Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 3 - Nguyễn Văn Thùy

Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 3: Vô cùng bé - Hàm liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Giới hạn trái, giới hạn phải, vô cùng bé, ứng dụng tìm giới hạn, hàm liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Nợi dung Lecture Nguyen Van Thuy VƠ CÙNG BÉ-HÀM LIÊN TỤC  Review  Vô cùng bé  Ứng dụng tìm giới hạn  Hàm liên tục 10/31/2010 Review-Giới hạn bên trái Toan C1-Nguyen Van Thuy Review-Giới hạn bên phải y x y f(x) a 2-2 a L f(x) x L x x a xa lim f ( x)  lim f ( x)  L x a  x a 10/31/2010 O lim f ( x)  L lim f ( x)  lim f ( x)  L x a x O x a xa Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-3 10/31/2010 Review  x a f ( x)  g ( x)  h( x)  x a x a  10/31/2010 x a Toan C1-Nguyen Van Thuy Các giới hạn bản u x a sin u 0  1    , lim 1    e (1 ) u 0 u  u 0  u 1/ u  lim(1  u )  e (1 ) lim lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x) x a 2-4  , ,   , .0,1 , 00 , 0   lim g ( x)  L Định lý Toan C1-Nguyen Van Thuy dạng vô định lim f ( x)  lim h( x)  L  lim f ( x)  L x a  Review Định lý (kẹp) Nếu x gần a và thì x a x a u 0 2-5 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-6 Vô cùng bé  So sánh các vô cùng bé Định nghĩa Nếu lim  ( x)  thì (x) x a được gọi là vô cùng bé xa  Ký hiệu: (x): VCB(xa)  Ví dụ    lim(1  cos x)  0,lim x   1-cosx, x2 x 0 x 0  là các vô cùng bé x0  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-7 Định nghĩa Giả sử (x), (x) là các VCB xa và giả sử  ( x) lim L x a  ( x) Nếu L=0 thì (x) được gọi là VCB cấp cao (x), ký hiệu (x)=O((x)) Nếu L= thì (x) được gọi là VCB cấp thấp (x) Nếu L0 và hữu hạn thì (x) và (x) được gọi là hai VCB cùng cấp 10/31/2010 Vô cùng bé tương đương   x 0 10/31/2010 sin u u  cos u sin x  nên sin x x tan u x Toan C1-Nguyen Van Thuy  (x)(x) (tính phản xạ)  (x)(x), (x)(x)  (x)(x) (tính bắc cầu)  Nếu (x)=O((x))  (x)+(x)(x)   ( x) 1 ( x)   ( x)   ( x) 1 ( x)  1 ( x)    ( x) 1 ( x) Toan C1-Nguyen Van Thuy u e 1 u 2-9 10/31/2010 ln(1  u ) u arcsin u u arctan u u n 1 u 1 u n Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-10 Ứng dụng tính giới hạn   Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Khi tính giới hạn tỷ số VCB mà tử và mẫu là tổng các VCB khác cấp thì ta chỉ giữ lại các VCB cấp thấp nhất ở tử và mẫu Ví dụ Câu 28 arcsin x  arcsin x  3arcsin x x 0 x3  x  x a) L  b) L  c ) L  d ) L  L  lim  ( x) 1 ( x)  ( x)  ( x)  lim  lim  x  a x  a  ( x) 1 ( x)   ( x) 1 ( x) 10/31/2010 u2 u Tính chất của VCB tương đương  Khi u0 thì Ví dụ sinx và x là các VCB x0 và lim 2-8 Các VCB tương đương bản  ( x)  thì (x), Nếu L=1 nghĩa là lim x a  ( x) (x) được gọi là hai VCB tương đương, ký hiệu (x)(x)  Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-11 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-12 Ví dụ  Câu 29 L  lim x 0  (1  cos x) x sin x tan x a) L   Hàm liên tục b) L  Câu 37 lim f ( x)  f (a) x a c) L  d )L   lim f ( x)  lim f ( x)  f (a) x a  cos x  ln(1  tan 2 x)  arcsin x L  lim x 0  cos x  sin x a) L  b) L  c ) L  d ) L  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy   2-13 f(a) xác định (nghĩa là aDf)  lim f ( x) tồn tại  lim f ( x)  f (a) Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-14  Ví dụ Đồ thị của hàm f hình vẽ sau Tại những điểm nào hàm số không liên tục? Tại sao? x a x a 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-15 10/31/2010 Hàm liên tục  f liên tục khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Hàm liên tục Chú ý Hàm f liên tục tại a phải thỏa điều kiện  x a f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a 10/31/2010 Hàm liên tục  Định nghĩa Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu 2-16 Hàm liên tục Định lý Tất cả những hàm sau liên tục miền xác định  Ví dụ  f (t )  t t  gián đoạn tại t=1 và liên tục tại tất cả các điểm còn lại  Hàm đa thức  Hàm phân thức hữu tỷ  Hàm thức  Hàm mũ  Hàm logarithm  Hàm lượng giác  Hàm lượng giác ngược 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy   Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-17 g()=tan gián đoạn tại   (n  ) , n và liên tục tại tất cả các điểm còn lại  sin x ,x  sin x    f (0) f ( x)   x liên tục , vì lim x 0 x  1, x  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-18 Hàm liên tục  Ví dụ Với giá trị nào của c thì hàm số sau liên tục ? cx  x, x  f ( x)    x  cx, x   Ví dụ Tìm a, b để hàm số sau liên tục   x2  ,x    x  f ( x)  ax  bx  3,  x   x  a  b, x    10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-19 ... Toan C1-Nguyen Van Thuy u e 1 u 2-9 10 /31 /2010 ln(1  u ) u arcsin u u arctan u u n 1 u 1 u n Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-1 0 Ứng dụng tính giới hạn   Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Khi... L  c ) L  d ) L  10 /31 /2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy   2- 13 f(a) xác định (nghĩa là aDf)  lim f ( x) tồn tại  lim f ( x)  f (a) Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-1 4  Ví dụ Đồ thị của... lim 2-8 Các VCB tương đương bản  ( x)  thì (x), Nếu L=1 nghĩa là lim x a  ( x) (x) được gọi là hai VCB tương đương, ký hiệu (x)(x)  Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-1 1 10 /31 /2010