Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH - Nguyễn Đức Phương

Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH

Mục lục

được gọi là ma trận cấp m  n: Tập hợp tất cả ma trận cấp m  n trên R được ký hiệu Mmn.R/:

Định nghĩa 1.2 (Ma trận vuông) Ma trận có số dòng bằng với số cột

(m D n) được gọi là ma trận vuông cấp n.

Định nghĩa 1.3 (Đường chéo của ma trận vuông).

 Đường chéo chứa a11; a22; : : : ; ann là đường chéo chính

A D

0

BBB

 Đường chéo ngược lại là đường chéo phụ.

A D

0

BBB

Định nghĩa 1.4 (Các ma trận vuông đặc biệt).

 Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính

bằng 0 được gọi là ma trận chéo cấp n.

 Ma trận chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được

gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là In:

1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 3

Định nghĩa 1.5 Ma trận vuông có tất cả các phần tử trên (dưới) đường

chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới (trên).

 A gọi là ma trận tam giác dưới.

 B gọi là ma trận tam giác trên.

Định nghĩa 1.6 Ma trận vuông có các phần tử đối xứng qua đường

chéo chính bằng nhau (aij D aj i) gọi là ma trận đối xứng

tất cả các dòng của A thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A:

ii ˛.A C B/ D ˛A C ˛BI

iii .˛ C ˇ/A D ˛A C ˇA:

1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 5

 Trong một ma trận, phần tử khác không đầu tiên (trái sang phải)

của dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng.

Định nghĩa 1.16 (Ma trận bậc thang) Ma trận thỏa hai điều sau được

1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Trang 7

Định nghĩa 1.17 Ma trận bậc thang rút gọn (đơn giản) là ma trận bậc

thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.

Ví dụ 1.15 Ma trận nào sau đây là ma trận bậc thang rút gọn:

1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng

 Ma trận B nhận được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta

Định lý 1.19 Mọi ma trận đều có thể được đưa về ma trận bậc thang

bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sớ cấp.

Định nghĩa 1.20 (Hạng của ma trận) Dùng phép biến đổi sơ cấp trên

dòng biến A thành ma trận bậc thang QA: Hạng của A, ký hiệu r.A/ là số

ii Nếu A D aij/mn thì r.A/  minfmI ngI

iii Nếu A là ma trận vuông có jAj ¤ 0 khi và chỉ khi r.A/ D n:

Trang 10 Chương 1 Ma trận, định thức

Chú ý Ta nên chuyển các cột không chứa tham số lên đầu.

Ví dụ 1.20 Biện luận theo m số hạng của

A D

0

BB

Định nghĩa 1.22 (Định thức) Định thức của ma trận vuông A cấp n;

ký hiệu det A hay jAj được định nghĩa quy nạp như sau:

 Nếu n D 1 thì jAj D ja11j D a11:

 Nếu n D 2 thì jAj D

ˇˇˇˇ

a11 a12

a21 a22

ˇˇˇ

Trang 12 Chương 1 Ma trận, định thức

Chú ý Quy tắc sáu đường chéo tính định thức ma trận cấp 3

jAj D

ˇˇˇˇˇˇ

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

ˇˇˇˇˇˇ

a11 a12

a21 a22

a31 a32

D.a11a22a33 C a12a23a31 C a13a21a32/.a11a22a33 C a12a23a31 C a13a21a32/

1 2 0

2 1 1

3 3 1

ˇˇˇˇˇˇ

I jBj D

ˇˇˇˇˇˇ

2 1 1

1 2 0

3 3 1

ˇˇˇˇˇˇ

2 1 0

3 3 1

ˇˇˇˇˇˇ

I jBj D

ˇˇˇˇˇˇ

6 3 0

3 3 1

ˇˇˇˇˇˇ

và suy ra giá trị j3Aj:

1 1 3

2 3 1

ˇˇˇˇˇˇ

và định thức của ma trận

Nhận xét Phép biến đổi trong tính chất ?? và ?? còn được viết chung

ˇˇˇˇˇˇˇˇˇ

ˇˇˇˇˇˇˇˇˇ

Ví dụ 1.28 Tính định thức

ˇˇˇˇˇˇ

y b y C 3

ˇˇˇˇˇˇ

1.7 Ma trận khả nghịch Trang 15

Chú ý Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biến đổi

trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột

Chú ý Một số kết quả đặc biệt

 Dạng chia khối: nếu A; C là hai ma trận vuông và O là ma trận

không

ˇˇˇˇ

A B

O C

ˇˇˇ

ˇ D

ˇˇˇˇ

A 0

B C

ˇˇˇ

Định nghĩa 1.27 Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu

tồn tại ma trận vuông cùng cấpA 1 sao choAA 1

Trang 16 Chương 1 Ma trận, định thức

1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo

Cho ma trậnA vuông cấp n; ta tìm A 1 nếu có như sau:

(1.1)

ˆˆ:

I B D

0

BBB

I X D

0

BBB

Khi đó hệ?? được viết dưới dạng ma trận AX D B:

Ví dụ 2.1 Viết dạng ma trận

8ˆ

ˆ

x1 x2 C 2x3 C 4x4 D 42x1 C x2 C 4x3 D 3

Trang 20 Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

ˆ

x1 2x2 C x3 D 52x1 C 3x2 2x3 D 1

x1 C x2 C 2x3 D 1

2.2 Hệ Cramer Trang 21

2.2.2 Biện số nghiệm hệ n phương trình n ẩn

Trường hợp 1 Nếu jAj ¤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.

vô số nghiệm

Ví dụ 2.4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình

(.m C 1/x C y D m C 2

x C m C 1/y D 0

có nghiệm

Trang 22 Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 2.5 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

8ˆ

ˆ

4x C m C 5/y C m 3/z D m C 18x C 12y C m 4/z D m C 4

2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 23

2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss giải hệp phương trình có 3 bước:

@

a11 a12


a1n b1

a21 a22


a2n b2::: :::


::: :::

am1 am2


amn bm

1

CCCA

Bước 2 Đưa NA về ma trận bậc thang QA

Bước 3 Viết lại hệ và giải ngược lại từ dưới lên trên.

Ví dụ 2.6 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

8ˆ

ˆ

x C y C z D 6

x C 4y C z D 10

Trang 24 Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

Định lý 2.4 (Kronecker-Capelli) Hệ phương trình tuyến tính AX D B

có nghiệm khi và chỉ khi r.A/ D r NA/:

Nhận xét.

i r.A/  r NA/:

ii Nếu r.A/ < r NA/ thì hệ vô nghiệm.

iii Nếu r.A/ D r NA/ D n thì hệ có nghiệm duy nhất.

iv Nếu r.A/ D r NA/ < n thì hệ có vô số nghiệm.

Ví dụ 2.7 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

8ˆ

ˆ

x C y C 2z D 2

2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss Trang 25

Ví dụ 2.8 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

8ˆ

ˆ

2x C y 4z D 33x C y 7z D 4

Trang 26 Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

2.4 Hệ phương trình thuần nhất

Định nghĩa 2.5 Hệ phương trình tuyến tính

8ˆˆ

<

ˆˆ:

được gọi là thuần nhất.

Dạng ma trận của hệ thuần nhất trên là AX D O; trong đó O là ma

trận không

Nhận xét.

 Do r.A/ D r NA/ nên hệ ?? luôn có nghiệm.

 X D 0I 0I : : : I 0/ luôn là nghiệm của ?? và nghiệm này được gọi là

nghiệm tầm thường

Ví dụ 2.9 Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm

tầm thường

8ˆ

ˆ

3x C m2y C m 5/z D 0

4y C m C 2/z D 0

2.4 Hệ phương trình thuần nhất Trang 27

Ví dụ 2.10 Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm

8ˆ

ˆ

x1 C 2x2 C 2x3 C 2x4 D 02x1 C 3x2 C 4x3 C x4 D 0

x1 C x2 C 2x3 x4 D 0Chỉ ra nghiệm tổng quát, nghiệm cơ bản

Trang 28 Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

Chương 3

Không gian vector

3.1 Không gian vector, không gian vector con

Định nghĩa 3.1 Cho tập V khác rỗng, hai phép toan cộng và nhân vô

hướng

V  V ! V.x; y/ 7! x C y I

R V ! V.; y/ 7! x

ta nói V cùng hai phép toán trên là không gian vector trên R nếu thỏa 8 điều sau:

Chú ý Mỗi x 2 V gọi là một vector và mỗi  2 R gọi là một vô hướng.

Tính chất 3.2 Không gian vector có các tính chất :

Trang 30 Chương 3 Không gian vector

Định nghĩa 3.3 (Không gian vector con) Cho không gian vector V; W 

V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là không gian

3.1 Không gian vector, không gian vector con Trang 31

Ví dụ 3.3 Tập nghiệm của hệ

8ˆ

Trang 32 Chương 3 Không gian vector

3.2 Độc lập, phụ thuộc tuyến tính

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính

u D ˛2u2 C ˛2u2 C


C ˛nun; ˛i 2 R (3.2)

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ n vector U:

Cho trước vector u và bộ vector U: Nếu tồn tại ˛i để thỏa ?? thì ta gọi

u biểu diễn được theo bộ vector U:

u2 D 2I 1I 4/: Trong đó:

a u D 4I 7I 8/:

b u D 5I 7I 8/:

3.2 Độc lập, phụ thuộc tuyến tính Trang 33

3.2.2 Độc lập tuyến tính

lập tuyến tính nếu

˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛nun D  thì ˛i D 0; 8i D 1; 2; : : : ; n (3.3)

Hệ U không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính

U D fu1 D 1I 2/; u2 D 3I 1/g

U D fu1 D 1I 2I 3/I u2 D 1I 2I 5/I u3 D 2I 0I 2/g

Trang 34 Chương 3 Không gian vector

Định lý 3.7 Hệ n vector là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

trong hệ 1 vector là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại.

Ví dụ 3.7 Hệ

U D fu1 D 1I 2I 3/I u2 D 2I 4I 6/I u3 D 2I 0I 2/g

là phụ thuộc tuyến tính vì sao?

Nhận xét Trong Rn để xét sự độc lập tuyến tính của hệ U gồm m vector

ta thực hiện các bước:

 Lập ma trận A có dòng i là vector ui:

 Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r.A/ D m: Ngược lại, hệ

U là phụ thuôc tuyến tính khi và chỉ khi r.A/ < m:

U D fu1 D 2I 1I 3/; u2 D 1I 2I 2/; u3 D 3I 4I 4/g

3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 35

Chú ý Trong Rn; hệ U có n vector độc lập tuyến tính khi và chỉ khi

jAj ¤ 0:

U D fu1 D mI 1I 1/; u2 D 1I mI 1/; u3 D 1I 1I m/g

3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector

3.3.1 Không gian sinh

Định nghĩa 3.8 (Không gian sinh bởi hệ vector U ) Trong không gian

vector V cho hệ m vector Tập

hU i D fu D ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛nunI ˛i 2 Rg (3.4)

gọi là không gian sinh bởi U: Nếu hU i D V thì ta gọi V được sinh bởi U; hay U là hệ sinh của S:

Trang 36 Chương 3 Không gian vector

; U D fu1 D 1I 2/I u2 D 0I 1/g là hệ sinh của R3:

U D fu1 D 1I 1I 1/I u2 D 0I 1I 1/gkhông là hệ sinh của R3:

3.3.2 Số chiều và cơ sở

Định nghĩa 3.9 (Số chiều) Không gian vector V nếu có nhiều nhất m

vector độc lập tuyến tính thì ta gọi số chiều của không gian V là m; ký hiệu dim V D m:

3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 37

Định nghĩa 3.10 (Cơ sở) Hệ U gồm n vector độc lập tuyến tính trong

không gian V có n chiều được gọi là không gian vector.

Định lý 3.11 Nếu U là cơ sở của V thì hU i D V: Khi đó mọi vector

v 2 V đều viết được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của

m vector trong U:

Nhận xét Tìm số chiều của không gian sinh bởi U W

 Lập ma trận A có dòng i là vector ui:

Trang 38 Chương 3 Không gian vector

 dim hU i D r.A/:

U D fu1 D 1I 2I 1I 2/; u2 D 2I 1I 2I 1/; u3 D 1I 3I 1I 1/; u4 D 3I 4I 3I 0/gtìm số chiều của hU i và tìm một cơ sở của hU i

Ví dụ 3.16 Tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm.

8ˆ

ˆ

x1 C x2 2x3 D 0

x1 C 2x2 C 2x3 D 0

x1 C 3x2 C 6x3 D 0

3.3 Số chiều, cơ sở của không gian vector Trang 39

Nhận xét Nếu gọi ma trậnA có cột j là vector uj của U thì khi đó ŒxUchính là là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính A
ŒxU D x;

3.3.3 Tọa độ của vector theo cơ sở U

Định nghĩa 3.12 Trong không gian vector V; Cho cơ sở

U D fu1; u2; : : : ; umg

Mọi x 2 V tồn tại duy nhất ˛i sao cho

x D ˛1u1 C ˛2u2 C


C ˛mum

ký hiệu ŒxU D ˛1I ˛2I : : : I ˛m/T; được gọi là tọa độ của x theo cơ sở U:

U D fu1 D 1I 2I 1/; u2 D 1I 1I 3/; u3 D 1I 5I 4/g

và vector x D 9I 20I 17/: Tìm ŒxU;

Trang 40 Chương 3 Không gian vector

U1 D fu1 D 1I 0/; u2 D 1I 1/g và U2 D fv1 D 1I 2/; v2 D 3I 1/g

và ŒxU2 D 70

 Tìm ŒxU1:

Nhận xét Trong R2 cho hai cơ sở U1 D fu1; u2g và U2 D fv1; v2g : Giả sửŒxU 1 D ˛˛1

3.4 Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau Trang 41

3.4 Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau

3.4.1 Ma trận chuyển cơ sở

Định nghĩa 3.13 (Ma trận chuyển cơ sở) Trong không gian vector n

chiều, cho hai cơ sở

Trang 42 Chương 3 Không gian vector

i. PU 1 !U 1 D I ;

ii. PU 1 !U 2 D PU 2 !U 1/ 1

iii. PU 1 !U 3 D PU 1 !u 2
PU 2 !U 3I

3.4.2 Công thức đổi tọa độ

Định lý 3.15 (Công thức đổi tọa độ) Trong không gian vector V cho hai

cơ sở U1; U2 và vector x 2 V: Ta có công thức đổi tọa độ

1

A

Tìm ŒxU2:

3.5 Không gian Euclide

Định nghĩa 3.16 (Tích vô hướng) Xét không gian vector V trên R: Với

mọi x; y 2 V và  2 R ta định nghĩa phép toán hxjyi thỏa mãn bốn tính chất

i hxjyi  0 và hxjxi D 0 khi và chỉ khi x D 0I

ii hxjyi D hyjxi I

3.5 Không gian Euclide Trang 43

iii hx C yjzi D hxjzi C hyjzi I

iv hxjyi D  hxjyi :

được gọi là tích vô hướng.

Định nghĩa 3.17 (Không gian Euclide) Không gian vector V hữu hạn

chiều với tích vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide.

hxjyi D h.x1I : : : I xn/j.y1I : : : I yn/i D x1y1 C


C xnynKhi đó,Rn với tích vô hướng như trên là một không gian Euclide

3.5.1 Chuẩn của một vector

Định nghĩa 3.18 Trong không gian Euclide V; số thực phxjxi được gọi

là chuẩn của vector x; ký hiệu jjxjj:

; cho vector x D 2I 3I 1/: Tínhjjxjj:

3.5.2 Cơ sở trực chuẩn

Cho V là không gian Euclide n chiều:

Định nghĩa 3.19 (Trực giao) Hai vector x; y được gọi là trực giao nếu

hxjyi D 0:

Định nghĩa 3.20 (Cơ sở trực giao) Một cơ sở U của V được gọi là trực

giao nếu các vector của U là trực giao với nhau từng đôi một.

U D fu1 D 1I 0I 0/; u2 D 0I 1I 1/; u3 D 0I 1I 1/g

là cơ sở trực giao

Trang 44 Chương 3 Không gian vector

Định nghĩa 3.21 (Cơ sở trực chuẩn) Một cơ sở U của V được gọi là trực

chuẩn nếu U là trực giao và chuẩn của các vector trong cơ sở đó là 1.

U D



u1 D 1I 0I 0/; u2 D

0Ip1

2Ip12



; u3 D

0Ip1

2I p1

2



là cơ sở trực chuẩn

3.5.3 Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt

Trong không gian Euclide n chiều V; xét một cơ sở U D fu1; u2; : : : ; ungtùy ý Ta xây dựng cơ sở trực chuẩn như sau:

Bước 1 Xây dựng cơ sở trực giao bằng cách đặt:

hóa các vector vi ở bước 1:

w1 D v1

jjv1jj; w2 D

v2jjv2jj; : : : ; wn D

vnjjvnjj

3.5 Không gian Euclide Trang 45

U D fu1 D 1I 1I 0/; u2 D 0I 1I 2/; u3 D 1I 0I 1/g

không gian Euclide n chiều V và v 2 V thì

ŒuW D hujw1i ; hujw2i ; : : : ; hujwni/T (3.6)

U D fu1 D 0I 1I 1/; u2 D 1I 1I 2/; u3 D 1; 1; 1/g

a Trực chuẩn hóa U:

b Tìm tọa độ của x D 2I 1I 3/ theo cơ sở trực chuẩn ở câu trên.

Trang 46 Chương 3 Không gian vector

Chương 4

Ánh xạ tuyến tính

4.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 4.1 (Ánh xạ tuyến tính) Cho X và Y là hai không gian

vector trên R: Ánh xạ f W X ! Y được gọi là ánh xạ tuyến tính từ X vào

Y nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

i f ˛x/ D ˛f x/; 8x 2 X; ˛ 2 RI

ii f x C y/ D f x/ C f y/; 8x; y 2 X:

Chú ý Trong giới hạn chương trình ta chỉ khảo sát ánh xạ tuyến tính

f W Rn ! Rm: Nếu m D n ta gọi f là toán tử tuyến tính

! R2 được định nghĩa

f x1I x2I x3/ D x1 x2 C x3I x2 x3/

là ánh xạ tuyến tính

Trang 48 Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

! R2 được định nghĩa

f x1I x2/ D x1 2I 2x1 C x2/không là ánh xạ tuyến tính

 Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox; Oy W

f xI y/ D xI 0/; f xI y/ D 0I y/

 Phép đối xứng qua trục Ox; Oy W

f xI y/ D xI y/; f x; y/ D xI y/

4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 4.2 Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y W

 Tập

Ker.f / D fx 2 X W f x/ D Yg (4.1)

được gọi là nhân của f:

4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Trang 49

i Ker.f / là không gian vector con của XI

ii I m.f / là không gian vector con của Y I

iii f đơn ánh khi và chỉ khi Ker.f / D fXgI

iv f toàn ánh khi và chỉ khi I m.f / D Y I

v Nếu hU i D X thì hf U /i D Im.f /:

! R2 được định nghĩa

f x1I x2I x3/ D x1 x2 C 2x3I 2x1 x3/Tìm Ker.f / và I m.f /:

Trang 50 Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 4.4 Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y W

 dim Ker.f / được gọi là số khuyết của f; ký hiệu d.f /:

 dim I m.f / được gọi là hạng của f; ký hiệu r.f /:

! R2 được định nghĩa

f x1I x2I x3/ D x1 C x2I x2 C x3I x2 x3/Tìm số khuyết và hạng của f:

4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Trang 51

Định lý 4.5 Cho X và Y là hai không gian vector hữu hạn chiều Nếu

f là ánh xạ tuyến tính từ X vào Y thì

dim Ker.f / C dim Im.f / D dim X (4.3)

Hệ quả 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f W X ! Y có dim X D dim Y: Khi

đó các điều sau là tương đương:

Trang 52 Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

Chú ý Nếu f song ánh thì f có ánh xạ ngược f 1:

4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Trang 53

ii Œf x/U2 D Œf U 2

U 1
ŒxU 1; 8x 2 Rn:

! R2 và 2 cơ sở U1; U2 tương

Trang 54 Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Trang 55

Trang 56 Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

là hai cơ sở của Rn và U0

1; U20 là hai cơ sở của Rm: Nếu f là ánh xạ tuyến

tình từ Rn vào Rm thì

Œf U

0 2

U 2 D PU 20!U 10
Œf U

0 1

4.4 Trị riêng, vector riêng Trang 57

4.4 Trị riêng, vector riêng

4.4.1 Ma trận đồng dạng

Định nghĩa 4.11 (Ma trận đồng dạng) Hai ma trận A và B được gọi là

đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho B D P 1

A
P:

và Œf U2 là đồng dạng.

4.4.2 Đa thức đặc trưng

Định nghĩa 4.13 (Đa thức đặc trưng của ma trận) Đa thức đặc trưng

của ma trận vuông A cấp n là đa thức bậc n của  2 R được định nghĩa