chương 5 phép tính tích phân hàm nhiều biến

Định nghĩa Cho hàm số fx,y xác định trên miền đóng, bị chặn D.. Định lý: Nếu fx,y liên tục trong miền bị đóng và bị chặn D thì fx,y khả tích trên miền D 3... Cách tính tích phân kép 1

CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

5.1.1 Tích phân kép

5.1.1 Khái niệm tích phân kép

1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng, bị chặn D

 Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích S i(i 1 ,n)

 Trong mỗi mảnh, lấy 1 điểm tùy ý Mi (xi,yi) (i1,n)

 Tổng In = n i

i

i

x





) , (

1

được gọi là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm số

f(x,y) trong miền D

 Nếu n

0

lim

 tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mi trong mỗi mảnh thì nó được gọi là TÍCH PHÂN KÉP của hàm số

f(x,y) trong miền D và ký hiệu:

I = 

D

dS y x

f( , )

o D : miền lấy tích phân

o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân

o dS : yếu tố diện tích

Ghi chú :

 Tích phân kép tồn tại thì hàm số f(x,y) gọi là khả tích trên miền D

 Nếu chia miền D bằng 2 họ đường thẳng song song với các trục tọa độ thì dS = dxdy nên :

I =

D

dxdy y x

f( , )

2 Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị đóng và bị chặn D thì f(x,y)

khả tích trên miền D

3 Tính chất:

dxdy y x g dxdy y x f dxdy y x g y x

[

dxdy y x f k dxdy y x

(3) Nếu D có thể chia thành 2 miền D1 và D2 thì :

  

) , ( )

, ( )

, (

D

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f

(4) Nếu f(x,y)  g(x,y) ,(x,y)D thì  

dxdy y x g dxdy y x

(5) Nếu m  f(x,y)  M, (x,y)D , m và M là hằng số thì

D

MS dxdy y x

f( , ) với S là diện tích của miền D

(6) Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị chặn D thì trong D có ít nhất một

điểm

D

).

, ( )

, (

  với S là diện tích của miền D

5.1.2 Cách tính tích phân kép

1 Trong tọa độ ĐềCác

a Miền lấy tích phân l hình chữ nhật có các cạnh song song với các

trục tọa độ

Tính I = D f(x,y)dxdy với D = (x,y)R2/a xb,c yd 









c

b

a

b

a

d

c

b

a

d

c

dx y x f dy dy y x f dx dx dy y x

b Miền lấy tích phân là miền bất kỳ

 D=(x,y)R2/axb,y1(x) y y2(x) với y1 (x) và y2(x) liên tục

trên [a,b]

I =  b

a

x y x

dx ( )

) (

2 1

) ,

Ví dụ 1: 2

D

thẳng y = x

0

x

y



    

1 1

x y





 

x

x x D

x

I  xydxdy  xydydxxy dx

1

1

x x

Ví dụ 2: (1 2 )

D

đường thẳng y = x - 2

 Tìm giao điểm: 2 2 2 1

1

x y

y

4 2

x y





 

x x





2

(y 2 )xy x x dx (y 2 )xy xx dx

2

2



189

10

 D=(x,y)R2/c yd,x1(y)xx2(y) với x1(y) và x2(y) liên tục

trên [c,d]

I =  b

a

x y x

dx ( )

) (

2 1

) , (

Ví dụ 3: Tính tích phân ở VD2 theo miền nằm ngang đơn giản:

D

y



  

2 2

2

2 2

y

y y y





189

10



Ví dụ 4: Tính tích phân ở VD1 theo miền nằm ngang đơn giản

D

y

  

2 2

2

y

y y D

y

I  xydxdy  xydxdyx y dy

2 4 3 5

1

12

 D giới hạn trong hình chữ nhật có các cạnh xác định bởi a  x  b , c 

y  d

P N

M : y = y1 (x) ,M QP : y = y2(x)

Q M

N  : x= x1(y) ,N PQ: x = x2(y)

I =  b

a

x y x

dx ( )

) (

2 1

) , ( =  d

c

y x y

dy ( )

) (

2 1

) , (

a

d c

b a

d

c g y dy dx

x f dy y g x f

c Đổi biến số trong tích phân kép

Cho tích phân kép D f(x,y)dxdy. Giả sử tồn tại hàm 2 biến x = x(u,v) và y=y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ của mpO’uv sao cho tương ứng (u,v) (x,y) là một song ánh từ D’ đến D và định thức Jacobi:

( , )

0 ( , )

J

D u v

Ta có công thức đổi biến số trong tích phân kép :

D f(x,y)dxdy D f[x(u,v),y(u,v)] /J/dudv

'

Ví dụ :

D

I  dxdy, trong đó D giới hạn bởi các đường thẳng:

y = 1 – x, y = 2 – x, y = 2x – 1, y = 2x – 3

Ta có các đường thẳng viết lại: x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = 3 Đặt

2

u x y

 



  

 thì: J =

1 3

 và D uv ( , ) :1u v  u 2;1  v 3

1 1

dud

D

I  dxdy  v



M(x,y)

2 Trong tọa độ tọa độ cực:

 Tọa độ cực :

r = | OM |

 = (Ox,OM )

 Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề-các và tọa độ cực













 sin

cos

r y

r x

Xem x, y như hàm 2 biến theo r và  ta áp dụng công thức đổi biến số :

J = 0

cos sin

sin cos







r r

r









I = 

' ( cos , sin ) )

,

Nếu D’ được xác định bởi      và r1 ( )  r  r2 ( ), ta có:

I =   

D

r

d dxdy y x





 2( )

) (

1 ( cos , sin ) )

, (

Ví dụ 1 x2 y2

D

I  e  dxdy, với D là hình tròn x2y2 R2

Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta có:

( , ) : 0 ;0 2 

r

0 0

r

R

D





Chú ý: Nếu dùng phép đổi biến sang tọa độ cưc suy rộng:

os

sin

x a rc

J abr

y b r















Khi đó:

f x y dx dy( , ) f(a r cos , r sin )b abr dr d



Ví dụ 2 Tính I3 sin x2 y dx dy2

R

R là miền cho bởi: 2  x2  y2  42

Giải: Chuyển sang tọa độ cực

x rc





rc



Ví dụ 3 Tính

1

D là miền cho bởi:

Giải: Chuyển sang tọa độ cực suy rộng

x ar c





1

2

1 3

(1 )

0

ab

ab r







Ví dụ 4 Tính diện tích miền giới hạn bởi Lemnixcat

(x2  y2 2)  2a2(x2  y2) (a  0)

Giải: Ta có: Diện tích A dxdy

R

 

Chuyển sang tọa độ cực phương trình của Lemnixcat là:

r4  2a r2 2(cos2 sin2)  r2  2a2cos 2

Do tính đối xứng của miền cần tìm diện tích nên

2 os2

2 os2

0

a c

a c





5.1.3 Ứng dụng của tích phân kép

1 Ứng dụng hình học

a Tính thể tích của vật thể

Thể tích của vật thể hình trụ m mặt xung quanh l mặt trụ có đường sinh

song song với Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn

bởi mặt cong z =f(x,y) , f (x,y) 0 và liên tục trên D cho bởi công thức :

V = D f(x,y)dxdy

nằm trong mặt cầu x2+y2+z2 = 4

nằm trong mặt cầu x2+y2+z2 = 4

b Tính diện tích hình phẳng

S = D dxdy

y – 2 = 0

= 2x

c Tính diện tích của mặt

Phương trình của mặt là z = f(x,y)

D = p q dxdy

D

D: là hình chiếu của mặt lên mặt phẳng Oxy và p =

x

f



 , q =

y

f





mp Oxy

2 Ứng dụng cơ học

a Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất

m = 

D

dxdy y

x ), (



 (x,y ) : khối lượng riêng của bản phẳng tại M(x,y)

Ví dụ : Tính khối lượng của bản phẳng choán miền D xác định bởi:

x2 + y2 –R2  0, x 0, y 0 biết rằng khối lượng riêng là (x,y ) = xy

b Moment quán tính của bản phẳng

I x = y x y dxdy

D 2( , )



I y = x x y dxdy

D 2( , )



I o = x y x y dxdy

D( 2 2 )( , )

Ví dụ 1 : Tính moment quán tính đối với gốc O của miền tròn D xác định

bởi x2 +y2-2Rx  0, biết khối lượng riêng (x,y) = x2  y2

Ví dụ 2: Tính moment quán tính đối với trục 0y của miền D xác định bởi

1

2

2

2

2





b

y

a

x biết rằng (x,y)  1

c Trọng tâm của bản phẳng

Nếu bản phẳng D có khối lượng riêng là hàm liên tục (x,y) thì tọa độ trọng

tâm :

x G =





dxdy y x

dxdy y x x

) , (

) , (





, y G =





dxdy y x

dxdy y x y

) , (

) , (





Nếu bản phẳng đồng chất thì  không đổi ,ta có :

x G = 

D

xdxdy S

1

, y G = 

D

ydxdy S

1

( S là diện tích của miền D )

5.2 Tích phân bội ba

5.2.1 Khái niệm tích phân bội ba

1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không

gian Oxyz

Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là Vi (i =

n

,

1 )

Trong mỗi miền nhỏ  Vi lấy một điểm tuỳ ý Mi (xi, yi, zi)

Tổng In = 





n

i

i i i

x f

1

)

, , ( được gọi là tổng tích phân của hàm f(x,

y, z)

trên miền V





lim tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm Mi thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI BA của hàm f(x, y, z)

trên miền V

V

dV z y x

f( , , )

Ghi chú :

Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền

V

Nếu chia miền V bằng những họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ thì dV = dxdydz nên ta có:

dxdydz z

y x f dV z y x

f ( , , ) ( , , ) Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép

2 Định lý Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả tích

trên miền đó

5.2.2 Cách tính tích phân bội ba

1 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các



V

dxdydz z

y x

f( , , )

 Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1(x, y), z = z2 (x, y) trong đó

z1, z2 là những hàm liên tục trong miền D, D là hình chiếu của miền V trên mặt phẳng Oxy thì ta có:



D

y x z

y x z

dz z y x f dxdy I

) , (

) , (

) , , (

2

1

 Nếu miền D được giới hạn bởi các đường y = y1 (x), y = y2 (x) trong đó

y1, y2 là những hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có :

I = ( ) 

) (

) (

) , (

2

1 2

1

) , , (

x y

x y

y x z

y z

b

a

dz z y x f dy

Ví dụ 1 Xác định cận của tích phân: I f x y z dxdydz( , , ) ,



hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = 0

Chiếu  xuống Oxy ta được miền D( , ) : 0x y  x 2;0   y 2 x

Giới hạn trên của : 1

2 2

x y z

    , giới hạn dưới của  :z 0

Vậy:

1

2 2 2 2

0 0 0

( , , )

x y x

I dx dy f x y z dz

 



Ví dụ 2 Tính tích phân: I xdxdydz,



 , với  giới hạn bởi các mặt:

z = x2 + y2, z = 4, x = 0, y = 0

Hình chiếu  xuống Oxy D( , ) : 0x y  x 2;0 y 4x2

Giới hạn trên của  :z 4, giới hạn dưới của : z x 2y2

2 2

2 2

2 4 4 2 4

4

.

z

z x y

x y



 



2 4 2 3 2

0 0

64 4

15

x



2 Đổi biến số trong tích bội ba

I = 

V

dxdydz z

y x

f ( , , )

trong đó

( , , ) ( , , ) ( , , )

x x u v w

z z u v w





 



 



Giả sử :

Các hàm x, y, z theo 3 biến u, v, w là những hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp 1 của chúng trong miền đóng V’ của không gian O’uvw

Các công thức trên được xác định một song ánh từ miền V’ lên miền

V của không gian Oxyz

Định thức Jacobi

I = ( , , )

) , , (

w y u D

z y x D

=

w

z v

z u z

w

y v

y u y

w

x v

x u x





































 0 trong miền V’ trừ một số hữu hạn điểm

Khi đó ta có công thức đổi biến số :

I = 

'

V

f [x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] J dudvdw

3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ

Toạ độ trụ của điểm M (x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba (r, , z) Trong đó (r,) là tọa độ cực của hình chiếu vuông góc M’ của M trên mặt phẳng Oxy, z là tọa độ M theo trục z

y = r sin 

z = z

Định thức Jacobi : J = 0

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos







r r

r









Tích phân bội ba trong tọa độ trụ :

'

V

f(r cos , rsin , z) r drddz

Ví dụ 1 Tính tích phân: I (x2 y dxdydz2 ) ,



  với  giới hạn bởi các mặt:

z = x2 + y2, z = 4

Hình chiếu  xuống Oxy là hình tròn: x2y2 4

Chuyển sang tọa độ trụ: x r cos , y r sin , z z

 giới hạn bởi: 0  2 ,0  r 2,r2  z 4

x  r M’

M (x, y, z)

z

y

Vậy:

2

2 2 4

3

0 0

64 3

r

Ví dụ 2 Tính I = 

V

(x2 + y2)z dxdydz trong đó V giới hạn bởi mặt trụ

x2 + y2 = 1 và 2 mặt phẳng z = 0 và z = 2

4 Tích phân bội ba trong tọa độ cầu

Tọa độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, , ) trong đó r = OM,  =(Ox,OM)',  = (Oz,OM), M’ l hình chiếu vuơng góc của M lên mặt phẳng Oxy

r  0, 0    2, 0    

Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu :



















 cos

sin sin

cos sin

r r r

Định thức Jacobi : J =

0 sin

cos

cos sin sin

cos sin

sin

sin sin cos

cos cos

sin





























r

r r

r r





= r2sin 

Tích phân bội ba trong tọa độ cầu :

V

f(r sin cos, r sin sin, r cos) r2sin drdd

Ví dụ 1 Tính tích phân: I (x2 y2 z dxdydz2 ) ,



   với  giới hạn bởi các mặt: x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + z2 = 4

Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:

Miền  giới hạn bởi: 1 r 2,0  ,0  2

Vậy:

4

0 0 1

124 sin

5

Ví dụ 2Tính tích phân: I x2 y2 z dxdydz2 ,



   với  giới hạn bởi các mặt: x2y2z2 z

Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:

Miền  giới hạn bởi: 1 os ,0 ,0 2

2

Vậy:

2 2 os

3

0 0 0

sin

10

c



5.2.3 Ứng dụng của tích phân bội ba

1 Ứng dụng trong hình học

Thể tích V của vật thể :

V

dxdydz

Ví dụ 1 Tính thể tích hình cầu tâm O bán kính R

Ta có thể tích hình cầu :

( )



  , với : x2y2z2 R2

Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có:

Miền  giới hạn bởi: 1 r R,0  ,0  2

Vậy:

2

0 0 0

4

3

R

Ví dụ 2 Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt parabolôit z= x2

+ y2 ,z=0 ,z=2 và nằm trong góc phần tám thứ nhất của không gian tọa độ Oxyz

2 Ứng dụng cơ học

a Khối lượng của vật thể V:

m = 

V

 (x,y,z)dxdydz (x, y, z) là khối lượng riêng tại M(x, y, z)

b Tọa độ trọng tâm G của vật thể :













V G

V G

V G

dxdydz z

y x z m z

dxdydz z

y x y m y

dxdydz z

y x x m x

) , , ( 1

) , , ( 1

) , , ( 1







Nếu vật thể đồng chất thì  không đổi, ta có :













V G

V G

V G

zdxdydz V

z

ydxdydz V

y

xdxdydz V

x

1 1 1

Ví Dụ :Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón

z2 – x2 – y2 = 0 (z>0) và mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1

BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5.1 Tính các tích phân kép sau

1 

D

ydxdy x

I ln với miền D là hình chữ nhật : 0 x 4,1 y4

D

dxdy y x

I ( cos 2 sin 2 ) với miền D là hình vuông :

4



 x ,

4

0 y

3  

D

y

e

I sin cos với miền D là hình chữ nhật : 0 x ,

2

0 y

4  

D

dxdy y x

I ( 2 ) với miền D xác định bởi các đường : x = 1, x = 2 , y = x , y =

x2

5 

D

xdxdy y

I ln với miền D xác định bởi các đường : xy = 1, y = x , x = 2

6  

D

dxdy y x

I ( ) với miền D xác định bởi các đường : y = 2 - x2, y = 2x - 1

7  

D

dxdy y x

I ( 3 ) với miền D xác định bởi các bất đẳng thức

x2+y2 9 , y 

3

2

x + 3

8 

D

xdxdy

I với miền D là tam giác có các đỉnh A(2,3) , B(7,2) và C(4,5)

D

dxdy y x

I (cos 2 sin ) với miền D xác định bởi các đường x = 0 , y = 0 và

4x+4y- = 0

D

dxdy y x y x

I ( ) 3 ( ) 2 với miền D xác định bởi các đường : x+y = 1 , x+y

= 3 , x-y = 1 và x-y = -1

11  

D

dxdy y x

I 2 2 với miền D xác định bởi các bất đẳng thức :

x2+y2  a2 , x  0 ( a>0 )

12  

D

dxdy y x

I ln( 2 2 ) với miền D xác định bởi các đường : x2+y2 = e2 , x2+y2 =

e4

13  

D

dxdy y

x

y x I

2 2

2 2

sin

với miền D xác định bởi các đường:

x2+y2 =

9

2



, x2+y2 = 2

14   

D

dxdy y x

I 4 2 2 với miền D xác định bởi đường : x2+y2 -2x  0

D

I  x y dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường: y0,y x x y 2,   2

D

I  x xy dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường: y x y 2,  x

17 ln( 2 2 )

D

I  x y dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường: x2y2 R2

18 (12 3 2 4 )

D

I   x  y dxdy với D là miền giới hạn bởi elip:

2

2 1 4

x y

5.2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi (các) đường

1 Elip: x22 y22 1

a b 

2 xy1,xy4,y2 x y, 2 4x

5.3 Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt y = 1+x2 , z = 3x , y = 5 , z = 0 và nằm trong góc phần tám thứ nhất

5.4 Tính thể tích của khối giới hạn bởi hai mặt trụ x2 +y2 = a2 và x2 +z2 = a2

5.5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4y-y2 , x+y = 6

5.6 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x2+y2 = 2x , x2+y2 = 4x

5.7 Tính diện tích của phần mặt nón z= x2 y2 nằm bên trong hình trụ x2+y2 = 2x 5.8 Tính diện tích của phần mặt cầu x2+y2 +z2= 4 nằm bên trong hình trụ x2+y2 = 2x 5.9 Tính các tích phân bội ba sau

1 Tính 

v

dxdydz với V là vật thể giới hạn bởi mặt x + y + z = 1 và các mặt phẳng tọa độ

2 Tính 

v

xdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 , z = 4 , x =

0 , y = 0

3 Tính 

v

ydxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt y = x2, z + y = 1, z = 0

4 Tính 

v

xdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt z = x + y , x + y = 1 ,

x = 0 , y = 0 , z = 0

5 Tính  

v

dxdydz y

( 2 2 với V là vật thể giới hạn bởi các mặt

x2 + y2 = 1, z = 0 , z = 1

6 Tính 

v

xyzdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt

x2 + y2 +z2=1, x 0 , y0,z0

7 Tính 

v

zdxdydz với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x2 + y2 +z2 = 2,

z = x2 y2

5.10 Tính thể tích của phần hình chỏm cầu x2 + y2 +z2 = 4 phía trên mặt phẳng

z = 1