Giáo trình giải tích 1 Chương 1 giới hạm hàm liên tục 1 biến

Giáo trình giải tích 1 đại học Chương 1 giới hạm hàm liên tục 1 biến dành cho cao đẳng đại học, giáo trình này của hệ đại học giao thông vận tải hcm, các sinh viên trường khác có thể tham khảo, các chương khác sẽ được cập nhật thêm

Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM LỜI NĨI ĐẦU Bài giảng “Giải tích 1” biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích – học phần bắt buộc Sinh viên hệ Cao đẳng hệ Đại học quy, nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập Sinh viên Trường Đại học Giao thông Vận tải Thành phố Hồ Chí Minh Nội dung bao gồm chương: Giới hạn tính liên tục hàm biến; Phép tính vi phân hàm biến; Phép tính tích phân hàm biến; Phép tính vi phân hàm nhiều biến số Lý thuyết trình bày ngắn gọn, có ví dụ minh họa đầy đủ, sau chương có hệ thống tập đa dạng, phong phú chọn lọc phù hợp để sinh viên tự luyện tập, góp phần nâng cao khả tư logic cho sinh viên Đặc biệt hệ thống tập mẫu tập khó dành cho Sinh viên ơn thi Olympic Tốn Với phát triển Cơng nghệ thơng tin nói chung phần mềm hỗ trợ tính tốn, giúp cho việc tính tốn lập trình ngắn gọn giải tốn cách nhanh chóng hiệu Bài giảng trình bày phối hợp phương pháp giải tốn thủ cơng sử dụng phần mềm Mathematica, giúp người học nắm bắt phương pháp giải toán phần mềm bước đầu làm quen với lập trình tính tốn Tuy cố gắng nhiều việc biên soạn chắn tránh khỏi sai sót Bộ mơn Tốn ln hoan nghênh lắng nghe ý kiến đóng góp quý báu đồng nghiệp học viên để giảng hoàn thiện lần tái sau Xin chân thành cảm ơn ! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2019 Bộ mơn Tốn Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1.1 Hàm số biến số thực 1.1.1 Hàm số đồ thị hàm số a) Các ví dụ dẫn nhập: 1) Diện tích hình trịn phụ thuộc vào bán kính hình trịn 2) Qng đường chất điểm chuyển động thẳng với vận tốc không đổi phụ thuộc vào thời gian chuyển động 3) Số tiền gửi xe gắn máy bãi giữ xe phụ thuộc vào thời gian gửi xe Trong ví dụ, giá trị thu đại lượng biến thiên, gọi y , phụ thuộc vào đại lượng khác gọi x Ta nói “ y hàm số theo x ” kí hiệu: y  f ( x) ( y theo x ) Trong đó: f hàm số, x biến độc lập thể giá trị đầu vào f , y biến phụ thuộc hay giá trị đầu hàm f x b) Định nghĩa hàm số: Hàm số f từ tập hợp D vào tập hợp Y quy tắc cho phần tử f ( x)  Y tương ứng với phần tử x  D Khi D tập hợp tập hợp số thực ta nói f hàm số biến số thực Tập hợp chứa tất giá trị đầu vào gọi tập xác định (cũng gọi miền xác định) hàm số (Domain – ký hiệu D ) Tập hợp tất giá trị f ( x)  Y thu từ giá trị x khác tập D gọi tập giá trị hàm số (Range – ký hiệu R ) Tập giá trị khơng bao gồm tất phần tử tập hợp Y Một hàm số y  f ( x) giống máy xuất giá trị đầu f ( x) tập giá trị cho giá trị đầu vào x từ tập xác định (hình 1.1) Phím hàm số máy tính bỏ túi ví dụ thể hàm số máy Chẳng hạn phím x máy Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM tính cho giá trị đầu (căn bậc hai) lúc ta nhập vào số không âm x nhấn phím x Một hàm số biểu diễn phương trình, đồ thị, bảng số hay chí đoạn mơ tả Hình 1.1 Sơ đồ thể hàm số loại máy Ví dụ 1.1 Chúng ta dễ dàng kiểm tra tập xác định tập giá trị tương ứng số hàm số đơn giản sau Tập xác định trường hợp tập hợp giá trị x làm cho cơng thức có nghĩa Hàm số Tập xác định Tập giá trị (, ) (, ) yx y  1/ x (, 0)  (0, ) (, 0)  (0, ) y  4 x (, 4] [0, ) y   x2 [1,1] [0,1] Ví dụ 1.2 Tìm tập xác định tập giá trị hàm số sau: y   x2  4x  Giải Hàm số xác định khi:  x  x     x  Mặt khác:  y   ( x  2)  1, x  [1;3] Vậy tập xác định tập giá trị f tương ứng [1;3] [0;1] Ví dụ 1.3 Một thùng chứa hàng hình hộp chữ nhật khơng nắp tích 10 (m3 ) Mặt đáy có chiều dài gấp đôi chiều rộng Vật liệu làm đáy trị giá $10/m2, vật liệu làm mặt bên trị giá $6/ m2 Hãy biểu diễn chi phí vật liệu làm thùng hàng hàm số phụ thuộc chiều rộng đáy Giải Gọi w 2w chiều rộng chiều dài mặt đáy, h chiều cao Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM - Diện tích mặt đáy: 2w2 (m2) - Tổng diện tích mặt bên: wh  2(2 wh) (m2) - Tổng chi phí vật liệu làm thùng: C  10(2w2 )   2( wh)  2(2 wh)   20w2  36 wh Hình 1.2 Thùng chứa hàng Thể tích thùng chứa hàng 10m3 h.(2 w2 )  10  h  nên: w2 180 , w0 w c) Đồ thị hàm số: Nếu f hàm số xác định D , đồ thị có chứa tất điểm mặt phẳng Đề vng góc tọa độ điểm cặp hai số đầu vào – đầu hàm f Theo Biểu diễn hàm C theo w : C ( w)  20w2  kí hiệu tập hợp, đồ thị tập: G f   x, f ( x)    : x  D Ví dụ 1.4 Vẽ đồ thị, tìm tập xác định tập giá trị hàm số f ( x)  x Giải Đây phương trình parabola, đỉnh A(0, 0) Tập xác định: D   Tập giá trị: R  [0, ) Đồ thị : Hình 1.3 Hình 1.3 f ( x)  x d) Tiêu chuẩn đường thẳng đứng (the vertical line test): Khơng phải đường cong mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số Một hàm f có giá trị f ( x) ứng với x tập xác định nó, nên khơng có đường thẳng đứng giao với đồ thị hàm số nhiều lần Nếu a điểm thuộc tập xác định hàm f , đường thẳng đứng x  a Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM giao đồ thị hàm f điểm (a, f (a )) Tiêu chuẩn: Đường cong mặt phẳng 0xy đồ thị hàm f khơng có đường thẳng đứng (song song với y ) cắt đường cong nhiều điểm Hình 1.4 Đồ thị hàm số y  f ( x) Hình 1.5 Khơng tồn hàm số y  f ( x) để có đồ thị Ví dụ 1.5 Parabola hình vẽ (a) đồ thị hàm theo x có đường thẳng đứng cắt đồ thị hai điểm Nếu xem x hàm theo y (a) đồ thị hàm x  y  Vì x  y   y  x   y   x  nên (b) đồ thị hàm y  x  , (c) đồ thị hàm y   x  Hình 1.6 Mơ tả tiêu chuẩn đường thẳng đứng e) Hàm xác định khúc: Đôi hàm số mô tả nhiều công thức khác phần khác tập xác định Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Ví dụ 1.6 1) Hàm giá trị tuyệt đối (absolute value function)  x, x  y | x |    x, x  Tập xác định: D   Tập giá trị: R  [0, ) Đồ thị : Hình 1.7 2) Hàm số  x , x   y  f ( x)   x ,  x   , x 1  Tập xác định: D   Tập giá trị: R  [0, ) Đồ thị : Hình 1.8 Hình 1.7 Đồ thị hàm số y  | x | Hình 1.8 Hàm y  f ( x) f) Hàm chẵn hàm lẻ: Định nghĩa: Hàm y  f ( x) xác định tập đối xứng D (nếu x  D ( x)  D, x  D ) gọi hàm chẵn theo x f ( x)  f ( x) ; gọi hàm lẻ theo x f ( x)   f ( x) với x  D Tính đối xứng: Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục y ; Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ Ví dụ 1.7 Hàm y  x hàm chẵn; hàm y  x hàm lẻ Hình 1.9 Đồ thị hàm số y  x Hình 1.10 Đồ thị hàm số y  x3 Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Ví dụ 1.8 Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau 1) f ( x)   x 2) f ( x)  ln( x  x  1) Giải 1) Tập xác định D   f ( x)   ( x)   x  f ( x), x   Vậy f hàm số chẵn 2) Tập xác định D     f ( x)  ln( x  x  1)  ln    x  x 1    ln( x  x  1)   f ( x), x   Vậy f hàm số lẻ Sử dụng phần mềm Mathematica: 1) Khai báo hàm số: f [ x _ ] : “Biểu thức” f [ x _ ]  “Biểu thức” 2) Vẽ đồ thị: Plot[ f ( x),{x, a, b}] Có thể xem thêm hướng dẫn phần mềm (bấm F1, gõ Plot) Thực hành: Vẽ đồ thị hàm số sau: 1) f ( x)  x , x  [2, 2]  x ,  2) g ( x)   x ,  , x0  x  1, x  [2,3] x 1 Giao diện phần mềm Mathematica 5.0 Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Hình 1.11 Giao diện Mathematica, đồ thị hàm số y  x In[19]:= G1  Plot x, x,  2, 0, PlotStyle  Thickness0.01, Hue0.1 G2  Plotx2, x, 0, 1, PlotStyle  Thickness0.01, Hue0.3 G3  Plot1, x, 1, 3, PlotStyle  Thickness0.01, Hue0.5 ShowG1, G2, G3, AxesLabel  x, y y 1.5 0.5 x -2 -1 Hình 1.12 Đồ thị hàm khúc g ( x) 1.1.2 Các phép toán hàm số Xét hai hàm số f ( x) g ( x) có miền xác định tương ứng D( f ) D( g ) Ta có phép tốn cộng (sums), trừ (differences), Trang Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM nhân (products) chia (quotients) hàm f g sau: ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) với x  D( f )  D( g ) ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) với x  D( f )  D( g ) ( fg )( x)  f ( x) g ( x) với x  D( f )  D( g )  f  f ( x)   ( x)  g ( x) g với x  D( f )  D( g ) và 0 Hình 1.65 x  điểm giá đoạn vô hạn Ví dụ 1.43 Xét hàm f ( x)  Hình 1.64 Hàm f ( x)  Hình 1.66 điểm giá đoạn vơ hạn x3 sin x (hình 1.67) | x| sin x liên tục x sin x Với x  0, f ( x)   liên tục x lim f ( x)  1  lim f ( x)  y Với x  0, f ( x)  x 0 x 0 0.5 x -10 -5 -0.5 -1 Hình 1.67 Trang 52 sin x x 10 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Vậy f gián đoạn x  , x  điểm gián đoạn có bước nhảy với bước h  1.3.4 Mở rộng liên tục điểm gián đoạn bỏ Định nghĩa: Xét hàm f ( x) có điểm gián đoạn bỏ x  a , nghĩa  f ( x) , x  a lim f ( x)  lim f ( x)  k Khi hàm g ( x)   liên tục x a xa  k , xa x  a Ta nói hàm g mở rộng liên tục hàm f x  a Ví dụ 1.44 a) Hàm f ( x)  sin x (hình 1.64) có điểm gián đoạn bỏ x  x lim f ( x)  x 0  sin x , x0  Khi đó, hàm g ( x)   x liên tục x   , x   x2  x  , x2  b) Hàm f ( x)   x  (hình 1.68)  ,x   x2  x   lim( x  1)   f (2)  x2 x2 x 2 x2 Hàm f gián đoạn x  x  điểm gián đoạn bỏ lim f ( x)  lim  x2  x  , x2  Khi đó, hàm g ( x)   x   ,x   liên tục x  Hình 1.68 Trang 53