Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 1 Ma trận và định thức cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm ma trận; Các phép toán trên ma trận; Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận; Ma trận bậc thang và bậc thang rút gọn; Ma trận con cấp k; Định nghĩa định thức; Các tính chất cơ bản của định thức; Định lý Laplace về khai triển định thức; Ứng dụng tìm ma trận nghịch đảo; Hạng của ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo!
Bài giảng ) Chương Ma trận – Định thức Chương Hệ phương trình Tuyến tính Chương Khơng gian vector Chương Ánh xạ tuyến tính Chương Dạng toàn phương Chương MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Bài MA TRẬN 1.1 Khái niệm ma trận 1.2 Các phép toán ma trận 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận 1.4 Ma trận bậc thang bậc thang rút gọn 1.5 Ma trận khả nghịch Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài MA TRẬN 1.1 Khái niệm ma trận A a11 a12 a1n dòng a21 a22 a2n dòng am am amn dòng m cột Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt cột cột n Bài MA TRẬN • Ma trận A viết gọn A (aij )m n • Ma trận có tất phần tử gọi ma trận khơng • Tập hợp ma trận cấp m n M m n ( ) Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ký hiệu Bài MA TRẬN a11 a12 a13 VD A a 21 a22 a23 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt A M2 3( ) Bài MA TRẬN Ma trận vuông cấp n A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an an ann Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt (aij )n Mn ( ) Bài MA TRẬN Ma trận dòng A (a11 a12 Ma trận cột A M1 n ( ) a11 a21 am Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt a1n ) M m 1( ) Bài MA TRẬN Đường chéo ma trận vuông Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt a11 a12 a1n a21 a22 a2n an an ann Bài MA TRẬN Đường chéo phụ ma trận vuông Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt a11 a12 a1n a21 a22 a2n an an ann Bài ĐỊNH THỨC 2.6.2 Hạng ma trận Định nghĩa Cấp cao định thức khác ma trận A gọi hạng ma trận A, ký hiệu r(A) Nếu A ma trận khơng ta quy ước r(A) = Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC VD 17 Ma trận A 1 1 định thức cấp một, C 32 C 42 18 định thức cấp hai C 43 định thức cấp ba Các định thức cấp ba Do có nên r (A) 1 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt có tất 12 Bài ĐỊNH THỨC Nhận xét • Hạng ma trận khơng thay đổi ta hốn vị dịng hay cột • Nếu A (aij )m khác khơng n r (A) min{m, n} • Đặc biệt, A ma vuông cấp n r (A) Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt n det A Bài ĐỊNH THỨC m VD 18 Cho ma trận A m Chứng tỏ ma trận A có hạng với m Giải Ta có det A Vậy r (A) Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt 2m 3, m 3m 0, m Bài ĐỊNH THỨC 2.6.3 Thuật tốn tìm hạng ma trận • Bước Đưa ma trận cần tìm hạng dạng bậc thang • Bước Số dịng khác khơng ma trận bậc thang hạng ma trận cho Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC VD 19 Cho ma trận A 2 Tìm r (A) Giải Biến đổi sơ cấp dòng ma trận A , ta được: d2 d3 A d3 d3 d2 0 d2 2d1 d3 3d1 4 0 7 0 Vậy r (A) Bài ĐỊNH THỨC VD 20 Tìm r (B ), với B 0 1 1 0 Giải Biến đổi sơ cấp ma trận B , ta được: 1 1 0 0 B 0 0 0 0 0 Vậy r (B ) Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC Chú ý Trong trường hợp tham số cột đầu, ta khó đưa ma trận dạng bậc thang Khi đó, ta hốn vị cột ma trận cho tham số cột cuối, đưa dạng bậc thang Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC m VD 21 Cho ma trận A 2m m Tìm giá trị tham số m để r (A) Giải Biến đổi sơ cấp ma trận A , ta được: m c1 c3 A m 2 2m Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC d3 d3 d1 m • Với m m 2 m 1, ta có: A 0 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt r (A) Bài ĐỊNH THỨC • Với m A , ta có: 1 0 0 0 0 Vậy m Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt m 1 r (A) Bài ĐỊNH THỨC VD 22 Tùy theo giá trị m , tìm hạng ma trận 1 m 1 1 A m 1 2 1 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC Giải Biến đổi sơ cấp ma trận A , ta được: A c1 c5 c2 c4 1 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt 1 1 m m 1 2 1 1 Bài ĐỊNH THỨC d2 d2 d1 d3 d3 d1 d4 d4 d1 d3 d4 d d2 d4 d3 Vậy m 1 1 2 m m 0 1 2 1 0 0 r (A) 2 m m 3, m 1 1 m m m r (A) ……………………………………………………………… Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Bài ĐỊNH THỨC Hết chương MA TRẬN – ĐỊNH THỨC ……………………………………………………………… Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ... là: a 21 ( 1) 1, a22 1, …, a2 39 • Các phần tử cột thứ A là: a15 Vậy ( 1) 25 1. 1 1, a25 1( 1) 1, …, a 39 ( 1) .1 40 số hạ ng 1, a2 40 1, a 40 1( 1) 40 Bài MA TRẬN Sơ đồ 1 1 1 Dòng Cột Thạc sĩ Nguyễn. .. 2.7) (1. 5 2.8) Bài MA TRẬN tích d1 với c1 0 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt 1. 2 2( 1) 1. 0 2.0 0.2 0.( 1) 0.0 0.0 Bài MA TRẬN tích d1 với c2 0 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt 1. 2 2( 1) 1. 0 2.0 0.2 0.( 1) 0.0... ma trận cấp m n M m n ( ) Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ký hiệu Bài MA TRẬN a 11 a12 a13 VD A a 21 a22 a23 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt A M2 3( ) Bài MA TRẬN Ma trận vuông cấp n A a 11 a12 a1n a 21 a22