Bài giảng Xác suất thống kê

Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Nguyễn Danh Tú (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2017 (1) Email: tu.nguyendanh@gmail.com Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Nội dung Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Giải tích kết hợp Sự kiện phép toán Phép thử kiện Quan hệ phép toán kiện Các định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Cơng thức xác suất đầy đủ Cơng thức Bayes Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhận: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện cơng cộng: bus, taxi, xe ơm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, không bồ chở) Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhận: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện công cộng: bus, taxi, xe ơm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, khơng bồ chở) Có cách phương tiện cá nhân cách phương tiện cơng cộng Có + = cách Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Có + + = 13 cách Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Chú ý 1.1 Một công việc chia làm k trường hợp: trường hợp thứ có n1 cách giải quyết, trường hợp thứ có n2 cách giải quyết, trường hợp thứ k có nk cách giải Khi có n1 + n2 + + nk cách giải công việc Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng không phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Để theo cách ta chia làm bước thực hiện: Bước 1: HN ⇒ HK: có cách chọn, Bước 2: HK ⇒ LĐ: có cách chọn, Số cách là: 2.4 = Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Một người có áo,4 quần đơi giày Hỏi người có cách mặc đồ (gồm áo, quần đôi giày) Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2017 / 74 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mẫu cho kỳ vọng Bài làm Gọi X, Y điểm thi môn XSTK lớp A, B tương ứng EX = µ1 , V X = σ12 EY = µ2 , V X = σ22 Cặp giả thuyết: H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = Giá trị quan sát k = x−y s2 s21 + n1 n2 X −Y ∼ N (0; 1) H0 s21 s2 + n1 n2 7, 32 − 7, 66 = = −31, 43 1, 092 1, 122 + 64 68 Với α = 0, 01, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,99 ) = (−∞; −2, 33) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa kết luận Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 27/34 tháng năm 2017 27 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mẫu cho kỳ vọng Bài làm Gọi X, Y điểm thi môn XSTK lớp A, B tương ứng EX = µ1 , V X = σ12 EY = µ2 , V X = σ22 Cặp giả thuyết: H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = Giá trị quan sát k = x−y s2 s21 + n1 n2 X −Y ∼ N (0; 1) H0 s21 s2 + n1 n2 7, 32 − 7, 66 = = −31, 43 1, 092 1, 122 + 64 68 Với α = 0, 01, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,99 ) = (−∞; −2, 33) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa kết luận Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 27/34 tháng năm 2017 27 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mẫu cho kỳ vọng Bài làm Gọi X, Y điểm thi môn XSTK lớp A, B tương ứng EX = µ1 , V X = σ12 EY = µ2 , V X = σ22 Cặp giả thuyết: H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = Giá trị quan sát k = x−y s2 s21 + n1 n2 X −Y ∼ N (0; 1) H0 s21 s2 + n1 n2 7, 32 − 7, 66 = = −31, 43 1, 092 1, 122 + 64 68 Với α = 0, 01, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,99 ) = (−∞; −2, 33) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa kết luận Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 27/34 tháng năm 2017 27 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mẫu cho kỳ vọng Bài làm Gọi X, Y điểm thi môn XSTK lớp A, B tương ứng EX = µ1 , V X = σ12 EY = µ2 , V X = σ22 Cặp giả thuyết: H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = Giá trị quan sát k = x−y s2 s21 + n1 n2 X −Y ∼ N (0; 1) H0 s21 s2 + n1 n2 7, 32 − 7, 66 = = −31, 43 1, 092 1, 122 + 64 68 Với α = 0, 01, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,99 ) = (−∞; −2, 33) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa kết luận Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 27/34 tháng năm 2017 27 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Bài toán Giả sử p1 , p2 tương ứng tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A tổng thể thứ tổng thể thứ hai Mẫu tổng thể thứ nhất: Thực n1 phép thử độc lập điều kiện, có m1 phép thử xảy kiện A Mẫu tổng thể thứ hai: Thực n2 phép thử độc lập điều kiện, có m2 phép thử xảy kiện A Câu hỏi: Hãy so sánh p1 với p2 Cách giải Bài toán đặt ta cần so sánh p1 p2 Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 p1 = p p1 = p p1 ≤ p2 p1 > p p1 ≥ p2 p1 < p2 Tuy nhiên giả thuyết ln có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H0 : p = p Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 28/34 tháng năm 2017 28 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định giả thuyết mẫu cho tỷ lệ Cách giải Chọn tiêu chuẩn kiểm định: f1 − f2 ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 Z= 1 f (1 − f )( + ) n1 n2 Từ mẫu thu thập, ta tính giá trị quan sát: k = với f1 = m1 m2 m + m2 n1 f1 + n2 f2 , f2 = ,f = = n1 n2 n + n2 n1 + n2 f1 − f2 1 f (1 − f )( + ) n1 n2 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 p1 = p2 H1 p = p2 p1 = p2 p1 = p2 p1 > p2 p1 < p2 Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Miền bác bỏ H0 : Wα (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) (u1−α ; +∞) (−∞; −u1−α ) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 29/34 tháng năm 2017 29 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định giả thuyết mẫu cho tỷ lệ Ví dụ Kiểm tra sản phẩm chọn ngẫu nhiên nhà máy sản xuất ta số liệu sau: • Nhà máy thứ nhất: kiểm tra 100 sản phấm có 20 phế phẩm • Nhà máy thứ hai : kiểm tra 120 sản phấm có 36 phế phẩm Với mức ý nghĩa α = 0, 05 coi tỷ lệ phế phẩm nhà máy thứ cao nhà máy thứ hay không? Bài làm: Gọi p1 , p2 tỷ lệ phế phẩm nhà máy thứ thứ hai n1 = 100, m1 = 20 n2 = 120, m2 = 36 • Cặp giả thuyết: H0 : p1 = p2 , H1 : p1 < p2 m1 m2 m1 + m2 • Với f1 = = 0, 2; f2 = = 0, 3; f = = 0, 227 Giá trị quan sát n1 n2 n1 + n2 f − f2 0, − 0, k= = = 1, 763 1 1 f (1 − f )( + ) 0, 227(1 − 0, 227)( + ) n1 n2 100 120 • Với α = 0, 05 ta có miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,95 ) = (−∞; −1, 645) • Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 , chấp nhận H1 Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 30/34 tháng năm 2017 30 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định giả thuyết mẫu cho tỷ lệ Ví dụ Kiểm tra sản phẩm chọn ngẫu nhiên nhà máy sản xuất ta số liệu sau: • Nhà máy thứ nhất: kiểm tra 100 sản phấm có 20 phế phẩm • Nhà máy thứ hai : kiểm tra 120 sản phấm có 36 phế phẩm Với mức ý nghĩa α = 0, 05 coi tỷ lệ phế phẩm nhà máy thứ cao nhà máy thứ hay không? Bài làm: Gọi p1 , p2 tỷ lệ phế phẩm nhà máy thứ thứ hai n1 = 100, m1 = 20 n2 = 120, m2 = 36 • Cặp giả thuyết: H0 : p1 = p2 , H1 : p1 < p2 m1 m2 m1 + m2 • Với f1 = = 0, 2; f2 = = 0, 3; f = = 0, 227 Giá trị quan sát n1 n2 n1 + n2 f − f2 0, − 0, k= = = 1, 763 1 1 f (1 − f )( + ) 0, 227(1 − 0, 227)( + ) n1 n2 100 120 • Với α = 0, 05 ta có miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,95 ) = (−∞; −1, 645) • Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 , chấp nhận H1 Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 30/34 tháng năm 2017 30 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai Kiểm định mẫu cho phương sai Bài toán Cho hai biến ngẫu nhiên X có EX = µ1 , V X = σ12 Y có EY = µ2 , V Y = σ22 Mẫu cụ thể X (x1 , x2 , , xn1 ), Y (y1 , y2 , , yn2 ) Bài toán đặt ta cần so sánh giá trị kỳ vọng σ12 với σ22 Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 σ12 = σ22 σ12 = σ22 σ12 ≤ σ22 σ12 > σ22 σ12 ≥ σ22 σ12 < σ22 Tuy nhiên giả thuyết ln có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H0 : σ12 = σ22 Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 31/34 tháng năm 2017 31 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai Kiểm định mẫu cho phương sai Cách làm Tiêu chuẩn kiểm định: K = s21 σ22 s22 σ12 giả thuyết H0 ta có K ∼ F (n1 − 1, n2 − 1) Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn1 ), (y1 , y2 , , yn2 ), suy giá trị quan sát: k = s21 s22 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 σ12 = σ22 σ12 = σ22 σ12 = σ22 H1 σ12 = σ22 σ12 > σ22 σ12 < σ22 Miền bác bỏ H0 : Wα (0; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − (F (n1 − 1; n2 − 1; − α); +∞) (0; F (n1 − 1; n2 − 1; α)) Chú ý: F (n1 − 1; n2 − 1; p) = Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) α ); +∞) F (n1 − 1; n2 − 1; − p) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 32/34 tháng năm 2017 32 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Hai máy A, B gia cơng loại chi tiết máy Người ta muốn kiểm tra xem hai máy có độ xác hay khơng Để làm điều người ta tiến hành lấy mẫu thu kết sau: Máy A: 135 138 136 140 138 135 139 Máy B: 140 135 140 138 135 138 140 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem máy có độ xác hay khơng? Biết kích thước chi tiểt máy làm tuân theo phân phối chuẩn Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 33/34 tháng năm 2017 33 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Gọi X, Y đường kính chi tiết máy A B làm X ∼ N (µ1 ; σ12 ) Y ∼ N (µ2 ; σ22 ) Cặp giả thuyết: H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 = σ22 s21 ∼ F (n1 − 1; n2 − 1) H0 s22 Với mẫu số liệu ta có s21 = 3, 905; s22 = s2 3, 905 = 0, 781 Giá trị quan sát k = 12 = s2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: K = Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − α2 ); +∞) Với mức ý nghĩa α = 0, 05 , n1 = n2 = ta có F (6; 6; 0, 025) = 0, 17 F (6; 6; 0, 975) = 5, 82 Wα = (0; 0, 17) ∪ (5, 82; +∞) Do k ∈ / Wα nên ta chấp nhận H0 Nghĩa độ xác máy Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 34/34 tháng năm 2017 34 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Gọi X, Y đường kính chi tiết máy A B làm X ∼ N (µ1 ; σ12 ) Y ∼ N (µ2 ; σ22 ) Cặp giả thuyết: H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 = σ22 s21 ∼ F (n1 − 1; n2 − 1) H0 s22 Với mẫu số liệu ta có s21 = 3, 905; s22 = s2 3, 905 = 0, 781 Giá trị quan sát k = 12 = s2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: K = Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − α2 ); +∞) Với mức ý nghĩa α = 0, 05 , n1 = n2 = ta có F (6; 6; 0, 025) = 0, 17 F (6; 6; 0, 975) = 5, 82 Wα = (0; 0, 17) ∪ (5, 82; +∞) Do k ∈ / Wα nên ta chấp nhận H0 Nghĩa độ xác máy Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 34/34 tháng năm 2017 34 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Gọi X, Y đường kính chi tiết máy A B làm X ∼ N (µ1 ; σ12 ) Y ∼ N (µ2 ; σ22 ) Cặp giả thuyết: H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 = σ22 s21 ∼ F (n1 − 1; n2 − 1) H0 s22 Với mẫu số liệu ta có s21 = 3, 905; s22 = s2 3, 905 = 0, 781 Giá trị quan sát k = 12 = s2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: K = Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − α2 ); +∞) Với mức ý nghĩa α = 0, 05 , n1 = n2 = ta có F (6; 6; 0, 025) = 0, 17 F (6; 6; 0, 975) = 5, 82 Wα = (0; 0, 17) ∪ (5, 82; +∞) Do k ∈ / Wα nên ta chấp nhận H0 Nghĩa độ xác máy Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 34/34 tháng năm 2017 34 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Gọi X, Y đường kính chi tiết máy A B làm X ∼ N (µ1 ; σ12 ) Y ∼ N (µ2 ; σ22 ) Cặp giả thuyết: H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 = σ22 s21 ∼ F (n1 − 1; n2 − 1) H0 s22 Với mẫu số liệu ta có s21 = 3, 905; s22 = s2 3, 905 = 0, 781 Giá trị quan sát k = 12 = s2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: K = Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − α2 ); +∞) Với mức ý nghĩa α = 0, 05 , n1 = n2 = ta có F (6; 6; 0, 025) = 0, 17 F (6; 6; 0, 975) = 5, 82 Wα = (0; 0, 17) ∪ (5, 82; +∞) Do k ∈ / Wα nên ta chấp nhận H0 Nghĩa độ xác máy Nguyễn Danh Tú (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 34/34 tháng năm 2017 34 / 34 ... định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số cơng thức tính xác suất Cơng... định nghĩa xác suất Xác suất kiện Định nghĩa xác suất theo cổ điển Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa xác suất theo tần suất (theo thống kê) Một số công thức tính xác suất Cơng... suất Cơng thức cộng xác suất Xác suất có điều kiện Cơng thức nhân xác suất Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ cơng thức Bayes Khái niệm nhóm đầy đủ Công thức xác suất đầy đủ Công thức