ∈ X { } Chương Hà Hàm số số biế biến số số Nhận xét – Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung – Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ 1.1.2 Hàm số hợp • Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f Khi đó, hàm số h(x ) = ( f hàm số hợp f g Chú ý (f g )(x ) = f [g(x )] gọi g )(x ) ≠ (g f )(x ) VD Hàm số y = 2(x + 1)2 − x − hàm hợp f (x ) = 2x − x g(x ) = x + Toán cao cấp A1 Cao đẳng Chương Hà Hàm số số biế biến số số – Nếu f (x1 ) = f (x ) ⇒ x1 = x f đơn ánh – Nếu f(X) = Y f tồn ánh – Nếu f vừa đơn ánh vừa tồn ánh f song ánh VD a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x đơn ánh b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x toàn ánh c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x song ánh • Hàm số y = f(x) gọi hàm chẵn nếu: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df • Hàm số y = f(x) gọi hàm lẻ nếu: f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df Chương Hà Hàm số số biế biến số số 1.1.3 Hàm số ngược • Hàm số g gọi hàm số ngược f, ký hiệu g = f −1 , x = g(y ), ∀y ∈ G f Nhận xét – Đồ thị hàm số y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị hàm số y = f (x ) qua đường thẳng y = x VD Cho f (x ) = 2x f −1(x ) = log2 x , x > dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Hà Hàm số số biế biến số số 1.2 Hàm số lượng giác ngược 1.2.1 Hàm số y = arcsin x • Hàm số y = sin x có hàm ngược  π π f −1 : [−1; 1] → − ;   2   x ֏ y = arcsin x  π π − ;   2   VD arcsin = ; π arcsin(−1) = − ; π arcsin = Chương Hà Hàm số số biế biến số số 1.2.2 Hàm số y = arccos x • Hàm số y = cos x có hàm ngược [0; π] f −1 : [−1; 1] → [0; π] x ֏ y = arccos x π VD arccos = ; arccos(−1) = π ; arccos π −1 2π = ; arccos = Chú ý arcsin x + arccos x = Chương Hà Hàm số số biế biến số số 1.2.3 Hàm số y = arctan x  π π • Hàm số y = tan x có hàm ngược − ;   2   π π f −1 : ℝ → − ;   2  x ֏ y = arctan x VD arctan = ; π arctan(−1) = − ; π arctan = Quy ước arctan (+∞) = π π , arctan (−∞) = − 2 Chương Hà Hàm số số biế biến số số 1.2.4 Hàm số y = arccot x • Hàm số y = cot x có hàm ngược (0; π) f −1 : ℝ → (0; π) x ֏ y = arc cot x π VD arc cot = ; 3π arc cot(−1) = ; π arc cot = Quy ước arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π Chương Hà Hàm số số biế biến số số §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa • Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x → x ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = L , ∀ε > cho trước ta tìm δ > x →x cho < x − x < δ f (x ) − L < ε Định nghĩa (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x → x ∈ [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) = L , dãy {xn} (a ; b ) \ {x } mà x →x x n → x lim f (x n ) = L n →∞ Toán cao cấp A1 Cao đẳng π , ∀x ∈ [−1; 1] Chương Hà Hàm số số biế biến số số Định nghĩa (giới hạn vơ cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x → +∞ , ký hiệu lim f (x ) = L , ∀ε > cho trước ta tìm x →+∞ N > đủ lớn cho x > N f (x ) − L < ε • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , ∀ε > cho x →−∞ trước ta tìm N < có trị tuyệt đối đủ lớn cho x < N f (x ) − L < ε Định nghĩa (giới hạn vơ cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn +∞ x → x , ký hiệu lim f (x ) = +∞ , ∀ M > lớn tùy ý cho trước ta x →x0 tìm δ > cho < x − x < δ f (x ) > M dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Hà Hàm số số biế biến số số Chương Hà Hàm số số biế biến số số • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , ∀ M < có trị x →x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm δ > cho < x − x < δ f (x ) < M Định nghĩa (giới hạn phía) • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vơ cùng) x → x với x > x ta nói f(x) có giới hạn phải x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L lim f (x ) = L x →x0 +0 x →x+ • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vô cùng) x → x với x < x ta nói f(x) có giới hạn trái x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) = L lim f (x ) = L x → x −0 x →x− Chú ý lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L x →x0 x →x x→x 0 2.2 Tính chất Cho lim f (x ) = a lim g (x ) = b Khi đó: x →x x →x 1) lim [C f (x )] = C a (C số) x →x 2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b x →x 3) lim [ f (x )g (x )] = ab ; x →x f (x ) a = , b ≠ 0; g (x ) b 5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x − ε; x + ε) a ≤ b 6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x − ε; x + ε) lim f (x ) = lim g (x ) = L lim h (x ) = L 4) lim x →x x →x x →x Chương Hà Hàm số số biế biến số số Chương Hà Hàm số số biế biến số số Định lý • Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì: x →x 2) Xét L = lim lim [u(x )]v (x ) = a b A L = ; B L = ; C L = 1; D L = Các kết cần nhớ 1 1) lim = −∞, lim = +∞ − + x →0 x x →0 x x    lim 1 +  = lim (1 + x )x = e x →±∞  x →0 x   Chương Hà Hàm số số biế biến số số 2x  3x  VD Tìm giới hạn L = lim 1 +   x →∞  2x +  B L = e ; C L = e ; ( VD Tìm giới hạn L = lim + tan2 x + x →0 A L = ∞ ; B L = 1; C L = e ; §3 ĐẠI LƯỢNG VƠ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN D L = ) 4x 3.1 Đại lượng vô bé a) Định nghĩa • Hàm số α(x ) gọi đại lượng vô bé (VCB) x → x lim α(x ) = (x0 vơ cùng) x →x D L = e ( ) VD α(x ) = tan3 sin − x VCB x → 1− ; β(x ) = Toán cao cấp A1 Cao đẳng , ta có: an Chương Hà Hàm số số biế biến số số A L = ∞ ; + bm−1x m−1 + + b0 n = m ; bn b) L = n < m ; c) L = ∞ n > m sin αx tan αx 3) lim = lim = αx → α x αx → αx 4) Số e: a) L = x →x  2x  VD Tìm giới hạn L = lim   x +  x →∞  an x n + an −1x n −1 + + a0 x →∞ b x m m x →x 2x x −1 x →x ln2 x VCB x → +∞ dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Hà Hàm số số biế biến số số Chương Hà Hàm số số biế biến số số c) So sánh VCB • Định nghĩa b) Tính chất VCB 1) Nếu α(x ), β(x ) VCB x → x α(x ) ± β(x ) α(x ).β(x ) VCB x → x Cho α(x ), β(x ) VCB x → x , lim x →x 2) Nếu α(x ) VCB β(x ) bị chận lân cận x α(x ).β(x ) VCB x → x 3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), α(x ) x →x VCB x → x Chương Hà Hàm số số biế biến số số α(x ) = k β(x ) Khi đó: – Nếu k = , ta nói α(x ) VCB cấp cao β(x ), ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) – Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) VCB cấp thấp β(x ) – Nếu ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) β(x ) VCB cấp – Đặc biệt, k = 1, ta nói α(x ) β(x ) VCB tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) Chương Hà Hàm số số biế biến số số VD • − cos x VCB cấp với x x → vì: x sin − cos x = lim = lim 2 x →0 x →0 x x      • Tính chất VCB tương đương x → x0 1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )) 2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) α(x ) ∼ γ(x ) 3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) α1(x )α (x ) ∼ β1(x )β2(x ) 4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) α(x ) + β(x ) ∼ β(x ) • sin2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 x → • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho α(x ), β(x ) tổng VCB khác cấp x → x α(x ) lim giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x →x β(x ) tử mẫu Chương Hà Hàm số số biế biến số số VD Tìm giới hạn L = lim x →0 x − cos x + x4 + x2 Chương Hà Hàm số số biế biến số số VD Tính giới hạn L = lim x →0 • Các VCB tương đương cần nhớ x → 1) sin x ∼ x ; 2) tan x ∼ x ; 3) arcsin x ∼ x ; x2 5) − cos x ∼ ; 4) arctan x ∼ x 7) ln(1 + x ) ∼ x ; 8) n + x − ∼ VD Tính L = lim x →0 6) e − ∼ x ; x x n Chú ý Nếu u(x ) VCB x → ta thay x u(x ) cơng thức Tốn cao cấp A1 Cao đẳng sin ( ln(1 − 2x sin2 x ) sin x tan x ) x + − + x − tan2 x sin x + 2x Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng cho hiệu tổng VCB chúng làm triệt tiêu tử mẫu phân thức e x + e −x − (e x − 1) + (e −x − 1) VD lim = lim x →0 x →0 x2 x2 x + (−x ) = lim = (Sai!) x →0 x2 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Hà Hàm số số biế biến số số 3.2 Đại lượng vơ lớn a) Định nghĩa • Hàm số f(x) gọi đại lượng vô lớn (VCL) x → x lim f (x ) = ∞ (x0 vơ cùng) x →x VD cos x + VCL x → ; 2x − sin x x3 + x −1 VCL x → +∞ x − cos 4x + Nhận xét Hàm số f (x ) VCL x → x VCB x → x f (x ) Chương Hà Hàm số số biế biến số số b) So sánh VCL • Định nghĩa Cho f (x ), g(x ) VCL x → x , lim x →x Khi đó: – Nếu k = , ta nói f (x ) VCL cấp thấp g(x ) – Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) VCL cấp cao g(x ) – Nếu ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) g(x ) VCL cấp – Đặc biệt, k = 1, ta nói f (x ) g(x ) VCL tương đương Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) Chương Hà Hàm số số biế biến số số VD • x → vì: 2x + x 3  2x + x x lim  :  = lim = lim = ∞ 3  x →0  x x →0 x →0 x 2x + x  x x VCL khác cấp với 3 • x + x − ∼ x x → +∞ Chương Hà Hàm số số biế biến số số • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f(x) g(x) tổng VCL khác cấp x → x f (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao x →x g(x ) tử mẫu VD Tính giới hạn: x − cos x + x − 2x + A = lim ; B = lim x →∞ x →+∞ 3x + 2x x − sin2 x Chương Hà Hàm số số biế biến số số §4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1 Định nghĩa • Số x ∈ D f gọi điểm cô lập f(x) ∃ε > : ∀x ∈ (x − ε; x + ε) \ {x } x ∉ Df • Hàm số f(x) liên tục x0 lim f (x ) = f (x ) x →x • Hàm số f(x) liên tục tập X f(x) liên tục điểm x ∈ X Quy ước • Hàm số f(x) liên tục điểm lập f(x) Tốn cao cấp A1 Cao đẳng f (x ) =k g(x ) Chương Hà Hàm số số biế biến số số 4.2 Định lý • Tổng, hiệu, tích thương hàm số liên tục x0 hàm số liên tục x0 • Hàm số sơ cấp xác định đâu liên tục • Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn 4.3 Hàm số liên tục phía • Định nghĩa Hàm số f(x) gọi liên tục trái (phải) x0 lim f (x ) = f (x ) ( lim f (x ) = f (x )) x → x 0− x → x 0+ • Định lý Hàm số f(x) liên tục x0 lim f (x ) = lim f (x ) = f (x ) x → x 0− x → x 0+ dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Hà Hàm số số biế biến số số  tan2 x + sin2 x  , x >0 VD Cho hàm số f (x ) =   2x  x α , ≤  Giá trị α để hàm số liên tục x = là: A α = ; B α = ; C α = 1; D α = 2  ln(cos x )  ,x ≠0 VD Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x  2α − 3, x =  Giá trị α để hàm số liên tục x = là: 17 17 3 A α = ; B α = − ; C α = − ; D α = 12 12 2 §1 §2 §3 §4 §5 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Đạo hàm Vi phân Các định lý hàm khả vi – Cực trị Công thức Taylor Quy tắc……………………………………………………… L’Hospital §1 ĐẠO HÀM 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f (x ) xác định lân cận (a ; b) x ∈ (a ; b ) Giới hạn: f (x + ∆x ) − f (x ) ∆y lim = lim ∆x → ∆ x ∆x → ∆x (nếu có) gọi đạo hàm y = f (x ) x Ký hiệu f ′(x ) hay y ′(x ) Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số c) Đạo hàm vơ ∆y • Nếu tỉ số → ∞ ∆x → ta nói y = f (x ) có ∆x đạo hàm vơ x • Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm vơ phía VD Cho f (x ) = x ⇒ f ′(0) = ∞, f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ Chú ý Nếu f (x ) liên tục có đạo hàm vơ x tiếp tuyến x đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy Toán cao cấp A1 Cao đẳng Chương Hà Hàm số số biế biến số số 4.4 Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm số f (x ) không liên tục x x gọi điểm gián đoạn f (x ) • Nếu tồn giới hạn: lim f (x ) = f (x 0− ), lim f (x ) = f (x 0+ ) x →x 0− f (x 0− ), x →x 0+ f (x 0+ ) f (x ) không đồng thời ta nói x điểm gián đoạn loại Ngược lại, x điểm gián đoạn loại hai …………………………………………………………………………… Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Nhận xét Do ∆x = x − x nên: f ′(x ) = lim f (x ) − f (x ) x →x x − x0 b) Đạo hàm phía Cho hàm số y = f (x ) xác định lân cận phải f (x ) − f (x ) (x ; b ) x Giới hạn lim (nếu có) + x − x0 x →x gọi đạo hàm bên phải y = f (x ) x Ký hiệu f ′(x 0+ ) Tương tự, f ′(x 0− ) Nhận xét Hàm số f (x ) có đạo hàm x0 f ′(x ) = f ′(x 0− ) = f ′(x 0+ ) Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích thương hai hàm số: (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ; (uv )′ = u ′v + uv ′ ; ′ k   u ′ u ′v − uv ′   = −kv ′ , k ∈ ℝ ;   =  v   v  v v2 2) Đạo hàm hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]: f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) 3) Đạo hàm hàm số ngược y = y(x ): x ′(y ) = y ′(x ) dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Đạo hàm số hàm số sơ cấp ( )′ = α.x 1) x α α−1 ; 3) (sin x )′ = cos x ; 5) (tan x )′ = cos x = + tan2 x ; 2) 6) (cot x )′ = − sin2 x • Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số x = x (t ), y = y(t ) Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược hàm số ngược có đạo hàm thì: y′ y ′(t ) y ′(x ) = hay yx′ = t x ′(t ) x t′ x = 2t −  VD Tính y ′(x ) hàm số cho  , t ≠ y = 4t  x = et  VD Tính yx′ (1) hàm số cho  y = t − 2t Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số VD Tính f (n )(x ) hàm số f (x ) = (1 − x )n +1 x − 3x − ( )′ = x1 ; 10) loga x ( 1− x2 x )′ = x ln1 a ; ; 12)(arccos x )′ = ; 14) (arc cot x )′ = −1 − x2 ; ; Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 8) a x 11) (arcsin x )′ = 1.3 Đạo hàm hàm số cho phương trình tham số VD Tính y (n ) hàm số y = = ex ; 9) ln x 4) (cos x )′ = − sin x ; ( )′ = a ln a ; ( ) 7) e x ( x )′ = 1x ; ′ 13) (arctan x )′ = 1 + x2 −1 + x2 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 1.4 Đạo hàm cấp cao • Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) f ′(x ) có đạo hàm ( f ′(x ))′ = f ′′(x ) đạo hàm cấp hai f (x ) • Tương tự ta có: ′ f (n )(x ) = f (n −1)(x ) đạo hàm cấp n f (x ) ( ) VD Cho hàm số f (x ) = sin x Tính đạo hàm f (6)(0) A f (6)(0) = 32 ; B f (6)(0) = −32 ; C f (6)(0) = −16 ; D f (6)(0) = Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 1.5 Đạo hàm hàm số ẩn • Cho phương trình F (x , y ) = (*) Nếu y = y(x ) hàm số xác định khoảng cho y(x ) vào (*) ta đồng thức y(x ) gọi hàm số ẩn xác định (*) • Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta Fx′ + Fy′.yx′ = Vậy yx′ = − Fx′ , F ′ ≠ Fy′ y y ′(x ) = yx′ gọi đạo hàm hàm số ẩn y(x ) Toán cao cấp A1 Cao đẳng dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định xy − e x + e y = Tính y ′(x ) VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: §2 VI PHÂN 2.1 Vi phân cấp • Hàm số y = f (x ) gọi khả vi x ∈ D f ∆f (x ) = f (x + ∆x ) − f (x ) biểu diễn xy − e x + ln y = (*) Tính y ′(0) ∆f (x ) = A.∆x + 0(∆x ) dạng: với A số 0(∆x ) VCB ∆x → VD Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: y ln x + y = arctan Tính y ′(x ) x Chú ý Ta xem hàm ẩn y(x ) hàm hợp u(x ) thực đạo hàm hàm số hợp Nhận xét VD 10 Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi: • ∆f (x ) = A.∆x + 0(∆x )⇒ y + (x + 1)y + x = Tính y ′(x ) Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số ∆f (x ) ∆x =A+ 0(∆x ) ∆x Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số ∆f (x ) 2.2 Vi phân cấp cao • Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n ∆x →   → A ⇒ f ′(x ) = A ∆x ⇒ df (x ) = f ′(x ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x • Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x ⇒ Khi đó, đại lượng A.∆x gọi vi phân hàm số y = f (x ) x0 Ký hiệu df (x ) hay dy(x ) d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n gọi vi phân cấp n hàm y = f (x ) Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx VD Tính vi phân cấp hàm số y = ln(sin x ) VD Tính vi phân cấp f (x ) = x 2e 3x x = −1 VD Tính vi phân cấp n hàm số y = e 2x VD Tính vi phân cấp y = arctan(x + 1) VD Tính vi phân cấp f (x ) = tan x x = VD Tính vi phân cấp hàm số y = ln(arcsin x ) Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số §3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1 Các định lý 3.1.1 Bổ đề Fermat Cho hàm số f (x ) xác định (a ;b ) có đạo hàm x ∈ (a ;b ) Nếu f (x ) đạt giá trị lớn (hoặc bé nhất) x (a ;b) f ′(x ) = 3.1.2 Định lý Rolle Cho hàm số f (x ) liên tục [a ;b ] khả vi (a ;b ) Nếu f (a ) = f (b ) ∃c ∈ (a ;b ) cho f ′(c ) = Toán cao cấp A1 Cao đẳng π Chú ý Khi x hàm số độc lập với y cơng thức d ny = y (n )dx n khơng cịn Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 3.1.3 Định lý Cauchy Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục [a ;b ], khả vi (a;b ) g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b) Khi đó, ∃c ∈ (a;b) cho: f (b) − f (a ) f ′(c) = g(b) − g(a ) g ′(c) 3.1.4 Định lý Lagrange Cho hàm số f (x ) liên tục [a ;b ], khả vi (a;b ) Khi đó, ∃c ∈ (a;b) cho: f (b ) − f (a ) = f ′(c ) b −a dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 3.2 Cực trị hàm số 3.2.1 Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số f (x ) liên tục trong (a;b ) Khi đó: • f (x ) gọi tăng (đồng biến) (a;b ) f (x1 ) − f (x ) > , ∀x1, x ∈ (a ;b) x1 ≠ x x1 − x • f (x ) gọi giảm (nghịch biến) (a;b ) f (x1 ) − f (x ) < , ∀x1, x ∈ (a;b ) x1 ≠ x x1 − x • f (x ) gọi đơn điệu (a;b ) f (x ) tăng hay giảm (a;b ) Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số • Nếu f (2n )(x ) > f (x ) đạt cực tiểu x VD Tìm cực trị (nếu có) f (x ) = x , f (x ) = x Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số • Nếu M = max f (x ) m = f (x ) thì: x ∈X m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X b) Phương pháp tìm max – Hàm số liên tục đoạn [a; b] Cho hàm số y = f (x ) liên tục đoạn [a; b ] Để tìm max f (x ) f (x ), ta thực bước sau: x ∈[a ;b ] • Bước Giải phương trình f ′(x ) = Giả sử có n nghiệm x 1, , x n ∈ [a; b ] (loại nghiệm ngồi [a; b ]) • Bước Tính f (a ), f (x ), , f (x n ), f (b) • Bước Giá trị lớn nhất, nhỏ giá trị tính giá trị max, tương ứng cần tìm Tốn cao cấp A1 Cao đẳng 3.2.3 Giá trị lớn – giá trị nhỏ a) Định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D X ⊂ D • Số M gọi giá trị lớn f (x ) X nếu: ∃x ∈ X : f (x ) = M f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X Ký hiệu là: M = max f (x ) x ∈X • Số m gọi giá trị nhỏ f (x ) X nếu: ∃x ∈ X : f (x ) = m f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X Ký hiệu là: m = f (x ) x ∈X • Nếu f (2n )(x ) < f (x ) đạt cực đại x x ∈[a ;b ] x −4 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số thỏa f ′(x ) = = f (2n −1)(x ) = f (2n )(x ) ≠ x ∈X VD Tìm khoảng đơn điệu y = ln(x + 1) x2 + VD Tìm khoảng đơn điệu f (x ) = (x − 1)2 VD Tìm khoảng đơn điệu y = x − 2x VD Tìm khoảng đơn điệu y = e 3.2.2 Cực trị a) Định nghĩa Nếu f (x ) liên tục (a ;b) chứa x f (x ) < f (x ) hay f (x ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b ) \ {x } f (x ) đạt cực tiểu hay cực đại x b) Định lý Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n (a ;b) chứa x • Nếu f (x ) đơn điệu (a;b ) liên tục (a;b ] f (x ) đơn điệu (a;b ] (trường hợp khác tương tự) b) Định lý Cho hàm số f (x ) khả vi trong (a;b) Khi đó: • Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) f (x ) tăng (a;b ) • Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) f (x ) giảm (a;b ) Chú ý • Hàm số khơng đạt max X ⊂ D Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x ) = x − x − x + đoạn [0; 2] Chú ý • Nếu đề chưa cho đoạn [a; b ] ta phải tìm MXĐ hàm số trước làm bước • Có thể đổi biến số t = t (x ) viết y = f (x ) = g(t (x )) Gọi T miền giá trị hàm t (x ) thì: max f (x ) = max g(t ), f (x ) = g(t ) x ∈X t ∈T x ∈X t ∈T VD Tìm max, f (x ) = −x + 5x + sin x + VD Tìm max, y = sin x + sin x + dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Hàm số liên tục khoảng (a; b) Cho hàm y = f (x ) liên tục (a; b) (a, b ∞ ) 2) Nếu min{f (x ), , f (x n )} < min{L1, L2 } f = min{f (x ), , f (x n )} Để tìm max f (x ) f (x ), ta thực bước: 3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) hàm số khơng đạt max (hoặc min) x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) • Bước Giải phương trình f ′(x ) = Giả sử có n nghiệm x 1, , x n ∈ [a; b ] (loại nghiệm [a; b ]) • Bước Tính f (x ), , f (x n ) hai giới hạn L1 = lim+ f (x ), L2 = lim− f (x ) x →a x →b • Bước Kết luận: 1) Nếu max{f (x ), , f (x n )} > max{L1, L2 } max f = max{f (x ), , f (x n )} x ∈(a ;b ) x ∈(a ;b ) VD Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số x3 f (x ) = khoảng (1; +∞) x −1 Chú ý Ta lập bảng biến thiên f (x ) thay cho bước x VD 10 Tìm max, f (x ) = x + −1 …………………………………………………………………… Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 4.1 Công thức khai triển Taylor a) Khai triển Taylor với phần dư Peano • Cho hàm f (x ) liên tục [a ; b ] có đạo hàm đến cấp n + (a ; b ) với x , x ∈ (a ; b) ta có: f (x ) = n f (k )(x ) k =0 k! ∑ n b) Khai triển Maclaurin • Khai triển Taylor với phần dư Peano x = gọi khai triển Maclaurin Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số 4.2 Các khai triển Maclaurin cần nhớ = + x + x + + x n + 0(x n ) 1) 1−x x x2 xn 2) e x = + + + + + 0(x n ) 1! 2! n! x x2 x3 x4 3) ln(1 + x ) = − + − + + 0(x n ) x2 x4 x6 + − + + 0(x n ) 2! ! 6! x x3 x5 x7 5) sin x = − + − + + 0(x n ) 1! 3! 5! ! 4) cos x = − Toán cao cấp A1 Cao đẳng f (k )(0) k x + O(x n ) k ! k =0 n f (x ) = ∑ • Khai triển Maclaurin viết lại: (x − x ) + O((x − x ) ) k Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Vậy: §4 CƠNG THỨC TAYLOR f (x ) = f (0) + f / (0) f // (0) x+ x + 1! 2! (n ) f (0) n + x + O(x n ) n! VD Khai triển Maclaurin f (x ) = tan x đến x Chương Phé Phép tí tính vi phân hà hàm mộ biế biến số số Chú ý • Nếu u(x ) VCB x → ta thay x công thức u(x ) VD Khai triển Maclaurin hàm số y = 1 + 3x đến x VD Khai triển Maclaurin y = ln(1 − 2x ) đến x VD Khai triển Maclaurin hàm số y = 2x đến x VD Cho hàm số f (x ) = x cos 2x Tính f (7)(0) 10 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Phé Phép tí tính tí tích phân hà hàm mộ biế biến số số VD 15 Tích phân suy rộng I = ∫ α x +1 (x + 1)sin x phân kỳ khi: 1 A α ≤ −1; B α ≤ − ; C α ≥ − ; 2 dx D α ∈ ℝ Chú ý • Cho I = I + I với I , I , I tích phân suy rộng ta có: 1) I I hội tụ ⇒ I hội tụ Chương Phé Phép tí tính tí tích phân hà hàm mộ biế biến số số I → −∞ ( phân kỳ ) I 1 2)     I ≤ I   I phân kỳ I I → −∞ ( phân kỳ ) 3)   I > I   chưa thể kết luận I phân kỳ VD 16 I = xα + ∫ x sin x dx phân kỳ khi: Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi §1 Khái niệm chuỗi số §2 Chuỗi số dương §3 Chuỗi số có dấu tùy ý …………………………… • Tổng n số hạng Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số 1.1 Định nghĩa • Cho dãy số có vơ hạn số hạng u1, u2 , , un , Biểu thức ∞ u1 + u2 + + un + = ∑ un n =1 gọi chuỗi số • Các số u1, u2 , , un , số hạng un gọi số hạng tổng quát chuỗi số • Nếu dãy {Sn } n ∈ℕ a ⇒ chuỗi hội tụ −q Với q > Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ ∑ aq n −1 hội tụ ⇔ q < n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số hội tụ đến số S hữu hạn ta nói ∞ chuỗi số hội tụ có tổng S , ta ghi ∞ VD Xét hội tụ chuỗi nhân ∞ n =1 • q ≠ 1: Sn = u1 − qn − qn = a 1−q −q Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ ∞ • Nếu chuỗi ∑ un n =1 hội tụ lim un = , n →∞ n →∞ ∞ ∑ un phân kỳ n =1 n =1  1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ ln 1 +  n   n =1 ∞ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 Toán cao cấp A1 Cao đẳng n ∑ aq n−1 với a ≠ Giải • q = 1: Sn = na → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ ngược lại lim un ≠ ∑ n(n + 1) ∑ un = S n =1 Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Với q < Sn → Vậy → +∞ ( phân kyø ) 0, ∀n chuỗi số dương thực 2.2 Các định lý so sánh n =1 ∞ n =1 ∞ • Nếu hội tụ ∑ un ∑ un phân kỳ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi hội tụ ∑ phân kỳ n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Định lý ∑ n.2n VD Xét hội tụ chuỗi số n =1 n =1 ∞ n =1 ∞ n =1 ∞ ∑ n =1 ∞ • Nếu ∞ ≤ u n ≤ , ∀ n ≥ n n =1 • Tính chất hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không đổi ta thêm bớt hữu hạn số hạng ∞ ∑ u n , ∑ thỏa: Định lý Cho hai chuỗi số dương ∑un hội tụ thì: ∑ αun = α∑un n =1 n =1 Cho hai chuỗi số ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un , ∑ thỏa: un > > với n đủ lớn lim n →∞ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi điều hòa ∞ so sánh với  ∑n cách n =1 1 ∑ ln 1 + n  • Nếu k = ∞ ∞ n =1 n =1 ∞ ∑ un phân kỳ ⇒ ∑ • Nếu k = +∞ n =1 ∞ ∑ un n =1 • Nếu < k < +∞ Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ so sánh với  n ∑   ∞ 2n (n + 1) n =1 n.3n +1 ∑ cách ∑ nα hội tụ α > phân kỳ α ≤ ∞ n =1 Toán cao cấp A1 Cao đẳng phân kỳ n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un , ∑ tính chất ∑ un n =1 ∑ = k hội tụ ⇒ ∑ hội tụ ∞ n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số 2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1 Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương Chú ý ∞ un Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi n =1 Chuỗi ∀n n =1 ∑(un + ) = ∑ un + ∑vn ∞ ∑ un gọi chuỗi số dương un ≥ 0, n +1 2n + lim un +1 n →∞ • Nếu D < chuỗi hội tụ • Nếu D > chuỗi phân kỳ • Nếu D = chưa thể kết luận un = D VD Xét hội tụ chuỗi số n   +   ∑ n  n  n =1  VD Xét hội tụ chuỗi số 5n (n !)2 n =1 (2n )! ∞ ∞ ∑ 19 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 2.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Cho chuỗi số dương nu ∑ un nlim n →∞ =C n =1 2.3.3 Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số f (x ) liên tục, không âm giảm nửa khoảng [k ; +∞), k ∈ ℕ Khi đó: • Nếu C < chuỗi hội tụ • Nếu C > chuỗi phân kỳ • Nếu C = chưa thể kết luận n =k k ∫ f (x )dx hội tụ n2 1  VD Xét hội tụ chuỗi số ∑     n =1   ∞ +∞ ∑ f (n ) hội tụ ⇔ ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ nn ∑ 3n ∞ ∑3 VD Xét hội tụ chuỗi số n =1 VD 10 Xét hội tụ chuỗi số Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 3.1 Chuỗi đan dấu ∑ n ln3 n Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số (−1)n n n =1 VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ (−1)n ∑ ∞ gọi n =1 chuỗi số đan dấu un > 0, ∀n ∞ (−1)n ∞ 2n + VD ∑ , ∑ (−1)n +1 chuỗi đan dấu 2n +1 n =1 n n =1 b) Định lý Leibnitz Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm nghiêm ngặt un → chuỗi ∞ ∑ (−1)n un n =2 §3 CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý ∑ (−1)n un n2 ∞ n =1 a) Định nghĩa Chuỗi số ∞ 2n + n =1 2n +1 ∞ VD Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =2 hội tụ Khi đó, ta gọi chuỗi Leibnitz (−1)n n + (−1)n n =1 Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi 3.2 Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa ∞ ∞ • Chuỗi ∞ • ∑ un , un ∈ ℝ gọi chuỗi có dấu tùy ý n =1 Nếu ∑ un ∞ hội tụ chuỗi có dấu tùy ý n =1 n =1 ∑ un gọi hội tụ tuyệt đối ∑ un hội tụ ∑ un gọi bán hội tụ n =1 ∞ ∞ n =1 ∑ un hội tụ ∞ (−1)n bán hội tụ n n =1 ∑ Toán cao cấp A1 Cao đẳng VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ cos(n n ) n =1 n2 ∑ n =1 ∑ un phân kỳ n =1 VD Chuỗi số ∑ un hội tụ ∞ n =1 ∞ • Chương Lý thuyế thuyết chuỗ chuỗi b) Định lý VD Xét hội tụ chuỗi số ∞ (−1)n + (−2)n +1 n =1 3n ∑ ……………………………………………………… 20 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính §1 §2 §3 §4 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính a  11 a12  a a22 A =  21   am am Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Khơng gian vector ………………………………………………… §1 MA TRẬN 1.1 Các định nghĩa a1n   a2n     amn  • Các số aij gọi phần tử A dòng thứ i cột thứ j a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m × n ℝ hệ thống gồm m × n số aij ∈ ℝ (i = 1, m; j = 1, n ) thành bảng gồm m dòng n cột: Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính • Cặp số (m, n ) gọi kích thước A • Khi m = 1, ta gọi: A = (a11 a12 a1n ) ma trận dòng Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính a   11   • Khi n = 1, ta gọi A =   ma trận cột   am  • Khi m = n = 1, ta gọi: A = (a11 ) ma trận gồm phần tử • Ma trận vng Khi m = n , ta gọi A ma trận vuông cấp n Ký hiệu A = (aij )n ã Ma trn O = (0ij )mìn cú tt phần tử gọi ma trận khơng • Tập hợp ma trận A ký hiệu M m ,n (ℝ), để Đường chéo chứa phần tử a11, a22 , , ann gọi đường chéo A = (aij )n , đường chéo lại gọi đường chéo phụ 1  5  7  3 4  8  4  0 cho gọn ta viết A = (aij )m×n Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính • Các ma trận vng đặc biệt Ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận chéo −1 0    0    0 0   Ma trận chéo cấp n gồm tất 1  phần tử đường chéo I = 0  gọi ma trận đơn vị cấp n 0 Ký hiệu I n Toán cao cấp A1 Cao đẳng 0  0  1 Ma trận ma trận vng cấp n có tất phần tử nằm phía (trên) đường chéo gọi ma trận tam giác (dưới)  0 1 −2      B =  0 A = 0 −1       −1 2 0 Ma trận vng cấp n có tất cặp phần tử đối xứng qua đường chéo (aij = a ji ) gọi ma trận đối xứng  −1       −1    21 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính b) Ma trận Hai ma trận A = (aij ) B = (bij ) gọi nhau, ký hiệu A = B , chúng kích thước aij = bij , ∀i, j 1 x y  1 −1   VD Cho A =  B =    z t  2 u  Ta có: A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính b) Phép nhân vơ hướng Cho ma trận A = (aij )m×n λ ∈ ℝ , ta có: λA = (λaij )m×n VD −1 −3  −2 2  −4   3 = −4 6 1 4  =   8 −2 −3  ; 12 2  4 Chú ý • Phép nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng ma trận • Ma trận −1.A = −A gọi ma trận đối A Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính    1 −1     VD Tính   −1   −2   −1  Tính chất 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); 5) AI n = A = I m A , với A ∈ M m,n (ℝ) Toán cao cấp A1 Cao đẳng Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1.2 Các phép tốn ma trận a) Phép cộng trừ hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n , ta có: A ± B = (aij ± bij )m×n −1  2 2 1       VD   + 5 −3 1 = 7 −3; −         −1  2 2 −3 0         −4 − 5 −3 1 = −3 −5       Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hốn kết hợp Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n B = (bjk )n×p , ta có: AB = (cik )m×p n Trong đó, cik = ∑ aijbjk j =1 (i = 1, m; k = 1, p) −1    VD Thực phép nhân     −5  −1 0  VD Thực phép nhân   −1 3 ( ( ) ) Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1 −1 −1 −2 1       VD Cho A = 2 −2  B =  −3 1     3 −3  −1 0 Thực phép tính: a) AB ; b) BA VD Thực phép nhân:  −1 2 2 −1 −1         A =  −3 0−1 −2  1 −2        −2 −1 4 −1 −33 Chú ý • Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn 22 dvntailieu.wordpress.com Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính • Đặc biệt, A = (aij )n p ∈ ℕ* , ta có: I np = I n A0 = I n , Ap = (Ap−1 )A = A(Ap−1 ) (lũy thừa ma trận) 1 −1  2010 VD Cho ma trận A =  , giá trị A là:   −1 −2010  1 −2010   A  ; B   ;  1     1 −2010 −1 −2010   C  ; D  −1  −1  0  Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 2 0  2009 VD 10 Cho B =  , giá trị (I − B ) là:   −1 0 −1  −1 0 1      A  ; B  ; C  ; D     −1 1 −1 −1  1 −1 −1 VD 11 Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp 100 có phần tử dịng thứ i (−1)i Tìm phần tử b36 ma trận B = A2 VD 12 Cho A = (aij ) ma trận vng cấp 40 có phần tử aij = (−1)i + j Phần tử a25 A2 là: A a25 = ; B a25 = −40 ; C a25 = 40 ; D a25 = −1 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính d) Phép chuyển vị Tính chất Cho ma trận A = (aij )m×n 1) (A + B)T = AT + BT; 2) (λA)T = λAT; T T 3) (A ) = A; 4) (AB)T = BTAT; 5) AT = A ⇔ A đối xứng Khi đó, AT = (a ji )n×m gọi ma trận chuyển vị A (nghĩa chuyển tất dòng thành cột) 1    1 3  T 2 5 VD 13 Cho A =  A ⇒ =     4 6  3 6 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1.3 Phép biến đổi sơ cấp dịng ma trận (Gauss – Jordan) Cho ma trận A = (aij )m×n (m ≥ 2) Các phép biến đổi sơ cấp (PBĐSC) dòng e A là: di ↔dk → A′ 1) (e1 ) : Hốn vị hai dịng cho A   di →λdi 2) (e2 ) : Nhân dòng với số λ ≠ , A    → A′′ 3) (e3 ) : Thay dịng tổng dịng với λ lần di →di +λdk dòng khác, A     → A′′′ Chú ý di →µdi +λdk 1) Trong thực hành ta thường làm A    →B 2) Tương tự, ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận Toán cao cấp A1 Cao đẳng    −1  −2   VD 14 Cho A =  , B =    −1 −3 −3 −2   a) Tính (AB )T b) Tính BT AT so sánh kết với (AB )T Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD 15 Dùng PBĐSC dòng để đưa ma trận 2 −1 1 −2       A = 1 −2  B = 0 −7 / 5      3 −1  0 Giải Ta có: 1 −2  1 −2       d → d − d d1 ↔d2  2  A  → 2 −1    → 0 −7 d → d − d 3     3 −1  0 −7   1 −2  d3 →d3 −d2   → 0 −7 / 5 = B  d2 → d2   0 23 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1.4 Ma trận bậc thang • Một dịng ma trận có tất phần tử gọi dịng (hay dịng khơng) • Phần tử khác tính từ trái sang dòng ma trận gọi phần tử sở dịng • Ma trận bậc thang ma trận khác khơng cấp m × n (m, n ≥ 2) thỏa hai điều kiện: 1) Các dịng (nếu có) phía dòng khác 0; 2) Phần tử sở dòng nằm bên phải phần tử sở dịng phía dịng Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1.5 Ma trận khả nghịch a) Định nghĩa • Ma trận A ∈ M n (ℝ) gọi khả nghịch tồn ma trận B ∈ M n (ℝ) cho: AB = BA = I n • Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A Ký hiệu B = A−1 Khi đó: A−1A = AA−1 = I n ; (A−1 )−1 = A Chú ý Nếu B ma trận nghịch đảo A B A ma trận nghịch đảo B Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD 16 Các ma trận bậc thang:     0 3      0 5, I =   n      0 0 1    0     2   0 3,   0 0   Các ma trận bậc thang: 0 0 0  1 5       3 4, 0 4, 0 4          0 5 0 5 2 3 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 2 5  −5  B =   VD 17 A =  −1  hai ma trận 1 3   nghịch đảo AB = BA = I Chú ý 1) Nếu ma trận A có dịng (hay cột) khơng khả nghịch 2) (AB )−1 = B −1A−1 3) Nếu ac − bd ≠ thì: −1  c −b VD 18 Cho hai ma trận: a b  =   2 5 2 1  −d a       d c ac − bd       A =  , B = 3 2  1 3   Thực phép tính: a) (AB )−1 ; Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính b) Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp dòng (tham khảo) Cho A ∈ M n (ℝ) khả nghịch, ta tìm A−1 sau: Bước Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) ( ) cách ghép ma trận I n vào bên phải A Bước Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A I n dạng I n B   1 −1 1 −1 Khi đó: A = B 0 −1 0  VD 19 Tìm nghịch đảo A =  0 1   0 0 1 ( ) ( ) Toán cao cấp A1 Cao đẳng b) B −1A−1 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính ( Giải Ta có: A I ) 1 −1  0 −1 = 0  0 1  0 d3 →d3 −d4      →  d2 →d3 −d2 0 d1 →d1 +d2 −d  0 1 0 0  0 0  1 0 0  0 1 0 −1 −2  0 −1 −1  0 −1  0 0  I4 A−1 24 dvntailieu.wordpress.com Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính §2 ĐỊNH THỨC 2.1 Định nghĩa a) Ma trận cấp k Cho A = (aij ) ∈ M n (ℝ) n • Ma trận vng cấp k lập từ phần tử nằm giao k dòng k cột A gọi ma trận cấp k A • Ma trận M ij có cấp n − thu từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j gọi ma trận A ứng với phần tử aij Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1  VD Ma trận A = 4  7 5 6  M 11 =  , M 12   2 3  M 21 =  , M 22   2 3  M 31 =  , M 32   Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính b) Định thức (Determinant) Định thức ma trận vuông A ∈ M n (ℝ), ký hiệu det A hay A , số thực định nghĩa: Nếu A = (a11 ) det A = a11 a a  Nếu A =  11 12  detA = a11a 22 − a12a21 a21 a 22  Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ ) thì: det A = a11A11 + a12A12 + + a1n A1n đó, Aij = (−1)i + j det M ij số thực Aij gọi phần bù đại số phần tử aij VD Tính định thức ma trận: 0 −1   4 −1  A =  3    2 3  Toán cao cấp A1 Cao đẳng 4 =  7 1 =  7 1 =  4 4 6 , M 13 =  7 9  1 3 , M 23 =  7 9  1 3  , M =  33 4 6  5 , 8 2 , 8 2  5 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chú ý 1) det I n = 1, detOn = a11 a12 a13 2) Tính a 21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a 21 a 22 a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 (Tổng tích phần tử đường chéo nét liền trừ tổng tích phần tử đường chéo nét đứt) Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Tính định thức ma trận sau: 1 −1   3 −2       A= , B = 3 −2       2 3  6 có ma trận ứng  9 với phần tử a là: ij Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 2.2 Các tính chất định thức Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có n tính chất sau: a) Tính chất ( ) det AT = det A 2 −1 VD −2 = −2 = −12 −1 1 1 25 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính b) Tính chất Nếu hốn vị hai dịng (hoặc hai cột) cho định thức đổi dấu −1 1 −1 1 VD −2 = − −1 1 − = −2 3 2 1 Hệ Nếu định thức có dịng (hoặc cột) giống x x2 x3 3 2 = 0; 1 VD y2 y5 = y2 y5 c) Tính chất Nếu nhân dịng (hoặc cột) với số thực λ định thức tăng lên λ lần 3.1 3.(−1) VD x +1 x 1) Nếu định thức có dịng (hoặc cột) 2) Nếu định thức có dịng (hoặc cột) tỉ lệ với VD x2 y = 0; x y x3 x x +1 z z3 z z3 d) Tính chất Nếu định thức có dịng (hoặc cột) mà phần tử tổng số hạng ta tách thành tổng định thức VD x + x − 1 −1 x x x y y =x y y +x −6 −9 z z3 z z3 2 −3 = −8 −3 12 cos2 x Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 3 sin2 x + cos x sin x sin x x x y y3 ; z z3 3 = 9 cos2 x Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính e) Tính chất Định thức khơng đổi ta cộng vào dòng (hoặc cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác 2.3 Định lý (khai triển Laplace) VD 10 Sử dụng tính chất để đưa định thức sau a) Khai triển theo dòng thứ i dạng bậc thang: ∆ = −1 −1 x Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có n khai triển Laplace định thức A: n det A = 1Ai + 2Ai + + ain Ain = ∑ aij Aij j =1 i+j Trong đó, Aij = (−1) 2 VD 11 Sử dụng tính chất để tính ∆ = x 2 x Toán cao cấp A1 Cao đẳng x3 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Hệ = −2 ; x + y y = (x + 1) y y Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính x −2 1 −1 det(M ij ) b) Khai triển theo cột thứ j n det A = a1 j A1 j + a j A2 j + + anj Anj = ∑ aij Aij i =1 26 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 0 VD 12 Tính định thức 2 hai cách 3 khai triển theo dòng khai triển theo cột VD 13 Áp dụng tính chất định lý Laplace, tính 1 2 −1 định thức −1 3 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD 14 Tính định thức: det A = VD 15 Tính định thức: 0 1 −12 4    VD 16 Tính detC = 2 2 3    1 −31 1 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD 19 Giá trị tham số m để ma trận T m m  m −        A =  m   m  m − 1  khả nghịch là: C m ≠ ; Toán cao cấp A1 Cao đẳng a11 0 a22 a2n a a22 = 21 = a11a22 ann 0 ann an an ann 2) Dạng tích: det(AB ) = det A.det B 3) Dạng chia khối A ⋮ B … … … = det A.detC , với A, B, C ∈ M n (ℝ) On ⋮ C 1 −12 4−3 4        VD 17 Tính det D = 2 2 3  2        1 1 −31 1 T 0 0 = có nghiệm x −2 x x = ± là: A x = ±1; B x = 1; C x = −1; D  x = ±2 x VD 18 Phương trình x x Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi: det A ≠ m ≠ B  ; m ≠  a11 a12 a1n Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính −2 19 −2 19 det B = 0 3 0 −1 0 −1 m = A  ; m = Các kết đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác D m ≠ b) Thuật tốn tìm A–1 • Bước Tính detA Nếu det A = kết luận A không khả nghịch Ngược lại, ta làm tiếp bước • Bước Lập ma trận (Aij ) , Aij = (−1)i + j det M ij n Suy ma trận phụ hợp (adjunct matrix) A là: T adjA = (Aij )  n  • Bước Ma trận nghịch đảo A là: A−1 = adjA det A 27 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD 20 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 1    A = 1 2   3 4 1 1    VD 21 Cho ma trận A = 0 1 Tìm A−1   1 3 Giải Ta có: det A = ≠ ⇒ A khả nghịch Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính A31 = 2 1 = −4, A22 = = 1, A32 = − Định thức ma trận cấp k A gọi định thức cấp k A Định lý Nếu ma trận A có tất định thức cấp k định thức cấp k + b) Hạng ma trận Cấp cao định thức khác ma trận A gọi hạng ma trận A Ký hiệu r (A) Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD 22 Điều kiện tham số m để ma trận m −1 −2     A =   có hạng là:     A m ≠ 1; B m ≠ −1; C m ≠ ±1; D m ≠ VD 24 Tìm r (A) Biết: 2 −1    0 −1 0    A= 0    0 −1 −4 Toán cao cấp A1 Cao đẳng 1 1 = 2, A23 = − = −1, A33 = 2 = 0, =  −4   −4        −1    ⇒ adjA =  −1 ⇒ A =  −1   2   −1   −1  Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính m×n m×n VD 23 Cho ma trận: 1 −3 2   A = 2 −5 4   3 −8 6 Tìm r (A) A21 = − Chú ý • Nếu A = (aij ) 2.5 Hạng ma trận a) Định thức cấp k Cho ma trận A = (aij ) Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 1 1 A11 = = 1, A12 = − = 1, A13 = = −1, 3 khác ≤ r (A) ≤ min{m, n} • Nếu A ma trận khơng ta quy ước r (A) = c) Thuật toán tìm hạng ma trận • Bước Đưa ma trận cần tìm hạng bậc thang • Bước Số dịng khác ma trận bậc thang hạng ma trận cho • Đặc biệt Nếu A ma vng cấp n thì: r (A) = n ⇔ det A ≠ Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chú ý Ta hốn vị cột ma trận đưa bậc thang  VD 25 Giá trị tham số m để ma trận A m = −2 ; m = m +  3   B m = 1;  A =  m + 0 có r (A) = là: m = −2 ; C    3 m = −1  2m −1 VD 26 Tùy theo  giá trị m , tìm  m −1 hạng ma trận:A =     m 2 D  m=0   −1   −1 −1  1   −1  28 dvntailieu.wordpress.com Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i = 1, , n ) m phương trình: a x + a x + + a x = b 12 1n n  11 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n (I )    am 1x + am 2x + + amn x n = bm đó, hệ số aij ∈ ℝ (i = 1, , n; j = 1, , m ), gọi hệ phương trình tuyến tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Cho hệ phương trình: x − x + 2x + 4x =  2x + x + 4x = −3  2x − 7x =  Hệ phương trình viết lại dạng ma trận:   1 −1 4x     x    2   = −3  x    0 −7 0     x     4 α = (1; −1; −1; 1) nghiệm hệ Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Tùy theo điều kiện tham số m , biện luận số nghiệm hệ phương trình: x + my − 3z =    (1 − m )z = m −  VD Điều kiện tham số m để hệ phương trình: mx + 8z − 7t = m −  3x + my + 2z + 4t = m   mz + 5t = m −  5z − mt = 2m +  có nghiệm là: A m ≠ ; B m ≠ 1; C m ≠ ±1; D m ≠ ±5 Toán cao cấp A1 Cao đẳng Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính    a11 a1n   Đặt: A =   = (aij ) ,  m×n  am amn  ( B = b1 bm ) T ( X = x x n ) T ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự ma trận cột ẩn Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B ( • Bộ số α = α1 αn ) T ( α = α1 ; ; αn ) gọi nghiệm (I ) Aα = B Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 3.2 Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B Gọi ma trận a   11 a12 a1n b1   mở rộng A = A B =     am am amn bm  Định lý Hệ AX = B có nghiệm r (A) = r (A) ( ) Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì: Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm nhất; Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , với A ma trận vng cấp n khả nghịch Ta có: AX = B ⇔ X = A−1B VD Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp ma trận: 2x + y − z =   y + 3z =  2x + y + z = −1  29 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 2 −1     −1 −1    Giải A = 0  ⇒ A−1 =  −3       2 1  −1 Hệ phương trình ⇔ X = A−1B x  −1 −1   x  −3                 ⇔ y  =  −3  ⇔ y  =              −1 z  −1 z  −1 x = −3,  Vậy hệ cho có nghiệm  y = 6,  z = −1  Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX = B , với A ma trận vng cấp n • Bước Tính định thức: a11 a1 j ∆ = det A = an anj a11 b1 ∆ j = Nếu ∆ = ∆ j = 0, ∀j = 1, n hệ có vơ số nghiệm (ta thay tham số vào hệ tính trực tiếp) Nếu ∆ = ∃∆ j ≠ 0, j = 1, n hệ vơ nghiệm Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính ∆2 = −1 Vậy x = ∆1 (thay cột thứ j ∆ cột tự do) ∆ ∆2 ∆ = 6, z = ∆3 ∆= 1 −1 = 4, ∆1 = −1 = −12 , ∆ c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B ( ) • Bước Đưa ma trận mở rộng A B dạng bậc = −1 (m + 1)x + y = m + VD Hệ phương trình  x + (m + 1)y =  có nghiệm khi: A m = −2 ; B m ≠ −2 ∧ m ≠ ; C m ≠ ; D m ≠ −2 Tốn cao cấp A1 Cao đẳng Giải Ta có: −1 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính = 24 , ∆3 = = −4 −1 = −3, y = ann VD Giải hệ phương trình sau định thức:  2x + y − z =  y + 3z =  2x + y + z = −1  Nếu ∆ ≠ hệ có nghiệm nhất: ∆ x j = j , ∀j = 1, n ∆ −1 , j = 1, n Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính • Bước Kết luận: , ann a1n an bn Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính a1n thang PBĐSC dịng • Bước Giải ngược từ dòng cuối lên Chú ý Trong q trình thực bước 1, nếu: có dịng tỉ lệ xóa dịng; có dịng xóa dịng đó; ( ) có dịng dạng 0 b , b ≠ hệ vô nghiệm 30 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Giải hệ sau phương pháp Gauss:  2x + y − z =  y + 3z =  2x + y + z = −1 Giải Ta có:  2 −1  2 −1       d3 →d3 −d1   0 3     →  A B = 0 3      0 −2 2 1 −1 2x + y − z = x = −3   Hệ ⇔   y + 3z = ⇔ y =   2z = −2  z = −1   ( ) Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Giải hệ phương trình tuyến tính:  5x − 2x + 5x − 3x = 4x + x + 3x − 2x =  = − 2x + 7x − x  VD Tìm nghiệm hệ  x + 4y + 5z = −1  A x = 15, y = −4, z = ; 2x + 7y − 11z = 3x + 11y − 6z = B Hệ có vơ số nghiệm;  x = 15 − 79α x = 15 + 79α   C  D  y = −4 − 21α ; y = −4 − 21α   z = α ∈ ℝ z = α ∈ ℝ   Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 3x − y + 2z = VD 10 Tìm nghiệm hệ   2x + y − 2z =  x = x =    B  A y = − 2α ; y = + 2α   z = α ∈ ℝ z = α ∈ ℝ   C Hệ có vơ số nghiệm; D Hệ vô nghiệm VD 11 Giá trị tham số m để hệ phương trình x + 2y + (7 − m )z =  A m = ±1; 2x + 4y − 5z = B m = 1;  C m = −7 ;  3x + 6y + mz =  D m = có vơ số nghiệm là: Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính §4 KHƠNG GIAN VECTOR 4.1 Định nghĩa Cho tập V khác rỗng, xét hai phép toán sau: x + y (x , y ∈ V ) λ x (λ ∈ ℝ , x ∈ V ) Ta nói V với hai phép tốn khơng gian vector thỏa tính chất sau: 1) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , ∀ x , y , z ∈ V ; 2) ∃ θ ∈ V : x + θ = θ + x = x , ∀ x ∈ V ; 3) ∀ x ∈ V , ∃ ( − x ) ∈ V : ( − x ) + x = x + ( − x ) = θ ; 4) x + y = y + x , ∀ x , y ∈ V ; 5) λ ( x + y ) = λ x + λ y , ∀ x , y ∈ V , ∀ λ ∈ ℝ ; 6) ( λ + µ ) x = λ x + µ x , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; 7) ( λ µ ) x = λ ( µ x ) , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; 8) x = x , ∀ x ∈ V Trong đó, θ ∈ V Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 4.2 Định nghĩa Trong kgvt V , cho n vector ui (i = 1, , n ) n • ∑λu , λ i =1 i i i ∈ ℝ gọi tổ hợp tuyến tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD • Trong ℝ , hệ gồm vector: u1 = (1; –1), u2 = (2; 3) { } độc lập tuyến tính n vector ui • Hệ {u1, u2 , , un } gọi độc lập tuyến tính n (đltt) có gọi vector không ∑λu i =1 i i = θ λi = 0, ∀i = 1, n • Hệ {u1, u2 , , un } không độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính (pttt) Tốn cao cấp A1 Cao đẳng • Trong ℝn , hệ gồm n vector : ui = (0; ; α; ; 0); i = 1, , n; α ≠ { } (thành phần thứ i ui α ) đltt • Trong ℝ , hệ gồm vector: u1 = ( –1; 3; 2), u2 = (2; 0; 1), u3 = (0; 6; 5) { } phụ thuộc tuyến tính 31 dvntailieu.wordpress.com Monday, August 30, 2010 Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính 4.3 Định nghĩa { • Trong kgvt V , hệ A = u1, u2 , , un } gọi sở V hệ A độc lập tuyến tính vector V biểu diễn tuyến tính qua A 4.4 Hệ vector ℝn a) Định nghĩa Trong ℝn , cho m vector ui = (ai 1, , ain ), i = 1, m Ta gọi A = (aij ) mìn ã Nu kgvt V cú mt c s gồm n vector V gọi kgvt có n chiều Ký hiệu dimV = n Khi đó, kgvt V , hệ có nhiều n vector phụ thuộc tuyến tính { } VD Trong ℝ , hệ A = u1 = (1; –1), u2 = (2; 3) sở ma trận dòng m vector ui b) Định lý • Trong ℝn , hệ {u1, u2 , , um } đltt ⇔ r (A) = m (hạng A số phần tử hệ) n • Trong ℝ , hệ {u1, u2 , , um } pttt ⇔ r (A) < m • Trong ℝn , hệ {u1, u2 , , un } sở ⇔ r (A) = n Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Trong ℝ , xét đltt hay pttt hệ sau: u1 = (−1; 2; 0), u2 = (1; 5; 3), u = (2; 3; 4) { } VD Trong ℝ , tìm điều kiện m để hệ sau sở: u1 = (m; 1; 1), u2 = (1; m; 1), u = (1; 1; m ) { } VD Trong ℝ , điều kiện tham số m để hệ sau c) Tọa độ vector Trong kgvt ℝ n , cho sở F = {u1, u2,…, un } Vector x ∈ V tùy ý có biểu diễn tuyến tính cách n qua sở F x = ∑ αi ui , αi ∈ ℝ i =1 Ta nói x có tọa độ sở F (α1; α2 ;…; αn ) {(1;2;1; 4), (2; 3; m;7), (5; 8;2m + 1;19), (4;7; m + 2;15)} Ký hiệu [x ]F phụ thuộc tuyến tính là: A m = ; B m = −2 ; C m = ; Đặc biệt, E = {u1 = (1; 0; ; 0), , un = (0; ; 0;1)} D m ∈ ℝ gọi sở tắc ℝ n Khi đó, tọa độ vector viết theo dạng quen thuộc Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính Chương Đạ Đại số số tuyế tuyến tí tính VD Trong ℝ , cho x = (3; −5) sở: F = {u1 = (2; −1), u2 = (1; 1)} ( (ma trận cột vector B1 ) Tìm tọa độ vector x sở F ? d) Tọa độ vector sở khác Ma trận chuyển sở Trong kgvt ℝ n , cho sở: B1 = {ui }, B2 = {vi }, i = 1,2, , n ( Ma trận [v1 ]B [v2 ]B [vn ]B 1 ) gọi ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 Ký hiệu là: PB →B Công thức đổi tọa độ: [x ]B1 = PB1 →B2 [x ]B2 Toán cao cấp A1 Cao đẳng ) Đặc biệt Ta có: PE →B1 = [u1 ] [u2 ] [un ] Công thức tìm ma trận chuyển ( PB →B = PB →E PE →B = PE →B 2 ) −1 PE →B VD Trong ℝ , cho sở: B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0; −1)} , B2 = {v1 = (2; −1), v2 = (1; 1)} Cho biết [x ]B = (1; 2) Hãy tìm [x ]B ? ……………………………Hết…………………………… 32 ... định nghĩa: Nếu A = (a11 ) det A = a11 a a  Nếu A =  11 12  detA = a11 a 22 − a12 a21 a21 a 22  Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ ) thì: det A = a11 A11 + a12 A12 + + a1n A1n đó, Aij = (−1)i... tuyến tí tính Chú ý 1) det I n = 1, detOn = a11 a12 a13 2) Tính a 21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a 21 a 22 a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33...   Ma trận chéo cấp n gồm tất 1  phần tử đường chéo I = 0  gọi ma trận đơn vị cấp n 0 Ký hiệu I n Toán cao cấp A1 Cao đẳng 0  0  1 Ma trận ma trận vng cấp n có tất phần