Bài giảng toán cao cấp bài 4 các dạng toán về KGVT

BÀI ( PHẦN ) Dạng XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT PP: Dùng định nghĩa (V,+, .) . x, y, z thuộc tập hợp V . p thuộc trường K . hai phép toán (+ , .) (V,+, .) KGVT K 1. x+y = y+x 2. x+(y+z) = (x+y)+z 3. c V: x+ =x 4. (-x)c V: (-x)+x =0 5. 1.x = x 6. p.(q.x) = (p.q). x 7. (p+q).x = p.x + q.x 8. p(x+y) = p.x + p.y Ví dụ 1: (V, +, .) x, y C V, p C K x = (x1, x2, . . ., xn) , y = (y1, y2, . . ., yn) x+y = (x1+y1, x2+y2, . . ., xn+yn) p.x = (px1, px2, . . ., pxn) Cn K= C V= R R C ( Cn=R , C) (V,+,.) n Ví dụ 2: ( R2, +, . ) KGVT? (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y2, x2+y1) p(x1,x2) = (px1, px2); p R C ĐK1: x+y = y+x Chọn: x=(0,1) , y=(1,1) x+y = y+x ( R2, +, . ) không KGVT x+y = (1,2) y+x = (2,1) Ví dụ 3: ( R,2 +, . ) KGVT? (x1, x2)+(y1, y2) = (x1+y1, x2+y2) p(x1,x2) = (px1, x2); p CR Vậy: (p+q).x = p.x + q.x ĐK7: x = (1, 2) ( ,Rp=3, ,2 +, . q=4 ) (p+q)x =không 7(1, 2)=là(7, 2) px+qx =KGVT 3(1, 2)+4(1, 2) = (3, 2)+(4, 2) = (7, 4) Dạng XÉT XEM W CÓ LÀ KGC PP1: Dùng định nghĩa Tập W khác rỗng kgvt V KGC WVvới hai phép toán (+) (.) định khi: nghĩa V KGVT PP2: Dùng định lý Tập W khác rỗng kgvt V KGC V thỏa đk sau: 1. x,y c W, m c K, ° mx c W ° x+y c W 2. mx+y c W Chú ý V {0 } hai KGC KGVT V Ví dụ 1:CMR: W KGC R3 W = { x = (x1,x2,x3) /x1+x2+x3 = } CM: m c R, x, y c W mx+yc W mx+y= m(x1,x2,x3)+ (y1,y2,y3) = (mx1+y1 ,mx2+y2 mx , 3+y3 mx1+y)1+mx2+y2+mx3+y3 = m(x1+x2+x3)+ (y1+y2+y3) = m.0 + = mx+yc W W KGC Ví dụ 2:CMR: W không KGC W = { x =của (x1R ,x32,x3) /x1+x2+x3 = } 1. x,y c W, m c K Chọn: x=(1,0,0) ° mx c W y=(0,1,0) ° x+y c W x+y= (1,1,0) x thuộc W y thuộc W x+y Không thuộc W W không KGC R3 W t/h nghiệm HPTTT dim Rn = n nhất,n ẩn dim Cn(C) = n  W KGC Rn dim Cn(R) = 2n  dim W = n – r(A) dim Mn(R) = n2 (A ma trận hệ số) Ví dụ1: Mệnh đề sau sai: A. {(1,0),(0,1),(i,0)} ĐLTT C2(R) B. {(1,2)} ĐLTT C2(R) C. {(1,0),(1,1)} hệ sinh R2 D. {(1,0),(0,1),(i,0)} ĐLTT C2(C) Ví dụ2: x = (m,1,-1) y = (2,0,1) u = (2,0,m) {x, y, u} sở R3 A. m B. m C. m -1 D. m x = (m,1,-1) y = (2,0,1) u = (2,0,m) {x,y,u} CS R3 { x,y,u } ĐLTT m 2 2m-2 m A. m B. m -1 m 1 C. m D. m -1 Ví dụ3:CMR {A, B, C, D}là sở 1 M2(R) 1 1 1 0 0 A B dim M2(R)=4 {A,B,C,D} cs M2(R)  {A,B,C,D} ĐLTT xA+yB+zC+tD= C D x+y+z+t z+t x+y+z+t y+z+t z+t t x=y=z=t=0 y+z+t t = = = = {A,B,C,D} ĐLTT {A,B,C,D}là CS M2(R) = 0 0 Ví dụ4: y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 M= dimM=2 {y, u, v}là hệ sinh M= A. m = dimM=2 r{y, u, v}=2 B. m = C. m = D. m = y=x2+mx+2 u=3x2+2x v=2x2+5x+1 r{y, u, v}=2 y THTT u, v y=tu+kv x2+mx+2= t(3x2+2x) + k(2x2+5x+1) )x+( t+k ) x2+mx+2= ( 3t+2k)x2+( 2t+5k 3t+2k = 2t+5k = m t+k = 3t+2k = 2t+5k = m t+k = A. B. C. D. m=5 m=6 m=7 m=8 t = -1 k= m= Ví dụ5: U={x=(x1,x2,x3,x4)/x1-3x2+2x3+2x4=0} V={x=(x1,x2,x3,x4)/2x1-2x2+5x3+6x4=0} Tìm số chiều U+V dim(U+V) = dimU + dimV - dim (U V) U dimU=4-1 =3 dimV=4-1 =3 dim(U V) = 4-2=2 dim(U+V)=4 U BÀI ( PHẦN ) Dạng TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỊNH NGHĨA: B = {x1, x2, . . . , xn} sở V x = (t1, t2, . . . , tn) t1 x = t1x1 + t2x2 +. . . + tnxn t.2 x= . tn Ví dụ1: Trong R3, tìm tọa độ x = (1, 0, 3)/B B = {(1,1,0); (1,0,1); (0,1,1)} t x = t(1,1,0) + m(1,0,1) + p(0,1,1) (1,0,3) = ( t+m, t+p, m+p ) x= m p (1, 0, 3) = ( t+m, t+p, m+p ) t = -1 t+ m = m=2 t+ p = m+p=3 p=1 -1 x= Ví dụ2: Trong P2[X], tìm tọa độ x=2x2+x-3 B = { 1, (x-1), (x-1) } x = t.1 + m(x-1) + p(x-1) t p = ( )x + ( -2m-2p )x + ( t+m+p) x= m p 2x2+2x-3 = ( p)x2 + ( -2m-2p )x + ( t+m+p) p= t = -1 m = -3 -2m -2p = p=2 t+m+p = -3 -1 x = -3 [...]...BÀI 4 ( PHẦN 2 ) PP: Dùng định lý Tập con W khác rỗng của kgvt V là KGC của V khi thỏa một trong 2 đk sau: 1 x,y c W, m c K, ° mx c W ° x+y c W 2 mx+y c W Chú ý V và { } là hai 0 KGC của KGVT V Ví dụ 3:CMR: W là KGC của R3 W = { x=(x1,x2,x3)/ 1 1 0 0 A= 2 3 -1 0 d2-2d1 1 1 0 0 0 1 -1 0 x1 + x2... (0,0,0) 1 1 1 1 3 0 -2 -1 m 0 2m-2 = 0 m =1 BÀI 4 ( PHẦN 3 ) ĐỘC LẬP TUYẾN Dạng 3 TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH PP1: Dùng định nghĩa PP2: Dùng tính chất PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết với hệ vectơ PP2: Dùng tính chất (ĐLTT) x= 0 {x} x = 0 ĐLTT 2 { x, y } ĐLTT y = kx {x1, x2, , xn} ĐLTT 3 y không là thtt của x1, x2, , xn { y, x1, x2, , xn } ĐLTT M N M ĐLTT 4 N ĐLTT 1 U Dùng tính chất ( PTTT) 1... của x1, x2, , xn { y, x1, x2, , xn } PTTT U 4 M N M PTTT N PTTT Trong M2(R) xét sự ĐLTT, Ví dụ1: { PTTT của A , B } A= A B -1 -3 1 -2 B= 0 (ma trận đơn vị) k.A { A, B } ĐLTT 1 0 1 -2 Trong P2[x], cho M={u, v, w} Ví dụ2: u=x2+x +4 v=2x2-x+1 w=-x2-x+m Tìm m để M ĐLTT u 0 ( 0 = 0x2+0x+0 ) v ku { u, v } ĐLTT M ĐLTT w không là thtt của u, v u=x2+x +4 v=2x2-x+1 w=-x2-x+m w không là thtt của u, v không... (mti+ki)xi = kixi tixi + n i=1 n i=1 pixi mu+vc là KGC của V mu+vc kixi U U W= Nếu U và W là KGC của V thì các tập hợp sau đây cũng là KGC củatổng của U và W V U+W: là U GHI CHÚ: U W: là giao của U và W U + W: là tổng trực tiếp của U và Wlà KGC sinh bởi M : ĐỘC LẬP TUYẾN Dạng 3 TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH PP1: Dùng định nghĩa PP2: Dùng tính chất PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết với hệ... } ĐLTT M ĐLTT w không là thtt của u, v u=x2+x +4 v=2x2-x+1 w=-x2-x+m w không là thtt của u, v không tồn tại hai số thực k,t thỏa: w=ku+tv không tồn tại hai số thực k,t thỏa: _ k+2t = 1 _ t =_ 1 k 4k+t = m _ m 4 khác PP3: Dùng hạng của ma trận liên kết Nếu xếp hệ vectơ trong Rn theo dòng hoặc theo cột thành một ma trận A Hệ PTTT r(A)< số Khi đó: vectơ của hệ r(A)= số vectơ của hệ Hệ ĐLTT ... C2(R) (t1, t2 c R) t1-t2 = 0 t1+t2 = 0 (*) -t2 = 0 t1 = 0 t1-t2+i(t1+t2) = 0 -t2+it1 (*) = 0 C2(R) (t1, t2 c C) Chọn t1 = 1, t2 = i (*) 1-i+i(1+i) = 0 -i+i = 0 t1, t2 thỏa (*) { x, y } pttt Ví dụ2: Trong kgvt V, cho x, y, z ĐLTT Tìm m để u, v, w PTTT u=x+y-2z v=x+3y-z w=y+mz u, v, w PTTT k, t, p không đồng thời bằng 0: ku+tv+pw = 0 E u=x+y-2z v=x+3y-z w=y+mz  ku+tv+pw = 0 k( x+y-2z )+ t( x+3y-z)+ p( y+mz... x3 = t (t CR) x1= -t x2= t x3= t W = { x = ( -t, t, t ) (t CR) } / x = ( -t, t, t ) c W y = ( -m, m, m ) KC R kx+y = ( -kt-m , kt+m, kt+m ) Đặt: p=kt+m kx+y = (-p, p, p) kx+yc W W là KGC của R3 Ví dụ 4: CMR: Nếu U và W là KGC U+W = { x+y/ x c U và y c W } của V thì: U W = { x/ x cU và x cW } là KGC của U+W V mc R, u, vc U+W mu+vc U+W u c U+W u=x+y, x c U,y c W v c U+W v=z+t, z c U,t c W mu+v = m(x+y)+(z+t) . 0 x 2 = 0 - x 3 x 2 x 1 + = 0 x 2 = 0 - x 3 x 2 x 3 = t x 2 = t x 1 = -t (t R) C x 3 = t x 2 = t x 1 = -t x = ( -t, t, t ) y = ( -m, m, m ) K R C W = { x = ( -t, t, t ) / } (t. 2) ( , +, . ) R 2 là KGVT? ĐK7: 3(1, 2)+ 4( 1, 2) = (3, 2)+ (4, 2) (7, 4) = Vậy: (p+q).x = p.x + q.x p(x 1 ,x 2 ) (p+q)x = px+qx = ( , +, . ) R 2 không là KGVT Dạng 2 XÉT XEM W CÓ. ( PHẦN 1 ) BÀI 4 Dạng 1 XÉT XEM V CÓ LÀ KGVT PP: Dùng định nghĩa . x, y, z thuộc tập hợp V . p thuộc trường K . hai phép toán (+ , .) (V,+, .) là KGVT trên K khi và chỉ khi (V,+,