Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 do Ngô Quang Minh biên soạn cung cấp cho các bạn những kiến thức về lý thuyết chuỗi. Nội dung bài giảng bao gồm những bài sau: Bài 1 Khái niệm cơ bản về chuỗi số; bài 2 Chuỗi số dương; bài 3 Chuỗi số có dấu tùy ý.
10/13/2012 ỉ Chng 7. Lý thuyt chui Đ1. Khỏi nim c bn v chui s Đ2. Chui s dng Đ3. Chui s cú du tựy ý Đ1. KHI NIM C BN V CHUI S 1.1. nh ngha Cho dóy s cú vụ hn cỏc s hng u1, u 2, ., un , . Biu thc u1 u2 . un . un n c gi l chui s. Cỏc s u1, u 2, ., un , . l cỏc s hng v un c gi l s hng tng quỏt ca chui s. ỉ Chng 7. Lý thuyt chui Tng n s hng u tiờn Sn u1 u2 . un c gi l tng riờng th n ca chui s. Nu dóy Sn n Ơ chui s hi t v cú tng l S , ta ghi l Ngc li, ta núi chui s phõn k. Vy aq n1 hi t q n 1. n(n 1) . n Gii. Ta cú: 1 1 Sn . 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 1 1 1 . n n Gii. Sn Sn n . n aq n1 vi a . n Gii q 1: Sn na chui phõn k. q 1: Sn u1 . qn qn a. q 1q ỉ Chng 7. Lý thuyt chui chui hi t. n VD 3. Xột s hi t ca chui s ln n . Gii. Ta cú: ln ln(n 1) ln n n Sn ( ln ln 2) ( ln ln 3) ( ln ln 4) . [ ln n ln(n 1)] ln(n 1) chui phõn k. VD 4. Xột s hi t ca chui s . n n chui phõn k. n ỉ Chng 7. Lý thuyt chui n n VD 2. Xột s hi t ca chui s un S . VD 1. Xột s hi t ca chui nhõn ỉ Chng 7. Lý thuyt chui a Vi q thỡ Sn chui hi t. q Vi q thỡ Sn chui phõn k. hi t n s S hu hn thỡ ta núi n . ỉ Chng 7. Lý thuyt chui 1.2. iu kin cn chui s hi t Nu chui u 0, un hi t thỡ nlim n n ngc li nu lim un thỡ n un phõn k. n VD 5. Xột s hi t ca chui s n4 3n n . n Gii. Ta cú: un n4 3n n chui phõn k. 10/13/2012 ỉ Chng 7. Lý thuyt chui ỉ Chng 7. Lý thuyt chui n5 VD 6. Xột s hi t ca chui s . n n Gii. Ta cú: n5 un chui phõn k. n 1.3. Tớnh cht Nu n n n Nu un , n u n hi t thỡ: n un c gi l chui s dng nu un 0, n n un nh lý 1. Cho hai chui s dng n . Nu Tớnh cht hi t hay phõn k ca chui s khụng i nu ta thờm hoc bt i hu hn s hng. Nu hi t thỡ VD 1. Xột s hi t ca chui s Gii. Ta cú: Do 2n n n.2 2n n n n .2 un phõn k thỡ n.2n n hi t. VD 2. Xột s hi t ca chui iu hũa bng cỏch n n so sỏnh vi ln . n n ỉ Chng 7. Lý thuyt chui Cho hai chui s n n un , n Nu k thỡ n n un phõn k Nu k thỡ un hi t n Nu k thỡ n n n phõn k. ln n phõn k nờn n Do n phõn k. n ỉ Chng 7. Lý thuyt chui tha: un v vi n ln v lim n Gii. Xột hm s f (t ) t ln(1 t ) ta cú: t f (t ) 0, t f (t ) 0, t 1t 1 ln 0, n 1. n n . n nh lý hi t. n ỉ Chng 7. Lý thuyt chui , n . hi t nờn un n ỉ Chng 7. Lý thuyt chui n u n , v n tha: n n n un , n n . un un . n . Khi un 0, n thỡ chui s l dng thc s. 2.2. Cỏc nh lý so sỏnh v n hi t thỡ: (u n v n ) Đ2. CHUI S DNG 2.1. nh ngha un k. n (n 1) VD 3. Xột s hi t ca chui s bng cỏch n n n n .3 so sỏnh vi . n Do un , cựng tớnh cht. n n (n 1) hi t nờn n.3n hi t. n n phõn k. hi t. n 2n (n 1) n 1 : . n 3 n n.3 Gii. Ta cú Chỳ ý Chui n n hi t v phõn k . 10/13/2012 ỉ Chng 7. Lý thuyt chui n n n . 2n ỉ Chng 7. Lý thuyt chui Do Cỏch khỏc Khi n thỡ: n 2n n : 2.n n 2.n Cho chui s dng un v nlim un n Nu D thỡ chui hi t. Nu D thỡ chui phõn k. Nu D thỡ cha th kt lun. VD 5. Xột s hi t ca chui s un un n n n : n 2n Gii. Ta cú: n . n n 3n n un un n n un C . Nu C thỡ chui hi t. Nu C thỡ chui phõn k. Nu C thỡ cha th kt lun. 5n (n !)2 . n (2n )! 5n 1(n 1)!(n 1)! 5n.n ! n ! : (2n 2)! (2n )! 5(n 1)2 chui phõn k. (2n 2)(2n 1) ỉ Chng 7. Lý thuyt chui VD 8. Xột s hi t ca chui s v lim hi t. ỉ Chng 7. Lý thuyt chui un n n VD 6. Xột s hi t ca chui s 2.3.2. Tiờu chun Cauchy Cho chui s dng n n n 2n chui hi t. 3(n 1) n 2n D. n un 2.n hi t nờn ỉ Chng 7. Lý thuyt chui 3n n n . ỉ Chng 7. Lý thuyt chui 2.3. Cỏc tiờu chun hi t 2.3.1. Tiờu chun DAlembert Gii. Ta cú: . 2n n n hi t nờn hi t. n 2n n Do : n VD 4. Xột s hi t ca chui s Gii. Ta cú Gii. Ta cú: n un nn 3n . n n chui phõn k. n2 VD 7. Xột s hi t ca chui s . n n Gii. Ta cú: n un chui hi t. 10/13/2012 ỉ Chng 7. Lý thuyt chui 2.3.3. Tiờu chun Tớch phõn Maclaurin Cauchy Cho hm s f (x ) liờn tc, khụng õm v gim trờn na khong [k ; ), k Ơ. Khi ú: f (n ) hoọi tuù n k n n2 Gii. Ta cú: dx x phõn k chui n n2 (1)n un c gi l n chui s an du nu un 0, n . VD 1. (1)n 2n n , (1)n 2n l cỏc chui an du. n n b) nh lý Leibnitz Nu dóy {un }nƠ gim nghiờm ngt v un thỡ chui (1)n un x ln x hi t. Khi ú, ta gi l chui Leibnitz. 1 Vi n 2k : . 22k 1 Vi n 2k : . 22k 2 n ln t n ln3 n hi t hi t. n (1)n . n n 1 Gii. Dóy un gim ngt v chui hi t. n n VD 3. Xột s hi t ca chui s (1)n n Gii. un t 2n 2n . 1 khụng cú kt lun. 2n (1)n n n 2n 2n , ta cú: ỉ Chng 7. Lý thuyt chui VD 4. Xột s hi t ca chui s n (1)n n (1)n . Gii n ( 1) n (1)n (1)n n (1) n n n n n (1) n n dt VD 2. Xột s hi t ca chui s ỉ Chng 7. Lý thuyt chui ỉ Chng 7. Lý thuyt chui n lim nờn Do phõn k. ỉ Chng 7. Lý thuyt chui a) nh ngha. Chui s dx . Đ3. CHUI S Cể DU TY í 3.1. Chui an du n Gii. Ta cú: k n ln3 n . VD 10. Xột s hi t ca chui s f (x )dx hoọ i tuù. VD 9. Xột s hi t ca chui s ỉ Chng 7. Lý thuyt chui phõn k. n l chui iu hũa nờn phõn k. n (1)n n l chui Leibnitz nờn hi t. n n (1)n Vy chui phõn k. n n n (1) 10/13/2012 ỉ Chng 7. Lý thuyt chui ỉ Chng 7. Lý thuyt chui b) nh lý 3.2. Chui cú du tựy ý a) nh ngha un , un Ă c gi l chui cú du tựy ý. un c gi l hi t tuyt i nu un hi t. Chui n n n un c gi l bỏn hi t nu un hi t v n n un phõn k. n Nu un hi t thỡ chui cú du tựy ý n n VD 6. Xột s hi t ca chui s Gii n n2 (1)n VD 5. Chui s l bỏn hi t. n n cos(n n ) hi t nờn v n2 n n n Vy chui s ó cho hi t tuyt i. Do un un hi t. VD 7. Xột s hi t ca chui s n . cos(n n ) n2 hi t. (1)n (2)n 3n . ỉ Chng 7. Lý thuyt chui Gii. Ta cú: (1)n (2)n Chui 3n (1)n 3n n Do (2)n 3n Vy n (1)n 3n (2)n 3n . hi t theo tiờu chun Leibnitz. n (2)n hi t. 2. nờn 3n n (1)n (2)n 3n hi t.