Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 4 - Nguyễn Văn Thùy

Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 4: Đạo hàm, vi phân cung cấp cho người học các kiến thức về Hàm một biến bao gồm: Hệ số góc của tiếp tuyến, vận tốc tức thời, đạo hàm, đạo hàm cấp cao, quy tắc L’Hospital,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Review Lecture Nguyen Van Thuy  Định lý Nếu f ( x)  g ( x)  h( x) x gần a và lim f ( x)  lim h( x)  L ĐẠO HÀM, VI PHÂN x a thì x a lim g ( x)  L x a HÀM MỘT BIẾN  Định lý lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x) x a x a 10/31/2010 Review Toan C1-Nguyen Van Thuy Định nghĩa Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu  f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a  Hàm đa thức f liên tục khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó  Hàm phân thức hữu tỷ  Hàm thức  Hàm mũ  Hàm logarithm  Hàm lượng giác  Hàm lượng giác ngược  lim f ( x)  f (a) x a  Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục tại x=1 10/31/2010  arctan ( x  1) , x  f ( x)    x  3x  a , x   x2  Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3  , ,   , .0,1 , 00 , 0  dạng vô định  Các giới hạn bản   u  sin u  1  1, lim 1    e, lim(1  u)1/ u  e u  u 0 u  u Ví dụ Tính tan x a) lim x 0 x 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4 Hệ số góc của tiếp tuyến  u 0 Định lý Tất cả những hàm sau liên tục miền xác định 10/31/2010 Review lim 4-2 Review   x a   b) lim 1   x   2x  Toan C1-Nguyen Van Thuy  Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành và đường thẳng (d): y = ax+b? Hệ số góc của đường thẳng qua điểm A(xA,yA) và B(xB,yB)? Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a))? x ktt  lim h 0 4-5 10/31/2010 f ( a  h)  f ( a ) h Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-6 Hệ số góc của tiếp tuyến Vận tốc tức thời   Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời điểm t là s = f(t) Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm t=a+h v  f ( a  h)  f ( a ) h Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a v(a)  lim h 0 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-7 f ( a  h)  f ( a ) h 10/31/2010 Vận tốc tức thời Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-8 Đạo hàm  Định nghĩa Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu f’(a), được xác định bởi f '(a)  lim h 0 f ( a  h)  f ( a ) h nếu giới hạn đó tồn tại  Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a)) y = f’(a)(x-a) + f(a) 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-9 10/31/2010 Đạo hàm  Ví dụ Tính đạo hàm bằng định nghĩa  Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x) f '( x)  y '  f (3  h)  f (3) (3  h)  (3  h)  12  lim h  h h h2  7h  lim  lim(h  7)  h 0 h 0 h f '(3)  lim h 0 10/31/2010 4-10 Đạo hàm 1) f(x) = x2 + x, tính f’(3) 2) f ( x)  Toan C1-Nguyen Van Thuy x Tính f’(2) Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-11   dy df d   f ( x)  Df ( x)  Dx f ( x) dx dx dx Chú ý f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’ Ví dụ f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = bởi vì f(0)=0 là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng hay sai? 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-12 Đạo hàm  Đạo hàm Các công thức đạo hàm bản (u ) '   u 1u ', (eu ) '  eu u ', (ln u ) '   (u  v) '  u ' v ', (c.u ) '  c.u ' u' u  u  u ' v  uv ' (uv) '  u ' v  uv ',    v2 v ' (sin u ) '  u 'cos u, (cos u ) '  u 'sin u (tan u ) '  u '(1  tan u ), (cot u ) '  u '(1  cot u ) u' u' (arcsin u ) '  , (arccos u) '   1 u2 1 u2 u' u' (arctan u ) '  , (arc cot u ) '   1 u2 1 u2 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy  f '(a)  lim h 0 d 1cos x (e )  e1cos x (1  cos x) '  e1cos x sin x dx  d ln ln cos x ? dx 4-13 10/31/2010    Giới hạn này có thể không tồn tại  Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a  Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-15  Ví dụ  (1) n !   (eax )( n )  a n eax    ( x  a)n 1  xa     (sin x)( n )  sin  x  n  (sin ax)( n )  a n sin  ax  n  2 2   10/31/2010 4-16 ( fg ) '  f ' g  fg ' ( fg ) ''  f '' g  f ' g ' fg '' ( fg ) '''  f ''' g  f '' g ' f ' g '' fg ''' n   (cos ax)( n )  a n cos  ax  n  2  Toan C1-Nguyen Van Thuy Toan C1-Nguyen Van Thuy Công thức Leibniz Công thức   (cos x)( n )  cos  x  n  2   1, x  Đạo hàm cấp cao y ''  ( y ') ', y '''  ( y '') ', , y ( n )  ( y ( n1) ) ' (n) 4-14 f(x)=|x| có f '( x)   và không có đạo hàm 1, x  tại x=0 10/31/2010 Đạo hàm cấp cao  Toan C1-Nguyen Van Thuy Đạo hàm f ( a  h)  f ( a ) h 10/31/2010 Ví dụ  Khi nào đạo hàm tồn tại?  Các tính chất của đạo hàm 4-17  Tổng quát n ( fg )( n )   Cnk f ( k ) g ( n k ) , f (0)  f , Cnk  k 0  Ví dụ a) Tính ( x 10/31/2010 x (100) e ) n! k !(n  k )!  2x 1    x  5x   (n) b) Tính  Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-18 Vi phân Quy tắc L’Hospital  Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx  Vi phân cấp n d y  y ( x).(dx) n (n)  Định lý Nếu lim x a n  y ( n ) ( x).dx n   Ví dụ x 0 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-19 Ví dụ a) L  lim x 0 x  arctan x     x3 0 x 1 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-20 Đạo hàm của hàm ẩn  ln x      x  x  b) L  lim    x im xe x (.0) c) L  lim         d ) L  xl x 1 x  ln x   e) L  lim x1/(2 x 2) (1 ) x  sin x    cos x   sin x   cos x     lim    lim    lim x   x 0 x   x 0 x   x 0 6 10/31/2010 Quy tắc L’Hospital  f '( x) f ( x) f '( x)  lim thì lim x a g ( x) x a g '( x) g '( x) Chú ý Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-, x, x- lim 10/31/2010 f ( x)  có dạng , xa và tồn tại g ( x)  f ) L  lim x x (00 )  Định nghĩa Hàm số y = y(x) cho bởi phương trình F(x,y) = được gọi là hàm ẩn Ví dụ Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình x2 + y2 = Phương trình xác định hai hàm ẩn x 0 y   x2 , y    x2 g ) L  lim( x  e x )1/ x (0 ) x  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-21 10/31/2010 Đạo hàm của hàm ẩn   F ( x, y)    F ( x, y)  x  '  Chú ý y là hàm số theo x, còn x là biến số  Ví dụ Tính y’(x) biết x2 + y2 =  Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được x  yy '   y '   Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-22 Đạo hàm của hàm ẩn Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong cardioid x2  y  (2 x2  y  x)2 tại (0, 1/2) x y 4-23 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-24 Đạo hàm của hàm ẩn  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong lemniscate  2( x2  y )2  25( x2  y ) tại (3, 1)   Định nghĩa Hàm số y = y(x) cho dưới dạng x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho dưới dạng tham số Ví dụ Hàm số y = y(x) cho bởi x = sint, y = y cost, –/2  t  /2 Đó là hàm số y   x , 1  x  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-25 10/31/2010 Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số y '( x)   10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy   4-27 Ví dụ (câu 86) Tìm đạo hàm y’=y’(x) của hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số a) y '  2t 1 t2 c) y '  t 10/31/2010  x  2et  y  t t b) y '   Giải b) x0=2=2et c) 5/e2  t=0 y (t  t ) '  2t    y '( x0  2)  x (2et ) ' 2et Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-28 Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  2t 1 t2  4-29 d) đều sai ' t ' t Đạo hàm cấp của hàm số cho dưới dạng tham số ( y '( x))t' y ''( x)  d ) y '  t Toan C1-Nguyen Van Thuy a) 1/2 10/31/2010   x  ln(1  t )   y  2t  arctan t 4-26 Ví dụ (câu 89) Tìm y’(x) tại x0 = của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số y '( x)  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  x  a cos t , y  b sin t  x '(t )  a sin t , y '(t )  b cos t  y '( x)  y '(t ) / x '(t )  b / a cot t Toan C1-Nguyen Van Thuy dy y '(t )dt y '(t )   dx x '(t )dt x '(t ) Ví dụ Cho hàm số y = y(x) xác định bởi x -1 xt' Ví dụ (câu 92) Tính y’’(x) tại x0 = /4 của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số  x  arctan t a) 10/31/2010   y  ln t b) c) Toan C1-Nguyen Van Thuy d) – 16/2 4-30 Bài tập  Câu 85  câu 104 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-31 ... arctan t a) 10/31/2010   y  ln t b) c) Toan C1-Nguyen Van Thuy d) – 16/2 4- 30 Bài tập  Câu 85  câu 1 04 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4- 31 ... h 0 h f '(3)  lim h 0 10/31/2010 4- 10 Đạo hàm 1) f(x) = x2 + x, tính f’(3) 2) f ( x)  Toan C1-Nguyen Van Thuy x Tính f’(2) Toan C1-Nguyen Van Thuy 4- 11   dy df d   f ( x)  Df ( x)...  y ( n ) ( x).dx n   Ví dụ x 0 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4- 19 Ví dụ a) L  lim x 0 x  arctan x     x3 0 x 1 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4- 20 Đạo hàm của hàm ẩn  ln x     