Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Xác suất thống kê với mục tiêu giúp các bạn có thể cung cấp các kiến thức để người học hiểu được bản chất xác suất và cách tính xác suất bằng các định nghĩa và bằng các công thức xác suất. Hiểu được bản chất và phân loại được đại lượng ngẫu nhiên. Lập được dãy phân phối xác suất, tìm kỳ vọng số, phương sai, độ lệch chuẩn, mode, ... của một tập hợp số liệu quan sát. Nắm được khái niệm về hàm ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ KINH DOANH, TIN HỌC ) ThS Nguyễn Thành Tâm Đồng Tháp – 2017 (Lưu hành nội bộ) UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN XÁC SUẤT THỐNG KÊ (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ KINH DOANH, TIN HỌC ) (SỐ TÍN CHỈ: (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS Nguyễn Thành Tâm Đồng Tháp - 2017 LỜI NÓI ĐẦU Đối tượng sử dụng Tài liệu xác suất thống kê dùng cho khối ngành kinh tế, ngành kế toán, quản trị kinh doanh, tin học sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng xem tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng Bài giảng môn học xác suất thống kê phân bố thành chương, cụ thể Chương 1: Những khái niệm lý thuyết xác suất Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên phân phối xác suất ĐLNN Chương 3: Mẫu ngẫu nhiên Chương 4:Ước lượng tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên Chương 5: Kiểm định giả thiết thống kê Mục tiêu môn học Xác suất thống kê mơn học thuộc lĩnh vực tốn ứng dụng mơn tốn có ứng dụng nhiều lĩnh vực đặc biệt lĩnh vực kinh tế Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Dựa thành tựu lý thuyết xác suất, thống kê toán khoa học định sở thông tin thu thập từ thực tế Hiện nội dung phương pháp xác suất thống kê phong phú áp dụng rộng rãi nhiều ngành, nhiều lĩnh vực Mục tiêu cụ thể môn học là: • Cung cấp kiến thức để người học hiểu chất xác suất cách tính xác suất định nghĩa công thức xác suất • Hiểu chất phân loại đại lượng ngẫu nhiên Lập dãy phân phối xác suất, tìm kỳ vọng số, phương sai, độ lệch chuẩn, mode, tập hợp số liệu quan sát Nắm khái niệm hàm ngẫu nhiên Hiểu rõ chất số quy luật phân phối xác suất thơng dụng • Giúp người học biết xếp số liệu thu qua thực nghiệm để xử lý thống kê Qua mẫu số liệu thu thập tính đặt trưng mẫu gồm: trung bình mẫu, phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu, mode mẫu • Cung cấp phương pháp ước lượng tham số thông kê tổng thể kiểm định giả thiết tham số tổng thể, so sánh hai trung bình, hai tỉ lệ hai tổng thể, tạo tản để phân tích liệu thống kê kinh tế xã hội Phương pháp giảng dạy Phương pháp thuyết trình, phân tích, thảo luận, giải vấn đề, thực hành nhóm • Giảng lý thuyết lớp: 28 tiết • Kiểm tra : tiết • Tự học, tự nghiên cứu: 60 tiết MỤC LỤC Lời nói đầu Mục lục Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Quy tắc nhân 1.1.2 Chỉnh hợp 1.1.3 Hoán vị 1.1.4 Tổ hợp 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1 Khái niệm phép thử biến cố 1.2.2 Các loại biến cố 100 1.2.3 Các mối quan hệ biến cố 12 1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 14 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển 14 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất 15 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 16 1.3.4 Các tính chất xác suất 18 1.4 CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 19 1.4.1 Công thức cộng xác suất 19 1.4.2 Công thức nhân xác suất 22 1.4.3 Cơng thức xác suất tồn phần 28 1.4.4 Công thức Bayes 29 Bài tập ôn tập chương 31 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 37 2.1 KHÁI NIỆM ĐLNN VÀ PHÂN LOẠI ĐLNN 37 2.1.1 Khái niệm ĐLNN 37 2.1.2 Các loại đại lượng ngẫu nhiện 38 2.1.3 Luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 38 2.2 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN 44 2.2.1 Kỳ vọng (Expectation) 44 2.2.2 Phương sai ( Variance) 46 2.2.3 Độ lệch chuẩn ( Standard deviation) 49 2.2.4 2.3 Mode 49 MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 50 2.3.1 Phân phối nhị thức B(n;p) 50 2.3.2 Phân phối Poisson P(a) 53 2.3.3 Phân phối siêu bội H(N;M;n) 54 2.3.4 Phân phối chuẩn N µ; σ 56 ( ) Bài tập ôn tập chương 61 Chương 3.1 THỐNG KÊ VÀ DỮ LIỆU 69 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 69 3.1.1 Thống kê thống kê kinh tế 69 3.1.2 Tổng thể mẫu 70 3.1.3 Các loại biến số loại thang đo ………………………… … 71 3.2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN MẪU 72 3.2.1 Một số phương pháp chọn mẫu 73 3.2.2 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên mẫu cụ thể 73 3.2.3 Các tham số đặc trưng mẫu ngẫu nhiên luật phân phối tham số mẫu 76 3.3 DỮ LIỆU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THAM SỐ MẪU CỤ THỂ77 3.3.1 Dữ liệu 77 3.3.2 Các tham số mẫu cụ thể 80 3.3.3 Sắp xếp số liệu để tính đặc trưng mẫu 80 3.3.4 Các phương pháp tính giá trị tham số đặc trưng mẫu 83 Bài tập ôn tập chương 89 Chương 4.1 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN 91 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 91 4.1.1 Đặt vấn đề 91 4.1.2 Các tiêu chuẩn ước lượng điểm 91 4.2 Phương pháp khoảng tin cậy 95 4.2.1 Đặt vấn đề 95 4.2.2 Phương pháp chung 95 4.2.3 Ước lượng trung bình 97 4.2.4 Ước lượng tỉ lệ 104 4.2.5 Ước lượng phương sai 107 Bài tập ôn tập chương 110 Chương 5.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 113 Các định nghĩa phương pháp kiểm định 113 5.1.1 Các khái niệm định nghĩa 113 5.1.2 Kiểm định giả thiết thống kê đặc trưng ĐLNN 114 5.1.3 Nguyên tắc kiểm định 114 5.2 Một số toán kiểm định 116 5.2.1 Kiểm định giả thiết trung bình 116 5.2.2 Kiểm định giả thiết tỉ lệ 120 5.2.3 Kiểm định giả thiết phương sai 122 5.2.4 Kiểm định giả thiết hai trung bình 124 5.2.5 Kiểm định giả thiết hai tỷ lệ 128 Bài tập ôn tập chương 131 Phụ lục 137 Tài liệu tham khảo 143 Chương NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết quả) Chẳng hạn thả vật từ cao chắn rơi xuống đất, ta biết vàng rụng xuống tượng diễn có tính quy luật, tất định Trái lại tung đồng xu ta kết mặt sấp hay ngửa, ta khơng biết có gọi đến tổng đài ngày, ta suất vụ mùa tới sau, cải tiến sản xuất tỉ lệ phế phẩm có giảm khơng tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất có ứng dụng việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế − xã hội, y học, nông nghiệp Trong chương ta làm quen với khái niệm, kết lý thuyết xác suất: − Nhắc lại sơ lược khái niệm giải tích tổ hợp − Các khái niệm biến cố, phép thử, không gian mẫu, loại biến cố quan hệ biến cố − Các định nghĩa xác suất: định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo thống kê, theo quan điểm hình học − Các cơng thức tính xác suất: cơng thức cộng xác suất, cơng thức nhân xác suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes − Làm quen với dãy phép thử Bernoulli công thức Bernoulli Để học tốt chương cần trang bị kiến thức giải tích tổ hợp, khái niệm, phép tính tập hợp, phân tích số tình thực tế để giải toán 1.1 1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Quy tắc nhân Xét ví dụ 1: Đoạn đường từ A đến C phải qua B Từ A đến B có cách đi, từ B đến C có cách Hỏi có cách từ A đến C? Giải − Số cách chọn đường từ A đến B − Số cách chọn đường từ B đến C Vậy số cách chọn đường từ A đến C 3.2 = Qui tắc nhân: Giả sử cơng việc chia thành k giai đoạn Có n1 cách thực giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực giai đoạn thứ 2, , nk cách thực giai đoạn thứ k Khi số cách thực công việc (1.1) n = n1 n2 nk Ví dụ 2: Một người có áo mới, quần mới, cà vạt, đôi giày Mỗi lần chơi người mặt áo, quần, thắt cà vạt mang đôi giày Hỏi người có cách để lựa chọn? Giải − Có cách chọn áo − Có cách chọn quần − Có cách chọn cà vạt − Có cách chọn giày Vậy số cách để người lựa chọn là: 5.4.3.3 = 180 Ví dụ 3: Có số tự nhiên gồm chữ số? Giải Gọi X = abcde số tự nhiên cần tìm Khi đó: a có cách chọn b có 10 cách chọn c có 10 cách chọn d có 10 cách chọn e có 10 cách chọn ⇒ có 9.10 cách chọn X ? a) Có số tự nhiên gồm chữ số chữ số kề phải khác nhau? b) Có số chẵn có chữ số 1.1.2 Chỉnh hợp - Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử ( k ≤ n ) nhóm gồm k phần tử khác nhau, có phân biệt thứ tự, chọn từ tập n phần tử cho trước Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu: Ank - Cơng thức tính: Ank = n! = n(n −1)…(n − k +1) (n − k )! (1.2) Ví dụ Một Chi đồn Thanh niên gồm 60 Đồn viên Hỏi có cách phân cơng ĐV phụ trách nhóm thiếu nhi (mỗi ĐV phụ trách nhóm đó) Giải Cách chọn Đồn viên để phụ trách nhóm thiếu nhi (mỗi ĐV phụ trách nhóm) chỉnh hợp chập 60 phần tử ⇒ có A 560 cách chọn thỏa yêu cầu đề ? a) Biết biển số xe gắn máy có chữ số Hỏi có tối đa biển số có chữ số hồn tồn khác nhau? b) Có cách xếp người vào dãy ghế có 10 ghế? 1.1.3 Hoán vị - Định nghĩa: Một phép hoán vị n phần tử cách xếp thứ tự n phần tử Số hốn vị n phần tử kí hiệu: Pn - Cơng thức tính Pn = n ! (1.3) Đặc biệt: Nếu k = n Ann = Pn = n ! Chú ý 0! = 1! = n! = n.( n − ).( n − ) 2.1 Ví dụ 5: Khi xếp 10 giáo trình khác vào kệ sách có cách xếp? Giải Vì cách xếp giáo trình lên kệ sách hoán vị 10 phần tử nên số cách xếp tất P10 = 10! ? Từ chữ số 1, 2, 3,4 lập tất số có chữ số? 1.1.4 Tổ hợp - Định nghĩa: Tổ hợp chập k n phần tử ( k ≤ n ) nhóm gồm k phần tử khác nhau, không phân biệt thứ tự, chọn từ tập n phần tử cho trước Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu: Cnk - Cơng thức tính: Cnk = n! Ak = n k !.(n − k )! k ! (1.5) Ví dụ 7: Từ lơ hàng gồm 10 sản phẩm, cần chọn ngẫu nhiên (đồng thời) sản phẩm để kiểm tra Hỏi có bao nhêu cách chọn? Giải Do cách chọn mẫu kiểm tra tổ hợp chập 10 phần tử nên tổng số cách chọn khác C10 = 10! = 120 3! ! ? Nhóm A gồm 10 Sinh viên nhóm B gồm 12 Sinh viên, cần chọn ngẫu nhiên sinh viên có sinh viên nhóm A sinh viên nhóm B Hỏi có bao nhêu cách chọn? Tính chất tổ hợp i) Cn0 = Cnn = ii) Cn1 = Cnn−1 = n iii) Cnk = Cnn −k iv) Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 X P 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1 0,05 Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp để xem điểm Gọi X i điểm sinh viên thứ i Ta có mẫu ngẫu nhiên có kích thước n = xây dựng từ đại lượng ngẫu nhiên X WX = ( X , X , X , X , X ) Giả sử sinh viên thứ điểm, sinh viên thứ điểm, thứ điểm, thứ điểm, thứ điểm Ta mẫu cụ thể sau: wx = (6;5; 7; 4;7) 3.2.3 Các tham số đặc trưng mẫu ngẫu nhiên luật phân phối tham số mẫu Xét W X = (X , X , … ,X n ) mẫu ngẫu nhiên rút từ ĐLNN gốc X có E( X ) = µ Var( X ) = σ 3.2.3.1 Trung bình mẫu X = n ∑ Xi n i =1 (3.1) Do X , X , … ,X n ĐLNN độc lập, phân phối X nên X ĐLNN Nhận xét Theo tính chất kỳ vọng phương sai ta có n n.E( X ) =µ E( X ) = ∑ E( X i ) = n i =1 n Var( X ) = n n.Var( X ) n i =1 n2 ∑ Var( X i ) = = σ2 n Như trung bình mẫu ngẫu nhiên có kỳ vọng trung bình tổng thể phương sai 1/n lần phương sai tổng thể 3.2.3.2 Phương sai mẫu S '2 n = ∑ Xi − X n i =1 ( ) = n 2 X i− X ∑ n i =1 Nhận xét 76 (3.2) Kỳ vọng phương sai mẫu ngẫu nhiên khác với phương sai tổng thể n−1 E( S' ) = σ n 3.2.3.3 Phương sai mẫu điều chỉnh S2 = k n ( Xi − X )2 = S' ∑ n − i =1 n −1 (3.3) Nhận xét Kỳ vọng phương sai mẫu điều chỉnh phương sai tổng thể E (S ) = σ 3.2.3.4 Độ lệch chuẩn mẫu S ' = S '2 (3.4) 3.2.3.5 Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh S = S2 (3.5) 3.2.3.6 Phân bố xác suất trung bình phương sai mẫu Nếu W X = (X , X , … ,X n ) mẫu ngẫu nhiên rút từ ĐLNN X có phân phối chuẩn N( µ ;σ ) X có phân phối chuẩn N( µ ; σ2 ) n nX có phân phối chuẩn N( nµ ;nσ ) nS' σ2 = ( n − )S σ2 có phân phối χn −1 X S' độc lập với X −µ X −µ n − T = n có phân phối Student với S' S' n − bậc tự T= 3.3 DỮ LIỆU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THAM SỐ MẪU CỤ THỂ 3.3.1 Dữ liệu 3.3.1.1 Dữ liệu hay số liệu Các ghi nhận, mô tả thuộc tính, kiện, q trình hình thành khối liệu hay liệu Các liệu thường đo dạng thang 77 số phân loại thành nhóm sau mã hố dạng số Sau số ví dụ liệu: - Thu nhập hàng tháng nhân viên công ty khảo sát để xác định xem có phần trăm nhân viên có thu nhập triệu Trong trường hợp liệu số liệu lương - Tất số sản phẩm hụt tổ nuôi cá yêu cầu báo cáo hàng ngày để đánh giá hiệu cách xử lý Dữ liệu số liệu số cá hao hụt - Trong nghiên cứu tình hình sức mua sản phẩm bột giặt X tỉnh, tất hộ gia đình tỉnh yêu cầu trả lời câu hỏi “ hộ có sử dụng bột giặt X khơng?” Dữ liệu kết trả lời thu thập Số liệu thô: loại số liệu thu trực tiếp nơi lấy số liệu nhà máy, khu vực khảo sát, khu dân cư, Số liệu tinh: số liệu tính trực tiếp từ số liệu thô theo tham số thống kê cần thiết Từ số liệu tinh đánh giá khác tiêu nghiên cứu cơng thức thí nghiệm Việc thu thập đủ liệu quan trọng Bạn khơng thể có nghiên cứu tốt khơng có liệu tốt 3.3.1.2 Các loại số liệu Các số liệu nghiên cứu thu được chia thành loại: a) Số liệu định lượng hay gọi số liệu đo lường số liệu mà người quan sát có thơng qua cân, đo, đong đếm tính tốn dễ dàng xác Ví dụ: chiều cao, khối lượng, trọng lượng, suất , lợi nhuận b) Số liệu định tính hay cịn gọi số liệu thuộc tính số liệu với thơng tin khơng phải số, số liệu không cân, đo, đong, đếm mà chia làm số loại (lớp, cấp) Ví dụ: màu sắc, hình dạng, tình trạng, tình hình c) Số liệu tần số số liệu dựa số lượng cá thể quan sát nằm nhóm khác 3.3.1.3 Các phương pháp thu thập liệu a) Phương pháp thu thập liệu từ tham khảo tài liệu Phương pháp dựa nguồn thông tin sơ cấp thứ cấp thu thập từ tài liệu nghiên cứu trước để xây dựng sở luận để chứng minh giả thiết Ví dụ, để chứng minh giả thiết “khơng thể loại bỏ bạch đàn khỏi cấu trồng rừng”, người ta dựa vào nghiên cứu có trước sau (Vũ Cao Đàm, 2003): • Kết nghiên cứu Nga cho thấy, 15 năm bạch đàn có sức tăng trưởng chiều cao gấp lần so với dẻ 10 lần so với sồi 78 • Sản lượng bạch đàn hàng năm cao, tới 20 đến 25 m3/ha/năm, mỡ đạt 15-20 m3/ha/năm bồ đề 10-15 m3/ha/năm • Theo thống kê FAO, từ năm 1.744 đến 1.975 có 100 nước nhập bạch đàn, có 78 nước trồng rừng bạch đàn thành rừng kinh tế có sản lượng cao với qui mô lớn b) Phương pháp thu thập từ số liệu thực nghiệm Trong phương pháp này, số liệu thực cách quan sát, theo dõi, đo đạc qua thí nghiệm Các thí nghiệm lĩnh vực khoa học tự nhiên, vật lý, hóa học, kỹ thuật, nơng nghiệp, kể xã hội thường thực phịng thí nghiệm, nhà lưới, đồng cộng đồng xã hội Để thu thập số liệu, nhà NCKH thường đặt biến để quan sát đo đạc (thu thập số liệu) Các nghiệm thức thí nghiệm (có mức độ khác nhau) thường lặp lại để làm giảm sai số thu thập số liệu Ví dụ: Người nghiên cứu muốn xem xét mức độ phân bón để làm tăng suất, cách bố trí thí nghiệm mức độ phân bón thường lặp lại nhiều lần Kết thí nghiệm số liệu đo từ tiêu sinh trưởng suất mức độ phân bón khác Phương pháp khoa học thực nghiệm gồm bước như: lập giả thiết, xác định biến, bố trí thí nghiệm, thu thập số liệu để kiểm chứng giả thiết c) Phương pháp phi thực nghiệm Phương pháp phi thực nghiệm phương pháp thu thập số liệu dựa quan sát kiện, vật hay tồn tại, từ tìm qui luật chúng Phương pháp gồm loại nghiên cứu kinh tế xã hội, nghiên cứu nhân chủng học, … Loại số liệu thu thập phương pháp phi thực nghiệm gồm số liệu thu thập từ câu hỏi có cấu trúc kín số liệu thu thập từ câu hỏi mở theo phương pháp thu thập số liệu + Câu hỏi mở: dạng câu hỏi có số liệu thu thập khơng có cấu trúc hay số liệu khó mã hóa Câu hỏi cho phép câu trả lời mở có diễn tả, suy nghĩ khác ép định hướng cho người trả lời + Câu hỏi kín: dạng câu hỏi có số liệu thu thập tương đối dễ dàng phân tích, mã hóa giới hạn trả lời Thí dụ, sinh viên khóa học đưa câu hỏi nhận xét giáo trình, giảng, sách, … định trả lời theo thang đánh giá mức độ (rất hài lòng: +2; hài lòng: +1; trung bình: 0; khơng hài lịng: -1; khơng hài lịng: -2) để biết sinh viên thỏa mãn hay không thỏa mãn Đây câu hỏi kín thể mã hóa số liệu 3.3.1.4 Mơ tả trình bày liệu Sau thực quan sát thu thập liệu cho nghiên cứu, công 79 việc thiết lập bảng liệu dùng để phân tích thống kê Tiếp trình bày mơ tả tóm tắt liệu thu thập, bảng biểu, loại đồ thị, cho người đọc rút thơng tin cần thiết Có hai dạng mơ tả trình bày liệu chủ yếu: • Mơ tả trình bày liệu bảng: gồm bảng tần số chiều, bảng tần số hai chiều • Mơ tả trình bày liệu biều đồ Ở ta không sâu vào mô tả trình bày liệu mà xử lý xếp mẫu số liệu cụ thể để tính tốn số đo đặc trưng cho mẫu 3.3.2 Các tham số mẫu cụ thể Xét mẫu cụ thể wx = ( x1 , x2 , … ,xn ) giá trị mẫu ngẫu nhiên W X = (X , X , … ,X n ) Ta có a) Trung bình mẫu cụ thể n x = ∑ xi n i =1 (3.6) b) Phương sai mẫu cụ thể n s' = ∑ xi − x n i =1 ( ) 2 n = ∑xi− x n i =1 () (3.7) c) Phương sai mẫu điều chỉnh mẫu cụ thể s2 = n n ( xi − x )2 = s' ∑ n − i =1 n −1 (3.8) d) Độ lệch chuẩn mẫu s' = s' (3.9) e) Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh s = s2 3.3.3 (3.10) Sắp xếp số liệu để tính đặc trưng mẫu Mọi nghiên cứu thống kê việc thu thập liệu có liên quan đến việc nghiên cứu sau xử lý chúng Thông thường xếp số liệu thành bảng 3.3.3.1 Kích thước mẫu nhỏ Người ta thường lập bảng dạng hàng cột 80 xi x1 x2 … xk xi ni ni n1 n2 … nk x1 n1 x2 n2 … … xk nk Trong ( ) xi i = 1,k : giá trị phân biệt mẫu (thường xếp theo thứ tự tăng dần) ( ) ni i = 1,k : tần số giá trị x i mẫu, k ∑ ni = n i =1 Ví dụ Ta có mẫu quan sát 2 5 4 3 2 1 4 2 5 Có thể xếp thành bảng sau xi ni 2 3.3.3.2 Kích thước mẫu lớn Mẫu wx = ( x1 , x2 , … ,xn ) có kích thước n tương đối lớn việc xác định tham số x ,s' ,s theo công thức nhiều công sức Khi đó, khơng cần độ xác cao, ta thường xếp số liệu ban đầu mẫu lại cách: Chia miền giá trị X thành khoảng x'i − x''i (có độ dài nhau) xác định tần số ni tương ứng khoảng Khi đó, ta mẫu dạng khoảng giá trị: Ta qui ước đầu mút bên phải khoảng thuộc khoảng mà khơng thuộc khoảng tính tần số khoảng x 'i − x ' 'i ni x '1 − x ' '1 n1 x '2 − x ' '2 n2 81 … … x 'k − x ' 'k nk k Trong đó: ∑ ni = n i =1 Từ mẫu khoảng giá trị, lập mẫu điểm đại diện: xi ni x1 n1 x2 n2 … … xk nk Với xi giá trị chọn khoảng x'i − x''i (thường ta lấy xi điểm khoảng x'i − x''i , tức x'i + x''i ) Ví dụ Đo ngẫu nhiên chiều cao 40 niên ta số liệu xếp theo thứ tự tăng dần (tính theo đơn vị cm) 152 154 155 156 157 157 157 158 158 159 159 160 160 161 161 161 161 162 162 162 163 163 164 164 164 164 165 165 166 167 167 167 168 168 168 169 170 171 172 172 Khi tính giá trị đặc trưng mẫu số liệu cho cách tương đối tính theo giá trị trung tâm khoảng chia theo bảng sau Các khoảng x'i − x''i Giá trị trung tâm x i Tần số n i 152 - 157 4 157 – 162 13 13 162 – 167 12 12 167 – 172 11 11 82 3.3.4 Các phương pháp tính giá trị tham số đặc trưng mẫu 3.3.4.1 Tính trực tiếp a) Nếu tất tần số ni = , để tính giá trị trung bình phương sai ta áp dụng cơng thức n Trung bình mẫu x = ∑ xi n i =1 n s' = ∑ x i − x n i =1 () Phương sai mẫu Phương sai mẫu điều chỉnh s = n s' n −1 s' = s' Độ lệch chuẩn mẫu s= s Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh Ví dụ 6: Tính trung bình, phương sai, phương sai điều chỉnh, độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể wx = ( 5,6 ,1) Giải Ta có bảng tính xi xi2 25 36 1 3 i =1 i =1 ∑ xi = 12 ∑ xi = 62 Suy x= Trung bình mẫu n 12 xi = = ∑ n i =1 Phương sai mẫu 1 n 14 s' = ∑ x i − x = 62 − = n i =1 3 () Phương sai mẫu điều chỉnh s = 83 n 14 s' = = n −1 s' = s' = Độ lệch chuẩn mẫu 14 = 2,16 s = s2 = Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh b) Đối với X i có tần số ni > Để tính giá trị trung bình phương sai ta áp dụng công thức n x = ∑ xi ni n i =1 Trung bình mẫu (3.11) n s' = ∑ x i ni − x n i =1 () Phương sai mẫu (3.12) Ví dụ 7: Tính trung bình, phương sai, phương sai điều chỉnh, độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh mẫu số liệu sau xi 10 15 20 25 ni 15 25 30 20 10 Giải Ta có bảng tính Suy xi ni xi ni xi ni 15 75 375 10 25 250 2500 15 30 450 6750 20 20 400 8000 25 10 250 6250 n = 100 1425 23875 ∑ Trung bình mẫu x = n 1425 xi ni = = 14,25 ∑ n i =1 100 Phương sai mẫu s' = 23875 n x i ni − x = − ( 14,25 )2 = 35,6875 ∑ n i =1 100 () 84 Phương sai điều chỉnh mẫu s = Độ lệch chuẩn mẫu n 100 s' = 35,6875 = 36 ,048 n −1 99 s' = s' = 35,6875 = 5,974 s = s = 36 ,048 = 6,004 Độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh Ví dụ 8: Khảo sát 200 bạch đàn có độ tuổi, người ta thu dãy 200 giá trị (130 cm, 132 cm, 128 cm, 132 cm, 92 cm, …, 120 cm) Sau chia lớp độ dài 10 cm ta có kết X: chiều cao (cm) n i : số bạch đàn