Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hệ phương trình

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Hệ phương trình. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; cách giải hệ phương trình tuyến tính; hệ phương trình tuyến tính thuần nhất;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chƣơng HỆ PHƢƠNG TRÌNH Các khái niệm 1.1 Các dạng biểu diễn a Dạng tổng quát Hệ phƣơng trình tuyến tính m phƣơng trình, n ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (1) … 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚  𝑎𝑖𝑗 ( 𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛) : hệ số ẩn 𝑥𝑗 phƣơng trình thứ 𝑖  𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 𝑚): hệ số tự Kí hiệu: 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴 = ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2  𝐴= 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑚1 … 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 : ma trận hệ số hệ (1) … 𝑎𝑚𝑛 𝑎12 𝑎22 … … 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎2𝑛 𝑏2 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 : ma trận hệ số mở rộng hệ (1) b Dạng ma trận Kí hiệu ma trận 𝑋= 𝑥1 𝑥2 ⋮ ; 𝑥𝑛 𝐵= 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚 Khi đó, hệ phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với phƣơng trình ma trận: 𝐴𝑋 = 𝐵 c Dạng véc tơ Kí hiệu 𝐴𝑗 véctơ cột thứ 𝑗 ma trận A Hệ (1) viết dƣới dạng véc tơ 𝐴1 𝑥1 + 𝐴2 𝑥2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥𝑛 = 𝐵 1.2 Nghiệm điều kiện tồn nghiệm Một véctơ n chiều 𝑋 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) đƣợc gọi nghiệm hệ ta thay ẩn 𝑥𝑗 số 𝛼𝑗 (𝑗 = 1, 𝑛) vào tất phƣơng trình hệ ta đƣợc đẳng thức Định lý (Cronecker - Capelly): Điều kiện cần đủ để hệ phƣơng trình tuyến tính có nghiệm r A = r(A) Nhận xét: r A = r A = n = số ẩn Hệ phƣơng trình có nghiệm r A = r A < n : Hệ phƣơng trình có vơ số nghiệm r A ≠ r(A): Hệ phƣơng trình vơ nghiệm  Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm hệ theo tham số m 4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 5𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑥1 + 𝑚2 − 𝑥2 = 𝑚 − CÁCH GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Phƣơng pháp khử dần ẩn a Ba phép biến đổi tƣơng đƣơng hệ phƣơng trình Đổi chỗ hai phƣơng trình Nhân hai vế phƣơng trình với số khác không Nhân hai vế phƣơng trình với số bất kỳ, cộng vào hai vế tƣơng ứng phƣơng trình khác  Nhận xét  Biến đổi sơ cấp phƣơng trình hệ thực     chất biến đổi sơ cấp theo dòng ma trận mở rộng 𝐴 Ta sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng đƣa hệ dạng đặc biệt dạng tam giác hình thang Khi giải hệ không đƣợc biến đổi sơ cấp theo cột 𝐴 Và cột dễ khử hệ số ta khử trƣớc Hệ có số phƣơng trình số ẩn vơ nghiệm vơ số nghiệm Khi biến đổi 𝐴 dòng tỉ lệ với xóa dịng Nếu dịng có dạng 0 … 0|𝑎 với 𝑎 ≠ 𝑟 𝐴 ≠ 𝑟 𝐴 hệ vơ nghiệm b Hệ phƣơng trình tuyến tính dạng tam giác Khi r(A) = r(𝐴 )= số ẩn hệ có nghiệm đƣa đƣợc dạng sau 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 −1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎𝑛 −1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 −1 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 ( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛) 𝑏𝑛 Giải: Từ phƣơng trình thứ n, tính đƣợc 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑛𝑛 Thế vào phƣơng trình thứ 𝑛 − 1, tính đƣợc 𝑥𝑛−1 Tiếp tục q trình đó, hệ phƣơng trình có nghiệm nhất: 𝑥 = 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình sau: 𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 − 7𝑥4 = 12 3𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 − 𝑥4 = 5𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 = 7𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = 16 c Hệ phƣơng trình tuyến tính dạng hình thang Khi 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 𝑟 < 𝑛 hệ vơ số nghiệm đƣa đƣợc dạng sau 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑟 ( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑟) Trong trƣờng hợp hệ có r ẩn sở, giả sử 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑟 ( 𝑟 ẩn sở phải ứng với 𝑟 cột tạo thành định thức cấp 𝑟 khác khơng), (𝑛 − 𝑟)ẩn cịn lại ẩn tự Cách giải hệ hình thang:  Chuyển ẩn tự sang vế phải ta có hệ phƣơng trình dạng tam giác ẩn sở  Cho ẩn tự nhận giá trị tùy ý tìm ẩn sở qua ẩn tự ta thu đƣợc nghiệm tổng quát  Khi ẩn tự nhận giá trị cụ thể nghiệm tƣơng ứng nghiệm riêng Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình tìm nghiệm riêng 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −3 𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥4 = −7𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = −3 2.2 phƣơng pháp cramer Định nghĩa: Hệ cramer hệ phƣơng trình tuyến tính gồm n phƣơng trình, n ẩn số với định thức ma trận hệ số khác (det (A)≠ 0) Nhận xét: Hệ Cramer có nghiệm Định lý: Hệ Cramer có nghiệm 𝐷𝑗 𝑥𝑗 = , ∀𝑗 = 1, 𝑛 𝐷 Trong đó, 𝐷 = det⁡ (𝐴), 𝐴 ma trận hệ số hệ phƣơng trình, 𝐷𝑗 định thức cấp n, lấy từ định thức D cách thay cột thứ j cột hệ số tự Nhận xét 1: Khối lƣợng phép tính giải hệ Cramer lớn nên thực tế ta sử dụng Nhận xét 2: Sử dụng tính chất nghiệm hệ Cramer biện luận hệ có số phƣơng trình = số ẩn Ví dụ 4: Tìm a để hệ có nghiệm nhất: 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2𝑥 + 5𝑦 + 𝑎𝑧 = Hệ phƣơng trình tuyến tính 3.1 Dạng tổng quát Định nghĩa: Hệ phƣơng trình tuyến tính m phƣơng trình, n ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = … 𝑎𝑚 𝑥1 + 𝑎𝑚 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = Nhận xét: 𝑟 𝐴 = 𝑟(𝐴) nên hệ ln có nghiệm Nghiệm 𝑋 = (0, 0, … , 0) đƣợc gọi nghiệm tầm thƣờng 3.2 ĐiỀU KiỆN TỒN TẠI NGHIỆM KHÔNG TẦM THƢỜNG Định lý 1: Hệ phƣơng trình tuyến tính có nghiệm không tầm thƣờng hạng ma trận hệ số nhỏ số ẩn Hệ 1: Hệ phƣơng trình tuyến tính có số phƣơng trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thƣờng Hệ 2: Hệ phƣơng trình tuyến tính có số phƣơng trình số ẩn có nghiệm khơng tầm thƣờng định thức ma trận hệ số khơng Ví dụ (Bài 3.6, ý trang 57): Tìm m để hệ phƣơng trình có nghiệm khơng tầm thƣờng: 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 4𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 6𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 + 7𝑥4 = 8𝑥1 + 9𝑥2 + 9𝑥3 + 𝑚𝑥4 = MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP 4.1 Giải hệ phƣơng trình tuyến tính Phƣơng pháp chung: Khử dần ẩn (phƣơng pháp biến đổi sơ cấp) 4.2 Tìm tham số để nghiệm thỏa mãn điều kiện Bài tốn 1: Tìm tham số để hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm Phương pháp: Biến đổi sơ cấp dòng ma trận hệ số mở rộng 𝐴 hệ phƣơng trình Từ so sánh 𝑟 𝐴 𝑟 𝐴 4.3 Tìm điều kiện tham số để hệ phƣơng trình có nghiệm khơng tầm thƣờng [Type the document title] Phƣơng pháp: Xét hệ m phƣơng trình, n ẩn: Chứng minh 𝑟 𝐴 < 𝑛 Đặc biệt, 𝑚 = 𝑛, chứng minh |𝐴| =  ... (1) …