Bài giảng Xác suất thống kê

Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành PHẦN I XÁC SUẤT CHƢƠNG I KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT §1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Quy tắc phép đếm 1.1 Quy tắc cộng Một cơng việc thực theo k phương án độc lập Phương án thứ có n cách thực Phương án thứ hai có n cách thực …… Phương án thứ k có n k cách thực Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc n + n + L + n k Ví dụ Từ thành phố A đến thành phố B phương tiện: máy bay, tàu hỏa, ơtơ Trong ngày có 10 chuyến bay, 20 chuyến tàu hỏa 30 chuyến ôtô khởi hành từ A đến B Hỏi có cách từ A đến B ngày? Giải Ta có phương án từ A đến B phương tiện: Phương án 1: máy bay, có n1  10 cách, Phương án 2: tàu hỏa, có n2  20 cách, Phương án 3: ơtơ, có n2  30 cách Vậy theo quy tắc cộng có 10  20  30  60 cách từ A đến B ngày.■ 1.2 Quy tắc nhân Một công việc phải thực thơng qua k giai đoạn có mối liên hệ với Giai đoạn có n cách thực Giai đoạn có n cách thực …… Giai đoạn k có n k cách thực Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc A n ´ n ´ L ´ n k Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành Ví dụ Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường a) Có cách từ A qua B đến C? b) Người ta mở thêm đường trực tiếp từ A đến C, hỏi có cách từ A đến C Giải a) Giai đoạn từ A đến B có cách, giai đoạn từ B đến C có cách Vậy theo quy tắc nhân có ´ = cách từ A qua B đến C A B C b) Phương án 1: từ A qua B đến C, theo câu a) có cách, Phương án 2: trực tiếp từ A đến C (khơng qua B) có cách Vậy theo quy tắc cộng có   cách từ A đến C ■ A B C Chỉnh hợp lặp Cho tập hợp A gồm n phần tử Một có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử A , phần tử lấy lặp lại, gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Ví dụ Tập A = {a, b, c} có chỉnh hợp lặp chập aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc ■ Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử, kí hiệu B nk tính theo cơng thức B nk = n k  Một khoa bệnh viện A có phịng điều trị nội trú, hỏi có cách xếp bệnh nhân vào khoa này? (không hạn chế số người bệnh phịng) Chỉnh hợp khơng lặp Cho tập hợp A gồm n phần tử Một có thứ tự gồm k phần tử phân biệt lấy từ n phần tử A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Ví dụ Tập A  {a, b, c} có chỉnh hợp chập ab, ba, ac, ca, bc, cb ■ Số chỉnh hợp chập k n phần tử, kí hiệu Ank Ank = n (n - 1) K (n - k + 1) = Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên n! (n - k )! Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành  Một phịng điều trị nội trú bệnh viện A có giường trống Hỏi có cách xếp bệnh nhân vào giường biết giường chứa khơng q người? Hốn vị Cho tập hợp A có n phần tử Một dãy gồm tất phần tử A xếp theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Ví dụ Tập A  {a, b, c} có hốn vị abc, acb, bac, bca, cab, cba ■ Số hoán vị n phần tử, kí hiệu Pn Pn = n !  Có cách xếp người vào bàn dài có chỗ ngồi? Câu hỏi tương tự bàn trịn, với quy ước hốn vị vòng quanh bàn tròn cách xếp Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Một không thứ tự (một tập con) k phần tử lấy từ n phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ví dụ Tập A  {a, b, c} có tổ hợp chập ab, ac, cb ■ Số tổ hợp chập k n phần tử, kí hiệu C nk C = k n Ank k! = n! k !(n - k )! Ví dụ Có mẫu máu cần xét nghiệm có đủ hóa chất để xét nghiệm cho mẫu Hỏi có cách thực hiện? Giải Số cách xét nghiệm số cách chọn mẫu máu (không kể thứ tự) từ mẫu máu hay số tổ hợp chập phần tử Vậy có C53  10 cách ■  Phịng khám có bác sĩ nam bác sĩ nữ Có cách chọn bác sĩ nam bác sĩ nữ tham gia ca hội chẩn? Ví dụ Một lớp học có 50 sinh viên Hỏi có cách chọn sinh viên để: a) Lập ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ? b) Lập nhóm tham hội nghị sinh viên tồn trường? (vai trị thành viên nhóm nhau) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành Giải a) Mỗi kết chọn lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ từ 50 sinh viên tương ứng với cách chọn có thứ tự phần tử từ 50 phần tử chỉnh hợp chập 50 phần tử Vậy số kết xảy A503 = 50! = 117600 (50 - 3)! b) Mỗi kết tổ hợp chập 50 phần tử Vậy số kết xảy C 503 = 50! = 19600 ■ 3!(50 - 3)!  Tủ đựng thuốc có ngăn, hỏi có cách xếp hộp thuốc giống vào tủ? (không hạn chế số hộp ngăn) §2 BIẾN CỐ VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Phép thử biến cố Phép thử khái niệm xác suất, khơng định nghĩa cách xác Ta hiểu phép thử thí nghiệm hay hành động để quan sát tượng ngẫu nhiên đó, chẳng hạn gieo xúc xắc xem xuất mặt chấm, gieo đồng xu xem xuất mặt sấp hay ngửa, chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ kho hàng để kiểm tra xem chất lượng tốt hay xấu … phép thử Hiện tượng ngẫu nhiên ta quan sát phép thử gọi biến cố Mỗi biến cố kết (kết cục) phép thử Trong phép thử có nhiều kết xảy ra, có kết đơn giản có kết phức hợp Chẳng hạn, gieo xúc xắc, ta quan tâm tới mặt xuất có chấm 1, 2, 3, 4, 5, kết đơn giản nhất; xuất số chẵn (2, 4, 6) hay lẻ (1, 3, 5) … kết phức hợp Kết đơn giản gọi biến cố sơ cấp, tập hợp tất biến cố sơ cấp gọi không gian mẫu hay không gian biến cố sơ cấp Như vậy, phương diện tập hợp, biến cố tập không gian mẫu Ta thường dùng  để ký hiệu cho không gian mẫu; A, B, C, để ký hiệu cho biến cố Ví dụ 1 Gieo đồng xu lần, không gian mẫu   {S , N} Gieo đồng xu hai lần, không gian mẫu   {SS , SN , NS , NN} Gieo xúc xắc, không gian mẫu   {1,2,3,4,5,6} Gọi A biến cố “xuất mặt chẵn” A  {2, 4, 6} ; kết 2, 4, gọi kết thuận lợi cho biến A; gọi B biến cố “xuất mặt chia hết cho 3” B  {3, 6} ■ Các loại biến cố Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành 2.1 Biến cố chắn (): Là biến cố định xảy thực phép thử 2.2 Biến cố ():Là biến cố định không xảy thực phép thử 2.3 Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy khơng xảy thực phép thử, biến cố thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, … Ví dụ Gieo xúc xắc, biến cố “xuất mặt có từ đến chấm” biến cố chắn; biến cố “xuất mặt chấm” biến cố không thể; biến cố “xuất mặt chấm” biến cố ngẫu nhiên ■ Mối quan hệ phép toán biến cố 3.1 Quan hệ kéo theo Ta nói biến cố A kéo theo biến cố B, ký hiệu A  B , A xảy B xảy Hai biến cố A B gọi tương đương, kí hiệu A = B, A xảy B xảy ngược lại, nghĩa A  B B  A Ví dụ Tung xúc xắc, gọi A biến cố xuất mặt chấm, B biến cố xuất mặt chẵn nhỏ chấm, C biến cố xuất mặt chẵn A = B, A  C ■ 3.2 Tổng biến cố Tổng hai biến cố A B, kí hiệu A + B AB, biến cố xảy hai biến cố A B xảy Tổng hữu hạn biến cố A1 + A2 + ¼ + An định nghĩa tương tự Ví dụ Hai xạ thủ bắn vào bia Gọi A biến cố người thứ bắn trúng bia, B biến cố người thứ hai bắn trúng bia Khi AB biến cố bia bị trúng đạn Gieo xúc xắc; A  {1,3,6}, B  {3,5,6} A  B  {1,3,5,6} ■ Nhận xét: biến cố sơ cấp biểu diễn thành tổng biến cố khác 3.3 Tích biến cố Tích hai biến cố A B, kí hiệu AB AB, biến cố xảy hai biến cố A B đồng thời xảy Tương tự ta định nghĩa tích hữu hạn biến cố A1A2 ¼ An Ví dụ Hai người bắn vào bia, gọi A biến cố người thứ bắn trệch, B biến cố người thứ hai bắn trệch Khi AB biến cố bia không bị trúng đạn Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành Gieo xúc xắc; A  {1,3,6}, B  {3,5,6} AB  {3, 6} ■ 3.4 Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng không xảy phép thử, tức AB =  Họ biến cố {Ai | i Ỵ I } gọi xung khắc đôi hai biến cố chúng xung khắc nhau, nghĩa Ai A j = ặ, " i, j ẻ I , i ¹ j Họ biến cố {Ai | i Ỵ I } gọi họ đầy đủ xung khắc đôi thực phép thử có biến cố họ xảy ra, nghĩa là họ xung khắc đơi có tổng biến cố chắn  Ví dụ Gieo xúc xắc; gọi Ai biến cố xuất mặt i chấm, i  1, {A1 , ,A6 } họ đầy đủ xung khắc đôi; gọi A  {1,2}, B  {3,4},C  {5,6} {A, B, C} họ đầy đủ xung khắc đôi ■ 3.5 Hai biến cố đối lập A B gọi hai biến cố đối lập chúng lập thành hệ đầy đủ xung khắc, tức AB =  A + B =  Khi B gọi biến cố đối lập (gọi tắt biến cố đối) biến cố A kí hiệu A Nói cách khác A B hai biến cố đối lập phép thử A B xảy Ví dụ Gieo xúc xắc; A  {1,2}, B  {3, 4,5,6} B  A Gieo đồng xu 10 lần, gọi A biến cố có lần sấp biến cố đối A khơng có lần sấp hay tất ngửa ■ 3.6 Sự đồng khả biến cố Các biến cố gọi đồng khả chúng có khả xuất phép thử Ví dụ Gieo đồng xu cân đối, khả xuất hai mặt sấp, ngửa hay S, N biến cố đồng khả Cũng gieo xúc xắc cân đối ta có biến cố đồng khả xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, chấm Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ môn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành Trong bình đựng viên bi to nhỏ nhau, nặng nhẹ nhau, khác màu sắc Nếu ta lấy ngẫu nhiên viên, khơng quan tâm tới màu sắc viên bi bình có khả lấy ■ Tính chất phép toán biến cố Giả sử A, B, C biến cố Khi : A + A = A, A A = A A + Ỉ= A, = Æ A + W= W, A W= A A + B = B + A, A B = BA; (A + B ) + C = A + (B + C ),(A B )C = A(BC ) (A + B )C = A C + BC ; A(B + C ) = A B + A C A + B = AB ; A B = A + B , mở rộng A1  An  A1 An ; A1 An  A1   An Ví dụ Ba bệnh nhân nặng điều trị bệnh viện, gọi Ai (i = 1, 2, 3) biến cố người thứ i bị cấp cứu Hãy biểu diễn theo biến cố Ai (i = 1, 2, 3) biến cố sau đây: a Trong khơng có bị cấp cứu (Đs: A  A1 A2 A3 ) b Trong có người bị cấp cứu (Đs: B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ) c Trong có người bị cấp cứu (Đs: C  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ) d Trong người bị cấp cứu (Đs: D  A1 A2 A3 ) e Trong có người bị cấp cứu (Đs: E  A1  A2  A3 ) f Trong có người khơng phải cấp cứu (Đs: F  A1  A2  A3 ).■  Tìm cặp biến cố đối ví dụ 9? §3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Xác suất biến cố đại lượng đặc trưng cho khả xuất biến cố quy ước bao hàm cho biến cố chắn có xác suất 1, biến cố khơng thể có xác suất Xác suất biến cố A ký hiệu P(A) Sau xét số đình nghĩa xác suất: Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ môn Toán ĐH Nguyễn Tất Thành Giả sử phép thử có n trường hợp (biến cố sơ cấp) đồng khả xảy ra, có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A Khi xác suất biến cố A xác định công thức: ( ) Ví dụ Gieo xúc xắc cân đối Tính xác suất xuất mặt có số chấm chẵn Giải: Phép thử có n  trường hợp đồng khả xảy Trong có m  trường hợp thuận lợi cho xuất mặt chẵn gồm A2 (2 chẵn), A4 (4 chẵn), A6 (6 chẵn) Vậy m = = ■ n P (A ) = Ví dụ Gieo hai đồng tiền Tìm xác xuất để : a Hai đồng tiền sấp (A1 ) b Hai đồng tiền ngửa (A2 ) c Một sấp, ngửa (A3 ) Giải Số trường hợp đồng khả xảy n = 4; (SS, SN, NS, NN) Vậy ta có P (A1 ) = 1 , P (A2 ) = , P (A3 ) = ■ 4 Ví dụ Trong bình có viên bi đỏ, viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên viên Tính xác xuất biến cố: a) A = Lấy bi đỏ b) B = Lấy bi đỏ bi trắng c) C = Lấy bi đỏ Giải Khả lấy viên bi nên lấy ngẫu nhiên bi 10 bi có n  C102 trường hợp đồng khả xảy a) Số trường hợp thuận lợi cho A (lấy bi đỏ bi đỏ) m  C Vậy P (A ) = Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên C 62 C 10 = Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành b) Cơng việc “lấy bi đỏ bi trắng” gồm giai đoạn; giai đoạn thứ lấy đỏ đỏ có C 61 cách, giai đoạn hai lấy trắng trắng có C 41 cách Theo quy tắc nhân có C 61.C 41 trường hợp thuận lợi cho B Vậy P (B) = c) ĐS: P (C) = C 61.C 41 + C 62 C 10 = C 61.C 41 C 10 = 15 13 ■ 15 Định nghĩa xác suất cổ điển đơn giản tính tốn có hạn chế số trường hợp xảy phải hữu hạn chúng phải đồng khả Trong thực tế ta gặp phép thử có vơ số trường hợp xảy kết cục khơng đồng khả năng, tất nhiên dùng định nghĩa cổ điển cho phép thử Để khắc phục, người ta đưa số định nghĩa khác, phần ta xét định nghĩa quan trọng, gắn liền với thực tế Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa Giả sử lặp lại n lần phép thử để quan sát biến cố A ta thấy A xuất m lần tỷ số fn = m gọi tần suất xuất biến cố A loạt thử Khi số lần thử n thay n đổi tần suất fn thay đổi cách ngẫu nhiên người ta chứng minh n đủ lớn fn dần ổn định số p Ta định nghĩa xác suất biến cố A số p Nói cách khác, xác suất giới hạn tần suất số phép thử tăng lên vơ hạn P (A ) = lim n® ¥ m = p n Chú ý:Tất nhiên thực vô hạn phép thử nên thực tế, người ta thường lấy P( A)  f n n đủ lớn Ví dụ Chúng ta quan sát số liệu thực nghiệm gieo đồng xu nhiều lần nhà toán học Buffon Pearson thực sau đây: Người thực Số lần gieo (n) Số lần sấp (m) Tần suất (m/n) Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ môn Toán ĐH Nguyễn Tất Thành Ta cảm nhận số lần thử tăng lên tần suất xuất mặt sấp dần ổn định giá trị 0,5 xác suất tính theo định nghĩa cổ điển đồng xu hoàn toàn cân đối Trong trường hợp đồng xu không cân đối, biến cố sấp, ngửa không đồng khả nên áp dụng định nghĩa cổ điển mà dùng định nghĩa thống kê, lúc dãy tần suất hội tụ giá trị khác 0,5 ■ Để kiểm tra chất lượng dây chuyền sản xuất sản phẩm, người ta lấy 1000 sản phẩm Sau kiểm tra thấy có 50 phế phẩm, ta nói xác suất xuất phế phẩm sản xuất sản phẩm 5% hay p = 50 ■ = 1000 20 Việc định nghĩa xác suất thống kê giúp ta tìm quy luật diễn biến phức tạp thời tiết, tỉ lệ phế phẩm, lấy kích thước quần áo may sẵn, nghiên cứu cơng hiệu loại thuốc v.v… §4 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Công thức cộng Với hai biến cố A B P (A + B ) = P (A ) + P (B ) - P (A B ) Nếu biến cố A B xung khắc P (A + B ) = P (A ) + P (B ) nghĩa xác suất tổng hai biến cố xung khắc tổng xác suất biến cố   Hệ quả: P( A)  P A  Tổng quát, họ biến cố A1, A2, , An xung khắc đôi P (A1 + A2 + L + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + L + P (An ) Ví dụ Ở địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim 9%, mắc bệnh huyết áp 12%, mắc hai bệnh 7% Chọn ngẫu nhiên người, tính xác suất người mắc hai loại bệnh ■ Giải Gọi A, B biến cố người chọn bị mắc bệnh tim, huyết áp A  B biến cố người mắc hai loại bệnh Ta có: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)  9%  12%  7%  14% Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 10 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ môn Toán ĐH Nguyễn Tất Thành Số ngày 14 20 Xác định lượng điện tiêu thụ trung bình ngày mẫu A 105.35 B 99.04 C 97.62 D 100 142 Khảo sát điện tiêu thụ 50 ngày làm việc gần công ty kết sau : X (Kw/ngày) 80-90 90-100 100-110 110-120 Số ngày 14 20 Xác định độ lệch chuẩn hiệu chỉnh lượng điện tiêu thụ ngày mẫu A 6.2 B 9.53 C 8.94 D 11.26 143 Nhà trường muốn điều tra số tự học sinh viên Điều tra 25 sinh viên nhận kết sau: Số tự học 11 Số sinh viên Tìm độ lêch chuẩn hiệu chỉnh số tự học sinh viên 144 Điều tra đường kính (cm) trục máy phân xưởng sau thời gian sử dụng ta có kết sau: Đường kính 18.5-19 19-19.5 19.5-20 20-20.5 20.5-21 Số trục máy 17 Hãy tính đường kính trung bình trục máy mẫu 145 Quan sát điểm thi toán cao cấp 10 sinh viên chọn ngẫu nhiên lớp ta kết 5,6,7,5,9,5,6,7,4,8 Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh điểm thi toán cao cấp mẫu là: A 1.89 B 1.27 C 2.16 D 1.55 146 Tại trại nuôi heo, người ta áp dụng thử loại thuốc tăng trọng bổ sung vào phần ăn Sau thời gian tháng khảo sát kết sau Trọng lượng (kg) 65 67 68 69 70 71 73 Số heo (ni) 17 Tìm trọng lượng trung bình độ lệch chuẩn trọng lượng số heo nói trên? A 65,8549; 1,7954 B 69,1136; 1,4661 C 69,1136; 2,1496 D 71,2435; 3,2233 147 Tỉ lệ phế phẩm máy 3% Nếu kiểm tra 100 sản phẩm máy sản xuất khẳng định sau đúng? A Số phế phẩm 100 sản phẩm kiểm tra Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 90 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ môn Toán ĐH Nguyễn Tất Thành B Số phế phẩm 100 sản phẩm kiểm tra lớn C Số phế phẩm 100 sản phẩm kiểm tra nhỏ D Số phế phẩm 100 sản phẩm kiểm tra khác CHƢƠNG ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ 4.1 ƢỚC LƢỢNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH HAI PHÍA 148 Nhà trường muốn đánh giá số tự học sinh viên tuần Điều tra 236 sinh viên nhận số tự học trung bình mẫu 5,58h độ lệch chuẩn mẫu 2,34h Hãy ước lượng khoảng đối xứng cho số tự học trung bình sinh viên tuần với độ tin cậy 95% A (5,28 ; 5,88) B (5,31 ; 5,96) C (5,27 ; 5,78) D (5,37 ; 6,02) 149 Chọn ngẫu nhiên 400 trái loại để khảo sát ta trọng lượng trung bình 397.5 gam độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu 114.1329 gam Hãy ước lượng khoảng đối xứng cho trọng lượng trung bình loại trái với độ tin cậy 95% A (386.315;408.685) B (376.315;408.685) C (386.315;410.685) D (376.315;410.685) 150 Ở nhà máy dệt, kiểm tra ngẫu nhiên 150 cuộn vải thành phẩm ta số khuyết tật trung bình mẫu 3.38 độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu 1.604 Ước lượng số khuyết tật trung bình cuộn vải nhà máy với độ tin cậy 95% A 3.5623    3.2566 B 3.4065    3.7642 C 3.1233    3.6367 D 3.1246    3.6667 151 Khảo sát cân nặng 100 trẻ sơ sinh Cân nặng 3.0 3.5 4.0 4.5 Số trẻ 21 31 30 18 Ước lượng trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh với độ tin cậy 95% A (3,643;3,819) B (3,16;3,34) C (3,625;3,825) D (3,754;3,908) 152 Để khảo sát suất làm việc cơng nhân xí nghiệp người ta quan sát ngẫu nhiên 100 công nhân thấy suất trung bình cơng nhân mẫu x  12 sản phẩm/ngày phương sai mẫu s2 = 16 Hãy ước lượng suất trung bình cơng nhân xí nghiệp với độ tin cậy 95% A (11.216;12.784) B (11.352,12.648) C (10.216;13.784) D (10.352;13.648) 153 Cân (kg) gà xuất chuồng, kết sau: 2,1; 1,8; 2,0; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 2,2; 1,8 Với độ tin cậy 95%, ước lượng cân nặng trung bình gà xuất chuồng? A (1,702; 2,164) B (1,675; 2,191) C (1,768; 2,098) D (1,737; 2,129) 4.2 ƢỚC LƢỢNG TỶ LỆ HAI PHÍA Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 91 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành 154 Khảo sát suất giông lúa 100 tỉnh thành ta nhận thấy có 19ha đất màu mỡ Hãy ước lượng khoảng đối xứng cho tỷ kệ đất màu mỡ tỉnh thành với độ tin cậy 95% A (0.1538;0.2271) B (0.1131; 0.2669) C (0.0976; 0.2892) D (0.1443; 0.2315) 155 Khảo sát thu nhập X (triệu đồng/tháng) 458 nhân viên văn phòng chọn ngẫu nhiên thành phố ta thấy có 183 nhân viên có mức lương trung bình Với độ tin cậy 90%, khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ nhân viên văn phịng có thu nhập trung bình là: A (0,3618; 0,4373) B (0,5484; 0,7356) C (0,5284; 0,7156) D (0,3818; 0,4574) 156 Một nông dân muốn ước lượng khoảng đối xứng cho tỉ lệ hạt nảy mầm giống lúa môi trường đất phèn Khảo sát 1000 hạt đem gieo nhận thấy có 760 hạt nảy mầm Với độ tin cậy 98% ước lượng khoảng đối xứng cho tỉ lệ hạt nảy mầm giống lúa A (73,87; 78,13)% B (74,35; 77,65)% C (72,85; 79,15)% D (70,42; 82,73)% 157 Khảo sát ngẫu nhiên 317 xe máy sử dụng Việt Nam nhận thấy có 236 xe máy Honda sản xuất Hãy xác định khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tỉ lệ xe máy sử dụng Việt Nam Honda sản xuất A (0,6952 ; 0,8257) B (0,6813 ; 0,8076) C (0,6713 ; 0,7851) D (0,6637 ; 0,8196) 158 Trọng lượng nhóm sinh viên đại diện trường ĐH A sau: Trọng lượng (kg) [42,5-47,5) [47,5-52,5) [52,5-57,5) [57,5-62,5) Số sinh viên 14 28 12 [62,5-67,5] 18 Với độ tin cậy 95%, khoảng ước lượng đối xứng cho tỷ lệ sinh viên có cân nặng không bé 57,5 kg trường là: A (0,375 ; 0,481) B (0,269 ; 0,481) C (0,269 ; 0,375) D (0,106 ; ;375) 159 Khảo sát ngẫu nhiên 100 nhân viên công ty ta thấy có 30 nhân viên có thu nhập cao, cơng ty có 1000 người làm việc Ước lượng khoảng đối xứng cho số người thu nhập cao công ty với độ tin cậy 95% A [122; 278] B [141; 255] C [210; 380] D [211; 389] 160 Muốn biết hồ có cá, người ta bắt lên 1000 đánh dấu, sau thả xuống hồ trở lại Một thời gian sau bắt lên 100 thấy có 70 có đánh dấu lần bắt trước Hãy ước lượng khoảng đối xứng cho số cá có hồ với độ tin cậy 95% A [120; 780] B [1138; 1386] C [1266; 1639] D [900; 1000] 4.3 BÀI TOÁN CHỈ TIÊU HAI PHÍA 161 Để ước lượng khoảng đối xứng cho thu nhập trung bình cơng nhân tháng, người Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 92 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành ta điều tra 500 công nhân Biết độ lệch chuẩn mẫu s = 0,4 (triệu đồng/tháng), độ tin cậy 95% Hỏi độ xác phép ước lượng bao nhiêu? A 0,035 B 0,35 C 0,45 D 0,045 162 Ở trang trại người ta cân thử 145 trái loại trái lúc thu hoạch trọng lượng trung bình mẫu 255.5712 gam độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu 23.5092 gam Để đảm bảo ước lượng khoảng đối xứng trọng lượng trung bình loại trái đạt độ xác gam với độ tin cậy 95% cần khảo sát thêm trái nữa? A 236 B 91 C 218 D 72 163 Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm kho hàng thấy có 25 phế phẩm Nếu độ xác phép ước lượng khoảng đối xứng cho tỷ lệ phế phẩm ò  0.035 độ tin cậy bao nhiêu? A 77.8% B 69% C 80% D 86.64% 164 Biết n = 25, s = 4,3, x  50 ; độ tin cậy 95% X ~ N(μ , σ2) Khi độ xác ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho trung bình μ là: A 1,77504 B 1,6856 C 2,291 D 1,833 165 Trọng lượng bao bột mì cửa hàng lương thực tuân theo qui luật chuẩn Kiểm tra ngẫu nhiên 500 bao thấy trọng lượng trung bình mẫu 48 kg độ lệch chuẩn mẫu 0,5 kg Ước lượng khoảng đối xứng đối cho trọng lượng trung bình bao gạo cửa hàng đạt độ xác 0,05 kg Hãy xác định độ tin cậy ước lượng A 92.5% B 97.5% C 96% D 95% 166 Lấy ngẫu nhiên 500 sản phẩm kho hàng thấy có 25 phế phẩm Nếu độ xác phép ước lượng khoảng đối xứng cho tỉ lệ hàng phế phẩm 1% độ tin cậy phép ước lượng bao nhiêu? A 96% B 98% C 92,5% D 69,7% 167 Để ước lượng khoảng cho thu nhập trung bình công nhân tháng, người ta điều tra ngẫu nhiên 500 công nhân Biết độ lệch chuẩn mẫu s = 0,2 (triệu đồng/tháng), độ tin cậy 95% Để sai số phép ước lượng không 0,015 triệu đồng/tháng cần khảo sát thêm công nhân nữa? A 183 B 683 C 127 D 216 168 Nhà trường muốn đánh giá số tự học sinh viên tuần Điều tra 500 sinh viên nhận thấy có 126 học sinh chăm học Nếu muốn phép ước lượng khoảng cho tỉ lệ sinh viên chăm học đạt độ xác 3% với độ tin cậy 95% cần khảo sát thêm sinh viên nữa? A 305 B 805 C 276 D 228 169 Độ dài chi tiết máy sản xuất dây chuyền tự động Khảo sát 500 chi tiết máy dây chuyền sản xuất ta độ dài trung bình 29,8cm độ lệch chuẩn 0,2cm Nếu muốn ước lượng khoảng đối xứng cho độ dài trung bình chi tiết máy dây chuyền sản xuất đảm bảo độ xác 0,015cm với độ tin cậy 95% cần khảo sát chi tiết máy ? Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 93 Bài giảng Xác suất-Thống kê A 183 B 683 Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành C 215 D 715 170 Bộ phận nghiên cứu thị trường công ty điều tra ngẫu nhiên 500 dân cư thành phố sở thích xem TV (truyền hình) dân cư thành phố thấy có 412 người thích xem TV Nếu muốn ước lượng khoảng đối xứng cho tỉ lệ dân cư thích xem TV thành phố đạt độ xác 3% độ tin cậy 95% cần phải khảo sát người? A 120 B 620 C 163 D 663 CHƢƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 5.1 KIỂM ĐỊNH HAI PHÍA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 171 Khảo sát suất (tạ/ha) giống lúa 100ha tỉnh thành ta suất trung bình mẫu 57.5 tạ/ha độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu 8.3182 tạ/ha Một nơng dân cho suất trung bình giống lúa 60 tạ/ha Với mức ý nghĩa 1% xác định giá trị tiêu chuẩn kiểm định cho nhận xét ý kiến A -3 Chấp nhận nhận xét B Chấp nhận nhận xét C Bác bỏ nhận xét D -3 Bác bỏ nhận xét 172 Một mẫu có 36 quan sát chọn từ tổng thể có phân phối chuẩn cho thấy trung bình mẫu 21 độ lệch chuẩn Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết H :   20 với đối thuyết H1 :   20 Phát biểu (  giá trị trung bình tổng thể, g giá trị tiêu chuẩn kiểm định) A g = 1.2 Bác bỏ H0 B g = 1.6 Bác bỏ H0 C g = -1.2 Bác bỏ H0 D g = 1.2 Chấp nhận H0 173 Điều tra tiêu chất lượng X (gam) loại sản phẩm, khảo sát 50 sản phẩm ta trung bình tiêu chất lượng chúng 253.7 gam độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu 26.1208 gam Có tài liệu cho trung bình tiêu X sản phẩm loại 250 gam Với mức ý nghĩa 2% chọn phát biểu (  giá trị trung bình tổng thể, g giá trị tiêu chuẩn kiểm định) A H :   250; H1 :   250; g  ; Bác bỏ ý kiến B H :   250; H1 :   250; g  1 ; Chấp nhận ý kiến C H :   250; H1 :   250; g  1 ; Bác bỏ ý kiến D H :   250; H1 :   250; g  ; Chấp nhận ý kiến 174 Một chuyên gia lai tạo giống trồng cho giống lúa thân cao chống lụt vừa lai tạo có chiều cao trung bình 105cm Người ta chọn ngẫu nhiên 200 đo thử giá trị trung bình 112 (cm) độ lệch chuẩn (cm) Với mức ý nghĩa 5%, chọn câu trả lời (a chiều cao trung bình lúa lai tạo, g giá trị kiểm định) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 94 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành A H0: a = 105; H1: a  105; g = 12,37 > z0,025 = 1,96 Bác bỏ ý kiến B H0: a = 105; H1: a  105; g = -12,37 < - z0,025 = -1,96 Chấp nhận ý kiến C H0: a = 105; H1: a  105; g = -12,37 < - z0,025 = -1,96 Bác bỏ ý kiến D H0: a = 105; H1: a  105; g = 12,37 > z0,025 = 1,96 Chấp nhận ý kiến 175 Một báo cáo thư viện cho ngày có khoảng 25 sinh viên tới mượn sách Tiến hành điều tra 49 sinh viên có nhu cầu này, trung bình có 26,5 người muốn mượn với độ lệch tính 2,5 Với mức ý nghĩa 5%,cho biết ý kiến báo cáo thư viện A g = 4,2 Chấp nhận báo cáo B g = 4,2 Bác bỏ báo cáo C Cần xem xét thêm D Không ý kiến 176 Với giả thuyết H0: μ = 161 Khảo sát cỡ mẫu 81 x  158 ; s = 9,5 Hãy cho ý kiến với α = 1% A Chấp nhận giả thuyết B Bác bỏ giả thuyết C Cần điều tra thêm D Khơng ý kiến 5.2 KIỂM ĐỊNH HAI PHÍA TỶ LỆ 177 Khảo sát thu nhập 100 công nhân cơng ty ta thấy có 20 cơng nhân có thu nhập thấp Có ý kiến cho tỉ lệ cơng nhân có thu nhập thấp tồn cơng ty 21% Với mức ý nghĩa 4%, tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định cho biết có chấp nhận ý kiến hay không? A -0.2455 Chấp nhận B -0.2455 Bác bỏ C 0.2455 Chấp nhận D -1.3628 Bác bỏ 178 Khảo sát 100 hộ kinh doanh lĩnh vực, nhận thấy có 26 hộ kinh doanh đạt doanh số cao Có ý kiến cho tỉ lệ hộ kinh doanh đạt doanh số cao lĩnh vực 35% Hãy cho nhận xét ý kiến với mức ý nghĩa 5% A H : p  0.35, H1 : p  0.35, g  1.8869 Bác bỏ ý kiến B H : p  0.35, H1 : p  0.35, g  1.8869 Chấp nhận ý kiến C H : p  0.35, H1 : p  0.35, g  2.0518 Bác bỏ ý kiến D H : p  0.35, H1 : p  0.35, g  2.0518 Chấp nhận ý kiến 179 Một cơng ty tun bố có 5% khách hàng khơng ưa thích sản phẩm cơng ty Điều tra 400 khách hàng ta thấy có 16 người khơng ưa thích sản phẩm cơng ty.Với mức ý nghĩa 1% ,hãy tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định cho biết tun bố có chấp nhận hay khơng? A 0,45.Có chấp nhận B -0,56.Khơng chấp nhận C -0,92 Có chấp nhận D 0,78 Khơng chấp nhận 180 Năm học 2004 - 2005, tỉ lệ rớt môn XSTK 10% Năm học 2005 - 2006 có cải tiến, khảo sát 400 thi có 32 điểm Với mức ý nghĩa 5%, đánh giá cải tiến A Cải tiến thất bại B Cần phải có thêm thơng tin C Cải tiến thành công Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên D Không ý kiến 95 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành PHỤ LỤC Bảng BẢNG GIÁ TRỊ HÀM LAPLACE X 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41309 0,41466 0,41621 0,41774 1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189 1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408 1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449 1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327 1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062 1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670 2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169 2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574 2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899 2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158 2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361 2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 96 Bài giảng Xác suất-Thống kê X Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành 2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643 2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736 2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807 2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861 3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900 3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929 3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950 3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965 3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976 3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983 3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989 3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992 3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995 3,9 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997 4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 4,1 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998 0,49999 0,49999 4,2 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 4,3 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 0,49999 4,4 0,49999 0,49999 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 x Hàm Laplace: j (x ) = ò 2p e - x2 dx ( ) Cách tra bảng: –  = 0, 97 ® (1 –  ) / = 0, 485 =  2,17 ® z  / = 2,17  = 0, 02 ® 0, -  / = 0, 49 = (2, 33) ® z  / = 2, 33 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 97 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành Bảng BẢNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN CHUẨN Z a ( ) P{Z > z  } =  với Z ~ N 0;1 Z 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 98 Bài giảng Xác suất-Thống kê Z Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành 2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 Cách tra bảng: -  = 0, 0099 ® z  = 2, 33 Bảng 3: GIÁ TRỊ TỚI HẠN STUDENT t (n) P {T > t (n , ) } =  ,T ~ t(n) n α 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 63,657 31,821 15,895 12,706 6,314 3,078 9,925 6,965 4,849 4,303 2,920 1,886 5,841 4,541 3,482 3,182 2,353 1,638 4,604 3,747 2,999 2,776 2,132 1,533 4,032 3,365 2,757 2,571 2,015 1,476 3,707 3,143 2,612 2,447 1,943 1,440 3,499 2,998 2,517 2,365 1,895 1,415 3,355 2,896 2,449 2,306 1,860 1,397 3,250 2,821 2,398 2,262 1,833 1,383 10 3,169 2,764 2,359 2,228 1,812 1,372 11 3,106 2,718 2,328 2,201 1,796 1,363 12 3,055 2,681 2,303 2,179 1,782 1,356 13 3,012 2,650 2,282 2,160 1,771 1,350 14 2,977 2,624 2,264 2,145 1,761 1,345 15 2,947 2,602 2,249 2,131 1,753 1,341 16 2,921 2,583 2,235 2,120 1,746 1,337 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 99 Bài giảng Xác suất-Thống kê n Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành α 0,005 0,01 0,02 0,025 0,05 0,1 17 2,898 2,567 2,224 2,110 1,740 1,333 18 2,878 2,552 2,214 2,101 1,734 1,330 19 2,861 2,539 2,205 2,093 1,729 1,328 20 2,845 2,528 2,197 2,086 1,725 1,325 21 2,831 2,518 2,189 2,080 1,721 1,323 22 2,819 2,508 2,183 2,074 1,717 1,321 23 2,807 2,500 2,177 2,069 1,714 1,319 24 2,797 2,492 2,172 2,064 1,711 1,318 25 2,787 2,485 2,167 2,060 1,708 1,316 26 2,779 2,479 2,162 2,056 1,706 1,315 27 2,771 2,473 2,158 2,052 1,703 1,314 28 2,763 2,467 2,154 2,048 1,701 1,313 29 2,756 2,462 2,150 2,045 1,699 1,311 30 2,750 2,457 2,147 2,042 1,697 1,310  2,576 2,326 2,054 1,960 1,645 1,282 Cách tra bảng: t 0,025 (20)  2,086 Bảng GIÁ TRỊ TỚI HẠN CHI-SQUARED  PX >2(n, )=  với X~2(n)  n 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 0,000 0,000 0,001 0,004 3,841 5,024 6,635 7,879 0,010 0,020 0,051 0,103 5,991 7,378 9,210 10,597 0,072 0,115 0,216 0,352 7,815 9,348 11,345 12,838 0,207 0,297 0,484 0,711 9,488 11,143 13,277 14,860 0,412 0,554 0,831 1,145 11,070 12,833 15,086 16,750 0,676 0,872 1,237 1,635 12,592 14,449 16,812 18,548 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 100 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành  n 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 0,989 1,239 1,690 2,167 14,067 16,013 18,475 20,278 1,344 1,646 2,180 2,733 15,507 17,535 20,090 21,955 1,735 2,088 2,700 3,325 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 21,026 23,337 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 36,415 39,364 42,980 45,559 25 10,520 11,524 13,120 14,611 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,879 14,573 16,151 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,256 16,047 17,708 42,557 45,722 49,588 52,336 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 101 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành  n 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 30 13,787 14,953 16,791 18,493 43,773 46,979 50,892 53,672 31 14,458 15,655 17,539 19,281 44,985 48,232 52,191 55,003 32 15,134 16,362 18,291 20,072 46,194 49,480 53,486 56,328 33 15,815 17,074 19,047 20,867 47,400 50,725 54,776 57,648 34 16,501 17,789 19,806 21,664 48,602 51,966 56,061 58,964 35 17,192 18,509 20,569 22,465 49,802 53,203 57,342 60,275 36 17,887 19,233 21,336 23,269 50,998 54,437 58,619 61,581 37 18,586 19,960 22,106 24,075 52,192 55,668 59,893 62,883 38 19,289 20,691 22,878 24,884 53,384 56,896 61,162 64,181 39 19,996 21,426 23,654 25,695 54,572 58,120 62,428 65,476 40 20,707 22,164 24,433 26,509 55,758 59,342 63,691 66,766 41 21,421 22,906 25,215 27,326 56,942 60,561 64,950 68,053 42 22,138 23,650 25,999 28,144 58,124 61,777 66,206 69,336 43 22,859 24,398 26,785 28,965 59,304 62,990 67,459 70,616 44 23,584 25,148 27,575 29,787 60,481 64,201 68,710 71,893 45 24,311 25,901 28,366 30,612 61,656 65,410 69,957 73,166 46 25,041 26,657 29,160 31,439 62,830 66,617 71,201 74,437 47 25,775 27,416 29,956 32,268 64,001 67,821 72,443 75,704 48 26,511 28,177 30,755 33,098 65,171 69,023 73,683 76,969 49 27,249 28,941 31,555 33,930 66,339 70,222 74,919 78,231 50 27,991 29,707 32,357 34,764 67,505 71,420 76,154 79,490 55 31,735 33,570 36,398 38,958 73,311 77,380 82,292 85,749 60 35,534 37,485 40,482 43,188 79,082 83,298 88,379 91,952 65 39,383 41,444 44,603 47,450 84,821 89,177 94,422 98,105 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 102 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành  n 0,995 0,99 0,975 0,95 0,05 0,025 0,01 0,005 70 43,275 45,442 48,758 51,739 90,531 95,023 100,425 104,215 75 47,206 49,475 52,942 56,054 96,217 100,839 106,393 110,286 80 51,172 53,540 57,153 60,391 101,879 106,629 112,329 116,321 85 55,170 57,634 61,389 64,749 107,522 112,393 118,236 122,325 90 59,196 61,754 65,647 69,126 113,145 118,136 124,116 128,299 95 63,250 65,898 69,925 73,520 118,752 123,858 129,973 134,247 100 67,328 70,065 74,222 77,929 124,342 129,561 135,807 140,169 2 (20)  34,170 ; 0,975 (40)  24,433 Cách tra bảng: 0,025 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Sĩ Đồng, Giáo trình Xác suất- Thống kê, NXB Giáo dục, 2012 [2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất - Thống kê ứng dụng, NXB Giáo dục, 2009 [2] Hoàng Ngọc Nhậm, Xác suất thống kê , NXB thống kê , 2010 [4] Đặng Hấn , Xác suất thống kê , NXB Thống kê, 2006 [5] Nguyễn Cao Văn, Bài tập Xác suất thống kê toán,NXB Giáo dục,2002 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 103 Bài giảng Xác suất-Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành Mục lục Chương Khái niệm lý thuyết xác suất §1 Giải tích tổ hợp §2 Biến cố mối quan hệ biến cố §3 Định nghĩa xác suất §4 Một số cơng thức tính xác suất 10 Chương Đại lượng ngẫu nhiên 24 §1 Khái niệm chung đại lượng ngẫu nhiên 24 §2 Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 28 §3 Một số phân phối xác suất thường gặp 33 Chương Lý thuyết mẫu 46 §1 Khái niệm tổng thể mẫu 46 §2 Các đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 48 Chương Ước lượng cho tham số thống kê 52 §1 Khái niệm ước lượng .52 §2 Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình .53 §3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ 58 Chương Kiểm định giả thuyết thống kê .63 §1 Khái niệm chung kiểm định giả thuyết thống kê 63 §2 Kiểm định giả thuyết giá trị trung bình 65 §3 Kiểm định giả thuyết tỷ lệ 68 §4 Kiểm định giả thuyết phương sai 70 Bài tập ôn tập 73 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 104 ... Các xác suất Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên 18 Bài giảng Xác suất- Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành P( Ai ) gọi xác suất tiên nghiệm; xác suất P( Ai / B) gọi xác suất. .. hiệu P(A) Sau xét số đình nghĩa xác suất: Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương - Nguyễn Huế Tiên Bài giảng Xác suất- Thống kê Bộ mơn Tốn ĐH Nguyễn Tất Thành... ví dụ 9? §3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Xác suất biến cố đại lượng đặc trưng cho khả xuất biến cố quy ước bao hàm cho biến cố chắn có xác suất 1, biến cố khơng thể có xác suất Xác suất biến cố A ký hiệu