Bài giảng Xác suất thống kê: Biến cố và xác suất trình bày những nội dung chính sau: Biến cố ngẫu nhiên, các phép toán trên các biến cố, xác suất của biến cố. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.
Outline BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Nguyễn Văn Thìn Xác suất biến cố Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố BỘ MƠN THỐNG KÊ TỐN HỌC KHOA TỐN - TIN HỌC Xác suất biến cố ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM Tháng năm 2016 Outline Phép thử biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Trong xác suất, phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử thí nghiệm hay quan sát Phép thử gọi ngẫu nhiên ta dự báo trước kết xảy Xác suất biến cố Có kết đơn giản, có kết phức hợp, chẳng hạn quay sổ số ta quan tâm tới số cuối, xuất số từ 0, , kết đơn giản nhất; xuất số chẵn, lẻ kết phức hợp (gồm nhiều kết đơn giản hợp thành) Phép thử biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép tốn biến cố Xác suất biến cố Kết đơn giản gọi biến cố sơ cấp (simple event) Tập hợp gồm tất biến cố sơ cấp gọi không gian mẫu (sample space) hay không gian biến cố sơ cấp Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố (event) Phép thử biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Ta thường dùng ω để kí hiệu biến cố sơ cấp Ω để kí hiệu khơng gian mẫu A, B, C , để kí hiệu biến cố Ví dụ Gieo đồng tiền (xu) lần Không gian biến cố sơ cấp là: Ω = {S, N} Ở S (tương ứng N) kết quả: "đồng tiền xuất mặt "sấp" (tương ứng "ngửa")" Ví dụ Trong trường hợp gieo hai lần, mô tả không gian mẫu? Hai biến cố đặc biệt: Ω gọi biến cố chắn ∅ gọi biến cố không Outline Phép thử biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Ví dụ Một xúc xắc gieo liên tiếp n lần Hãy mô tả không gian mẫu ? Số biến cố sơ cấp ? Ví dụ Nếu |Ω| = n số biến cố ? Ví dụ Một đồng tiền gieo liên tiếp lần xuất mặt sấp dừng lại Hãy xác định không gian mẫu phép thử ? Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Phép tốn hợp Hợp A B biến cố A ∪ B ≡ A + B = {ω : ω ∈ A ω ∈ B} Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Phép tốn giao Nếu A ∩ B = ∅ A B gọi xung khắc Giao A B biến cố A ∩ B ≡ AB = {ω : ω ∈ A ω ∈ B} Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xác suất biến cố Dãy biến cố A1 , A2 , , An gọi xung khắc đôi Ai ∩ Aj = Ø, ∀i = j Phép toán giao Phép toán hiệu Hiệu A B biến cố A \ B = {ω : ω ∈ A ω ∈ / B} Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Phép toán bù (đối) (complement) Bù A biến cố A ≡ Ac = {ω : ω ∈ / A} Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xác suất biến cố Tính chất (a) (b) (c) (d) (e) (f) A+B =B +A (A + B) + C = A + (B + C ) AB = BA (AB)C = A(BC ) A + B = A.B AB = A + B Chứng minh Tương tự chứng minh phần tập hợp (chương 1) Nhận xét Phép tốn hợp giao có tính giao hốn (tính chất (a), (c)) tính kết hợp (tính chất (b), (c)) Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Các phép tốn biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Ví dụ Nguyễn Văn Thìn Trong phép thử gieo đồng tiền lần, đặt Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Ví dụ Biến cố ngẫu nhiên A = {SS, SN, NS} B = {NS, SN, NN} Hãy xác định theo A, B biến cố sau (a) "có lần xuất mặt sấp" (tương ứng "ngửa") (b) "có lần xuất mặt sấp" (c) "cả hai mặt ngửa" (d) "cả hai mặt sấp" Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Ba xạ thủ bắn người viên đạn vào bia Gọi biến cố Ai = "xạ thủ thứ i bắn trúng bia" , i = 1, 2, Hãy biểu diễn theo Ai biến cố sau: A = " Bia bị trúng đạn" B = " Bia không bị trúng đạn" C = " Bia bị trúng viên đạn" D = " Bia bị trúng viên đạn" Hệ đầy đủ biến cố (exhaustive) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Một dãy n biến cố A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ biến cố thỏa hai điều kiện sau: (i) Ai Aj = ∅ ∀i = j (ii) A1 + A2 + · · · + An = Ω Xác suất biến cố Hệ đầy đủ biến cố (exhaustive) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Ví dụ Xét phép thử tung đồng tiền lần Gọi A biến cố "xuất mặt sấp", B biến cố "xuất mặt ngửa" Ta thấy A, B hệ đầy đủ biến cố phép thử Xác suất biến cố Ví dụ 10 Có ln tồn hệ đầy đủ biến cố phép thử bất kì? Nếu tồn tại, hệ đầy đủ phép thử có nhất? Nếu khơng nhất, cho ví dụ cụ thể? Hình 1: A1 , A2 , ,A7 tạo thành hệ đầy đủ biến cố Outline Xác suất biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xác suất biến cố Gọi A biến cố phép thử Mặc dù thực phép thử lần, ta khơng thể nói trước biến cố A có xuất hay khơng, ta thừa nhận rằng: có số (ký hiệu P(A), tồn khách quan) đo khả xuất A Số phải (100%) A biến cố chắn, A biến cố không, A B hai biến cố xung khắc, P(A + B) = P(A) + P(B) Tùy trường hợp cụ thể, ta tìm cách xác định P(A) cách hợp lý Định nghĩa cổ điển xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa cổ điển xác suất Bây ta xét trường hợp phép thử "cân đối" tung đồng tiền xúc sắc cân đối BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Định nghĩa Biến cố ngẫu nhiên Các phép tốn biến cố Giả sử Ω = {ω1 , , ωN } không gian mẫu mà kết có khả xuất hiện, nghĩa là: Xác suất biến cố P(ω1 ) = P(ω2 ) = = P(ωN ) = N Biến cố ngẫu nhiên Ví dụ 11 Các phép tốn biến cố Trong hộp có cầu trắng cầu đỏ giống hệt kích thước Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để Xác suất biến cố (a) cầu đỏ (b) cầu trắng cầu đỏ Khi đó, xác suất biến cố A xác định công thức P(A) = |A| n = |Ω| N |A| = n số biến cố sơ cấp A Định nghĩa cổ điển xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Bài giải (a) Gọi A biến cố "lấy cầu đỏ" Ta có |A| C3 P (A) = = 53 = 0.179 |Ω| C8 (b) Gọi B biến cố "lấy cầu trắng cầu đỏ" Ta có - Số cách lấy cầu trắng từ cầu trắng hộp C32 cách - Số cách lấy cầu đỏ từ cầu đỏ hộp C51 cách - Do đó, theo quy tắc nhân, số cách chọn cầu trắng cầu đỏ |B| = C32 C51 Vậy, Định nghĩa cổ điển xác suất P (B) = |B| C C = 3 = 0.268 |Ω| C8 Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Ưu điểm nhược điểm Ưu điểm: tính xác giá trị xác suất mà khơng cần tiến hành phép thử Nhược điểm: đòi hỏi phải có hữu hạn biến cố tính đồng khả chúng mà thực tế lại có nhiều phép thử khơng có tính chất Vì vậy, cần đưa định nghĩa khác xác suất để khắc phục hạn chế Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép tốn biến cố Xác suất biến cố Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Xét trường hợp phép thử không đối xứng, ta xác định gần P(A) theo cách sau: Tiến hành n phép thử Giả sử n(A) số lần A xuất n phép thử Ta gọi n(A) tần số xuất biến cố A, gọi n(A)/n tần suất xuất biến cố A Với n lớn ta dùng tần suất n(A)/n để xấp xỉ P(A) Đó ý tưởng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Cụ thể ta thừa nhận tồn P(A) cho tần suất n(A)/n dao động quanh P(A) Người ta chứng minh rằng, với giả thiết hợp lý, lim n→∞ Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố n(A) = P(A) n BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Các phép tốn biến cố Xác suất biến cố Ưu điểm: không địi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa quan sát thực tế ứng dụng rộng rãi Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử Trong nhiều tốn thực tế điều khơng cho phép điều kiện kinh phí làm phép thử Người làm thí nghiệm Buffon Pearson Pearson Số lần tung n 4040 12000 24000 Số lần nhận mặt sấp n(A) 2048 6019 12012 Tần suất n(A) n 0.5069 0.5016 0.5005 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Ưu điểm nhược điểm Để nghiên cứu khả xuất mặt sấp tung đồng tiền, người ta tiến hành tung đồng tiền nhiều lần thu kết sau: Ta thấy rằng, số lần tung lớn tần suất xuất mặt sấp gần 0.5 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Biến cố ngẫu nhiên Ví dụ 12 Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xét trường hợp phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vơ hạn phần tử Giả sử khơng gian mẫu biểu diễn miền Ω, biến cố A ⊂ Ω biểu diễn miền A Ω Khi đó, xác suất biến cố A xác định bởi: P(A) = Số đo miền A Số đo miền Ω Số đo độ dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào miền xét đường thẳng, mặt phẳng hay không gian ba chiều Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Tính chất xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Ví dụ 13 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Lấy ngẫu nhiên điểm M hình vng có độ dài cạnh đơn vị Tính xác suất để M thuộc hình trịn nội tiếp hình vng Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Bài giải Xác suất biến cố Biến cố ngẫu nhiên Gọi A biến cố "điểm M thuộc hình trịn nội tiếp hình vng" Ta có, P(A) = = Xác suất biến cố π 2 12 = π Tính chất xác suất Ví dụ 14 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Kiểm tra tính chất sau xác suất: Nguyễn Văn Thìn Các phép toán biến cố P (∅) = P A = − P (A) Nếu A ⊂ B P (A) ≤ P (B) P (A) ≤ Xác suất biến cố Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Ví dụ 15 Kiểm tra tính chất sau xác suất: (a) (b) (c) (d) P(A) ≥ P(Ω) = P(A + B) = P(A) + P(B) AB = ∅ Diện tích hình trịn Diện tích hình vng BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT (a) (b) (c) (d) Tính chất xác suất Biến cố ngẫu nhiên Giả sử Ω không gian biến cố đó, A, B ⊂ Ω Khi đó, ta có P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) P(A + B) ≤ P(A) + P(B) P (A + B) = P (A) + P (B) A, B xung khắc P(A + B + C ) = P(A)+P(B)+P(C )−P(AB)−P(AC )−P(BC )+P(ABC ) Ví dụ 16 Qua điều tra sinh viên (SV), ta biết 40% SV học thêm ngoại ngữ, 55% SV học thêm tin học 30% SV học thêm hai môn Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất gặp (a) Sinh viên học thêm (ngoại ngữ hay tin học) (b) Sinh viên khơng học thêm mơn Tính chất xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Tính chất xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Giải Ví dụ 16: Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xác suất biến cố Xác suất có điều kiện Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Cơng ty du lịch có 60 nhân viên Trong có 20 người biết tiếng Anh, 25 người biết tiếng Pháp, 14 người biết tiếng Nhật Trong số người có 12 người biết tiếng Anh Pháp, người biết tiếng Anh Nhật, người biết tiếng Pháp Nhật Giữa người có người biết ba thứ tiếng Anh, Pháp, Nhật Bạn đến cơng ty tình cờ gặp người Tìm xác suất để người biết ba thứ tiếng Xác suất có điều kiện BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 17 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Khi nghiên cứu tượng ngẫu nhiên xuất vấn đề sau: xác suất biến cố thay đổi biến cố khác xảy ra? Chẳng hạn xét thí dụ sau Ví dụ 18 Gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần A biến cố "lần đầu gieo xuất mặt chấm", B biến cố "tổng số chấm hai lần gieo không vượt 3" Ta thấy Ω = {(i, j) : ≤ i, j ≤ 6} A = {(1, 1), (1, 2), , (1, 6)}, B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Theo định nghĩa cổ điển xác suất P(A) = 6/36, P(B) = 3/36, P(AB) = 2/36 Nếu biết B xảy A xảy hai kết (1,1) (1,2) xảy Do xác suất A với điều kiện B 2 P(AB) P(A|B) = = 36 = 3 P(B) 36 Ví dụ đưa ta đến định nghĩa sau Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Định nghĩa 19 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện B số xác định theo cơng thức Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên P(AB) P(A|B) = P(B) Các phép toán biến cố Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, Biến cố ngẫu nhiên P(B) > Xác suất biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố P(B|A) = P(BA) P(A) P(A) > P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) P(A)P(B) > Đây công thức nhân xác suất Công thức Bayes Cơng thức xác suất tồn phần Biến cố ngẫu nhiên P(B) > ta suy (a) P(A|B) ≥ (b) P(Ω|B) = P(B|B) = (c) Nếu A C xung khắc P[(A + C )|B] = P(A|B) + P(C |B) (d) P(A|B) = − P(A|B) Nguyễn Văn Thìn P(AB) P(B) Tính chất BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT P(A|B) = BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Giả sử {B1 , B2 , , Bn } hệ đầy đủ biến cố với P(Bk ) > 0, ∀k Khi đó, với biến cố A bất kì, ta có A = AΩ = A(B1 + B2 + + Bn ) = AB1 + AB2 + + ABn Vì AB1 , AB2 , , ABn xung khắc đôi nên P(A) = P(AB1 ) + P(AB2 ) + + P(ABn ) Áp dụng công thức nhân xác suất, ta P(A) = P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + + P(Bn )P(A|Bn ) Đây cơng thức xác suất tồn phần Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Giả sử P(A) > {B1 , B2 , , Bn } hệ đầy đủ biến cố với P(Bi ) > 0, ∀i Khi đó, theo cơng thức nhân xác suất, với k = 1, 2, , n P(A)P(Bk |A) = P(Bk )P(A|Bk ) (vì P(ABk )) Chia vế cho P(A) ta P(Bk |A) = Đây công thức Bayes P(Bk )P(A|Bk ) P(A) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép tốn biến cố Xác suất biến cố Ví dụ 20 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Một hộp có 10 bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên hai lần liên tiếp lần viên bi khơng hồn lại Tính xác suất (a) hai bi đỏ (b) viên bi lấy lần sau đỏ (c) lần đầu rút bi đỏ, biết lần sau rút bi đỏ Nguyễn Văn Thìn (b) Ta có {A, A} hệ đầy đủ biến cố Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có Biến cố ngẫu nhiên P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) 10 10 + = 15 14 15 14 = ≈ 0.6667 Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Gợi ý 21 (c) Theo cơng thức Bayes ta có (a) Gọi A = "viên bi lấy lần đầu đỏ" B = "viên bi lấy lần sau đỏ" Theo công thức nhân xác suất, P(A|B) = 10 P(AB) = P(A)P(B|A) = = ≈ 0.4286 15 14 Sự độc lập biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Định nghĩa 22 Hai biến cố A, B gọi độc lập P(AB) = P(A)P(B) Định nghĩa 23 Ba biến cố A, B, C gọi độc lập chúng thỏa điều kiện sau: (i) (ii) (iii) (iv) P(AB) = P(A)P(B) P(AC ) = P(A)P(C ) P(BC ) = P(B)P(C ) P(ABC ) = P(A)P(B)P(C ) P(A)P(B|A) = P(B) 10 15 14 = 0.6429 Sự độc lập biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Ví dụ 24 Nguyễn Văn Thìn Tung hai đồng xu đồng thời Gọi A = "đồng xu thứ sấp", B = "đồng xu thứ hai sấp", C = "Có mặt sấp" Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố (a) A, B có độc lập hay khơng? (b) A, B, C có độc lập hay không? BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Các phép tốn biến cố Xác suất biến cố ... đủ biến cố Outline Xác suất biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất. .. Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến. .. Các phép toán biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT Nguyễn Văn Thìn Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên Các phép toán biến cố Các phép toán biến cố Xác suất biến cố Xác suất biến cố Dãy biến cố A1 , A2