Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Phép tính tích phân hàm một biến cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất, ông thức nguyên hàm cơ bản, các phương pháp tính, đổi biến số dạng 2, tích phân từng phần,... Mời các bạn cùng tham khảo.

17/04/2017 Tính chất CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến  i )   f x dx   f x    ii )  k f x dx  k  f x dx iii )   f x   g x  dx   f x dx    Bài giảng Toán Cao cấp Định nghĩa nguyên hàm  g x dx Nguyễn Văn Tiến Công thức nguyên hàm • Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu:  k dx  F  x   f x ,  x  a , b  3. dx  x 2. x  dx  4. dx  x • Ví dụ:  5. a x dx    tan x nguyên hàm  tan x     treân R \  2n  1         x  a nguyên hàm a x ln a R Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Tích phân bất định • Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu:  f x dx • Được xác định sau:  f x dx 6. e x dx  Nguyễn Văn Tiến Các phương pháp tính • • • • Phân tích, biến đổi Đổi biến dạng Đổi biến dạng Tích phân phần  F x   C • F(x) nguyên hàm f(x) • C: số tùy ý Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Phương pháp phân tích • • • • Ví dụ Chia đa thức Nhân liên hợp Áp dụng công thức biến đổi hàm số Sử dụng công thức Bài giảng Tốn Cao cấp • Tính tích phân sau  c  Nguyễn Văn Tiến x  3x  dx x x   dt  e lim    x    t t  1 c    b  e x e x 1  dx 2x  1dx  x x dx Nguyễn Văn Tiến • Đặt: x=u(t) • Biến đổi biểu thức tính tích phân dạng:  f x dx   f u t .u  t dt d  x  x dx Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Đổi biến số dạng • Đặt t=u(x) • Ta đưa tích phân dạng:  f u x  u' x dx Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính tích phân sau   f t dt • Phải tìm u’ biến đổi u’ xuất trước • Thường đặt u thức, mũ e, mẫu số hay biểu thức ngoặc Bài giảng Toán Cao cấp b  Đổi biến số dạng (tham khảo) • Tính tích phân sau 2x  dx x x  1 Bài giảng Tốn Cao cấp Ví dụ a   a  x cos x  dx Nguyễn Văn Tiến a)  c )  x dx dx 1 x2 Bài giảng Toán Cao cấp b)  d ) x dx 1 x2 dx x x2 1 Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Tích phân phần Ví dụ • Đưa biểu thức tính tích phân dạng:  f x dx • Đặt:  • Tính tích phân sau  h x .g x dx   h x .g x dx Bài giảng Toán Cao cấp  uv  c )  x cos xdx d )  x arctan xdx  • Khi đó:  b )  2x  1 sin xdx a )  x ln xdx     du  h ' x  u  h x       dv  g x dx    v   g x dx      f x dx  e  v du Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Tích phân phần • Đưa biểu thức dạng tích • Chọn hàm để đặt u dv • Chú ý: chọn cho việc tính đạo hàm tích phân dễ tính • Áp dụng cơng thức: Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Tanzalin • Tính tích phân sau:  2x 3x   dx  udv  uv   v du  2x 3x   Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Pn x  sin ax dx    Pn x  ln x dx Pn x .e ax dx Đạo hàm Tích phân x sinx -cosx -sinx Pn x  arctan x dx Pn x  arcsin x dx Luong giac nguoc  Lo garit  Da thuc  Luong giac  M u Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Cơng thức Tanzalin • Tính tích phân sau: Pn x  cos ax dx Bài giảng Toán Cao cấp 2x 3x    252 3x  2  C 21 Bài giảng Toán Cao cấp Các dạng cần nhớ    dx    x sin x dx Dấu Tích + - -xcosx sinx x sin x dx  x cosx  sinx  C Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Cơng thức Tanzalin Diện tích đường cong • Tính tích phân bất định:  x • Ví dụ Một tịa nhà có cổng dạng parabol Ta cần gắn kính cho cổng nhà Hỏi diện tích kính cần gắn bao nhiêu? x  1.dx • Đáp số: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Tích phân hàm mũ Diện tích đường cong i   e dx  e  C ii   e dx  a e iii   e du  e  C x • Cơng thức: x ax b ax b u C u • Ví dụ Tính tích phân sau: a)A   3e dx c )C   xe  x dx 4x b) B  e x4 x dx I0 Nguyễn Văn Tiến d ) D  a  e Tx dx • Ta chia hình cần tính thành nhiều hình chữ nhật nhỏ • Cộng hết diện tích hình chữ nhật nhỏ lại • Ta diện tích tương đối hình cần tính • Độ cao hình chữ nhật xác định thơng qua giá trị hàm số Ví dụ Tại điểm c hình chữ nhật có độ cao f(c) Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Diện tích đường cong • Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết qua điểm (1;0) và: • Tìm diện tích đường cong y=1-x2 x0,5 x=1 • Sử dụng cơng thức tổng diện tích hình chữ nhật để tính xấp xỉ (giả sử n=5) dy  dx e x 3 • Đáp án: y 2 Bài giảng Toán Cao cấp  e x 3  e  Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Diện tích đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng hcn là: 0,1 • Ta tính tổng hcn sau: Cách Xấp xỉ tổng hình chữ nhật ngồi A i 1 • Với n=5 ta có chiều rộng hcn là: 0,1 • Ta tính tổng hcn sau: Cách Xấp xỉ tổng hình chữ nhật S Diện tích đường cong A i S i 1  0, 75.0,  0, 64.0,  0, 51.0,  0.36.0,  0, 19.0,  0, 245 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến i  0, 6975  0, 5775  0, 4375  0, 2775  0, 0975  0,  0, 20875 Bài giảng Tốn Cao cấp Diện tích đường cong • Với n=5 ta có chiều rộng hcn là: 0,1 • Ta tính tổng hcn sau: Cách Xấp xỉ tổng hình chữ nhật Nhận xét • Nếu ta chia thành 10 hình chữ nhật với n=10 kết tìm xấp xỉ tốt • Tính theo cách ta có kết sau: A 10 S i 1 10 S i 1 S i 1  0, 75  0, 6975   0, 19  0, 0975  0, 05  0, 226875 i • Theo cách ta có: A A Nguyễn Văn Tiến i  0, 6975   0, 19  0, 0975   0, 05  0, 189375 • Theo cách ta có: i  0, 64.0,  0, 51.0,  0, 36.0,  0, 19.0,   0,  0, 17 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Diện tích đường cong • Để có giá trị xấp xỉ tốt ta lấy giá trị trung bình cách tính • Ta được: A 0, 245  0, 17  0, 2075 A 10 S i 1 i Trung bình cộng cách 1,2:  0, 208438 A 10 S i 1 Bài giảng Toán Cao cấp i  0, 208125 Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Định nghĩa: Nếu f hàm số xác định [a;b] Chia đoạn [a , b ] thàn h n phần bằn g nhau, b a có chiều rộn g  x  n Giả sử a  x , x 1, x , , x n  b điểm biên nhữn g đoạn Ta có : x i  a  i. x Goïi x 1* , x 2* , , x n* điểm mẫu nhữn g đoạn x i*  x i 1 ; x i     Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp  Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Tích phân xác định Ý nghĩa hình học • Định nghĩa: Nếu f hàm số xác định [a;b]  f x   x ;  x * i i 1  x i 1  x i  Bài giảng Tốn Cao cấp • Cho hàm số ( ) ≥ 0, liên tục [a;b] tích phân xác định f(x) [a;b] diện tích hình giới hạn bởi: f x  ; x  a ; x  b b a Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định Chú ý • Định nghĩa: Nếu f hàm số xác định [a;b]  f x  : hàm lấy tích phân : dấu tích phân a, b : cận lấy tích phân dx : biến độc lập x b n  f x   x i 1 * i Tích phân  f x dx a b a x  n b  f x dx  a Toång Riemann: Nguyễn Văn Tiến b  f x dx a  lim n  n  f x   x i 1 * i (nếu giới hạn tồn tại) • Khi ta nói hàm f khả tích [a,b] n Nguyễn Văn Tiến b  f r dr a  f x  x * i Nguyễn Văn Tiến Tích phân xác định • Cơng thức: b  f x dx a b  F x   F b   F a  a • Trong F(x) ngun hàm (tích phân bất định) f(x)  f x dx Bài giảng Toán Cao cấp  f t dt  Bài giảng Tốn Cao cấp Tích phân xác định • Tích phân xác định hàm f từ a đến b là: b a i 1 Bài giảng Toán Cao cấp số, không phụ thuộc vào x Bài giảng Toán Cao cấp  F x   C; F ' x   f x  Nguyễn Văn Tiến 17/04/2017 Ví dụ Tính chất • Tính xác diện tích đường cong y=1x2, x=0,5 x=1 trục Ox • Giải • Ta có: d) Với a