iáo trình giải tích 1 đại học chương 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến dành cho cao đẳng đại học, giáo trình này của hệ đại học giao thông vận tải hcm, các sinh viên trường khác có thể tham khảo, các chương khác sẽ được cập nhật thêm
Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 Không gian n 4.1.1 Định nghĩa không gian n Mỗi có thứ tự gồm n số thực x ( x1 , , xn ) gọi điểm n chiều, số x1 , , xn gọi tọa độ điểm x Tập hợp tất điểm n chiều có gọi không gian n chiều, thường ký hiệu n Vậy n ( x1 , , xn ) : xi , i 1, n Các phép tốn thơng thường n : Cho x ( x1 , , xn ), y ( y1 , , yn ) n ; k Phép cộng: ( x1 , , xn ) ( y1 , , yn ) ( x1 y1 , , xn yn ) n Phép nhân vô hướng: k ( x1 , , xn ) (kx1 , , kxn ) n Ví dụ 4.1 Không gian là: (a, b) : a, b Không gian là: (a, b, c) : a, b, c c b M ( a, b) M ( a , b, c ) b a a Hình 4.1 Khơng gian Hình 4.2 Khơng gian 4.1.2 Metric n Một metric n ánh xạ d : n n , ( x, y ) d ( x, y ) Trang 195 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM thỏa tính chất: 1) d ( x, y ) 0, x, y n 2) d ( x, y ) x y 3) d ( x, y ) d ( y, x), x, y n 4) d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z , y ), x, y, z n Với d metric n d ( x, y ) gọi khoảng cách x y n Ví dụ 4.2 Trên khơng gian n , ánh xạ sau metric, với x ( x1 , , xn ), y ( y1 , , yn ) n : d1 ( x, y ) | x1 y1 | | xn yn | d ( x, y ) ( x1 y1 ) ( xn yn ) d ( x, y ) max | x1 y1 |, ,| xn yn | Trong d gọi metric thơng thường n Trong toàn chương này, khơng có thơng tin metric d coi metric thông thường n 4.1.3 Hội tụ n Định nghĩa 1: Dãy điểm n Cho n dãy số thực xk 1k , , xkn k Với k , ta có điểm xk ( xk1 , , xkn ) n Khi dãy xk k gọi dãy điểm n Định nghĩa 2: Hội tụ n Ta nói dãy điểm xk k hội tụ đến điểm x0 ( x01 , , x0 n ) với metric d n k , ký hiệu lim xk x0 , k dãy khoảng cách d ( xk , x0 ) hội tụ k Định lý: Xét dãy điểm Trang 196 xk k với xk ( xk1 , , xkn ) n điểm Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM x0 ( x01 , , x0 n ) Khi đó: lim xk x0 lim xkj x0 j , ( j 1, n ) k k Chứng minh Ta có: d ( xk , x0 ) ( xk1 x01 ) ( xkn x0 n ) xkj x0 j 0, ( j 1, n) Do đó: Nếu lim d ( xk , x0 ) : lim xkj x0 j lim d ( xk , x0 ) k k k lim xkj x0 j , ( j 1, n ) k Nếu lim xkj x0 j , ( j 1, n ) thì: k lim d ( xk , x0 ) lim ( xk x01 ) ( xkn x0 n ) k k lim d ( xk , x0 ) k k 1/ k Ví dụ 4.3 Trong cho dãy điểm xk , e , k 1, 2, 2k k 1 1 Ta có: lim xk lim , lim e 1/ k ;1 k k 2k k 2 4.1.4 Các tập hợp n Trong n với metric d , cho tập E khác rỗng Ta có định nghĩa sau: Quả cầu mở tâm x0 ( x01 , , x0 n ) n , bán kính r B( x0 , r ) x ( x1 , , xn ) n : d ( x, x0 ) r Quả cầu đóng tâm x0 ( x01 , , x0 n ) n , bán kính r B / ( x0 , r ) x ( x1 , , xn ) n : d ( x, x0 ) r x E gọi điểm E có r thỏa Trang 197 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM B ( x, r ) E (hình 4.3) Tập hợp điểm E , ký hiệu E hay int( E ) gọi phần E x E gọi điểm lập E có r thỏa B ( x, r ) E {x} (hình 4.4) x n gọi điểm ngồi E có r cho B ( x, r ) E x n gọi điểm biên E với r , ta có: B ( x, r ) E (hình 4.5) y B( x, r ), y E Tập điểm biên tập E ký hiệu E x n gọi điểm dính E B( x, r ) E , r Tập điểm dính E (cịn gọi bao đóng E ) ký hiệu E x n gọi điểm tụ E có dãy điểm {xk }k E \{x} cho lim xk x k r x r x x r y Tập E gọi tập mở n với x E , tồn r cho B ( x, r ) E Từ định nghĩa điểm trong, suy ra: điểm E thuộc phần nó, nghĩa int( E ) E Tập E gọi tập đóng n điểm biên E thuộc E Vậy E đóng E E Tập E gọi tập bị chặn n có r cho E B(, r ) với (0, , 0) n Trang 198 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Tập E gọi tập compact n E tập đóng bị chặn n Ví dụ 4.4 Hãy mơ tả biểu diễn hình học cầu mở tâm (0, 0) bán kính tương ứng với metric sau: d1 (a, b) | x1 y1 | | x2 y2 | d (a, b) ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) d (a, b) max | x1 y1 |,| x2 y2 | Trong a ( x1 , x2 ), b ( y1 , y2 ) Giải Với M ( x, y ) , ta có : Bdk ,1 M ( x, y ) : d k (, M ) 1 , k 1, 2, Bd1 ,1 M ( x, y ) :| x | | y | 1 Bd2 ,1 M ( x, y ) : x y 1 Bd ,1 M ( x, y ) : max{| x |,| y |} 1 M ( x, y ) : 1 x 1; 1 y 1 Bd1 (,1) Bd2 (,1) Bd (,1) 2 Trang 199 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM 4.2 Hàm nhiều biến 4.2.1 Các định nghĩa hàm nhiều biến Định nghĩa 1: định nghĩa hàm nhiều biến Cho D ( D ) tập không gian n Một hàm giá trị thực f D quy tắc tương ứng phần tử ( x1 , , xn ) D với số thực nhất, ký hiệu : w f ( x1 , , xn ) Trong đó: x1 , , xn gọi n biến độc lập hàm f ; tập D gọi tập xác định hàm f ; tập R f ( x1 , , xn ) : ( x1 , , xn ) D gọi tập giá trị hàm f Trường hợp f hàm hai biến độc lập, ta thường gọi biến độc lập x y biến phụ thuộc z , nghĩa z f ( x, y ) Khi tập xác định D miền mặt phẳng 0xy (hình 4.7) Hình 4.7 Sơ đồ mũi tên cho hàm số z f ( x, y ) Ví dụ 4.5 Thể tích hình trụ trịn hàm số với bán kính r chiều cao h nó, ta viết V r h Hàm thể tích V phụ thuộc vào hai biến độc lập r h (hình 4.8) r h Hình 4.8 Trang 200 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Ví dụ 4.6 Tập xác định tập giá trị số hàm số Hàm số Tập xác định Tập giá trị D ( x, y ) : y x R [0; ) z ( xy ) 1 D ( x, y ) : x 0, y 0 R \{0} z sin( xy ) R [1;1] w (x y z ) D 2 D \{(0;0;0)} w xy ln z D ( x, y, z ) : z 0 R (; ) z y x2 2 1 R (0; ) Định nghĩa 2: Đồ thị, đường mức, đường biên hàm hai biến Cho hàm hai biến z f ( x, y ) xác định miền D Tập hợp tất điểm ( x, y, f ( x, y )) không gian, với ( x, y ) thuộc tập xác định f , gọi đồ thị (the graph) f Đồ thị f gọi bề mặt (the surface) z f ( x, y ) , ký hiệu là: G f x, y, f ( x, y ) : ( x, y ) D Ví dụ 4.7 f ( x, y ) sin( y ) 0,5.x(1 16 x y ) hàm hai biến với biến x, y Miền xác định D ( x, y ) : x y 16 Đồ thị hàm f vẽ Mathematica hình 4.9 4 Đoạn code 2 y ParametricPlot3D r Cost, r Sint, Sinr Sint 0.5r Cost1 16 r r , t, 0, 2, r, 0, 4, AxesLabel x, y, z, TextStyle FontFamily "Times", FontSize 13, Boxed False; z0 2 4 2 x Hình 4.9 Đồ thị hàm f ( x, y ) sin( y ) 0,5.x(1 16 x y ) Trang 201 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM 4.2.2 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa 1: Định nghĩa giới hạn hàm hai biến (Limits for functions of two variables) Nếu giá trị hàm f ( x, y ) nằm tùy ý gần số thực cố định L với tất điểm ( x, y ) gần điểm ( x0 , y0 ) từ hướng tập xác định f , ta nói f dần tiến tới giới hạn L ( x, y ) dần tiến tới ( x0 , y0 ) Ký hiệu giới hạn là: lim f ( x, y ) L ( x , y ) ( x0 , y0 ) Lưu ý: Nếu ( x, y ) tiến ( x0 , y0 ) từ hai hướng khác nằm tập xác định f mà giá trị hàm f tiến tới hai giá trị khác ta nói hàm f không tồn giới hạn ( x, y ) tiến dần ( x0 , y0 ) Định nghĩa 2: Định nghĩa xác giới hạn hàm hai biến Ta nói hàm f ( x, y ) dần tiến giới hạn L ( x, y ) dần tiến ( x0 , y0 ) , với , tồn tương ứng số cho tất ( x, y ) tập xác định f , ( x x0 ) ( y y0 ) f ( x, y ) L Hình 4.10 Mô tả định nghĩa giới hạn hàm biến Định lý 1: Các tính chất giới hạn hàm hai biến Giả sử lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) f ( x, y ) L , lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) g ( x, y ) M , với L, M số thực k số thực tùy ý Ta có tính chất sau: 1) Quy tắc tổng: lim ( f ( x, y ) g ( x, y )) L M ( x , y ) ( x0 , y0 ) Trang 202 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM lim 2) Quy tắc hiệu: ( x , y ) ( x0 , y0 ) 3) Quy tắc nhân với số: lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) lim 4) Quy tắc nhân: ( f ( x, y ) g ( x, y )) L M ( x , y ) ( x0 , y0 ) kf ( x, y ) kL ( f ( x, y ) g ( x, y )) L M f ( x, y ) L (với M ) ( x , y ) ( x0 , y0 ) g ( x, y ) M 6) Quy tắc lũy thừa: lim [f ( x, y )]n Ln với n 1, 2, 5) Quy tắc thương: lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) lim 7) Quy tắc căn: n ( x , y ) ( x0 , y0 ) f ( x, y ) n L với n 1, 2, n chẵn, ta giả sử L Định lý 2: Định lí kẹp – The Sandwich Theorem Cho ba hàm số f , g , h xác định miền D ( x; y ) : ( x x0 ) ( y y0 ) với Giả sử g ( x, y ) f ( x, y ) h( x, y ) , ( x, y ) D Khi đó, lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) g ( x, y ) lim ( x , y ) (0,0) h ( x, y ) L f ( x, y ) L Ví dụ 4.8 Tính giới hạn sau: x xy 1) lim 2) ( x , y ) (0,1) x y xy y 3) lim ( x , y ) ( x0 , y0 ) x xy x y lim ( x , y ) (3, 4) x2 y xy 4) lim ( x , y ) (0,0) x y Giải 1) 2) x xy (0)(1) 3 ( x , y ) (0,1) x y xy y (0) (1) 5(0)(1) (1)3 lim lim ( x , y ) (3, 4) x y (3) (4) 25 Trang 203 Giải tích – Chương 3) lim ( x , y ) (0,0) Trường ĐH GTVT TP.HCM x( x y )( x y ) x xy lim x y ( x , y )(0,0) x y lim ( x , y ) (0,0) x( x y ) 4) Áp dụng bất đẳng thức: x y | x || y | , ta có: | xy | | xy | 2| y | x y 2 | x | | y | 2 | y | Mặt khác xy | y |, ( x, y ) (0, 0) x2 y lim | y | ( x , y ) (0,0) Theo định lý kẹp, suy ra: xy 0 ( x , y ) (0,0) x y lim Ví dụ 4.9 Chứng minh không tồn xy ( x , y ) (0,0) x y lim Giải Xét hướng thứ nhất: ( x, y ) (0, 0) trục hoành, nghĩa cho y , x 0, x , ta có: f ( x, 0) 0, x Xét hướng thứ hai: ( x, y ) (0, 0) đường thẳng y x , ta có: f ( x, x) 1/ 4, x yx Hình 4.11 Trên hai hướng khác tiến điểm (0, 0) mà giá trị hàm f ( x, y ) tiến hai giá trị khác Vậy ta kết luận không tồn xy giới hạn lim ( x , y ) (0,0) x y 4.2.3 Tính liên tục hàm nhiều biến Định nghĩa: Hàm f ( x, y ) liên tục (continuous) điểm ( x0 , y0 ) thỏa hai điều kiện sau: Trang 204