Bài giảng Xác suất thống kê (Trường CĐ Công nghiệp Huế)

1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ    BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Th S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 01 năm 2015 Th S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 1 XÁC SUẤT 1 1 Giải tích tổ hợp[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Th.S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 01 năm 2015 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG XÁC SUẤT 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc đếm a) Quy tắc nhân: Công việc có k giai đoạn Giai đoạn i có ni cách thực có tất n1 n2 nk cách hồn thành cơng việc b) Quy tắc cộng: Cơng việc hoàn thành k hành động Hành động i có ni cách thực có tất n1+ n2+ + nk cách hồn thành cơng việc 1.1.2 Chỉnh hợp, tổ hợp a) Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k n phần tử gồm k phần tử có thứ tự lấy từ n phần tử khác (1≤k≤n) Số chỉnh hợp chập k n phần tử: A kn  n! (n  k)! b) Hoán vị n phần tử: Hoán vị n phần tử thứ tự n phần tử khác Số hoán vị n phần tử: Pn  n! c) Tổ hợp: Tổ hợp chập k n phần tử (1≤k≤n) gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử khác không kể thứ tự Số tổ hơp chập k n phần tử: Ckn  n! (n  k)!k! 1.1.3 Nhị thức Newton: a  b n n   C na n k bk k k 0 1.1.4 Các ví dụ Có cách xếp sinh v i ên vào lớp A, B, C, D cho lớp có sinh viên Một chồng sách gồm có sách Toán, sách Lý sách Hóa khác a) Có cách xếp 12 sách theo mơn b) Có cách xếp 12 sách cho sách Lý đặt kề Có cách phát 10 quà khác cho người cho người có q Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2 Phép thử - biến cố 1.2.1 Phép thử: Là hành động, thí nghiệm để nghiên cứu tượng 1.2.2 Biến cố: Là tượng xảy hay khơng xảy kết cục phép thử Quy ước: Dùng chữ in hoa để kí hiệu cho biến cố Ví dụ: Phép thử gieo xúc xắc Biến cố “xuất mặt chấm”, “xuất mặt có số chấm số chẳn” 1.2.3 Các phép toán biến cố - Biến cố chắn Ω : biến cố định xảy thực phép thử - Biến cố  : biến cố xảy thực phép thử - Biến cố tích AB: biến cố xảy A B đồng thời xảy - Biến cố tổng A + B: biến cố xảy biến cố A,B xảy - Quan hệ kéo theo AB: Nếu A xảy B xảy - Biến cố đối lập: biến cố đối lập biến cố A biến cố A =“A không xảy ra” - Biến cố xung khắc: A B gọi xung khắc A.B= 1.3 Xác suất biến cố 1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển Định nghĩa: Nếu phép thử có n biến cố đồng khả năng, có m biến cố thuận lợi cho biến cố A tỉ số m/n gọi xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Vậy m n m: số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, kí hiệu n(A) P(A)  Trong n : số biến cố sơ cấp đồng khả năng, kí hiệu n(Ω) P(A)  n(A) n() Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hai xúc xắc Giải Gọi A biến cố tổng số chấm xuất hai xúc xắc Số biến cố đồng khả n(Ω) = 6.6 = 36 Số biến cố thuận lợi cho A n(A) = Vậy P(A)  n(A)  n() 36 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo quan niệm thống kê Thực n lần phép thử thấy có m lần xuất biến cố A Khi đó, tỉ số fn(A):=m/n gọi tần suất xuất biến cố A thực n lần phép thử Nếu giới hạn lim f n (A) tồn xác suất biến cố A kí hiệu P(A) xác định n  công thức: P(A)  lim f n (A) n  Trong thực tế, n đủ lớn ta có: P(A) f n (A) 1.3.3 Tính chất xác suất Cho A, B biến cố phép thử ta có: ≤ P(A) ≤ ; P() = P(Ω) = Nếu A.B =  P(A + B) = P(A) + P(B) P(Ā) = – P(A) 1.4 Xác suất có điều kiện 1.4.1 Định nghĩa: Cho A, B hai biến cố phép thử P(A)>0 Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy số ký hiệu P(A/B) xác định công thức: P(A / B)  P(AB) P(B) 1.4.2 Biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) Các biến cố A1,A2, ,An gọi độc lập Ai Aj độc lập với i ≠ j 1.5 Cơng thức tính xác suất 1.5.1 Công thức nhân: Cho A, B hai biến cố phép thử, ta có P(AB)  P(A).P(B / A) Mở rộng: P(A1A2A3…An-1An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2A3…An-1) Đặc biệt, A1, A2, , An độc lập đơi P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An) Ví dụ 2: Hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa đỏ xanh, hộp thứ hai chứa đỏ xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tính xác suất: a) đỏ b) xanh c) hai khác màu d) lấy từ hộp thứ màu đỏ, biết khác màu Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Giải a) Gọi A biến cố đỏ A biến cố lấy từ hộp màu đỏ A biến cố lấy từ hộp màu đỏ Ta có A , A độc lập P(A)  P(A1A )  P(A1 )P(A )    0,24 10 25 b)Gọi B biến cố xanh 6 P(B)  P(A1.A )  P(A1 ).P(A )    0,24 10 25 c) Gọi C biến cố hai khác màu P(C) = P(A  B) =1 – P(A + B) =1 – [ P(A) + P(B)] = 0,52 d) Gọi D biến cố lấy từ hộp thứ màu đỏ, biết khác màu P(A1C) P(A1 A ) 10    P(D) = P(A /C) = P(C) P(C) 0,52 13 1.5.2 Công thức cộng: Cho A, B hai biến cố phép thử, ta có P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) Mở rộng:  n  n P   A i    P(A i )   P(A i A j )   P(A i A jA k )   ( 1) n 1 P(A1A A n ) 1i  j n 1i  jk n  i1  i1 Đặc biệt, AiAj =  với i ≠ j P(A1+A2+ +An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An) Ví dụ 3: Phát ngẫu nhiên q cho người Tính xác suất có người khơng nhận quà 1.5.3 Công thức xác suất đầy đủ, công thức bayes Nhóm đầy đủ: {Ai | i = 1, 2, 3, n } nhóm đầy đủ Giả sử {Ai | i = 1, 2, 3, n } nhóm đầy đủ A biến cố xảy biến cố Ai xảy ra, đó: a Cơng thức xác suất đầy đủ P(A)  P(A1)P(A / A1)  P(A )P(A / A 2)   P(A n )P(A / A n) b Công thức Bayes P(A i / A)  P(A i )P(A / A i )  P(A) P(A i )P(A / A i ) n  P(A k 1 k )P(A / A k ) Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ 4: Một phân xưởng có số lượng nam cơng nhân gấp lần số lượng nữ công nhân Tỷ lệ công nhân tốt nghiệp THPT nữ 15%, nam 25% Chọn ngẫu nhiên công nhân phân xưởng Tính xác suất: a) chọn được: - nam công nhân - nữ công nhân b) chọn công nhân đã tốt nghiệp THPT c) chọn nam công nhân tốt nghiệp THPT d) chọn công nhân nữ, biết người đã tốt nghiệp THPT Giải a) Gọi A biến cố chọn công nhân nam => A biến cố chọn công nhân nữ P(A)  P(A)  5 b) Gọi B biến cố chọn công nhân đã tốt nghiệp THPT Ta có A, A nhóm đầy đủ nên P(B )= P(A).P(B/A) + P( A ).P(B/ A ) = 0,25  0,15  0,23 5 c) Gọi C biến cố chọn công nhân nam tốt nghiệp THPT P(C) = P(AB) = P(A).P(B/A) = 0,25 = 0,2 d) Gọi D biến cố chọn công nhân nữ, biết người đã tốt nghiệp THPT 0,15 P(A.B) P(A).P(B / A) P(D)  P(A / B)     P(B) P(B) 0,23 23 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG Câu1: Hai bạn Đào Mai học xa nhà Xác suất để Đào Mai thăm nhà vào ngày chủ nhật tương ứng 0,2 0,25 Tính xác suất vào ngày chủ nhật: a) hai thăm nhà b) hai khơng thăm nhà c) có người thăm nhà d) Mai thăm nhà, biết có người thăm nhà Câu 2: Một tín hiệu S truyền từ điểm A đến điểm B Tín hiệu nhận B hai công tắc I II đóng Giả sử khả để cơng tắc thứ thứ hai đóng, tương ứng 0,8 0,6 Cho biết hai công tắc hoạt động độc lập Tính xác suất: a) tín hiệu nhận B b) cơng tắc thứ I mở, biết B khơng nhận tín hiệu S c) công tắc thứ II mở, biết B khơng nhận tín hiệu S d) hai công tắc I II mở, biết B khơng nhận tín hiệu S Câu 3: Có hộp: hộp đựng viên bi, hộp thứ i có i viên bi trắng (i = 1,2,3) Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi a) Tìm xác suất lấy viên bi trắng b) Tính xác suất lấy khơng viên bi trắng c) Tính xác suất lấy viên bi trắng d) Nếu bi lấy có bi trắng, tìm xác suất viên bi trắng hộp thứ nhất? Câu 4: Ba người chơi bóng rổ, người ném Xác suất ném trúng rổ người 0,5; 0,6 0,7 Tính xác suất: a) người ném trúng rổ b) có người ném trúng rổ c) có người ném trúng rổ d) người thứ ném trúng rổ, biết có người ném trúng rổ Câu 5: Hai bạn Bình n dự thi mơn xác suất thống kê cách độc lập Khả để Yên thi đạt môn 0,6 xác suất để có hai bạn thi đạt 0,9 Tính xác suất: a) bạn Bình thi đạt b) hai bạn thi đạt c) có bạn thi hỏng Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa Câu 6: Có hai chuồng gà: chuồng I có 12 gà mái gà trống; chuồng II có 15 gà mái 10 gà trống Quan sát thấy có gà chạy từ chuồng I sang chuồng II; sau đó, có gà chạy từ chuồng II ngồi Tính xác suất: a) hai gà chạy từ chuồng I sang chuồng II gà mái b) hai gà chạy từ chuồng I sang chuồng II có gà trống gà mái c) hai gà chạy từ chuồng I sang chuồng II gà trống d) gà chạy từ chuồng II ngồi gà trống Câu 7: Có hai chuồng thỏ, chuồng I có thỏ đen 12 thỏ trắng; chuồng II có thỏ đen 15 thỏ trắng Quan sát thấy từ chuồng I có thỏ chạy sang chuồng II; sau đó, từ chuồng II có thỏ chạy ngồi Tính xác suất: a) thỏ từ chuồng I chạy sang chuồng II: - thỏ trắng - thỏ đen b) hai thỏ chạy từ chuồng II hai thỏ trắng c) thỏ chạy từ chuồng có thỏ trắng thỏ đen d) hai thỏ chạy từ chuồng II hai thỏ đen Câu 8: Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu (một xạ thủ bắn viên đạn) Biết xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ I II 0,8 0,9 a) Tính xác suất hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu b) Tính xác suất có xạ thủ bắn trúng mục tiêu c) Biết có xạ thủ bắn trúng mục tiêu Tính xác suất xạ thủ I bắn trúng mục tiêu d) Biết có xạ thủ bắn trúng mục tiêu, xạ thủ bắn trượt lần thứ tiếp tục bắn lần thứ hai Tính xác suất lần hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu Câu 9: Rút ngẫu nhiên đồng thời từ Tú lơ khơ 52 Tính xác suất: a) rút Cơ b) rút Rô màu đen c) rút Cơ, biết hai màu đỏ d) rút màu Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 Khái niệm 2.1.1 Định nghĩa: Hàm số X xác định không gian biến cố sơ cấp  gọi biến ngẫu nhiên (BNN) Ví dụ 1: Gọi X số lần xuất mặt sấp gieo 10 lần đồng xu, X BNN X nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Ví dụ 2: Gọi X số hạt giống nảy mầm gieo n hạt, X BNN X nhận giá trị 0, 1, 2, 3, , n Kí hiệu X( ) = {1,1,2,…,n} Ví dụ 3: Gọi X thời gian sử dụng bóng đèn (đơn vị giờ) Khi đó, X BNN nhận giá trị khoảng [0,+) 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên Dựa vào tập giá trị BNN người ta chia BNN thành hai loại BNN rời rạc BNN liên tục Định nghĩa: BNN mà tập hợp giá trị nhận tập hữu hạn vô hạn đếm gọi biến ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại gọi BNN liên tục Ví dụ: Trong ví dụ trên: BNN X ví dụ ví dụ BNN rời rạc, BNN X ví dụ BNN liên tục 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.1 Bảng phân phối xác suất: bảng cho biết thơng tin giá trị nhận xác suất để nhận giá trị Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x1, x2, x3, xn với xác suất tương ứng P(X = xi) = pi Ta có bảng phân phối xác suất: x1 x2 X3 xn X p1 p2 P3 pn P Chú ý: p1 + p2 +… + pn = Ví dụ 1: Một sinh viên làm thí nghiệm A, B với xác suất thành cơng thí nghiệm tương ứng 0,6 0,7 Gọi X số thí nghiệm sinh viên làm thí nghiệm thành cơng Lập bảng phân phối xác suất X Giải Các giá trị X nhận X(Ω) = {0;1;2} Gọi A biến cố sinh viên làm thí nghiệm A thành cơng B biến cố sinh viên làm thí nghiệm B thành cơng Ta có A, B độc lập P(X = 0) = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,4.0,3 =0,12 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa P(X = 1)  P(A.B  A.B)  P(A).P(B)  P(A).P(B) = 0,6.0,3 + 0,4.0,7=0,46 P(X = 2)  P(A.B)  P(A)P(B) = 0,6.0,7 = 0,42 Bảng phân phối xác suất X P 0,42 0,46 0,42 2.2.2 Hàm phân phối Hàm phân phối biến ngẫu nhiên X kí kiệu F(x) xác định cơng thức F(x) = P(X 0,5 Kì vọng: n EX   x i pi i 1 Tính chất: EC = C EkX = kEX E(X  Y) = EX  EY , X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập n Phương sai: VX   (x i  EX) pi i 1 Tính chất: VC = VkX = k2VX V(X  Y) = VX + VY , X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập n Chú ý: VX = E(X2 ) - (EX)2 với EX   x 2i pi i 1 Độ lệch chuẩn: σ(X) = VX ... lượng nam công nhân gấp lần số lượng nữ công nhân Tỷ lệ công nhân tốt nghiệp THPT nữ 15%, nam 25% Chọn ngẫu nhiên cơng nhân phân xưởng Tính xác suất: a) chọn được: - nam công nhân - nữ công nhân... chọn công nhân đã tốt nghiệp THPT c) chọn nam công nhân tốt nghiệp THPT d) chọn công nhân nữ, biết người đã tốt nghiệp THPT Giải a) Gọi A biến cố chọn công nhân nam => A biến cố chọn công nhân... Tính xác suất lấy khơng viên bi trắng c) Tính xác suất lấy viên bi trắng d) Nếu bi lấy có bi trắng, tìm xác suất viên bi trắng hộp thứ nhất? Câu 4: Ba người chơi bóng rổ, người ném Xác suất ném