Bài giảng Toán cao cấp - Lecture 6: Hàm nhiều biến cung cấp cho người học các kiến thức về Đạo hàm riêng và ứng dụng bao gồm: Hàm hai biến, đồ thị, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp hai, cực trị có điều kiện,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Hàm hai biến Lecture Nguyen Van Thuy HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Hàm biến là một quy tắc gán mỗi cặp số thực (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 với nhất một số thực ký hiệu 𝑓(𝑥, 𝑦) Tập D được gọi là miền xác định và miền giá trị của hàm f là tập 𝑇 = *𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦)𝐷+ 𝑦 Đạo hàm riêng và ứng dụng 𝐷 (𝑥, 𝑦) 𝑥 𝑧 𝑓 𝑂 𝑓(𝑥, 𝑦) 11/21/2010 Ví dụ 6-2 Ví dụ Cho hàm số f ( x, y ) xy x y2 Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(𝑥 + 𝑦 − 1) 2.1.2 2.1.0 0 b) f (1, 0) 2 2 02 2.0.0 : không xác định c) f (0, 0) 02 a) Tính 𝑓(1,1) a) f (1, 2) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy b) Tính 𝑓(𝑒, 1) c) Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓 Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + − 𝑥 − 𝑦 d) Miền xác định: 𝐷 = *(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)+ 6-3 11/21/2010 Đồ thị Toan C1-Nguyen Van Thuy Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-4 Đồ thị Định nghĩa Đồ thị của hàm 𝑓 là tập hợp G {( x, y, z) 𝑓 𝑥, 𝑦 = | z f ( x, y),( x, y) D} 𝑧 Ví dụ Dùng Maple, vẽ đồ thị hàm số sau 𝑥2 + 𝑦2 plot3d(sqrt(x^2+y^2), x = -10 10, y = -10 10) (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑆 Mặt cong 𝑆 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) O 𝑦 D 𝑥 11/21/2010 (𝑥, 𝑦, 0) Toan C1-Nguyen Van Thuy Miền xác định 6-5 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-6 Vẽ đồ thị Đạo hàm riêng Ví dụ Vẽ đồ thị các hàm sau 𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 3𝑦 )𝑒 −𝑥 Định nghĩa Đạo hàm riêng của hàm 𝑓 theo biến 𝑥 tại điểm (𝑎, 𝑏) −𝑦 f x' (a, b) lim h 0 𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 Tương tự f y' (a, b) lim h 0 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-7 11/21/2010 Đạo hàm riêng Khi tính ' x f , ta xem 𝑦 là hằng số ' Khi tính f y , ta xem 𝑥 là hằng số 6-8 Ví dụ Tính các đạo hàm riêng cấp của hàm số 𝑧 = 𝑥 𝑦 Maple diff(x^y,x) Tính f (1, 2), f (1, 2) diff(x^y,y) ' y Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-9 11/21/2010 Đạo hàm riêng Toan C1-Nguyen Van Thuy Ví dụ Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑥 − ' x f ( a, b h) f ( a, b) h Đạo hàm riêng Nhận xét f (a h, b) f (a, b) h 𝑐) 𝑑𝑧 = 11/21/2010 Định nghĩa 𝑥−𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 𝑎) 𝑑𝑧 = 𝑥−𝑦 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 2(𝑥 − 𝑦) 6-10 Đạo hàm riêng cấp Câu 259 Tìm vi phân cấp của hàm 𝑧 = ln Toan C1-Nguyen Van Thuy 𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 𝑏) 𝑑𝑧 = 𝑥−𝑦 𝑏) 𝑑𝑧 = Toan C1-Nguyen Van Thuy 𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 2(𝑥 − 𝑦) 6-11 f xx" ( f x' )'x f xy" ( f x' )'y f yx" ( f y' )'x f yy" ( f y' )'y Câu 268 Tìm vi phân cấp hai 𝑑2 𝑧 của hàm 𝑧 = 𝑥 2𝑦3 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-12 GTLN-GTNN địa phương GTLN-GTNN địa phương ' x x0 Tìm điểm dừng fx ' f y y y0 Tính D f xx" ( x0 , y0 ) f yy" ( x0 , y0 ) ( f xy" ( x0 , y0 )) Nếu 𝐷 < 0: 𝑀(𝑥0, 𝑦0) là điểm yên ngựa Nếu 𝐷 = 0: chưa có kết luận Nếu 𝐷 > f ( x0 , y0 ) : 𝑓 đạt GTNN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0) f xx" ( x0 , y0 ) : 𝑓 đạt GTLN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0) " xx 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-13 maximize(𝑥 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 + 2𝑥 + 16𝑦,location) minimize(𝑥 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 + 2𝑥 + 16𝑦,location) −7, *,*𝑥 = 1, 𝑦 = −1+, −7-+ 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-15 𝑧 đạt cực đại tại 𝐴(−1,0) 𝐵(1, −2) b) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) 𝐵(1, −2) c) d) 11/21/2010 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑀 −1,1 c) 𝑧 đạt cực đại tại 𝑁 1, −1 d) 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑁 1, −1 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-14 Ví dụ Tìm GTLN, GTNN địa phương điểm yên ngựa (nếu có) của các hàm số sau 𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 3𝑥𝑦 − 15𝑥 − 12𝑦 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-16 Bài tập Câu 300 Tìm cực trị hàm 𝑧 = 𝑥 𝑦 + − 3𝑥 + với điều kiện 𝑥 + 𝑦 + = Khẳng định sau đúng? a) b) 𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥 − 4𝑦 Cực trị có điều kiện 𝑧 đạt cực đại tại 𝑀 −1,1 GTLN-GTNN địa phương Maple a) 11/21/2010 GTLN-GTNN địa phương Câu 290 Cho hàm 𝑧 = 𝑥 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 + 2𝑥 + 16𝑦 Khẳng định sau đúng? Câu 258 > câu 307 𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) đạt cực đại tại 𝐵(1, −2) 𝑧 khơng có cực trị Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-17 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 6-18 ... Toan C1-Nguyen Van Thuy 6- 13 maximize(