Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 Không gian vectơ, cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm không gian vectơ; Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; Hạng của hệ vectơ; Không gian vectơ con; Cơ sở và số chiều; Tọa độ của vectơ trong cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!
Bài giảng TỐN CAO CẤP (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) Chương KHƠNG GIAN VECTƠ Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt Kêhnh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày tháng 11 năm 2021 Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A1 Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học Tài liệu, video giảng đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in mang theo học Điểm tổng kết mơn học đánh giá xun suốt q trình học Điểm trình: 20% Kiểm tra kỳ: 20% Thi cuối kỳ: 60%, thi trắc nghiệm 60 phút Cán giảng dạy Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ĐT: 0933373432 Email: ncnhut@ntt.edu.vn Zalo: 0378910071 Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/ Blog: https://nguyennhutblog.wordpress.com/ Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 Content MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG GIAN VECTƠ Khái niệm không gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng hệ vectơ Không gian vectơ Cơ sở số chiều Tọa độ vectơ sở DẠNG TỒN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Khơng gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 Content MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG GIAN VECTƠ Khái niệm khơng gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng hệ vectơ Khơng gian vectơ Cơ sở số chiều Tọa độ vectơ sở DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 Content MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG GIAN VECTƠ Khái niệm không gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng hệ vectơ Không gian vectơ Cơ sở số chiều Tọa độ vectơ sở DẠNG TỒN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Khơng gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 KHƠNG GIAN VECTƠ NỘI DUNG 3-1 Khái niệm khơng gian vectơ 3-2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 3-3 Hạng hệ vectơ 3-4 Không gian vectơ 3-5 Cơ sở số chiều 3-6 Tọa độ vectơ sở Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 3.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ NỘI DUNG Định nghĩa Một số tính chất Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 3.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa Định nghĩa Cho ❱ ̸= ∅ trường K (thực phức) với hai phép tốn + : ❱ ×❱ → ❱ (① , ② ) −→ ① + ② *: ❑ × ❱ → ❱ (λ, ① ) −→ λ.① cho thỏa mãn tiên đề sau: Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 3.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa ∀① , ② , ③ ∈ ❱ , ∀❦ , ❧ ∈ ❑ ① +② = ② +① ① + (② + ③ ) = (① + ② ) + ③ ∃θ ∈ ❱ : ① + θ = θ + ① = ① ∀① ∈ ❱ , ∃(−① ) ∈ ❱ : ① + (−① ) = (−① ) + ① = θ (❦ + ❧ )① = ❦① + ❧① ❦ (① + ② ) = ❦① + ❦② ❦ (❧① ) = (❦ ❧ )① 1.① = ① ❱ gọi ❑ -không gian vectơ (K-kgvtt) Nếu ❑ = R ta có khơng gian vectơ thực, ❑ = C ta có khơng gian vectơ phức Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 / 64 3.1 Khái niệm không gian vectơ Không gian vectơ R♥ Xét R♥ hai phần tử α = (❛1 , ❛2 , , ❛♥ ) , β = (❜1 , ❜2 , , ❜♥ ) ∈ R♥ , ❦ ∈ R Trong R♥ ta xác định hai phép toán sau: Phép cộng: α + β = (❛1 + ❜1 , ❛2 + ❜2 , , ❛♥ + ❜♥ ) Phép nhân vô hướng: ❦ α = (❦❛1 , ❦❛2 , , ❦❛♥ ) Ví dụ Cho α = (1, −1, 3), β = (0, 2, −2) ∈ R3 Khi đó: α + β = (1, −1, 3) + (0, 2, −2) = (1 + 0, −1 + 2, + (−2)) = (1, 1, 1) 2α = (2, −2, 6) (−1) β = (0, −2, 2) Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 10 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Ma trận đổi sở Trong KGVT R♥ , cho hai sở (α)α1 , α2 , , α♥ ( β) β , β , , β ♥ Khi vectơ β , β , , β ♥ viết dạng β = ❛11 α1 + ❛12 α2 + · · · + ❛1♥ α♥ β = ❛21 α1 + ❛22 α2 + · · · + ❛2♥ α♥ ··· β ♥ = ❛♥ α1 + ❛♥ α2 + · · · + ❛♥♥ α♥ Ma trận hệ số chuyển vị, kí hiệu ❚αβ , gọi ma ❛11 ❛21 · · · ❛12 ❛22 · · · ❚αβ = trận đổi sở từ (α) sang ( β) Như ❛♥ ❛♥ ❛1♥ ❛2♥ · · · ❛♥♥ −1 Từ định nghĩa ❚αβ ma trận khả nghịch ❚βα = ❚αβ Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 50 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Ví dụ 16 Tìm tọa độ vectơ ① = (6, 5, 4) sở ❇ R3 : ❡1 = (1, 1, 0), ❡2 = (2, 1, 3), ❡3 = (1, 0, 2) Tìm①1 , ①2 , ①3 để ① = (6, 5, 4) = ①1 (1, 1, 0) + ①2 (2, 1, 3) + ①3 (1, 0, 2) ①1 + 2①2 + ①3 = ①1 = ⇔ ①1 + ①2 = ⇔ ① = ①3 = − 3①2 + 2①3 = Vậy [① ]❇ = (3, 2, −1)❚ Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 51 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Ví dụ 17 Cho ❊ = {(1; 1; 1), (1;1; 0), ( 1; 0; 1)} sở ❘ −1 a) Tìm ① , biết [① ]❊ = b) Cho ① = (3; 1; −2) Tìm [① ]❊ Bài làm −1 a) [① ]❊ = ⇐⇒ ① = −1(1; 1; 1) + 2(1; 1; 0) + 1(1; 0; 1) = (2; 1; 0) Ghi chú: 1 −1 viết lại −→ ① = (2; 1; 0) ❊ · [① ]❊ = 1 = 1 Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 52 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở b) Giả sử α [① ]❊ = β ⇐⇒ ① = α(1; 1; 1) + β(1; 1; 0) + γ(1; 0; 1) γ −4 α+β+γ = α+β = ⇐⇒ ⇐⇒ [① ]❊ = α + γ = −2 Ghi chú: ❊ −4 · [① ]❊ = ① ❚ ⇐⇒ [① ]❊ = ❊ −1 ① ❚ = Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 53 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Dùng máy tính casio cho tốn tọa độ Cơ sở ❊ = {❡1 , ❡2 , , ❡3 } −→ ❊ = ① ❚ = ❊ · [① ]❊ ⇐⇒ [① ]❊ = ❊ −1 ① ❚ MT cột Thac si Nguyen Cong Nhut ❡1 ❡2 Không gian vectơ ❡3 Ngày tháng 11 năm 2021 54 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Công thức đổi tọa độ Cho không gian vectơ R♥ , ① ∈ R♥ sở (α)α1 , α2 , , α♥ , ( β) β , β , , β ♥ Giả sử ① /(α) = (❛1 , ❛2 , , ❛♥ ) , ① /( β) = (❜1 , ❜2 , , ❜♥ ) Khi ta có [① ] /(α) = ❚αβ [① ]/( β), viết dạng ma trận: ❛1 ❛2 ❜1 ❜2 = ❚αβ ❛♥ ❜♥ Cơng thức cho phép tính tọa độ ( β ) Thac si Nguyen Cong Nhut ① sở (α) theo tọa độ ① sở Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 55 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Cơng thức đổi tọa độ Ví dụ 18 Trong không gian vectơ R3 cho hai sở α1 = (1, 1, 1), α2 = (−1, 2, 1), α3 = (1, 3, 2) β = (1, 0, 1), β = (1, 1, 0), β = (0, 1, 1) a) Tìm ma trận đổi sở từ (α) sang ( β) b) Viết cơng thức tính tọa độ vectơ ① ∈ R3 sở (α) theo tọa độ sở ( β) Hướng dẫn a) Giả sử β = ❛1 α1 + ❛2 α2 + ❛3 α3 (Hệ 1) β = ❜1 α1 + ❜2 α2 + ❜3 α3 (Hệ 2) β = ❝1 α1 + ❝2 α2 + ❝3 α3 (Hệ 3) Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ ① Ngày tháng 11 năm 2021 56 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Công thức đổi tọa độ Ma trận hệ số mở rộng: 1 −1 1 1 −1 1 → ··· 1 −1 1 1 0 −1 −3 Hệ có nghiệm ❛3 = −2, ❛2 = 1, ❛1 = Hệ có nghiệm ❜3 = 3, ❜2 = −2, ❜1 = −4 Hệ có nghiệm ❝3 = −1, ❝2 = 1, ❝1 = Vậy ma đổi sở từ (α) sang ( β) ❚αβ Thac si Nguyen Cong Nhut −4 = −2 −2 −1 Không gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 57 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Công thức đổi tọa độ b) Giả sử ① /(α) = (①1 , ①2 , ①3 ) , ① /( β) = (②1 , ②2 , ②3 ) Cơng thức tính tọa độ ① sở (α) theo tọa độ ①1 ①2 ①3 −4 = −2 −2 −1 Thac si Nguyen Cong Nhut ②1 ②2 ②3 hay Không gian vectơ ① sở ( β) ①1 = 4②1 − 4②2 + 2②3 ①2 = ②1 − 2②2 + ②3 ①3 = −2②1 + 3②2 − ②3 Ngày tháng 11 năm 2021 58 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Cơng thức đổi tọa độ Ví dụ 19 Trong ❘ , cho sở ❊ = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} ❊ ′ = {(1; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 1)} a) Tìm ma trận chuyển sở từ ❊ sang ❊ ′ ma trận chuyển b) Cho ① = (2; 1; 3) Tìm [① ]❊ ′ [① ]❊ Bài làm 1 1 1 a) ❊ = 1 , ❊ ′ = 1 1 ′ Ma trận chuyển sở từ ❊ sang ❊ : 1 1 1 2 P = ❊ −1 ❊ ′ = 1 = − 1 1 −1 Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ sở từ ❊ ′ sang ❊ Ngày tháng 11 năm 2021 59 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Công thức đổi tọa độ Trong ❘ , cho sở ❊ = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} ❊ ′ = {(1; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 1)} Ma trận chuyển sở từ Thac si Nguyen Cong Nhut ❊ ′ sang ❊ : ◗ = ❊ ′−1 ❊ = P −1 Không gian vectơ 0 −1 = −1 2 Ngày tháng 11 năm 2021 60 / 64 3.6 Tọa độ vectơ sở Công thức đổi tọa độ 1 b) Ta có [① ]❊ ′ = ❊ ′−1 ① ❚ = 2 1 − ❚ 1 [① ]❊ = ❊ ① = 1 Cách khác: [① ]❊ = P [① ]❊ ′ = −1 Thac si Nguyen Cong Nhut 1 = −1 = −1 1 −1 −1 = 0 Không gian vectơ −1 Ngày tháng 11 năm 2021 61 / 64 Content MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG GIAN VECTƠ Khái niệm không gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng hệ vectơ Không gian vectơ Cơ sở số chiều Tọa độ vectơ sở DẠNG TỒN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Khơng gian vectơ Ngày tháng 11 năm 2021 64 / 64 ... GIAN VECTƠ NỘI DUNG 3- 1 Khái niệm khơng gian vectơ 3- 2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 3- 3 Hạng hệ vectơ 3- 4 Không gian vectơ 3- 5 Cơ sở số chiều 3- 6 Tọa độ vectơ sở... kỳ: 20% Thi cuối kỳ: 60%, thi trắc nghiệm 60 phút Cán giảng dạy Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ĐT: 0 933 3 734 32 Email: ncnhut@ntt.edu.vn Zalo: 037 8910071 Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/... ? ?3 ) , ② = (②1 , ②2 , ? ?3 ) ∈ ❋ ⇒ 2①1 − 2①2 + ? ?3 = 2②1 − 2②2 + ? ?3 = Từ đó, suy ① + ② = (①1 + ②1 , ①2 + ②2 , ? ?3 + ? ?3 ) (①1 + ②1 ) − (①2 + ②2 ) + (? ?3 + ? ?3 ) = (2①1 − 2①2 + ? ?3 ) + (2②1 − 2②2 + ②3