Bài giảng toán cao cấp A2

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG - - - - - - - ( - - - - - - - BÀI GING TOÁN CAO CP (A2) Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG Ths.  PHI NGA Lu hành ni b HÀ NI - 2006 LI NÓI U Toán cao cp A 1 , A 2 , A 3 là chng trình toán đi cng dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuc khi k thut. Ni dung ca toán cao cp A 1 , A 3 ch yu là phép tính vi tích phân ca hàm mt hoc nhiu bin, còn toán cao cp A 2 là các cu trúc đi s và đi s tuyn tính. Có khá nhiu sách giáo khoa và tài liu tham kho vit v các ch đ này. Tuy nhiên vi phng thc đào to t xa có nhng đc thù riêng, đòi hi hc viên làm vic đc lp nhiu hn, do đó cn phi có tài liu hng dn hc tp thích hp cho tng môn hc. Tp tài liu hng dn hc môn toán cao cp A 2 này đc biên son cng nhm mc đích trên. Tp tài liu này đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông. Ni dung ca cun sách bám sát các giáo trình ca các trng đi hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông biên son nm 2001 và theo kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính vì th, giáo trình này cng có th dùng làm tài liu hc tp, tài liu tham kho cho sinh viên ca các trng, các ngành đi hc và cao đng. Giáo trình đc trình bày theo cách thích hp đi vi ngi t hc, đc bit phc v đc lc cho công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu ca mi chng cng nh mc đích ca chng (trong sách Hng dn hc tp Toán A2 đi kèm) đ thy đc mc đích ý ngha, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ ràng. c bit bn đc nên chú ý đn các nhn xét, bình lun đ hiu sâu hn hoc m rng tng quát hn các kt qu. Hu ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: t bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này. Các ví d là đ minh ho trc tip khái nim, đnh lý hoc các thut toán, vì vy s giúp ngi đc d dàng hn khi tip thu bài hc. Giáo trình gm 7 chng tng ng vi 4 đn v hc trình (60 tit): Chng I: Lô gích toán hc, lý thuyt tp hp, ánh x và các cu trúc đi s. Chng II: Không gian véc t. Chng III: Ma trn. Chng IV: nh thc. Chng V: H phng trình tuyn tính Chng VI: Ánh x tuyn tính. Chng VII: Không gian véc t Euclide và dng toàn phng. Ngoài vai trò là công c cho các ngành khoa hc khác, toán hc còn đc xem là mt ngành khoa hc có phng pháp t duy lp lun chính xác cht ch. Vì vy vic hc toán cng giúp ta rèn luyn phng pháp t duy. Các phng pháp này đã đc ging dy và cung cp tng bc trong quá trình hc tp  ph thông, nhng trong chng I các vn đ này đc h thng hoá li. Ni dung ca chng I đc xem là c s, ngôn ng ca toán hc hin đi. Mt vài ni dung trong chng này đã đc hc  ph thông nhng ch vi mc đ đn gin. Các cu trúc đi s thì hoàn toàn mi và khá tru tng vì vy đòi hi hc viên phi đc li nhiu ln mi tip thu đc. Các chng còn li ca giáo trình là đi s tuyn tính. Kin thc ca các chng liên h cht ch vi nhau, kt qu ca chng này là công c ca chng khác. Vì vy hc viên cn thy đc mi liên h này. c đim ca môn hc này là tính khái quát hoá và tru tng cao. Các khái nim thng đc khái quát hoá t nhng kt qu ca hình hc gii tích  ph thông. Khi hc ta nên liên h đn các kt qu đó. Tuy rng tác gi đã rt c gng, song vì thi gian b hn hp cùng vi yêu cu cp bách ca Hc vin, vì vy các thiu sót còn tn ti trong giáo trình là điu khó tránh khi. Tác gi rt mong s đóng góp ý kin ca bn bè đng nghip, hc viên xa gn và xin cám n vì điu đó. Cui cùng chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã khuyn khích đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài lii này. Hà Ni, cui nm 2004. Ts. Lê Bá Long Khoa c bn 1 Hc Vin Công ngh Bu chính Vin thông Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 1. CHNG 1: M U V LÔGÍC MNH , TP HP ÁNH X VÀ CÁC CU TRÚC I S 1.1 S LC V LÔGÍC MNH  1.1.1 Mnh đ Lôgíc mnh đ là mt h thng lôgích đn gin nht, vi đn v c bn là các mnh đ mang ni dung ca các phán đoán, mi phán đoán đc gi thit là có mt giá tr chân lý nht đnh là đúng hoc sai.  ch các mnh đ cha xác đnh ta dùng các ch cái .,, rqp và gi chúng là các bin mnh đ. Nu mnh đ p đúng ta cho p nhn giá tr 1 và p sai ta cho nhn giá tr 0. Giá tr 1 hoc 0 đc gi là th hin ca p . Mnh đ phc hp đc xây dng t các mnh đ đn gián hn bng các phép liên kt lôgích mnh đ. 1.1.2 Các phép liên kt lôgíc mnh đ 1. Phép ph đnh (negation): Ph đnh ca mnh đ p là mnh đ đc ký hiu ,p đc là không p . Mnh đ p đúng khi p sai và p sai khi p đúng. 2. Phép hi (conjunction): Hi ca hai mnh đ q p, là mnh đ đc ký hiu qp ∧ (đc là p và ). Mnh đ q qp ∧ ch đúng khi p và q cùng đúng. 3. Phép tuyn (disjunction): Tuyn ca hai mnh đ q p, là mnh đ đc ký hiu qp ∨ (đc là p hoc ). q qp ∨ ch sai khi p và cùng sai. q 4. Phép kéo theo (implication): Mnh đ kéo theo , ký hiu , là mnh đ ch sai khi p q qp ⇒ p đúng sai. q 5. Phép tng đng (equivalence): Mnh đ )()( pqqp ⇒∧⇒ đc gi là mnh đ p tng đng , ký hiu . q qp ⇔ Mt công thc gm các bin mnh đ và các phép liên kt mnh đ đc gi là mt công thc mnh đ. Bng lit kê các th hin ca công thc mnh đ đc gi là bng chân tr. T đnh ngha ca các phép liên kt mnh đ ta có các bng chân tr sau 5 Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 10 01 pp 0000 1010 1001 1111 qpqpqp ∨ ∧ 100 110 001 111 qpqp ⇒ 11100 00110 01001 11111 qppqqpqp ⇔⇒⇒ Nh vy là mt mnh đ đúng khi c hai mnh đ qp ⇔ p và q cùng đúng hoc cùng sai và mnh đ sai trong trng hp ngc li. qp ⇔ Mt công thc mnh đ đc gi là hng đúng nu nó luôn nhn giá tr 1 trong mi th hin ca các bin mnh đ có trong công thc. Ta ký hiu mnh đ tng đng hng đúng là " ≡ " thay cho " ". ⇔ 1.1.3 Các tính cht Dùng bng chân tr ta d dàng kim chng các mnh đ hng đúng sau: 1) pp ≡ lut ph đnh kép. 2) )()( qpqp ∨≡⇒ . 3) pqqppqqp ∨≡∨∧≡∧ , lut giao hoán. 4) rqprqp ∧∧≡∧∧ )()( rqprqp ∨∨≡∨∨ )()( lut kt hp. 5) [][ )()()( rpqprqp ] ∧∨∧≡∨∧ [][ )()()( rpqprqp ∨ ] ∧∨≡∧∨ lut phân phi. 6) Mnh đ pp ∨ luôn đúng lut bài chung. pp ∧ luôn sai lut mâu thun. 7) qpqp ∧≡∨ qpqp ∨≡∧ lut De Morgan. 6 Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s 8) pqqp ⇒≡⇒ lut phn chng. 9) pppppp ≡∧≡∨ ; lut ly đng. 10) pqpppqpp ≡∨∧≡∧∨ )(;)( lut hp thu. 1.2 TP HP 1.2.1 Khái nim tp hp Khái nim tp hp và phn t là khái nim c bn ca toán hc, không th đnh ngha qua các khái nim đã bit. Các khái nim "tp hp", "phn t" xét trong mi quan h phân t ca tp hp trong lý thuyt tp hp là ging vi khái nim "đng thng", "đim" và quan h đim trên đng thng đc xét trong hình hc. Nói mt cách nôm na, ta có th xem tp hp nh mt s t tp các vt, các đi tng nào đó mà mi vt hay đi tng là mt phn t ca tp hp. Có th ly ví d v các tp hp có ni dung toán hc hoc không toán hc. Chng hn: tp hp các s t nhiên là tp hp mà các phn t ca nó là các s 1,2,3 ., còn tp hp các cun sách trong th vin ca Hc vin Công ngh Bu chính Vin thông là tp hp mà các phn t ca nó là các cun sách. Ta thng ký hiu các tp hp bi các ch in hoa , ., BA , .,YX còn các phn t bi các ch thng , ., y x Nu phn t x thuc A ta ký hiu Ax∈ , nu x không thuc A ta ký hiu Ax∉ . Ta cng nói tt "tp" thay cho thut ng "tp hp". 1.2.2 Cách mô t tp hp Ta thng mô t tp hp theo hai cách sau: a) Lit kê các phn t ca tp hp Ví d 1.1 : Tp các s t nhiên l nh hn 10 là { } 9,7,5,3,1 . Tp hp các nghim ca phng trình 01 2 =−x là { } 1,1− . b) Nêu đc trng tính cht ca các phn t to thành tp hp Ví d 1.2 : Tp hp các s t nhiên chn { ∈= nP  ∈= mmn ,2 } Hàm mnh đ trên tp hp D là mt mnh đ )(xS ph thuc vào bin Dx∈ . Khi cho bin x mt giá tr c th thì ta đc mnh đ lôgích (mnh đ ch nhn mt trong hai giá tr hoc đúng hoc sai). Nu )( xS là mt mnh đ trên tp hp D thì tp hp các phn t Dx ∈ sao cho )(xS đúng đc ký hiu { } )(xSDx ∈ và đc gi là min đúng ca hàm mnh đ )(xS . i) Xét hàm mnh đ )( xS xác đnh trên tp các s t nhiên : " 1 2 +x là mt s nguyên t" thì )2(),1( SS đúng và )4(),3( SS sai . 7 Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s ii) Mi mt phng trình là mt hàm mnh đ { } {} 1,101 2 −==−∈ xx  .  có hình nh trc quan v tp hp, ngi ta thng biu din tp hp nh là min phng gii hn bi đng cong khép kín không t ct đc gi là gin đ Ven. c) Mt s tp hp s thng gp - Tp các s t nhiên  { } .,2,1,0= . - Tp các s nguyên { } .,2,1,0 ±±= . - Tp các s hu t { }  ∈≠= qpqqp ,,0 . - Tp các s thc . - Tp các s phc { } 1;, 2 −=∈+== iyxiyxz  . 1.2.3 Tp con nh ngha 1.1 : Tp A đc gi là tp con ca B nu mi phn t ca A đu là phn t ca B , khi đó ta ký hiu BA ⊂ hay AB ⊃ . Khi A là tp con ca B thì ta còn nói A bao hàm trong B hay B bao hàm A hay B cha A. Ta có:  .  ⊂⊂⊂⊂ nh ngha 1.2 : Hai tp A , B bng nhau, ký hiu , BA = khi và ch khi BA ⊂ và AB ⊂ . Nh vy đ chng minh BA ⊂ ta ch cn chng minh BxAx ∈⇒∈ và vì vy khi chng minh BA = ta ch cn chng minh BxAx ∈⇔∈ . nh ngha 1.3 : Tp rng là tp không cha phn t nào, ký hiu . φ Mt cách hình thc ta có th xem tp rng là tp con ca mi tp hp. Tp hp tt c các tp con ca X đc ký hiu )(X P . Vy )(XA P∈ khi và ch khi XA ⊂ . Tp X là tp con ca chính nó nên là phn t ln nht còn φ là phn t bé nht trong )(X P . Ví d 1.3 : {} cbaX ,,= có {}{ } { } { } { } { }{} XaccbbacbaX ,,,,,,,,,,)( φ =P . 8 Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s Ta thy X có 3 phn t thì )(X P có 82 3 = phn t. Ta có th chng minh tng quát rng nu X có n phn t thì )(X P có phn t. n 2 1.2.4 Các phép toán trên các tp hp 1. Phép hp: Hp ca hai tp A và B , ký hiu BA∪ , là tp gm các phn t thuc ít nht mt trong hai tp A , B . Vy ()( ) ( )( ) BxAxBAx ∈∨∈⇔∪∈ . 2. Phép giao: Giao ca hai tp A và B , ký hiu BA∩ , là tp gm các phn t thuc đng thi c hai tp A , B . Vy ()( ) ( )( ) BxAxBAx ∈∧∈⇔∩∈ . 3. Hiu ca hai tp: Hiu ca hai tp A và B , ký hiu BA \ hay BA − , là tp gm các phn t thuc A nhng không thuc B . Vy ()( ) ( )( ) BxAxBAx ∉∧∈⇔∈ \ . c bit nu XB ⊂ thì tp BX \ đc gi là phn bù ca B trong X và đc ký hiu là B X C . Nu tp X c đnh và không s nhm ln thì ta ký hiu B thay cho B X C . Ta có th minh ho các phép toán trên bng gin đ Ven: BA ∩ BA ∪ B X C Áp dng lôgích mnh đ ta d dàng kim chng li các tính cht sau: 1. ABBA ∪=∪ , ABBA ∩=∩ tính giao hoán. 2. CBACBA ∪∪=∪∪ )()( , CBACBA ∩∩=∩∩ )()( tính kt hp. 3. )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ , 9 Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ tính phân b. Gi s BA, là hai tp con ca X thì: 4. AXAAAAA =∩=∪= ;; φ 5. φ =∩=∪ AAXAA ; 6. BABA ∩=∪ ; BABA ∪=∩ lut De Morgan 7. ( ) BA A CBAABAABABA ∩ =∩=∩∩=∩= )(\\ . 1.2.5 Lng t ph bin và lng t tn ti Gi s )(xS là mt hàm mnh đ xác đnh trên tp D có min đúng { } )( )( xSDxD xS ∈= . Khi đó: a) Mnh đ )(, xSDx∈∀ (đc là vi mi )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu và sai trong trng hp ngc li. DD xS = )( Ký hiu ∀(đc là vi mi) đc gi là lng t ph bin. Khi D đã xác đnh thì ta thng vit tt )(, xSx∀ hay ( ) )(, xSx∀ . b) Mnh đ )(, xSDx∈∃ (đc là tn ti )(, xSDx∈ ) là mt mnh đ đúng nu φ ≠ )(xS D và sai trong trng hp ngc li. Ký hiu (đc là tn ti) đc gi là lng t tn ti. ∃  chng minh mt mnh đ vi lng t ph bin là đúng thì ta phi chng minh đúng trong mi trng hp, còn vi mnh đ tn ti ta ch cn ch ra mt trng hp đúng. c) Ngi ta m rng khái nim lng t tn ti vi ký hiu )(,! xSDx∈∃ (đc là tn ti duy nht )(, xSDx∈ ) nu có đúng mt phn t. )(xS D d) Phép ph đnh lng t ( ) )(,)(, xSDxxSDx ∈∃⇔∈∀ ( ) )(,)(, xSDxxSDx ∈∀⇔∈∃ (1.1) Ví d 1.4: Theo đnh ngha ca gii hn εδδε <−⇒<−<∀>∃>∀⇔= → LxfaxxLxf ax )(0:;0,0)(lim . 10 Chng 1: M đu v lôgíc mnh đ, tp hp ánh x và các cu trúc đi s S dng tính cht hng đúng )()( qpqp ∨≡⇒ (xem tính cht 1.3) ta có εδ <−⇒<−< Lxfax )(0 tng đng vi ( ) ( ) ( ) εδ <−∨=∨≥− Lxfaxax )()( . Vy ph đnh ca là Lxf ax = → )(lim ( ) ( ) εδδε ≥−∧<−<∃>∀>∃ Lxfaxx )(0:;0,0 . 1.2.6 Phép hp và giao suy rng Gi s () là mt h các tp hp. Ta đnh ngha là tp gm các phn t thuc ít nht mt tp nào đó và là tp gm các phn t thuc mi tp . Ii i A ∈ U Ii i A ∈ i A I Ii i A ∈ i A Vy ( ) ( ) 0 ; 0 i Ii i AxIiAx ∈∈∃⇔∈ ∈ U ( ) ( ) i Ii i AxIiAx ∈∈∀⇔∈ ∈ ; I . (1.2) Ví d 1.5 : { } )1(0 +≤≤∈= nnxxA n  { } )1(11)1(1 ++<≤+−∈= nxnxB n  [ ) 1;0 1 = ∞ = U n n A , [] 1;0 1 = ∞ = I n n B . 1.2.7 Quan h 1.2.7.1 Tích  các ca các tp hp nh ngha 1.4 : Tích  các ca hai tp YX , là tp, ký hiu Y X × , gm các phn t có dng ),( y x trong đó Xx ∈ và Yy∈ . Vy { } YyXxyxYX ∈∈=× vµ ),( . (1.3) Ví d 1.6 : { } cbaX ,,= , { } 2,1=Y {} )2,(),2,(),2,(),1,(),1,(),1,( cbacbaYX =× Ta d dàng chng minh đc rng nu X có phn t, Y có phn t thì n m Y X × có phn t. mn× 11 [...]... X X x* y x, y c a X thành m t ph n t x y c a X vì c g i là phép toán hai ngôi Ví d 1.30: Phép c ng và phép nhân là các lu t h p thành trong c a các t p s , , , , Ví d 1.31: Phép c ng véc t theo quy t c hình bình hành là phép toán trong c a t p các véc t t u v do trong không gian, nh ng tích vô h u v cos(u , v ) ng không ph i là phép toán trong vì R3 nh ngh a 1.21: Lu t h p thành trong * c a t p 1)... KHÔNG GIAN VÉC T KHÁI NI M KHÔNG GIAN VÉC T 2.1.1 nh ngh a và các ví d V là t nh ngh a 2.1: Gi s t trên tr ng Kn p khác , K là m t tr ng V c g i là không gian véc u có hai phép toán: - Phép toán trong :V V (u , v) V u v - Phép toán ngoài :K V V ( , u) u tho mãn các tiên V1) sau v i m i u, v, w V và , K (u v) w u (v w) V2) Có 0 V sao cho u 0 V3) V i m i u V có V4) u 0 u u v u V5) v )u u (u v) u )u V7)... n) 1 n là s nguyên t IS BOOLE Lý thuy t i s Boole c George Boole (1815 - 1864) gi i thi u vào n m 1854 trong bài báo "Các quy lu t c a t duy", trong ó k thu t i s c dùng phân tích các quy lu t c a lôgích và các ph ng pháp suy di n Sau ó i s Boole c áp d ng trong các l nh v c khác nhau c a toán h c nh i s , gi i tích, xác su t Vào kho ng n m 1938, Claude Shannon (Clau Sê-nôn) ( m t k s vi n thông... tiên ã áp d ng i s Boole vào l nh v c máy tính i n t và lý thuy t m ng 1.6.1 nh ngh a và các tính ch t c b n c a nh ngh a 1.27: M t hai ngôi , :B B và phép toán m t ngôi • B1: , i s Boole i s Boole ( B, , , ' ) là m t t p khác tr ng B v i hai phép toán B ': B B tho mãn các tiên có tính k t h p, ngh a là v i m i sau: a, b, c B 29 Ch ng 1: M a u v lôgíc m nh (b c) , • B2: , t p h p ánh x và các c u trúc... d 1.37: Xét B2 a b thì ( B2 , , , ' ) 0 1 a b P ( X ), , ngh a là v i là m t c) (a b) (a c) X Các lu t h p thành X và phép toán m t ngôi ' là phép l y ph n bù c a , , ' là i s Boole v i ph n t không là và ph n t min(a, b) , a ' 1 a i s Boole 0;1; a; b , ta nh ngh a các phép toán 0 1 a b 0 0 0 0 0 a 1 a 1 b 1 1 b 0 1 1 0 1 a b 0 1 a b 1 1 1 1 thì ( B4 , , , ' ) là (b 0;1 t p g m hai s 0 và 1 Ta nh... phép toán này thì f ( x) g ( x) C[ a;b] là m t vành giao hoán có c c a 0 K [x], , là m t vành nguyên, trong ó K [x] là t p các a th c c a bi n x có h s thu c vào vành s K , , , 3) 4) T p Ta có th x y mod n các s n ch ng minh x' y ' (mod n) và xy nhân trong x c r ng n u n x x' (mod n) , y x' y ' (mod n) Vì v y ta có th y x y và x y x y (1.25) 5(mod 7) 4(mod 7) 5(mod 7) 4(mod 7) V i hai phép toán này... nhóm t nhóm ( * , ) lên nhóm ( , ) Vành nh ngh a 1.24: Gi s trên t p và d u nhân, khi ó A1: ( A, , ) A có hai lu t h p thành trong ký hi u b i d u c ng c g i là m t vành n u: ( A, ) là m t nhóm Abel, A2: Lu t nhân có tính k t h p, A3: Lu t nhân có tính phân ph i hai phía x, y , z A: x (y x, y , z A : (x i v i lu t c ng, ngh a là: z) x y x z phân ph i bên trái y) z x z y z phân ph i bên ph i N u tho... i là X nu 1 x , nh ng m i ph n t khác 0 trong x' X c g i là ph n t i x ng i x ng là chính nó u có tính k t h p và giao hoán S 0 là ph n t i v i phép c ng và 1 là ph n t trung hoà t trung hoà c a phép toán c ng véc t trong , e x 4) Gi s * có ph n t trung hoà c a x X n u x x' x' x e trung hoà is R3 i v i phép nhân trong Véc t i v i phép c ng thì m i ph n t ic a x 0 là ph x trong , 0 ng v i phép nhân . ht các bài toán đc xây dng theo lc đ: t bài toán, chng minh s tn ti li gii bng lý thuyt và cui cùng nêu thut toán gii quyt bài toán này ( - - - - - - - BÀI GING TOÁN CAO CP (A2) Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG Ths.  PHI NGA Lu hành ni b HÀ NI - 2006 LI NÓI U Toán cao cp A 1 , A