Bài giảng Xác suất thống kê: Một số phân phối xác suất thông dụng - Nguyễn Văn Thìn

Bài giảng Xác suất thống kê: Một số phân phối xác suất thông dụng gồm có những nội dung chính sau: Phân phối bernoulli, phân phối nhị thức, phân phối siêu bội, phân phối poisson, phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối gamma, phân phối chi bình phương, phân phối student, phân phối fisher.

Outline MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Bernoulli Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP nhị thức Nguyễn Văn Thìn PP siêu bội PP Poisson PP PP BỘ MƠN THỐNG KÊ TỐN HỌC KHOA TOÁN - TIN HỌC PP Gamma ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM PP Chi bình phương PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Tháng năm 2016 PP Student PP Fisher MỘT SỐ PP Fisher Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student 10 PP Fisher MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức Định nghĩa Cho b.n.n X rời rạc lấy hai trị số 0, Ta nói X có phân phối Bernoulli hàm xác suất có dạng:   − p x = p x = f (x) =  nơi khác PP Poisson PP Kí hiệu: X ∼ B(1, p) p ∈ (0, 1) PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student 10 PP Fisher PP Poisson Phân phối Bernoulli PP siêu bội PP chuẩn PP siêu bội PP Student Outline PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP chuẩn PP Bernoulli PP Fisher Đặc trưng Kì vọng: EX = 0(1 − p) + 1.p = p Phương sai: Var (X ) = 02 (1 − p) + 12 p − p = p(1 − p) Phân phối Bernoulli: Mơ hình MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Coi thí nghiệm ngẫu nhiên có hai kết Ω = {ω, ω ¯ }, P(ω) = p Gọi X số lần ω xuất X : Ω −→ R Nguyễn Văn Thìn Phân phối Bernoulli: Ví dụ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn ω −→ X (ω) = PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội Ta có PP Poisson PP Poisson PP P(X = 1) = P(ω) = p PP PP chuẩn P(X = 0) = P(¯ ω) = − p PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Fisher MỘT SỐ   − p x = p x = f (x) =  nơi khác nghĩa X có phân phối Bernoulli PP Chi bình phương Tung xúc sắc, lưu ý mặt Đặt Y = mặt xuất mặt khác PP Bernoulli PP PP chuẩn X ∼ B(1, 1/2) Outline PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP nhị thức Y ∼ B(1, 1/6) PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP siêu bội PP Poisson Ví dụ PP Quan sát giới tính lần sanh Đặt PP Gamma PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Z= PP Student PP Fisher X = PP Fisher PP Bernoulli PP siêu bội PP Poisson Tung đồng xu lần, lưu ý mặt ngửa Đặt PP Student MỘT SỐ Ví dụ Nguyễn Văn Thìn PP nhị thức Ví dụ PP Gamma Vậy X có mật độ Phân phối Bernoulli: Ví dụ (tt) PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Mọi thí nghiệm ngẫu nhiên có hai kết có phân phối Bernoulli PP Bernoulli ω ¯ −→ X (¯ ω) = PP nhị thức PP siêu bội Nhận xét Z ∼ B(1, 1/2) trai gái PP Chi bình phương PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher 10 PP Fisher ngửa sấp Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức: Mơ hình MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị 0, 1, 2, , n X có phân phối nhị thức, kí hiệu X ∼ B(n, p), hàm xác suất có dạng PP siêu bội PP Poisson PP PP nhị thức f (x) = Cnx p x (1 − p)n−x với x = 0, 1, 2, , n nơi khác < p < PP Student PP Fisher Phân phối nhị thức: Mơ hình (tt) PP Poisson PP MỘT SỐ Với x ∈ {0, 1, , n}, (X = x) = {ω ∈ Ω : ∃I ⊂ {1, 2, , n}, |I | = x, ω(i) = ω∗ ∀i ∈ I , ω(i) = ω ¯ ∗ ∀i ∈ / I } nghĩa chứa kết n lần thí nghiệm mà có x lần xuất ω∗ n − x lần xuất ω ¯∗ Vì phép thử Bernoulli độc lập nên với ω ∈ (X = x) P(ω) = p x (1 − p)n−x Số biến cố sơ cấp (X = x) |(X = x)| = Cnx Do đó, PP Chi bình phương Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli f (x) = P(X = x) = P(ω) = ω∈(X =x) PP siêu bội PP Cnx p x (1 n−x − p) PP Gamma PP Chi bình phương PP Student Vậy X có phân phối nhị thức X : Ω −→ R ω = (ω(1) , ω(2) , , ω(n) ) −→ X (ω) = X1 (ω(1) ) + · · · + Xn (ω(n) ) Ví dụ Trong gia đình có người Tính xác suất gia đình (i) có trai (ii) có nhiều trai (iii) có trai PP nhị thức PP chuẩn PP Student PP Fisher PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Poisson PP chuẩn PP Gamma Gọi X số lần xuất ω∗ n lần quan sát Phân phối nhị thức - Một số ví dụ MỘT SỐ PP siêu bội ω ¯ ∗ −→ Xi (¯ ω∗ ) = PP Gamma PP Fisher PP nhị thức ω∗ −→ Xi (ω∗ ) = PP chuẩn PP Student PP Bernoulli Xi : Ω∗ −→ R PP PP Chi bình phương Nguyễn Văn Thìn Đặt Xi kết lần quan sát thứ i PP Poisson PP Chi bình phương PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Ω = {ω = (ω(1) , ω(2) , , ω(n) ) : ω(i) ∈ {ω∗ , ω ¯ ∗ }, i = 1, 2, , n} PP Bernoulli PP siêu bội PP chuẩn PP Gamma Nguyễn Văn Thìn Coi thí nghiệm ngẫu nhiên có hai kết Ω∗ = {ω∗ , ω ¯∗} với P(ω∗ ) = p Ta lập lại thí nghiệm n lần độc lập quan tâm đến số lần xuất ω∗ n lần quan sát Khơng gian mẫu n lần thí nghiệm PP Fisher Gợi ý Quan sát sinh trai lần độc lập P(ω) = P(trai) = 1/2 Gọi X số trai lần sinh X ∈ {0, 1, , 6} X ∼ B(6, 1/2) với hàm mật độ f (x) = C6x (1/2)x (1/2)6−x x = 0, 1, 2, , nơi khác Phân phối nhị thức - Một số ví dụ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli Phân phối nhị thức - Một số ví dụ Ta có bảng phân phối X P(X = k) 0.016 MỘT SỐ 0.093 0.24 0.32 0.24 0.093 0.016 (i) Xác suất để gia đình có trai: PP nhị thức P(X = 3) = 0.32 PP Poisson PP Chi bình phương (ii) Xác suất để gia đình có nhiều trai PP siêu bội PP PP chuẩn P(X ≤ 3) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3) = 0.67 (iii) Xác suất để gia đình có trai PP Student PP Fisher PP Bernoulli PP Gamma P(X ≥ 3) = P(X = 3)+P(X = 4)+P(X = 5)+P(X = 6) = 0.67 Phân phối nhị thức - Các đặc trưng MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma Một lô thuốc (rất nhiều), có tỉ lệ hỏng p = 0.2 Ta lấy ngẫu nhiên lọ Gọi X số lọ hỏng số lọ lấy Tìm hàm mật độ xác suất X PP Fisher MỘT SỐ PP nhị thức Ví dụ 10 PP Student PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Bernoulli Tại địa phương tỉ lệ sốt rét 25% dân số Chọn ngẫu nhiên người Tính khả để có người bị sốt rét PP Chi bình phương Phân phối nhị thức - Một số ví dụ Nguyễn Văn Thìn Ví dụ PP Poisson PP chuẩn PP Gamma Nguyễn Văn Thìn PP nhị thức PP siêu bội PP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Ví dụ 11 Một thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời có phương án Giả sử câu trả lời điểm, câu trả lời sai trừ điểm Một sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên đáp án cho câu hỏi Tính xác suất: (i) Để sinh viên điểm (ii) Để sinh viên điểm âm Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli Định lí 12 Nếu X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B (n, p) (i) E (X ) = np, Var (X ) = npq, với q = − p (ii) Mod (X ) (các) số nguyên thỏa np − q ≤ Mod (X ) ≤ np + p PP nhị thức PP siêu bội Chứng minh PP Poisson PP (i) Ta có, PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher n k E [X ] = n i i=0 k Cni p i (1 n−i − p) i k Cni p i (1 − p)n−i = i=1 i−1 Sử dụng đẳng thức iCni = nCn−1 , ta viết lại MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Chứng minh (tt) Nguyễn Văn Thìn (ii) Ta xét tỉ số Nguyễn Văn Thìn Chứng minh (tt) n k E [X ] = np PP Bernoulli đặt j=i−1 = PP Poisson = PP chuẩn PP Chi bình phương PP Student − p) n−i PP Bernoulli PP nhị thức k−1 np (j + 1) j Cn−1 p j (1 − p) n−1−j j=0 PP PP Gamma i−1 i−1 Cn−1 p (1 i=1 n PP nhị thức PP siêu bội i k−1 npE (Y + 1)k−1 PP siêu bội với Y ∼ B(n − 1, p) Với k = 1, EX = np Với k = 2, E [X ] = npE (Y + 1) = np((n − 1)p + 1) Do đó, Var (X ) = E (X ) − (EX )2 = np(1 − p) PP Gamma PP Chi bình phương Outline MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma Hàng đóng thành kiện, kiện 10 sản phẩm, có phế phẩm Khi kiện hàng giao cho khách hàng, khách hàng lấy ngẫu nhiên sản phẩm kiện để kiểm tra Nếu hai sản phẩm tốt, kiện hàng nhận, ngược lại kiện hàng bị trả lại Gọi X số kiện hàng nhận số 100 kiện hàng giao cho khách hàng Tìm E (X ), Var (X ) Mod (X ) (n − k + 1)p k(1 − p) Do P(X = k) ≥ P(X = k − 1) (n − k + 1)p ≥ k(1 − p), tức k ≤ np + p PP Student Phân phối nhị thức - Ví dụ PP Bernoulli = PP chuẩn PP Fisher Ví dụ 13 = n! k k k!(n−k)! p (1 − p) n! k−1 (1 − p)n−k+1 (k−1)!(n−k+1)! p PP Poisson PP PP Fisher Nguyễn Văn Thìn P(X = k) P(X = k − 1) Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student 10 PP Fisher Phân phối siêu bội Phân phối siêu bội MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn Định nghĩa 14 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị 0, 1, , n X có phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(n, M, N), hàm xác suất có dạng  x n−x   CM CN−M x = 0, 1, , n f (x) = CNn  0 khác Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP Poisson PP PP chuẩn PP Chi bình phương PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher PP siêu bội Từ hộp có M bi đỏ, N − M bi đen lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại n bi Gọi X số bi đỏ n bi lấy Khi X ∼ H(n, M, N) PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Chứng minh Nguyễn Văn Thìn PP siêu bội PP Poisson PP Định lí 16 Cho X ∼ H(n, M, N) đặt p = (i) E (X ) = np (ii) Var (X ) = npq n E (X k ) = N −n N −1 M , q = − p Khi N PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Fisher n n−i i i k CM CN−M /CNn i k P(X = i) = i=0 PP nhị thức Dễ dàng có PP Student PP Fisher PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Bernoulli PP Poisson PP max{0, n − (N − M)} ≤ x ≤ min{n, M} MỘT SỐ Mơ hình siêu bội PP Bernoulli PP nhị thức tức Chứng minh Phân phối siêu bội - Mơ hình đặc trưng Nguyễn Văn Thìn 0≤x ≤M 0≤n−x ≤N −M PP siêu bội PP Gamma MỘT SỐ Bởi ta quy ước Crk k < k > r nên f (x) x không thỏa PP nhị thức PP Gamma PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nhận xét 15 i=1 Sử dụng hệ thức i−1 n−1 i iCM = MCM−1 nCNn = NCN−1 Chứng minh Chứng minh MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn Ta viết lại E (X k ) = nM N PP Bernoulli PP nhị thức = PP siêu bội PP Poisson = PP PP chuẩn PP Gamma nM N n i−1 n−i n−1 i k−1 CM−1 CN−M /CN−1 i=1 n−1 (j + j=0 nM E [(Y + 1)k−1 ] với Y ∼ H(n − 1, M − 1, N − 1) N EX = PP Student nM = np N PP Fisher PP nhị thức PP chuẩn PP Chi bình phương PP Student PP Fisher Gợi ý MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP siêu bội PP Poisson PP = np PP MỘT SỐ PP nhị thức (n − 1)(M − 1) + − np N −1 (n − 1)(Np − 1) = np + − np N −1 N −n = npq N −1 PP Poisson PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Bernoulli Var (X ) = E (X ) − (EX )2 PP siêu bội Phân phối siêu bội - Ví dụ Nguyễn Văn Thìn nM (n − 1)(M − 1) nM E (Y + 1) = +1 N N N −1 Từ đó, PP Gamma Do đó, với k = PP Chi bình phương E (X ) = Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli j n−1−j n−1 1)k−1 CM−1 CN−M /CN−1 với k = 2, Ví dụ 17 Một lớp có 50 sinh viên có 30 nữ Cần chọn 10 bạn để tham gia vào công tác chuẩn bị cho hoạt động tới trường Nếu ta chọn bạn cách ngẫu nhiên, xác suất để số sinh viên nữ chọn không bao nhiêu? Xác suất để chọn sinh viên nữ bao nhiêu? Gọi X số sinh viên nữ số 10 sinh viên chọn Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli X ∼ H (50, 30, 10) Xác suất để số sinh viên nữ chọn không PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) PP PP chuẩn PP chuẩn PP Gamma PP Gamma PP Chi bình phương PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher = C 10 C9 C8 C7 C30 C30 C30 C30 20 20 20 20 + + + = 0.0365 10 10 10 10 C50 C50 C50 C50 Xác suất để có nữ Outline Gợi ý MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn P (X ≥ 1) = − P (X < 1) PP Bernoulli PP Bernoulli = − P (X = 0) PP nhị thức PP nhị thức C C 10 = − 30 1020 ≈ C50 PP siêu bội PP Poisson PP PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP chuẩn PP Gamma PP Gamma PP Chi bình phương PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student 10 PP Fisher Phân phối Poisson MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị 0, 1, 2, X có phân phối Poisson, kí hiệu X ∼ P(λ), hàm xác suất có dạng Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức MỘT SỐ Định nghĩa 18 (Phân phối Poisson) λx e −λ f (x) = x! x = 0, 1, 2, nơi khác với λ > PP siêu bội PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Fisher Chứng minh Nguyễn Văn Thìn Lưu ý PP Bernoulli ∞ λx x=0 x! ∞ EX Nếu b.n.n X có phân phối Poisson với tham số λ, X ∼ P(λ), (i) Kỳ vọng E (X ) = λ (ii) Phương sai Var (X ) = λ ∞ xf (x) = = PP Poisson Định lí 19 (Các đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson) = eλ (i) PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG x=1 PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Fisher đặt t=x−1 = x=0 ∞ PP x λe −λ t=0 λt t! =λ e −λ λx = λe −λ x! ∞ x=1 λx−1 (x − 1)! MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG MỘT SỐ Chứng minh (tt) PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG (ii) Nguyễn Văn Thìn ∞ E(X ) = PP Bernoulli x=0 PP nhị thức λx x e −λ = x! ∞ PP siêu bội = e PP Poisson −λ PP chuẩn λt = λ e PP Gamma t=0 PP Chi bình phương x=0 λx [x(x − 1) + x]e −λ x! λx + e −λ (x − 2)! x=2 ∞ −λ PP ∞ t! ∞ x=1 Định lí 20 (giới hạn Poisson) PP Bernoulli Cho X ∼ B(n; p) đặt λ = np Khi PP nhị thức λx (x − 1)! PP Poisson PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Fisher MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Chứng minh Lưu ý limn→∞ + α n n = e α x x PP Poisson = n! p x (1 − p)n−x = x!(n − x)! (n − x + 1)(n − x + 2) · · · (n − 1)n x! λ n PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương = x −1 1− n Cho n → ∞, 1− PP Bernoulli n−x = C p (1 − p) PP siêu bội Chứng minh (tt) Nguyễn Văn Thìn P(X = x) PP Bernoulli PP (1) PP chuẩn + λ = λ2 + λ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP nhị thức p→0 λx x! PP PP Fisher Nguyễn Văn Thìn lim P(X = x) = e −λ n→∞ PP siêu bội Do đó, Var (X ) = E(X ) − (EX )2 = λ PP Student Nguyễn Văn Thìn x −2 1− n ··· − n PP nhị thức x −i → ∀i = 1, , x − n λ n−x 1− → e −λ n PP siêu bội x 1− λx x! λ n n−x λ 1− n PP Poisson Vậy (1) chứng minh PP n−x PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher Nhận xét 21 Định lí cho thấy phân phối nhị thức n lớn, p nhỏ, np = λ ta tính xác suất xấp xỉ theo luật Poisson việc tính tốn dễ dàng Để an toàn, xấp xỉ dùng n ≥ 100, p ≤ 0.01 np ≤ 20 Phân phối Poisson - Mơ hình MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức Đó quan sát mà số lần lặp lại lớn (n lớn) mà xác suất biến cố ta lưu tâm P(ω) = p nhỏ Chẳng hạn ta lưu ý đến biến cố hiếm, xảy thời gian, không gian định: Số trẻ em sinh đôi năm bệnh viện X Số tai nạn giao thông ngã tư năm PP siêu bội PP Poisson PP Gamma PP Chi bình phương Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP Poisson PP Số chữ in sai trang Số người sống lâu 100 tuổi cộng đồng dân cư PP Student PP Fisher MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Ví dụ 24 Tỉ lệ thuốc hỏng lơ thuốc (rất nhiều) p = 0.05 Ta lấy ngẫu nhiên n = 20 lọ Gọi X số lọ hỏng Tìm hàm mật độ X so sánh với giá trị xấp xỉ phân phối Poisson PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Giả sử xác suất tử vong bệnh sốt xuất huyết 0.007 Tính xác suất để có người chết sốt xuất huyết nhóm 400 người Outline MỘT SỐ PP nhị thức Ví dụ 23 PP Fisher PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG PP Bernoulli Giả sử số lỗi in trang sách có phân phối Poisson với tham số λ = 12 Tính xác suất có lỗi in trang PP Student Số người đến bưu điện ngày Phân phối Poisson - Ví dụ Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 22 PP siêu bội Số hồng cầu ô hồng cầu kế PP PP chuẩn Phân phối Poisson - Ví dụ Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP siêu bội Ví dụ 25 Một trung tâm bưu điện nhận trung bình 150 điện thoại giờ, tìm xác suất để trung tâm bưu điện nhận không hai gọi phút PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student 10 PP Fisher Phân phối Phân phối MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Định nghĩa 26 (Phân phối đều) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U [a; b], hàm mật độ xác suất X có dạng   x ∈ [a, b] f (x) = b−a  nơi khác PP Student Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn Hình 1: Hàm mật độ phân phối khoảng [a, b] Hình 2: Hàm phân phối xác suất phân phối khoảng [a, b] Phân phối MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Poisson x > b PP Fisher MỘT SỐ PP siêu bội x ∈ [a, b] PP Student PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP nhị thức x < a PP Chi bình phương Phân phối PP Bernoulli    0x − a F (x) =   b−a PP Gamma PP Fisher Nguyễn Văn Thìn Từ định nghĩa ta có hàm phân phối xác suất X ∼ U [a; b] Định lí 27 (Các đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối đều) Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối [a, b] (X ∼ U[a, b]) (i) Kỳ vọng E (X ) = a+b (ii) Phương sai Var (X ) = PP Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội (a−b)2 12 PP Poisson PP PP chuẩn PP chuẩn PP Gamma Chứng minh PP Gamma PP Chi bình phương Dễ dàng có PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher Ví dụ 28 Tại trạm xe buýt khoảng cách chuyến liên tiếp tuyến xe buýt T 15 phút Chuyến đến trạm lúc sáng Nếu hành khách tới trạm xe buýt vào thời điểm có phân phối từ tới 30 để tuyến xe buýt T Tính xác suất để đợi: (i) phút (ii) 10 phút (iii) từ đến 12 phút Phân phối chuẩn hóa (Standard normal distribution) Outline MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức MỘT SỐ PP Bernoulli PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP nhị thức PP siêu bội PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Poisson −z f (z) = √ e 2π PP Bernoulli PP nhị thức PP PP siêu bội PP chuẩn PP Poisson PP PP Gamma PP chuẩn PP Chi bình phương PP Gamma Định lí 30 B.N.N Z ∼ N(0, 1) có kì vọng EZ = phương sai Var (Z ) = PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher Cho biến ngẫu nhiên Z liên tục, Z có phân phối chuẩn hóa (hay chuẩn tắc), kí hiệu Z ∼ N(0, 1), hàm mật độ có dạng: Nguyễn Văn Thìn PP siêu bội PP Poisson Định nghĩa 29 PP Student 10 PP Fisher PP Fisher Phân phối chuẩn hóa - Minh họa Chứng minh Chú ý ∞ −z dz −∞ e = √ π Phân phối chuẩn hóa - Hàm phân phối MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 0.4 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Hàm phân phối z Nguyễn Văn Thìn 0.3 Nguyễn Văn Thìn Φ(z) = P(Z ≤ z) = −∞ 0.2 PP nhị thức PP Bernoulli f(x) PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP Poisson 0.1 PP siêu bội PP PP chuẩn PP chuẩn Với giá trị cụ thể z, ta tra bảng để tìm giá trị Φ(z) Tính chất (a) 0.0 PP PP Gamma −2 x PP Student PP Fisher Φ(z) + Φ(−z) = PP Gamma −4 PP Chi bình phương −u2 √ e du 2π PP Chi bình phương PP Student Hình 3: Hàm mật độ N(0, 1) PP Fisher (b) P(−a ≤ Z ≤ a) = 2Φ(a) − Phân phối chuẩn hóa - Ví dụ Phân phối chuẩn (Normal distribution) MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli Cho biến ngẫu nhiên Z ∼ N(0, 1) Tính xác suất sau PP nhị thức PP siêu bội Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 31 PP Poisson PP PP Bernoulli PP nhị thức P(Z ≤ 1.55) P(Z ≤ −1.45) P(−1 < Z ≤ 1.5) PP siêu bội Định nghĩa 32 Cho biến ngẫu nhiên X liên tục, với σ > 0, µ hai tham số, X có phân phối chuẩn, kí hiệu X ∼ N(µ, σ ), hàm mật độ có dạng (x−µ)2 với x ∈ R f (x) = √ e − 2σ2 σ 2π PP Poisson PP PP chuẩn PP chuẩn Định lí 33 PP Gamma PP Gamma PP Chi bình phương PP Chi bình phương B.N.N X ∼ N(µ, σ ) có kì vọng EX = µ phương sai Var (X ) = σ PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Dễ dàng có cách đổi biến ý PP siêu bội PP Bernoulli ∞ e − x2 dx = −∞ PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP Poisson PP PP PP chuẩn PP Gamma Vậy phân phối chuẩn tham số µ σ trung bình độ lệch chuẩn f(x) √ 2π 0.10 PP nhị thức 0.05 PP Bernoulli Nguyễn Văn Thìn 0.15 Chứng minh PP chuẩn PP Gamma 0.00 Nguyễn Văn Thìn 0.20 Phân phối chuẩn - Minh họa −4 PP Chi bình phương PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher −2 x Hình 4: Hàm mật độ N(1, 4) Phân phối chuẩn - Phân phối chuẩn hóa MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức MỘT SỐ Định lí 34 X −µ Nếu X ∼ N(µ, σ ) ∼ N(0, 1) σ PP Student Định lý 34 cho phép đưa biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn phân phối chuẩn hóa Hệ 36 PP Bernoulli PP nhị thức FY (y ) = P(Y ≤ y ) = P X −µ ≤y σ = P(X ≤ σy +µ) = FX (σy +µ) PP chuẩn PP Chi bình phương Nhận xét 35 Nếu X ∼ N(µ, σ ) PP siêu bội PP PP Gamma PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn Chứng minh X −µ Đặt Y = Ta có, σ PP siêu bội PP Poisson Phân phối chuẩn P(X ≤ a) = Φ PP Poisson a−µ σ PP PP chuẩn Do đó, (σy +µ−µ)2 1 fY (y ) = FY (y ) = σfX (σy +µ) = σ √ e − 2σ2 = √ e −y /2 2π 2πσ PP Fisher PP Gamma Hệ 37 PP Chi bình phương Nếu X ∼ N(µ, σ ) PP Student P(a < X ≤ b) = Φ PP Fisher b−µ σ −Φ a−µ σ Vậy Y ∼ N(0, 1) Phân phối chuẩn MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn MỘT SỐ Quy tắc kσ Cho X ∼ N(µ, σ ) Khi đó, (i) P(|X − µ| < σ) = 0.68 (ii) P(|X − µ| < 2σ) = 0.955 (iii) P(|X − µ| < 3σ) = 0.997 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP nhị thức PP siêu bội PP siêu bội PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Fisher Ví dụ 38 Chỉ số thông minh (IQ), đo kiểm tra IQ Stanford-Binet, có phân phối chuẩn tổng thể IQ trung bình 100 điểm, độ lệch chuẩn 16 điểm Hỏi phần trăm số người tổng thể có IQ (a) từ 140 trở lên? (b) từ 80 trở xuống? (c) 80 140? Cho X biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số n p Khi với số a, b bất kì, a < b, PP Bernoulli PP nhị thức PP Poisson Định lí 39 (Moivre - Laplace) lim P n→∞ a< X − np np(1 − p) Γ(α)β α x f (x) = x ≤0 PP siêu bội Phân phối Gamma PP PP Chi bình phương Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức G(1,2) G(2,2) G(3,1) PP PP chuẩn Trung bình: EX = αβ Phương sai: Var (X ) = αβ PP Student PP Fisher MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP Poisson Các đặc trưng PP chuẩn PP Gamma Minh họa PP siêu bội PP Poisson Dễ dàng có 0.0 MỘT SỐ Chứng minh PP Fisher Phân phối Gamma PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Γ(1) = Γ(α + 1) = αΓ(α) Γ(n + 1) = n! √ Γ(1/2) = π PP Gamma PP Student 10 PP Fisher Tính chất 0.5 PP PP siêu bội ∞ α−1 −x e dx x 0.4 PP Poisson Với α > 0, đặt Γ(α) = 0.3 PP nhị thức PP siêu bội Định nghĩa 41 (Hàm Gamma) f(x) PP Bernoulli PP nhị thức MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 0.2 Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli 0.1 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Phân phối Gamma PP Gamma PP Chi bình phương 10 x PP Student Chứng minh Dễ dàng có PP Fisher Hình 5: Hàm mật độ G (1, 2), G (2, 2), G (3, 1) Outline MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức Phân phối Chi bình phương MỘT SỐ PP Bernoulli PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP nhị thức PP siêu bội PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Poisson PP Bernoulli Hàm mật độ X PP nhị thức PP PP siêu bội PP chuẩn f (x) = PP Poisson r x x −1 e Γ(1/2)2r /2 x > nơi khác PP PP Gamma PP chuẩn PP Chi bình phương PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher X ∼ χ2 (r ) X ∼ G (r /2, 2) Nguyễn Văn Thìn PP siêu bội PP Poisson Định nghĩa 43 (Phân phối Chi bình phương: X ∼ χ2 (r ), r = 1, 2, 3, ) PP Student 10 PP Fisher PP Fisher Các đặc trưng r Kì vọng: EX = = r r Phương sai: Var = 22 = 2r Phân phối Chi bình phương Minh họa MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 0.4 PP Bernoulli PP siêu bội Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức 0.2 PP nhị thức r=2 r=6 r = 15 f(x) Nguyễn Văn Thìn 0.3 0.5 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PP siêu bội PP PP Poisson 0.1 PP Poisson PP PP chuẩn 0.0 PP chuẩn PP Gamma PP Gamma PP Chi bình phương 10 15 20 25 30 x PP Student PP Fisher PP Chi bình phương PP Student Hình 6: Hàm mật độ χ2 (2), χ2 (6), χ2 (15) Định lí 44 Nếu X ∼ N(0, 1) Y = X ∼ χ2 (1) Chứng minh Biến ngẫu nhiên Y ≥ 0, ta tính hàm phân phối Y √ √ G (y ) = P(Y ≤ y ) = P(X ≤ y ) = P(− y ≤ X ≤ y ) √ √ = Φ( y ) − Φ(− y ) X ∼ N(0, 1) √ = 2Φ( y ) − Hàm mật độ Y , y y √ 1 g (y ) = G (y ) = 2Φ ( y ) = √ e − √ = √ y − e − 2 y 2π π2 y 1 y −1 e − = Γ(1/2)21/2 PP Fisher hàm mật độ χ2 (1) Vậy Y ∼ χ2 (1) MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn Định lí 45 Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli Nếu X ∼ χ2 (r ), Y ∼ χ2 (s), X Y độc lập Z = X + Y ∼ χ2 (r + s) PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn Chứng minh Có thể sử dụng hàm đặc trưng để chứng minh PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher Outline Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP nhị thức PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Hệ 47 Nếu X1 , X2 , , Xr độc lập có phân phối chuẩn N(0, 1) X12 + X22 + · · · + Xr2 ∼ χ2 (r ) Phân phối Student MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa 48 Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập X ∼ N(0, 1), Y ∼ χ2 (n) Đặt T = XY Khi đó, phân phối BNN T gọi phân n phối Student bậc tự n Kí hiệu T ∼ T (n) PP Bernoulli PP nhị thức Định lí 49 PP siêu bội PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher X1 + X2 + · · · + Xn ∼ χ2 (r1 + r2 + · · · + rn ) PP siêu bội PP Chi bình phương MỘT SỐ Nếu Xi ∼ χ2 (ri ) với i = 1, , n Xi độc lập, PP nhị thức PP Gamma PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Hệ 46 PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma Γ( n+1 ) f (t) = √ n πnΓ( ) PP Chi bình phương PP Student 10 PP Fisher B.N.N T ∼ T (n) có hàm mật độ PP Fisher 1+ t2 n n+1 , t∈R n Khi n ≥ 30, phân phối T (n) n−2 gần trùng với phân phối chuẩn tắc N(0, 1) E(T ) = 0, Var (T ) = Phân phối Student Outline Minh họa MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 0.4 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 0.3 Nguyễn Văn Thìn N(0,1) T(3) T(1) Nguyễn Văn Thìn f(t) PP Bernoulli PP nhị thức 0.2 PP Bernoulli PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP Poisson 0.1 PP siêu bội PP PP chuẩn PP chuẩn 0.0 PP PP Gamma PP Gamma −3 −2 −1 PP Chi bình phương PP Chi bình phương t PP Student PP nhị thức PP siêu bội PP Poisson PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student Hình 7: Hàm mật độ T (1), T (3) N(0, 1) PP Fisher 10 PP Fisher Phân phối Fisher Phân phối Fisher Minh họa MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Định nghĩa 50 Xét hai biến ngẫu nhiên X , Y độc lập: X ∼ χ2 (n), Y ∼ χ2 (m) /n Đặt F = YX/m Khi đó, phân phối B.N.N F gọi Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli phân phối Fisher bậc tự n, m Kí hiệu F ∼ F (n, m) PP Bernoulli 0.6 F(16,20) F(8,10) F(2,2) PP nhị thức 0.4 PP nhị thức 0.8 Nguyễn Văn Thìn f(x) PP Fisher PP Bernoulli PP PP siêu bội Định lí 51 PP Poisson 0.2 PP Poisson B.N.N F ∼ F (n, m) có hàm mật độ PP PP chuẩn PP Gamma PP Chi bình phương Γ( m+n ) m h(f ) = n m Γ( ).Γ( ) n m f (1 + PP chuẩn m −1 m nf ) 0.0 PP siêu bội m+n , f ≥0 PP Gamma PP Chi bình phương PP Student PP Student PP Fisher PP Fisher x Hình 8: Hàm mật độ F (16, 20), F (8, 10) F (2, 2) ... −z dz −∞ e = √ π Phân phối chuẩn hóa - Hàm phân phối MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 0.4 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Hàm phân phối z Nguyễn Văn Thìn 0.3 Nguyễn Văn Thìn Φ(z) = P(Z... Student PP Fisher Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Một số ví dụ phân phối chuẩn MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli PP... P(−a ≤ Z ≤ a) = 2Φ(a) − Phân phối chuẩn hóa - Ví dụ Phân phối chuẩn (Normal distribution) MỘT SỐ MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Nguyễn Văn Thìn PP Bernoulli Cho