BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP TOÁN CAO CẤP C

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG TOÁN CAO CẤP C Giảng viên: Bùi Đức Thắng NĂM HỌC 2013 – 2014 MỤC LỤC CHƯƠNG -TRANG CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM MỘT BIẾN - CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN - 30 CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 46 CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - 78 CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - 95 CHƯƠNG 6: CHUỖI SỐ - 121 CHƯƠNG 7: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 134 CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 152 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN § BỔ TÚC VỀ TẬP HƠP SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ 1.1 Một số tính chất tập hợp số thực R Trong ℝ có tính chất quy ước sau ñây: i) −∞ < x x (+ ∞) = − ∞, x (−∞) = + ∞ , x < x = 0, ∀x ∈ ℝ +∞ x = 0, ∀x ∈ ℝ −∞ 1.2 Các khoảng R Khoảng đóng R Khoảng mở R { } ⋅ (a, + ∞) = {x ∈ ℝ a < x } ⋅ (−∞, b ) = {x ∈ ℝ x f (x ), ∀ x1, x ∈ X Hàm số f: X ③ Y tăng giảm gọi hàm ñơn ñiệu Hàm số tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt gọi hàm đơn điệu nghiêm ngặt Ví dụ Hàm số f (x ) = x − tăng nghiêm ngặt ℝ Hàm số g (x ) = 2x − giảm nghiêm ngặt khoảng (−∞, 0] tăng nghiêm ngặt khoảng [0, + ∞) e) Hàm số hợp Cho ba tập hợp X , Y , Z ⊂ ℝ Giả sử f : X → Y & g : Y → Z hai hàm số Với x ∈ X , y = f (x ) ∈ Y , g (y ) = g[ f (x )] Hàm số h : X        → Z gọi hàm số hợp hai hàm số f g , ký x ֏ h (x ) = g  f (x ) hiệu h = g f Như (g f )(x ) = g[ f (x )] h) Hàm số ngược ♦ Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp f : X →Y song ánh từ X lên Y Khi với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X cho f (x ) = y Ánh xạ g : Y   → X gọi ánh xạ ngược ánh xạ f , kí hiệu f −1 y ֏ g (y ) = x ▼ Chú ý Nếu g :Y → X ánh xạ ngược song ánh f : X →Y thì: g[ f (x )] = x , ∀x ∈ X & f [g (y )] = y, ∀y ∈ Y Định lý Giả sử hàm số f : X → ℝ tăng (giảm) nghiêm ngặt tập hợp số thực X Khi f song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y = f (X ) hàm số ngược f −1 :Y → X f tăng (giảm) nghiêm ngặt Y 1.4.4 Hàm số sơ cấp a) Hàm số mũ y = a x , với ≠ a > Hàm mũ có miền xác định ℝ , miền giá trị (0, + ∞) Nếu a > hàm đồng biến, < a < hàm nghịch biến b) Hàm số lôgarit y = loga x , với ≠ a > Hàm lơgarit có miền xác định (0, + ∞) , miền giá trị ℝ Nếu a > hàm đồng biến ) tập hợp Vδ (x ) = x ∈ ℝ x − x < δ ♦Định nghĩa (Định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε − δ ) Giả sử I khoảng chứa ñiểm x f (x ) hàm số xác ñịnh tập I \ {x } Ta nói số thực L giới hạn hàm số f (x ) x dần tới x viết lim f (x ) = L hay f (x ) → L x → x 0, ∀ ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : x →x 0 < x − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε ▼ Chú ý Khơng qn điều kiện x − x > , tức x ≠ x Hàm số f (x ) xác định hay khơng xác định x Trong trường hợp f (x ) xác ñịnh x , giới hạn L hàm số f (x ) khơng có quan hệ với f (x ) ♦Định nghĩa (Định nghĩa giới hạn hàm số theo dãy) Giả sử I khoảng chứa ñiểm x f (x ) hàm số xác ñịnh tập I \ {x } Ta nói số thực L giới hạn hàm số f (x ) x dần tới x ( ) viết lim f (x ) = L hay f (x ) → L x → x , ∀ {x n } ⊂ I \ {x } mà lim x n = x x → x0 n →∞ ⇒ lim f (x n ) = L n →∞ 2.1.2 Các giới hạn phía Nếu x < x mà x → x ta quy ước viết x → x 0− x > x mà x → x ta quy ước ta viết x → x 0+ ♦ Định nghĩa (Giới hạn bên trái) Số L ñược gọi giới hạn trái hàm số f (x ) x → x 0− ∀ ε > 0, ∃ δ > : < x 0− − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε Khi viết L = lim f (x ) = f (x 0− ) x →x − ♦ Định nghĩa 10 (Giới hạn phải) Số L ñược gọi giới hạn phải hàm số f (x ) x → x 0+, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 < x − x 0+ < δ ⇒ f (x ) − L < ε Khi viết L = lim f (x ) = f (x 0+ ) x →x 0+ Định lý Điều kiện cần ñủ ñể lim f (x ) = L lim f (x ) = lim f (x ) = L x →x x →x 0− x →x 0+ 2.1.3 Giới hạn hàm số x → + ∞ x → -∞ ♦ Định nghĩa 11 a) Giả sử X tập hợp số thực không bị chặn f (x ) hàm số xác ñịnh X Ta gọi số thực L giới hạn hàm số f (x ) x → +∞ viết lim f (x ) = L cho trước số dương ε nhỏ tùy ý, số thực M x →+∞ cho (∀x ∈ X ), x > M ⇒ f (x ) − L < ε b) Giả sử X tập hợp số thực không bị chặn f (x ) hàm số xác ñịnh X Ta gọi số thực L giới hạn hàm số f (x ) x → −∞ viết lim f (x ) = L cho trước số dương ε nhỏ tùy ý, số thực M x →−∞ cho (∀x ∈ X ), x < M ⇒ f (x ) − L < ε 2.1.4 Giới hạn vô cực ∞ ♦ Định nghĩa 12 Giả sử số thực x ñiểm thuộc khoảng I f (x ) hàm số xác ñịnh tập hợp I \ {x } a) Ta gọi +∞ giới hạn hàm số f (x ) x → x viết lim = + ∞ hay x → x0 f (x ) → + ∞ x → x , với số thực A cho trước bất kì, tồn số δ > cho ( ∀ x ∈ I ) < x − x < δ ⇒ f (x ) > A b) Ta gọi −∞ giới hạn hàm số f (x ) x → x viết lim =−∞ hay x → x0 f (x ) →−∞ x → x , với số thực A cho trước bất kì, tồn số δ > cho ( ∀ x ∈ I ) < x − x < δ ⇒ f (x ) < A 2.1.5 Giới hạn x → ∞ ♦ Định nghĩa 13 Giả sử X tập hợp số thực không bị chặn f (x ) hàm số xác ñịnh X Ta viết : a) lim f (x ) = + ∞ ∨ f (x ) → + ∞ x → + ∞ với số thực A cho trước bất x → +∞ kì, tồn số thực B cho ( ∀x ∈ X ) x > B ⇒ f (x ) > A b ) lim f (x ) = −∞ ∨ f (x ) →−∞ x → + ∞ với số thực A cho trước bất kì, x → +∞ tồn số thực B cho ( ∀x ∈ X ) x > B ⇒ f (x ) < A ⋇ Các ñẳng thức: lim f (x ) = + ∞, lim f (x ) =−∞, lim f (x ) = + ∞, ñược ñịnh x →x 0+ x →x 0− x →−∞ nghĩa tương tự 2.1.6 Một số ñịnh lý giới hạn hàm số 1) Nếu tồn giới hạn: lim f (x ) = A & lim g(x ) = B; A, B ∈ ℝ Khi đó: x →x ( ) x →x a ) lim f (x ) ± g(x ) = lim f (x ) ± lim g(x ) = A ± B x →x ( ) x →x x →x b ) lim f (x ) g(x ) = lim f (x ) lim g (x ) = A B x →x x →x x →x lim f (x ) x → x0 f (x ) A c) Nếu B ≠ ⇒ lim = = x →x g (x ) lim g(x ) B x →x d ) lim ( f (x )) g (x ) x →x g (x )   x lim →x   =  lim f (x ) = AB  x → x   e) Từ lim f (x ) = A ⇒ lim f (x ) = A x →x x →x f) Nếu lim u (x ) = u & f (u ) xác ñịnh u lân cận u thì:  x →x    lim f u(x ) = f  lim u(x ) = f (u )   x →x  x →x  2) Nếu f (x ) ≤ g (x ) lân cận điểm x lim f (x ) ≤ lim g(x ) x →x x →x 3) Nếu f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ) ∀x ∈Vδ (x )& lim f (x ) = lim g(x ) = L ⇒ lim g(x ) = L x →x x →x x →x 2.2 Một số giới hạn ñáng nhớ sin x =1 x →0 x lim tgx tg αx = ⇒ lim =1 x→0 x αx → αx lim sin αx =1 α x → αx lim lim tgx = + ∞ x →+ π x →0 10 13 lim arctgx = x → +∞ π lim arc cot gx = π x →−∞ 11 lim a x = ; 14 16 lim log a x = −∞, x →0+ 17 ( a > 1) 19 lim ex −1 x →0 22 25 lim x →+∞ lim arctgx =− x →−∞ π lim a x = + ∞, x →+∞ 12 x x α lim a x = + ∞ ; x →−∞ 15 ( < a < 1) ( < a < 1) =1 = 0(α > 0) 20 lim log a x = −∞ x →+∞ ( < a < 1) lim ax −1 x →0 23 lim x →+∞ x lim (1 + x ) = e x →0 26 arcsin x =1 x lim tgx = −∞ x →− π (a > 1) x → +∞ lim x xp e x = ln a =0 x    lim 1 +  = e x →∞  x   18 lim arccotgx = x →+∞ lim a x = 0, ( a > 1) x →−∞ lim log a x = + ∞, x →+∞ ( a > 1) lim log a x = + ∞ x → 0+ ( < a < 1) 21 (1 + x )α − =α lim x →0 x 24 lim x →0 27 ln (1 + x ) x =1 x    lim 1 −  = x →∞  x  e  2.3 Vô bé vô lớn 2.3.1 Định nghĩa vô bé, vô lớn ♦ Định nghĩa 14 Giả sử x ñiểm khoảng (a, b) f (x ) hàm số xác ñịnh tập hợp (a, b) \ {x } 147 3 Ta có: A = − = − = − = 1.2.1 = 0−8 0 A11 = 11; A21 =− 15; A31 =− 3, A12 = − 3; A22 = 5; A32 = 1; A13 =− 6; A23 = 8; A33 =  11 − 15 − 3  11 − 15 −     2   −1 ⇒ A = − 1 = − 23 25 21      − 2 − 1 ⋇ Phương pháp Tìm ma trận nghịch đảo phép biến ñổi sơ cấp Giả sử A ma trận không suy biến cấp n Ta viết ma trận A “cạnh” ma trận ñơn vị ( ) cấp I n , ta ñược A I n , dựa vào : Định lý Nếu thực phép biến ñổi sơ cấp ma trận khơng suy biến A ma trận đơn vị I n mà ma trận A biến thành I n I n biến thành A−1 Q trình diễn Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng tả theo sơ đồ sau : A I n  → I n A −1 ( ( ) ) Ví dụ 23  0   Tìm ma trận nghịch ñảo ma trận: A =  −  3 5   Giải 1 0     1 0 1       0 − 1 0 ∼ 0 − 1 0 ∼ 0 − 3 0 1 0 − − 1 0 −   1 0 1 11 − 15 −     2 2    ∼ 0 − 2  ∼ 0 − 23 25 21  ⇒ A−1 =     0 − 1 0 − 1  0 1   0 ∼ 0   1 0  11 − 15 −   2  −   2  − 1   ⋇ Phương pháp Dùng máy tính bỏ túi ñể tìm ma trận nghịch ñảo (Cấp cấp 3) Ví dụ 24  0   Tìm ma trận nghịch đảo ma trận: A = − 5    6 0  − 1  − 1 148 A) Máy tính CASIO – fx – 570MS • MODE MODE SH I FT = MODE MAT 1 = = = = = AC = = = MAT SH I FT = ( −) = x −1 = • Màn hình xuất thành phần b 11 ma trận nghịch ñảo Nháy trỏ sang phải lần ta ñược thành phần b 12 ; b 12 ; b 21; b 22 ; ⇒ Kết :  − 21 35   88 44 88  −1 3 − 5  A =  22 11 22    9  − 44 − 22 44  b) Máy tính CASIO – fx – 570ES • MODE = = = AC = = SH I FT = ( −) x −1  − 21 35   88 44 88   −1 − 5  • Màn hình xuất kết quả: A =  22 11 22    9  − 44 − 22 44  = = = = 149 BÀI TẬP Các phép toán ma trận TT ĐỀ BÀI ĐÁP SỐ 0 − 1   Tính A3 − 3A Cho ma trận A =  1 2 0 − 1 1 ; B =  1 2 1 − Cho ma trận: A =  − − 5  ; C =   3  1  0 Tính: a ) B t A − 3B t ; b) A(B + C ); c ) A − BC t 1 1 − 1  , b ) A =   Tính An nếu: a ) A =   − 1 0 1   λ    Tính B n nếu: B =   λ Tính ñịnh thức sau: 3−4 det A = − 238 −3 7−4 35 A= ; B = 5 ; C = −1−2 10 3−2 0 0 0 D = 12 ; − − 12 18 15 det B = 567 det C = − 3 0 0 E = 0 0 3 det D = 867 det E = − 10 Khơng tính, chứng minh: 3−1 A = 10 = 0; B = 4− −3 −5 =0 −7 −1 −8 Áp dụng Tính chất 5, Tính chất Chứng minh rằng: b +c c +a a +b a b c b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 = a1 b1 c1 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a2 b2 c2 Khai triển theo Tính chất 150 1 Cho ñịnh thức D = x y z Chứng minh rằng: x y z Khai triển định thức phân tích thành nhân tử D ⋮ (x − y ) ∨ D ⋮ (y − z ) ∨ D ⋮ (z − x ) Giải phương trình, bất phương trình định thức a) Tìmx biết rằng: x x +1 =0 −4 x +1 b) Tìmx biết rằng: cos 8x − sin 5x =0 sin 8x cos 5x x = − a)   x = − π kπ b) x = + ,(k ∈ℤ) Tìmx biết rằng: x −x −1 = (x + 10) 1  x = − + 22   x2 = − − 22 Tìmx biết rằng: (x + 2) − 1 −2 > −3 x −6 < x < − 10 11 12 Hạng ma trận Hãy tìm hạng ma trận sau: 13 14  − 6  3 − 1    − 3      A = 0 3 , B =   , C =      5 − 0  − − 2 1     − − 1  4    11 10 5    − − 2 Tùy theo giá trị a, tìm hạng ma trận: 1 3   A = 0 3   1 a  Ma trận nghịch đảo 15 Tìm ma trận nghịch ñảo ma trận sau hai 2 7     4   phương pháp: A = 6 4 ; B =  3     5 − − 3 − − 3 i rankA = i rankB = i rankC = i Nếu a ≠ rankA = i Nếu a = rankA = 151 16 17 1 1 1   1 − − 1  Cho ma trận: B =  1 − 1 − 1   1 − − 1 Tìm B −1 phương pháp 1 3   Cho ma trận: A = 2 3 với a ∈ ℝ   2 − a  a) Tìm a để A khả nghịch b) Tìm A−1 phương pháp Giải phương trình ma trận 18 1 5 − − 1   + 2X =   a) Tìm ma trận X biết:  1 − 3  0 0 − 1 1 5      b) Tìm ma trận Y biết:  Y =  1 2 1 − 3   1 1 5  =       0 1 − 3  − 1 − −2  Z +  a) Tìm ma trận Z biết:    1 2  0 − 1 − − 2   =   b) Tìm ma trận M biết: M         19 20 1 − 3   a) Tìm ma trận X biết: 3 − 4 X =   2 − 0  − 0   10 7   10 8   1 − 3  − 0      b) Tìm ma trận Y biết: Y 3 − 4 = 10 7     2 − 0 10 8 Dùng ma trận ñể giải hệ phương trình sau:    7x + 2y + 3z = 15  x + y − 2z = a )  5x − 3y + 2z = 15 ; b )  2x + 3y − 7z = 16   10x − 11y + 5z = 36  5x + 2y + z = 16   Hết 152 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính(hpttt) Hệ phương trình tuyến tính m - phương trình n - ẩn hệ có dạng:  a x + a x + ⋯ + a x + ⋯ + a x = b  11 1n n 1j j 12  a x + a x + ⋯ + a x + ⋯ + a x = b 2j j 2n n 22 2  21 (1) ⋮  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮  a x + am 2x + ⋯ + am j x j + ⋯ + am n x n = bm  m1 x1, x 2, , x n ẩn aij , bi ∈ ℝ với i = 1, m, j = 1, n ; aij ñược gọi hệ số ẩn x j bi (i = 1, m ) ñược gọi hạng tử tự 1.2 Nghiệm (hpttt) Một nghiệm hệ (1) n - số (c1, c2, , cn ) ∈ ℝn cho thay x j = c j đẳng thức hệ (1) ñều ñẳng thức số ñúng 1.3 Ma trận hệ số - Ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính  a a a   11 12 1n   a a a  2n   ñược gọi ma trận hệ số hệ (1) Ma trận : A =  21 22  …   a a a    m1 m mn   a a a  11 12 1n  a a a 2n Ma trận: A =  21 22  …  am1 am amn b   b2   ñược gọi ma trận bổ sung hệ (1)   bm  1.4 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Crame a11 a12 a1n Nếu hệ (1) có m = n định thức D = a21 a22 a2n ≠ gọi hệ phương … an an ann trình tuyến tính Crame (vắn tắt hệ Crame) Định thức D ñược gọi định thức hệ phương trình 1.5 Hệ phương trình tuyến tính tương đương Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm 153 § ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hai nhà tốn học Crơnecke - Capêni ñã chứng minh ñược ñịnh lý tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính 2.1 Định lý Crơnecke - Capêni Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm rankA = rank A Ví dụ Cho hệ phương trình tuyến tính:  3x − x − x + 2x =   x − x − 2x + 4x = : (Ô)   x1 + x + 3x − 6x = −  12x − 2x + x − 2x = 10 Xét xem hệ phương trình có nghiệm hay khơng ? Vì ? Giải Dùng phép biến đổi sơ cấp dịng ma trận A ta có:  −1−1  1 − −  1 − −          − −  0 − − 10     1 14 − −    ∼   ∼   A =        28   1 − −   − − 0 − − 10 20       12 − − 10 12 − − 10 0 − 14 − 35 70 118 1 − −    0 − − 10 14  ∼   ⇒ rankA = = rankA h (Ô) vụ nghim 0  0   20 0 0 0 § CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Phương pháp Crame Định lý D Hệ Crame có nghiệm tính cơng thức x j = j với j = 1, n D D định thức của hệ phương trình, cịn D j định thức thu từ ñịnh thức D cách thay cột thứ j D cột số hạng tử tự 3.2 Phương pháp Gauss ♦ Đối với hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình khác với số ẩn, số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số ta khơng áp dụng phương pháp Crame để giải ♦Lúc ta dùng phương pháp Gauss (phương pháp khử dần ẩn số) Nội dung phương pháp thực phép biến đổi sơ cấp dịng ñể ñưa ma trận : 154 a  11 a12 a1n  a21 a22 a2 n A =    am am am n  c c c c b   11 12 1k 1n    0 c22 c2k c1n b2   ~     0 c c bm   kk kn d1   d2     dk  Ma trän C ♦Dựa vào ma trận C ta thấy hệ phương trình có nghiệm hay khơng có nghiệm có nghiệm có hay có vơ số nghiệm ! Khi hệ phương trình có dạng “bậc thang”: c x + c x + ⋯ + c x + c x + ⋯ + c1n x n = d1  11 12 1k k 1k +1 k +1  c22x + ⋯ + c2k x k + c2k +1x k +1 + ⋯ + c2n x n = d2   ⋱⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  ⋱ ckk x k + ckk +1x k +1 + ⋯ + ckn x n = dk  việc giải hệ phương trình tiến hành sau : ♦ Nếu k = n việc giải x n → x n −1 → x n −2 → → x1 ⇒ (x 1, x 2, , x n ) ♦ Nếu k < n từ cột thứ k+1 ñến cột thứ n ñược chuyển sang phía bên phải dấu “ = ” q trình lại giải từ lên để tính x k → x k −1 → → x   x1 − 5x + 4x = − Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau :  2x1 − 9x − x = , (*)  3x1 − 11x − 7x = 17  Giải ♦ Phương pháp Crame 1− Vì: D = − − = 17 ≠ ⇒ hệ phương trình (*) hệ Crame − 11 − −7−5 1− 1− − D1 = − − = 17; D2 = − = 0; D3 = − = −34 17 − 11 − 17 − − 11 17  D D D  17 −34   = 1; 0; − Hệ phương trình (*) có nghiệm nhất:  ; ;  =  ; ; ( )  D D D  17 17 17  ♦ Phương pháp Gauss        1 − −  1 − −  1 − −  x1 =       A = 2 − −  ∼ 0 − 18  ∼ 0 − 18  ⇒ x =        3 − 11 − 17 0 − 19 38 0 17 − 34 x =−  155 ♦ Phương pháp ma trận 1 − 4 x  −         −1 Đặt: A = 2 − − 1, X = x , B =   ⇒ Phương trình (*) ⇔ AX = B ⇒ X = A B       3 − 11 − 7 x   17  52 79 41   52 79 41  1 − 4  17 − 17 17   17 − 17 17  1 − 4  1        −1  11 19   11 19  Nhưng từ: A = 2 − − 1 ⇒ A =  17 − 17 − 17 17  2 − − 1 =  0  ⇒ X =  17  17  −   −  3 − 11 − 7 − 2 3 − 11 − 7  17 17 17        17 17 17     x1 − 3x + 2x − x = Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  4x1 + x + 3x − 2x =  =−1 2x + 7x − x  Giải Thực phép biến đổi sơ cấp dịng ma trận bổ sung: 1 − − 2 1 − − 2 1 − − 2           ∼ 0 13 − − 7 ⇒ − ∼ 13 − −        2 − − 1 0 13 − − 5 0 0 2       Trong bảng cuối phương trình thứ ba có dạng: 0x1 + 0x + 0x + 0x = (**) Rõ ràng phương trình (**) vơ nghiệm ⇒ hệ cho vơ nghiệm Ví dụ  x + 2x + 3x + 4x = 28  3x − 3x − x + 2x = 19 Giải hệ phương trình tuyến tính sau:   5x + x + 2x + 5x = 69  x + x + x − x =  Giải • Cách 1 28  28   28         19   0 − − 10 − 10 − 149  0 − − 10 − 10 − 149  − −       5 69  ∼ 0 − − 13 − 15 − 211  ∼ 0 − − − 31            −  0 − − 2 − 35 − 447  0 − 12 − 25 − 149    2 1 28   0 − − 10 − 10 − 149      ⇒ 1; ; 2; 5 ∼   0 − − − 31      − − 25  0 156 • Cách 1 28   x1 = 28 − 2x − 3x − 4x 28        19   0 − − 10 − 10 − 149   9x + 10x + 10x = 149 − −     5 69  ∼ 0 − − 13 − 15 − 211  ∼ (+) 9x + 13x + 15x = 211        9x + 22x + 35x = 447 8 −  0 − − 2 − 35 − 447         x = Dùng máy tính bấm tay giải hệ (+) ta được: x = ⇒ x1 = 28 − − 3.2 − 4.5 =  x =    ⇒ 1; ; 2; 5 nghiệm hệ phương trình cho    3x − x − x + 2x =   x − x − 2x + 4x = , (⊗) Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính:    x + x + 3x − 6x =−  12x − 2x + x − 2x =− 10 Giải Để biến ñổi ma trận bổ sung, trước hết ta đổi dịng thứ hai cho dịng thứ nhất, sau ñó khử dần hệ số :  −1−1  1 − −      − −      − −  − − 0 − 10 − 14      ∼   ∼   1 − −  0 − 10 − 14  1 − −         12 − − − 10  12 − − − 10   0 10 25 − 50 − 70 1 − −    0 − 10 − 14 x1 − x − 2x + 4x = x − x = + 2x − 4x  ∼  ∼  ∼ 0 0 2x + 5x − 10x =− 14  2x =− 14 − 5x + 10x        0 0 x1 =− − a + b  x1 =− − x + x x =− − 25 a + 5b ⇔ ⇒ Hệ ( ⊗ ) có vô số nghiệm phụ thuôc hai   x =− − x + 5x x = a ∈ ℝ   x =b ∈ℝ  tham số Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau: λx + y + z =   x + λy + z = λ ,(λ ∈ ℝ),(•)   x + y + λz = λ2  157 Giải Cách : Dùng ñịnh thức: λ 1 1 D = λ = (λ − 1) (λ + 2); Dx = λ λ =− (λ − 1)2 (λ + 1) 1 λ λ2 λ λ 1 λ 1 Dy = λ = (λ − 1) ; λ2 λ Dz = λ λ = (λ − 1)2 (λ + 1)2 1 λ2 ♦ Nếu D ≠ ⇔ λ ≠ ∧ λ ≠− ⇒ hệ có nghiêm :  λ +1 (λ + 1)2 − , ,  λ + λ + λ +  ♦ Nếu D = ⇔ λ = ∨     λ =− : • Khi λ = ta có hệ phương trình :  x + y + z =   x = − a − b ⇒ Hệ có vơ số nghiệm  x + y + z = ⇔ x + y + z = ⇒ x = − y − z ⇒ y = a ∈ ℝ    x + y + z = z = b ∈ ℝ   phụ thuộc tham số • Khi λ =− , ta có hệ phương trình: − 1 1  − − 2 1 − − 2 − 2x + y + z =              ⇒  x − 2y + z =− ⇒ A =  − − 2 ∼ − 1 1 ∼ 0 − 3 − 3         x + y − 2z =  1 − 4  1 − 4 0 − 6  1 − − 2    ∼ 0 − 3 − 3 ⇒ phương trình: 0x + 0y + 0z = vô nghiệm nên hệ (⊗) vô nghiệm   0 0 3 Cách 2: Dùng phương pháp Gauss:     2 λ2  λ λ 1   1 λ λ  1   A =  λ λ  ∼  λ λ  ∼ 0 λ − 1 − λ λ − λ2         1 λ λ  λ 1  0 − λ − λ2 − λ        λ2 1 λ    ∼ 0 λ − 1−λ λ −λ  ,( )   0 (1 − λ)(2 + λ) (1 − λ)(1 + λ)2    158  λ +1 (1 + λ)2  ♦ Nếu λ ≠ ∧ λ ≠− ⇒ hệ (•) có nghiêm :  − ; ;   λ + λ + λ +  ♦ Nếu λ = , thay λ = vào ma trận ( ) ta phương trình sau:  x = − a − b x + y + z = ⇒ x = − y − z ⇒ y = a ∈ ℝ ⇒ Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số  z = b ∈ ℝ  ♦ Nếu λ = −2 , ta thay λ = −2 vào ( ) ta hệ phương trình tuyến tính sau:   x + y − 2z = (1) (×)  − 3y + 3z =− (2) Trong hệ (×), phương trình (3) vơ nghiêm ⇒ hệ phương  0x + 0y + 0z = (3)  trình (×) vơ nghiệm Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:   ax1 + x + x =  x + bx + x = 3; (a;b ∈ ℝ)   x + 2x + x =  Giải a 1 1 Ta có: D = b = (1 − a )(2 − b), Dx = b = −1 1 a a Dx = = (1 − a ), Dx = b = 4ab − 6a − 4b + 1 + Nếu D = (1 − a )(2 − b) ≠ ⇔ a ≠ 1& b ≠ hệ phương trình cho có nghiệm  −1 4ab − 6a − 4b +   :  ; ;  (1 − a )(2 − b) − b (1 − a )(2 − b)  + Nếu a = 1, thay a = vào hệ phương trình cho hệ phương trình:   x + x + x =    (*)  x1 + bx + x = 3; ( b ∈ ℝ) ⇒     x1 + 2x + x =    i Khi b = 1, thay b = vào phương trình  1   (1)  1    b  ∼  b − −  (2)      (3)  (2) ta có: 0x1 + 0x + 0x =− (4) phương trình (4) vơ nhiệm, nên hệ phương trình cho vô nghiệm 159  y = −1 ≠ b −1 i Khi b ≠ 1, từ (2) (3) ta suy ra:  (vô lý) ⇒ Hệ phương trình cho  y =  vơ nghiệm Như vậy: Nếu a = hệ phương trình (*) vơ nghiệm ∀b ∈ ℝ + Nếu b = 2, thay b = vào hệ phương trình cho hệ phương trình:   ax1 + x + x = (1′) (**)  x1 + 2x + x = (2′); ( a ∈ ℝ)  ′  x1 + 2x + x = (3 ) Hai phương trình (2′) & (3′) hệ (**) có vế trái giống vế phải khác nên hệ phương trình (**) vơ nghiệm, ∀a ∈ ℝ ⇒ Nếu b = hệ phương trình (*) vô nghiệm ∀a ∈ ℝ BÀI TẬP T.T ĐỀ RA Đ SỐ Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Crame: 8.1 8.2 8.3 8.4  2x − 2y − z = −   y +z =  − x + y + z = −   x − x + x =   2x + x + x = 2   3x1 + x + 2x =   2x − x − x =   3x + 4x − 2x = 11   3x1 − 2x + 4x = 11  3x + 2x + x =   2x + 3x + x =   2x + x + 3x = 11  (2; 4; − 3) (7; − 3; − 9) (3; 1; 1) (2; − 2; 3) Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Gauss 160  x + 2x + 3x − 2x =   2x − x − 2x − 3x =  8.5   3x + 2x − x + 2x =   2x − 3x + 2x + x =−  2x + 7x + 3x + x =   x + 4x − 2x + 3x = 2  8.6   x1 + 5x − 10x + 9x =   4x1 + 13x + 13x − 4x = 11  x + 3x + 3x + 4x =   2x + 2x + 4x + 3x = 8.7    3x1 + 4x + 4x + 5x = 12   4x1 + 5x + 6x + 7x =  3x − x − x + 2x =   x − x − 2x + 4x =  8.8   x1 + x + 3x − 6x = −  12x1 − 2x + x − 2x = − 10  x − 2x + x4 = −   3x − x − 2x =  8.9   2x + x − 2x − x =   x1 + 3x − 2x + 2x = (1; 2; − 1; − 2) (58; − 15; − 2; 0) (−18; 88 ; − 8; − 11 ) x = − − a + b  x = − − a + 5b  2 x = a ∈ ℝ  x = b ∈ ℝ (1; 2; 0; 0) Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau : 8.10 8.11 (a + 1)x + x2 + x3 =   x1 + (1 + a )x + x3 =  x1 + x + (1 + a )x =   ∀a ∈ ℝ  mx + y + z =   x + my + z = 1; (m ∈ ℝ)   x + y + mz = i Nếu a ≠ & a ≠ −3 hệ có nghiệm  1   nhất:  ; ; a + a + a +  i Nếu a = hệ vô số nghiệm i Nếu a = −3 hệ vô nghiệm i Nếu m ≠ & m ≠ −2 hệ có nghiệm  1   nhất:  ; ;  m + m + m +  i Nếu m = hệ vô số nghiệm i Nếu m = −2 hệ vô nghiệm 161 8.12 8.13   x + 2x + x =  2x + 4x + x = ; (a ∈ ℝ)   2x1 + 8x + 3x = a    x + x − x = 2x + 3x + ax = 3; (a ∈ ℝ)   x + ax + 3x =  i Nếu a ≠ hệ vô nghiệm i Nếu a = hệ vô số nghiệm i Nếu a ≠ −3 & a ≠ hệ có nghiệm  1   nhất: 1; ;  a + a +  i Nếu a = −3 hệ vô nghiệm i Nếu a = hệ vô số nghiệm Hết