Xác sut 1 MAT2308 Xác suất 1 Ph†p thß ng¤u nhi¶n không gian m¤u Ph†p thß ng¤u nhi¶n Ph†p thß ng¤u nhi¶n: Thực hi»n mºt nhóm c¡c đi•u ki»n cơ b£n đ” quan s¡t mºt hi»n tưæng nào đó có x£y ra hay không đưæc gọi là thực hi»n mºt ph†p thß ng¤u nhi¶n. Bi‚n cŁ sơ c§p: Là k‚t qu£ sơ đflng nh§t cıa ph†p thß ng¤u nhi¶n. Bi‚n cŁ ng¤u nhi¶n: Là t“p hæp c¡c bi‚n cŁ sơ c§p cıa ph†p thß ng¤u nhi¶n có chung đặc t‰nh, ký hi»u bi‚n cŁ ng¤u nhi¶n: A; B; C; · · · Ph¥n lo⁄i bi‚n cŁ: Bi‚n cŁ không th” có; Bi‚n cŁ ch›c ch›n; Bi‚n cŁ ng¤u nhi¶n. Không gian m¤u T“p hæp t§t c£ c¡c phƒn tß (c¡c k‚t qu£ sơ c§p) cıa ph†p thß ng¤u nhi¶n, đưæc gọi là không gian m¤u, ký hi»u: Ω. Không gian m¤u có mºt sŁ hœu h⁄n hoặc đ‚m đưæc c¡c phƒn tß, đưæc gọi là không gian m¤u rời r⁄c; tr¡i l⁄i, không gian m¤u đưæc gọi là li¶n tục. X. Q. TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày 1 th¡ng 3 n«m 2022 5 20Ph†p thß ng¤u nhi¶n không gian m¤u Bi‚n cŁ ng¤u nhi¶n, ph¥n lo⁄i và quan h» H…nh 1: Ph†p to¡n tr¶n c¡c bi‚n cŁ MŁi quan h»: Hai bi‚n cŁ A và B xung kh›c iff chúng không đồng thời x£y ra trong ph†p thß. Bi‚n cŁ đŁi (ký hi»u A) cıa bi‚n cŁ A là bi‚n cŁ Không x£y ra bi‚n cŁ A. Hai bi‚n cŁ A và B là đºc l“p n‚u vi»c x£y ra hay không x£y ra cıa bi‚n cŁ này không làm thay đŒi kh£ n«ng x£y ra bi‚n cŁ kia và ngưæc l⁄i. X. Q. TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày 1 th¡ng 3 n«m 2022 6 20X¡c su§t cıa bi‚n cŁ Định nghĩa cŒ đi”n v• x¡c su§t X¡c su§t cıa bi‚n cŁ X¡c su§t cıa bi‚n cŁ A (ký hi»u bởi P(A)) là sŁ đo kh£ n«ng xu§t hi»n bi‚n cŁ A trong ph†p thß. Định nghĩa cŒ đi”n v• x¡c su§t Gi£ sß không gian m¤u Ω có N k‚t qu£ (rank(Ω) = N), bi‚n cŁ A có m bi‚n cŁ sơ c§p thu“n læi cho A, khi đó: P(A) = m N : X. Q. TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày 1 th¡ng 3 n«m 2022 7 20X¡c su§t cıa bi‚n cŁ T‰nh x¡c su§t b‹ng định nghĩa cŒ đi”n V‰ dụ 1. 1. Mºt bàn ti»c có 10 gh‚ s›p x‚p theo h…nh trÆn, có 10 người ngồi vào bàn dự ti»c trong đó có cặp væ chồng A và B. T‰nh x¡c su§t đ” A và B ngồi c⁄nh nhau. 2. Có 4 sinh vi¶n lựa chọn ng¤u nhi¶n 3 qu¡n cơm đ” dùng bœa trưa. T‰nh x¡c su§t c¡c sự ki»n sau: a. C£ 4 sinh vi¶n cùng chọn 1 qu¡n. b. 1 qu¡n không có sinh vi¶n nào chọn. c. 1 qu¡n có 2 sinh vi¶n, 2 qu¡n cÆn l⁄i mØi qu¡n có 1 sinh vi¶n. 3. Mºt người gọi đi»n tho⁄i nhưng qu¶n ba sŁ cuŁi cıa sŁ đi»n tho⁄i cƒn gọi. T‰nh x¡c su§t đ” người này quay mºt lƒn đúng sŁ cƒn gọi. 4. Mºt ng¥n hàng đ• thi có 100 c¥u hỏi tr›c nghi»m kh¡ch quan, cƒn chọn ng¤u nhi¶n hai đ• thi, mØi đ• 25 c¥u hỏi theo phương thøc có hoàn l⁄i như sau: Lƒn 1 l§y ng¤u nhi¶n 25 c¥u hỏi tł ng¥n hàng đ” thi‚t k‚ đ• thi thø nh§t, sau đó tr£ l⁄i ng¥n hàng c£ 25 c¥u hỏi; Lƒn 2 ti‚p tục l§y ng¤u nhi¶n 25 c¥u đ” thi‚t k‚ đ• thi thø hai. X¡c su§t đ” đ• thi thø 2 có 2 c¥u trùng với đ• thi thø nh§t b‹ng?
MAT2308 Xác suất TS TRAN Xuan Quang Nguyễn Thị Thảo Linh Trường Đại học Giáo dục, ĐHQGHN Ngày tháng năm 2022 X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 CHỦ ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Mục lục Mục tiêu chương học Phép thử ngẫu nhiên & không gian mẫu Xác suất biến cố Các tính chất & hệ Một số ví dụ Bài tập chủ đề Subscription Information X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Mục tiêu chương học SV hiểu số khái niệm xác suất, bao gồm: Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, định nghĩa cổ điển xác suất, định nghĩa hình học xác suất, định nghĩa xác suất theo tiên đề; số quy tắc tính xác suất quan trọng (cộng; nhân; điều kiện; đầy đủ; Bayes; Bernoulli) SV thực hành tính tốn số dạng tập liên quan đến xác suất biến cố X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Phép thử ngẫu nhiên & không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên: Thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay khơng gọi thực phép thử ngẫu nhiên Biến cố sơ cấp: Là kết sơ đẳng phép thử ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên: Là tập hợp biến cố sơ cấp phép thử ngẫu nhiên có chung đặc tính, ký hiệu biến cố ngẫu nhiên: A, B, C, · · · Phân loại biến cố: Biến cố khơng thể có; Biến cố chắn; Biến cố ngẫu nhiên Không gian mẫu Tập hợp tất phần tử (các kết sơ cấp) phép thử ngẫu nhiên, gọi không gian mẫu, ký hiệu: Ω Khơng gian mẫu có số hữu hạn đếm phần tử, gọi không gian mẫu rời rạc; trái lại, không gian mẫu gọi liên tục X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Phép thử ngẫu nhiên & không gian mẫu Biến cố ngẫu nhiên, phân loại quan hệ Hình 1: Phép tốn biến cố Mối quan hệ: - Hai biến cố A B xung khắc iff chúng không đồng thời xảy phép thử - Biến cố đối (ký hiệu A) biến cố A biến cố "Không xảy biến cố A" - Hai biến cố A B độc lập việc xảy hay không xảy biến cố thay biến cố vàNgày ngược lại.3 năm 2022 X không Q TRAN làm (QMF, UEd)đổi khả xảy Probability tháng / 20 Xác suất biến cố Định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố Xác suất biến cố A (ký hiệu P(A)) số đo khả xuất biến cố A phép thử Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử khơng gian mẫu Ω có N kết (rank(Ω) = N ), biến cố A có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, đó: P(A) = X Q TRAN (QMF, UEd) m N Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Xác suất biến cố Tính xác suất định nghĩa cổ điển Ví dụ 1 Một bàn tiệc có 10 ghế xếp theo hình trịn, có 10 người ngồi vào bàn dự tiệc có cặp vợ chồng A B Tính xác suất để A B ngồi cạnh Có sinh viên lựa chọn ngẫu nhiên quán cơm để dùng bữa trưa Tính xác suất kiện sau: a Cả sinh viên chọn quán b quán sinh viên chọn c quán có sinh viên, qn cịn lại qn có sinh viên Một người gọi điện thoại quên ba số cuối số điện thoại cần gọi Tính xác suất để người quay lần số cần gọi Một ngân hàng đề thi có 100 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, cần chọn ngẫu nhiên hai đề thi, đề 25 câu hỏi theo phương thức có hồn lại sau: Lần lấy ngẫu nhiên 25 câu hỏi từ ngân hàng để thiết kế đề thi thứ nhất, sau trả lại ngân hàng 25 câu hỏi; Lần tiếp tục lấy ngẫu nhiên 25 câu để thiết kế đề thi thứ hai Xác suất để đề thi thứ có câu trùng với đề thi thứ bằng? X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Xác suất biến cố Định nghĩa hình học xác suất Định nghĩa hình học xác suất Giả sử điểm rơi ngẫu nhiên vào miền D, A mền D Khi xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A xác định công thức: sd(A) , P(A) = sd(D) sd(A), sd(D) số đo miền A, D (có thể độ dài, diện tích hay thể tích, ) Ví dụ Hai người bạn hẹn gặp địa điểm định trước khoảng thời gian từ 19 đến 20 Hai người đến chổ hẹn độc lập với qui ước người đến trước đợi người đến sau 15 phút, khơng gặp Tính xác suất để hai người gặp nhau? X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 / 20 Xác suất biến cố Định nghĩa xác suất theo tiên đề σ-đại số Họ F khác rỗng, biến cố không gian mẫu Ω gọi đại số (hay trường) thoả mãn tính chất: Ω ∈ F Nếu biến cố A ∈ F A ∈ F Nếu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F Nếu đại số F có tính chất: A1 , A2 , · · · , Ak , · · · ∈ F =⇒ +∞ [ Ai ∈ F, i=1 F gọi σ-đại số X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 10 / 20 Xác suất biến cố Định nghĩa xác suất theo tiên đề Hệ tiên đề Kolmogorow Giả sử (Ω, F) không gian mẫu Ω σ-đại số F tập Ω Một hàm P ánh xạ phần tử F đến giá trị số thực thoả mãn tiên đề sau đây: P(A) ≥ 0, ∀ A ∈ F P(Ω) = Nếu hệ biến cố {A1 , A2 , · · · , Ak , · · · } ∈ F xung khắc đơi, P( +∞ [ Ai ) = i=1 +∞ X P(Ai ) i=1 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 11 / 20 Các tính chất & hệ Tính chất xác suất Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất: P(φ) = 0; P(Ω) = 1; ≤ P(A) ≤ P(A) = − P (A) Nếu A B xung khắc thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B); P(A ∩ B) = P(A + B) ≤ P(A) + P(B) Nếu {A1 , A2 , · · · , An , · · · } ∈ F dãy tăng biến cố: +∞ S An ∈ F, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , đặt A = Ai thì: n=1 P(A) = P( +∞ [ Ai ) = lim P(An ) n→+∞ n=1 Nếu {A1 , A2 , · · · , An , · · · } ∈ F dãy giảm biến cố: +∞ T An ∈ F, A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , đặt B = Ai thì: n=1 P(B) = P( +∞ \ Ai ) = lim P(An ) n=1 X Q TRAN (QMF, UEd) Probability n→+∞ Ngày tháng năm 2022 12 / 20 Các tính chất & hệ Các quy tắc tính xác suất A, B ∈ F thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (Quy tắc cộng) A, B ∈ F thì: P(A ∩ B) = P(A | B).P(B) Nếu A B độc lập P(A ∩ B) = P(A).P(B) Nếu A1 , A2 , · · · , An hệ đầy đủ biến cố không gian xác suất (Ω, F, P) thì: n X P( Ai ) = P (Ω) = i=1 X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 13 / 20 Các tính chất & hệ Cơng thức xác suất đầy đủ; Bayes Công thức xác suất đầy đủ Khơng gian xác suất (Ω, F, P), có hệ {A S1 , A2 , · · · , Am } tạo thành hệ đầy đủ Ai , đó: biến cố, biến cố A thoả mãn: A = i ≥1 P(A) = m X P(Ai ).P(A | Ai ), i=1 Công thức xác suất Bayes Không gian xác suất (Ω, F, P), có hệ {A S1 , A2 , · · · , Am } tạo thành hệ đầy đủ biến cố, biến cố A thoả mãn: A = Ai đó: i ≥1 P(Ai | A) = P(Ai ).P(A | Ai ) P(Ai ).P(A | Ai ) = P , m P(A) P(Ai ).P(A | Ai ) i=1 X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 14 / 20 Một số ví dụ Ví dụ Một đơn vị 30 người, tính xác suất để ngày sinh họ hồn tồn khác khơng xét năm nhuận Theo thống kê trung bình năm (365 ngày) có 60 ngày có mưa thật to, 40 ngày có gió thật lớn 20 ngày có bão (vừa mưa thật to vừa gió thật lớn) Tính xác suất để ngày chọn ngẫu nhiên năm có thời tiết bất thường? Một sinh viên phải thi liên tiếp môn triết học tốn Xác suất qua mơn Triết 0,6 qua Tốn 0,7 Nếu trước qua mơn triết xác suất qua tốn 0,8 Tính xác suất: a Qua mơn b Qua mơn c Qua mơn d Qua Tốn biết khơng qua Triết X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 15 / 20 Bài tập chủ đề Phần Lý thuyết Chứng minh tính chất sau: Trong không gian xác suất (Ω, F, P), {A1 , ∀i ≥ 1} ∈ F dãy tăng biến cố: An ∈ F, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , đặt +∞ +∞ S S A= Ai thì: P(A) = P( Ai ) = lim P(An ) n=1 n=1 n→+∞ Chứng minh tính chất sau: Trong khơng gian xác suất (Ω, F, P), {A1 , ∀i ≥ 1} ∈ F dãy giảm biến cố: An ∈ F, A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , đặt +∞ +∞ T T A= Ai thì: P(A) = P( Ai ) = lim P(An ) n=1 n=1 n→+∞ Chứng minh rằng: Nếu P(A | B) > P(A) P(B | A) > P(B), giả sử P(A) P(B) dương Nếu A ∩ B = φ P(A ∪ B) > 0, tính xác suất P (A | A ∪ B) P (B | A ∪ B) theo P(A) P(B) X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 16 / 20 Bài tập chủ đề Phần Thực hành Một đứa trẻ có thẻ gồm màu đỏ, màu xanh màu vàng Các thẻ phân biệt với qua màu sắc Nếu đứa trẻ xếp thẻ cách ngẫu nhiên thành hàng ngang (hoặc dọc) Tính xác suất sau: a) Các thẻ màu đỏ xuất hai đầu b) Các thẻ màu vàng xuất liền c) Các thẻ màu xanh xuất hai đầu Một chùm chìa khố có chìa, có mở khố cửa Một người thử liên tiếp chìa để mở khố gọi Ak chìa mở khố cửa lần thứ k Tính xác suất P(Ak ) trường hợp: a) Nếu không lặp lại chìa thử b) Nếu có lặp lại chìa mở Một hộp chứa 15 bóng kích thước, có 10 màu đỏ màu đen Lấy ngẫu nhiên, liên tiếp khơng hồn lại bóng Tính xác suất để bóng thứ bóng thứ tư có màu đỏ X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 17 / 20 Bài tập chủ đề Phần Thực hành Một hộp kit xét nghiệm Covid gồm 20 kit, có 16 kit đạt tiêu chuẩn, kít khơng đạt tiêu chuẩn Chọn lần lượt, ngẫu nhiên liên tiếp ba kít để thực kiểm tra Tính xác suất xảy kiện sau: a) Kít thứ ba đạt tiêu chuẩn hai kít lấy trước đạt tiêu chuẩn b) Kít thứ ba khơng đạt tiêu chuẩn kit đạt tiêu chuẩn kit thứ hai khơng đạt tiêu chuẩn c) Kít thứ ba khơng đạt tiêu chuẩn kit phát không đạt tiêu chuẩn, kit thứ hai xác định đạt tiêu chuẩn d) Kit thứ ba không đạt tiêu chuẩn hai kit đầu xác định không đạt tiêu chuẩn Tỷ lệ nam:nữ Trường Đại học 45% : 55%, tỷ lệ người hút thuốc giới tính nam, nữ 25% 20%, tương ứng a) Chọn ngẫu nhiên sinh viên, tính xác suất trường hợp sau: i) Sinh viên hút thuốc lá; ii) Sinh viên nam giới, biết sinh viên hút thuốc b) Nếu chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên Trường Đại học trên, xác suất có nữ giới hút thuốc bao nhiêu? X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 18 / 20 Bài tập chủ đề Phần Thực hành Ba phân xưởng sản xuất 30%, 30% 40% tổng sản lượng sản phẩm nhà máy Trong số đó, có 4%, 3% 2% sản phẩm sản xuất bị lỗi kĩ thuật Lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy để kiểm tra a) Xác suất để sản phẩm vừa lấy bị lỗi kĩ thuật bao nhiêu? b) Nếu sản phẩm lấy bị lỗi kĩ thuật, sản phẩm phân xưởng sản xuất có khả c) Lấy ngẫu nhiên 20 sản phẩm nhà máy Gọi X số sản phẩm lỗi Xác định quy luật phân phối X tính trung bình số sản phẩm lỗi số 20 sản phẩm Giả sử {Aj , j = 1, 2, · · · , 5} hệ đầy đủ biến cố không gian mẫu Ω Cho biết: P(Aj ) = j 15 P(A | Aj ) = 5−j , 15 j = 1, 2, · · · , Tính xác suất: P(Aj | A), j = 1, 2, · · · , X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 19 / 20 MANY THANKS FOR YOUR ATTENTION X Q TRAN (QMF, UEd) Probability Ngày tháng năm 2022 20 / 20