BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP pot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM HUẾ DỰ ÁN HỢP TÁC VIỆT NAM – HÀ LAN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Người biên soạn: Trần Bá Tịnh Huế, 08/2009 L L ờ ờ i i n n ó ó i i đ đ ầ ầ u u Được sự phân công giảng dạy của Ban giám đốc Trung tâm Giảng dạy và Thực hành cơ bản, bộ môn Toán – Tin của chúng tôi thực hiện biên soạn bài giảng về các môn học Toán cao cấp. Bài giảng này nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về giải tích cổ điển cần cho ngành Nông học và một số ngành khoa học công nghệ khác. Bài giảng được biên soạn theo đề cương chi tiết của bộ chương trình GIÁO DỤC HỌC ĐẠI CƯƠNG do Bộ Giáo Dục ban hành theo quyết định số 3244/GD- ĐT ngày 12/09/1995 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và đào tạo . Bài giảng do tổ bộ môn Toán – Tin chúng tôi biên soạn trước mắt phục vụ cho đối tượng là là sinh viên ngành Nông học trường Đại học Nông lâm. Lần đầu tiên biên soạn theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự trao đổi, đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để hoàn thiện bài giảng theo định hướng về một bài giảng chung môn học Toán cao cấp. Tác giả 2 MỤC LỤC  Bài 1: Ma trận – Định thức – Hệ phương trình tuyến tính 4 1. MA TRẬN 5 1.1 Khái niệm ma trận 5 1.2 Ma trận bằng nhau 5 1.3 Cộng ma trận 6 1.4 Nhân ma trận với một số 6 1.5 Ma trận chuyển vị 7 2. ĐỊNH THỨC 7 2.1 Định thức của ma trận vuông 7 2.2 Định nghĩa: 8 2.3 Tính chất của định thức 9 2.4 Quy tắc tính định thức bằng biến đổi sơ cấp 10 3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VỚI MA TRẬN  MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 11 3.1 Phép nhân ma trận với ma trận 11 3.2 Một số tính chất 12 3.3 Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo 12 3.4 Các phương pháp tính ma trận nghịch đảo 13 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14 4.1 Định nghĩa dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 14 4.2 Hệ Cramer 15 4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss 15 4.4 Hệ thuần nhất 16 4.5 Hạng của ma trận_Hạng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 17 Bài 2: Phép tính vi phân 19 1. TẬP HỢP  CÁC PHÉP TOÁN 19 1.1 Tập hợp 19 1.2 Các phép toán về tập hợp 20 2. ÁNH XẠ 22 2.1 Định nghĩa 22 2.2 Đơn ánh 23 2.3 Toàn ánh 23 2.4 Song ánh 23 2.5 Ánh xạ ngược của một song ánh – Tương ứng 1-1 24 2.6 Hợp (Tích của 2 ánh xạ) 24 3 2.7 Tập hữu hạn – Tập đếm được – Tập không đếm được 25 3. HÀM SỐ 26 3.1 Khái niệm hàm số - Các định nghĩa 26 3.2 Các hàm số cơ bản 31 4. GIỚI HẠN HÀM SỐ 37 4.1 Các định nghĩa 37 4.2 Tính chất và phép toán của giới hạn hàm số 39 5. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 42 5.1 Các định nghĩa 42 5.2 Các phép toán và tính chất của hàm liên tục 44 5.3 Các định lý về hàm liên tục 44 6. ĐẠO HÀM 45 6.1 Hai bài toán dẫn đến đạo hàm 45 6.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến số 46 6.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 47 6.4 Các quy tắc cơ bản để tính đạo hàm 48 6.5 Sự liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục 50 6.6 Đạo hàm cấp cao 50 6.7 Đạo hàm các hàm sơ cấp 51 7. VI PHÂN 53 7.1 Định nghĩa vi phân 53 7.2 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng 54 7.3 Tính bất biến của dạng biểu thức vi phân 55 7.4 Vi phân cấp cao 55 Bài 3: Phép tính tích phân 56 1.TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 56 1.1 Định nghĩa và tính chất 56 1.2. Các phương pháp lấy tích phân không xác định 57 1.3 Các công thức truy hồi 59 1.4 Tích phân các hàm hữu tỉ 61 1.5 Tích phân một số hàm vô tỉ dạng đơn giản 62 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 63 2.1 Định nghĩa 63 2.2 Một vài tính chẤt của tích phân xác định 66 2.3 Điều kiện khả tích của hàm liên tục 69 2.4 Sự phân chia khoảng lấy tích phânCận lấy tích phân 70 4 2.5 Tích phân xác định và nguyên hàm 71 2.6 Biến đổi tích phân xác định 73 2.7 Ứng dụng của phép tính tích phân 76 2.8 Tích phân suy rộng 78 Bài 5: Phương trình vi phân 79 1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – CÁC ĐỊNH NGHĨA 79 1.1 Khái niệm 79 1.2 Định nghĩa 79 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 79 2.1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp một 79 2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly 80 2.3 Phương trình đẳng cấp cấp một 81 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 81 2.5 Phương trình Bernoulli 83 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 83 3.1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp hai 83 3.2 Các phương trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp 84 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 85 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số không đổi 87 5 1. MA TRẬN 1.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 5.1: Một tập hợp gồm m n  phần tử được sắp xếp thành bảng chữ nhật có m hàng n cột gọi là một ma trận cỡ m n  cột j 11 12 1j 1n 21 22 2j 2n i1 i2 ij in m1 m2 mj mn a a a a a a a a A a a a a a a a a                                   Ma trận A được ký hiệu bởi dấu móc vuông hoặc móc tròn ij m n A a       ;   ij m n A a   ij a là phần tử nằm ở hàng i, cột j Khi m n  ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n và được biểu diễn ngắn gọn ij ,n A a      ;   ij ,n A a Khi m 1  ta gọi A là ma trận hàng n 1  ta gọi A là ma trận cột Thí dụ :   ij 2 3 1 3 5 A a 2 4 6          ;   ij 3 2 2 1 B b 1 3 3 2                ij 1 4 A a 5 4 1 7    ;     ij 1 3 B b 3 5 8    Chú ý 1.1: – Ta chỉ xét chủ yếu các ma trận thực, tức ij a R  – Chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu ma trận; chữ thường a, b, c, … chỉ phần tử của ma trận. – Nếu các phần tử ij a 0 i, j   ma trận   ij m n A a   được gọi là ma trận không cỡ m n  . – Kí hiệu tập hợp các ma trận cỡ m n  là M – Kí hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n là M 1.2 Ma trận bằng nhau Cho hai ma trận A cùng cỡ   ij m n A a   ;   ij m n B b   hàng i 6 Định nghĩa 5.2: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và có các phần tử cùng vị trí bằng nhau. Tức là: ij ij a b i, j   Ta viết A B  Thí dụ : 3 1 A 2 5        ; a b B c d        A B   a 3, b 1, c 2, d 5     1.3 Cộng ma trận Cho hai ma trân cùng cỡ   ij m n A a   ;   ij m n B b   Định nghĩa 5.3: Tổng của hai ma trận cùng cỡ m n  A B  là một ma trận C cùng cỡ được xác định bởi công thức: ij ij ij m n m n C A B a b c                Chú ý 1.2: – Phép cộng ma trận chỉ thực hiện với các ma trận cùng cỡ. – Ta có thể mở rộng cho phép cộng nhiều ma trận cùng cỡ – Phép cộng được hiểu theo nghĩa cộng đại số. Thí dụ : Cho A, B, C 1 3 5 A 2 4 6        ; 5 7 9 B 1 3 5        ; 2 4 6 A 7 5 3        1 5 2 3 7 4 5 9 6 4 6 8 A B C 2 1 7 4 3 5 6 5 3 4 2 8                              1.4 Nhân ma trận với một số Cho ; k R  1. Định nghĩa 5.4: Phép nhân ma trận A với một số k là nhân tất cả các phần tử ij a của A với k. Ta có:     ij ij m n m n C k.A k. a ka      (5.3) Thí dụ : Cho , k 3  7 1 4 3 5 A 2 1 0 4 4 2 3 1          ; 1 4 3 5 3 12 9 15 3.A 3. 2 1 0 4 6 1 0 12 4 2 3 1 12 6 9 3                   2. Tính chất: k(A B) kA kB (k h).A kA hA k(h.A) (kh).A 1.A A 0.A 0          1.5 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 5.6: Xét ma trận . Đổi hàng thành cột; cột thành hàng ta nhận được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, kí hiệu là t A . t ji n m A a       Thí dụ : 4 1 A 3 0 2 7            t 4 3 2 A 1 0 7         2. ĐỊNH THỨC 2.1 Định thức của ma trận vuông Xét ,n A  M Lấy ij a là phần tử hàng i cột j. Loại bỏ khỏi A hàng i, cột j ta nhân được ma trận vuông cấp n 1  , kí hiệu là ij M . Gọi ij M là ma trận con ứng với phần tử ij a của A. Xét ma trận A cấp n; .Ta Chú ý đến phần tử hàng i cột j ij a A  . Loại bỏ đi các phần tử của hàng i, cột j ta nhận được ma trận vuông cấp n 1  , kí hiệu là ij M . ij M là ma trận con ứng với phần tử ij a . Ta có: 1 j 1 1 1 2 1 n 2 j 2 1 2 2 2 n ij i1 i 2 in n j n 1 n 2 n n a a a a a a a a A a a a a a a a a                                 8 1j 1 1j+1 11 12 1n i 1j 1 i 1j 1 i 11 i 12 i 1n ij i 1j 1 i 1j 1 i 11 i 12 i 1n nj 1 nj 1 n1 n 2 nn a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a                                                         Đối tượng nghiên cứu là các ma trận vuông có ij a R  2.2 Định nghĩa: Định nghĩa 5.7: Định thức của ma trận A là một số, kí hiệu là det(A) được định nghĩa lần lượt như sau: * A là ma trận vuông cấp 1:   11 A a  thì 11 detA a  * A là ma trận vuông cấp 2: 11 12 21 22 a a A a a        thì 11 11 12 12 11 22 12 21 detA a det(M ) a det(M ) a a a a     * A là ma trận vuông cấp n: 1 n 11 11 12 12 1n 1n detA a det(M ) a det(M ) ( 1) a det(M )       (1.1) Ở đây 11 12 1n a ,a , .a  là các phần tử nằm ở hàng một của ma trận A. Người ta dùng hai gạch đứng đặt ở hai bên để kí hiệu định thức. 11 12 21 22 a a a a ; 13 11 12 23 21 22 31 32 33 a a a a a a a a a Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n. Thí dụ : 31 2 6 5 5 64 4 6 5 4 1 3 2 1( 48 45) 3(32 35) 2( 36 42) 240 9 8 7 8 7 9 7 9 8                    Chú ý : Để tính định thức cấp 3 ngoài việc tính theo định nghĩa đã nêu ta có thể sử dụng công thức ngôi sao bằng cách lấy tổng của tích các phần tử nằm trên đường chéo chính và các đỉnh của tam giác có cạnh song song với đường chéo chính trừ đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo phụ và các số nằm ở đỉnh các tam giác có cạnh song song với đường chéo phụ. 13 11 12 23 21 22 31 32 33 a a a a A a a a a a  13 11 12 23 21 22 31 32 33 a a a a A a a a a a  11 12 13 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 23 32 11 detA a a a a a a a a a (a a a a a a a a a )       [...]... Hạng của ma trận_Hạng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát a) Hạng của ma trận Định nghĩa 5.13: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi mp hàng và np cột gọi là ma trận con cấp p của A Định thức của ma trận con cấp p gọi là định thức con cấp p của A Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A Kí hiệu: r(A) Nhận xét: 1) Vì BM,p thì detB = detB t Nên r(A) = r(At... = 3 3 Nếu b  3  0 tức r(A)  3 Hệ vô nghiệm 21 hệ duy nhất nghiệm 2 21 a  , b  3 hệ vô số nghiệm 2 21 a  , b  3 hệ vô nghiệm 2 Kết luận: a  18 Bài 2: Phép tín h vi phâ n 1 TẬP HỢP  CÁC PHÉP TOÁN 1.1 Tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không có định nghĩa chung Người ta thường mô tả tập hợp Chẳng hạn, tập hợp học sinh trong mỗi lớp, tập hợp các số tự nhiên, các tập hợp số vô... n2   0  0  a a  a 11 22 nn    a nn (1.5) 2.4 Quy tắc tính định thức bằng biến đổi sơ cấp Để tính định thức một cách nhanh và đơn giản ta thường sử dụng các tính chất vừa nêu của định thức để biến đổi định thức về dạng tam giác Các phép biến đổi khi sử dụng các tính chất được gọi là các phép biến đổi sơ cấp Nó được biến thành qua hai bước sau: Bước 1: Sử dụng phép biến đổi để có ít nhất 1 phần... và viết A=B nếu A  B và B  A Thí dụ: cho A := {x/x2-5x+6=0} và B:= {2,3} Thì A = B 1.1.4 Tập rỗng Theo quan niệm thông thường thì một tập hợp cần có ít nhất một phần tử mới có nghĩa Tuy nhiên trong toán học để tiện cho việc lập luận người ta đưa thêm vào khái niệm tập rỗng viết là  Nó là tập không có phần tử nào và là tập con của bất kì tập hợp A nào,   A Thí dụ: {x  R / x2+x+1 = 0} =  1.1.5... biễu diễn hình học gọi là biểu đồ Ven Xem tập hợp là tập điểm trong một hình vòng phẳng Mỗi điểm trong vòng là một phần tử trong tập hợp (H.1) Khi đó quan hệ A  B được biểu diễn ở hình H.2 1.2 Các phép toán về tập hợp 1.2.1 Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi các phần tử thuộc A hoặc thuộc B Kí hiệu: C = A  B = {x/ x  A hoặc x  B} Biễu diễn bằng biểu đồ ven trên H.3 Mở rộng cho... diễn bằng sơ đồ ven trên H.4 Mở rộng cho nhiều tập hợp A  :  A = A1  A2  …  An ;  =1 n  Đặc biệt nếu C = A  B =  ta nói rằng A và B rời nhau 1.2.3 Tính chất Các tính chất sau đối với các phép toán về tập hợp được suy từ định nghĩa: A  B= B A A  B = B A A  A= A A  A= A (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) A  (B  C)=(A  B)  (A  C) A  (B  C)=(A  B)  (A  C) Các tính... được quy luật chính xác của hàm nhưng giá trị cụ thể của hàm theo biến độc lập hoàn toàn xác định được thông qua đồ thị Chúng ta chỉ việc kẻ các đường gióng theo các trục tọa độ để xác định 3.1.3 Phép toán trên hàm số 1) Tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số Cho hàm số f(x) xác định trên X1 và g(x) xác định trên X2 Gọi X=X1  X2 Khi đó tổng, hiệu, tích, thương của f(x), và g(x) được cho bởi các quy... số chẵn nhận trục Oy là trục đối xứng Hàm số f(x) xác định trên tập X đối xứng được gọi là hàm số lẻ nếu  x  X ta có: f(x) = f-(x) (2-7) Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Các phép toán: Định lý: a) Tổng hoặc hiệu của hai hàm số chẵn ( hoặc lẻ ) là một hàm số chẵn (hoặc lẻ) b) Tích của hai hàm số chẵn hoặc lẻ là hàm số chẵn c) Tích của hàm số chẵn với hàm số lẻ là hàm số lẻ 4) Hàm . công giảng dạy của Ban giám đốc Trung tâm Giảng dạy và Thực hành cơ bản, bộ môn Toán – Tin của chúng tôi thực hiện biên soạn bài giảng về các môn học Toán cao cấp. Bài giảng này nhằm cung cấp. vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi mp hàng và np cột gọi là ma trận con cấp p của A. Định thức của ma trận con cấp p gọi là định thức con cấp p của A. Hạng của ma trận A là cấp cao. phương pháp giảng dạy, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự trao đổi, đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để hoàn thiện bài giảng theo định hướng về một bài giảng chung