Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 2 - Nguyễn Văn Thùy

Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 2: Giới hạn cung cấp cho người học các kiến thức: Review, định nghĩa giới hạn, giới hạn một phía, định lý kẹp, các dạng vô định, các giới hạn cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Nội dung Lecture Nguyen Van Thuy GIỚI HẠN  Review  Định nghĩa giới hạn  Giới hạn một phía  Định lý kẹp  Các dạng vô định  Các giới hạn bản 10/31/2010 Review-Hàm số  Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2 Review-Miền xác định–miền giá trị Định nghĩa Hàm số f một quy tắc gán số thực x D với một số thực, ký hiệu f(x), tập E y y = f(x) Miền giá trị • f(x) x x • O Miền xác định f D E 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-3 10/31/2010 Review-Đồ thị  {( x, f ( x)) | x  D} f(1) 10/31/2010 Ví dụ 1/x  x  , điều ý nghĩa chính xác gì? x 1/x 0 x  x Note:  nghĩa + f(x) f(2)  lim (x, f(x)) y 2-4 Giới hạn x Định nghĩa Nếu hàm số f(x) có miền xác định D đồ thị hàm số tập hợp O Toan C1-Nguyen Van Thuy x Toan C1-Nguyen Van Thuy 100 0.001 1,000 0.001 8,000 0.000125 50,000 0.00002 200,000 0.000005 8,000,000 0.000000125 1,250,000,000 0.000000004 x 2-5 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-6 Giới hạn x   Giới hạn xa hữu hạn Không phải “1/x bằng x = ”,  không phải một số f(x)  L x   f(x) nhận những giá trị gần L x nhận tất cả các giá trị đủ lớn, ký hiệu lim f ( x)  L x   f(x)  L x  - f(x) nhận những giá trị gần L x nhận tất cả các giá trị âm có giá trị tuyệt đối đủ lớn, ký hiệu lim f ( x)  L  Ví dụ f ( x)  sin x ,x 0 x sin x lim 1 x 0 x x  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-7 10/31/2010 Giới hạn xa hữu hạn x sinx/x 1.0 0.84147098 0.5 0.95885108 0.4 0.97354586 0.3 0.98506736 0.2 0.99334665 0.1 0.99833417 0.05 0.99958339 0.01 0.99998333 0.005 0.99999583 0.001 0.99999983 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-8 Giới hạn xa hữu hạn  f(x)  L x  a f(x) nhận những giá trị gần L x nhận tất cả các giá trị đủ gần a, ký hiệu lim f ( x)  L x a   10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-9 Định lý (kẹp) Nếu x gần a Chú ý “x gần a”  Xét cả trường hợp xa  Không xét tại x = a, f(x) có thể khơng xác định tại a 10/31/2010 Giới hạn xa hữu hạn  f(x)   x  a f(x) nhận những giá trị lớn (âm hoặc dương) x nhận tất cả các giá trị đủ gần a x a f ( x)  g ( x)  h( x)  Ví dụ Tìm lim f ( x) x 4 x   f ( x)  x2  x  7, x  x a  Ví dụ Chứng minh rằng  lim g ( x)  L x a lim x cos x 0 10/31/2010 2-10 Giới hạn xa hữu hạn lim f ( x)  lim h( x)  L Toan C1-Nguyen Van Thuy Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-11 10/31/2010 0 x Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-12 Giới hạn bên trái  Giới hạn bên trái x 1 Ví dụ Quan sát giá trị f ( x)  | x  1| cho x nhận những giá trị gần nhỏ x1 f(x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 x a xa 2-13 lim f ( x)  L Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-14 Giới hạn bên phải y Nhận xét: f(x)  0.5 Ta nói giới hạn bên phải f(x) tại x=1 0.5, ký hiệu lim x 1 Toan C1-Nguyen Van Thuy x 1  0.5 | x  1| a L x a O x a xa 2-15 x a 10/31/2010 x lim f ( x)  L x a  Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-16 Giới hạn một phía  x a x a Giới hạn bên trái f(x) bằng L x  a f(x) nhận những giá trị gần L x nhận tất cả các giá trị đủ gần a nhỏ a, ký hiệu lim f ( x)  L Định lý lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x) lim f ( x)  L  x a x 2 không tồn tại nên  x a Ví dụ lim  x  , lim Ví dụ Tìm lim  x x 2 2 x x 2 x 1 x 1 | x  1| lim x a  Toan C1-Nguyen Van Thuy f(x) x lim f ( x)  lim f ( x)  L Giới hạn bên phải f(x) bằng L x  a f(x) nhận những giá trị gần L x nhận tất cả các giá trị đủ gần a lớn a, ký hiệu 10/31/2010 a x a  x a 10/31/2010 Giới hạn một phía  x lim f ( x)  lim f ( x)  L x 1 Ví dụ Quan sát giá trị f ( x)  | x  1| cho x nhận những giá trị gần lớn hơn 10/31/2010  L O Giới hạn bên phải  f(x) a 2-17 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-18 Ví dụ Chú ý a) L  lim  x | x  | dạng vô định   , ,   , .0,1 , 00 , 0  x 3 b) L  lim x 6 x  12 | x6| c) L  lim x 2 1  d ) L  lim    x 0  x | x| 2 | x | 2 x Các giới hạn bản  sin u lim 1 u 0 u 1  e) L  lim    x 0  x | x| lim(1  u )1/ u u 0 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-19 10/31/2010 Ví dụ   b) L  lim   cot x  x 0 sin x    x 1  c) L  lim   x  x    x 3 a) L  a) L   10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-21 x c) L  e Toan C1-Nguyen Van Thuy d )L  1   d ) L  e2 2-22 Bài tập Câu 48 L  lim  cos x  sin x  cot x x 0 b) L  e c) L   Câu 49 L  lim cos x  x x 0 10/31/2010 b) L  10/31/2010 Ví dụ a) L  1  cos x     x 0 x sin x 0 1 b) L  c) L   x2  x   Câu 47 L  lim   x  x  x    1/ x x 0  2-20 Câu 26 L  lim   d ) L  lim  cos x  a) L  Toan C1-Nguyen Van Thuy Ví dụ sin 3x a) L  lim x 0 tan x  u 0  1    , ulim 1    e (1 )  u       e (1 ) b) L  e Toan C1-Nguyen Van Thuy  e d ) L    1  e d ) L   cot x c) L  1   2-23  Câu hỏi trắc nghiệm toán A1-ĐHBD  Câu  câu 26  Câu 47  câu 52  Trang 13 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-24 ... gần nhỏ x