Giáo trình giải tích 1 part 9 pps

√ 3, √ 2+ √ 6, 3 √ 5 − 4 √ 3, ax + b cx + d (a, b, c, d ∈ Q,ad− bc =0,x∈ Q) sup A, inf A, max A, min A A = { 1 n +1 : n ∈ N} A = { 1 2 n + (−1) n n +1 : n ∈ N} A = { 1+(−1) n n +1 − n 2 : n ∈ N} A, B ⊂ R A B ⊂ A sup A, sup B,inf A, inf B A, B ⊂ R sup(A ∪B) = max(sup A, sup B), inf(A ∪B) = min(inf A, inf B) A ∩B D = { m 2 n : m ∈ Z,n∈ N} R D R F D D \ F R  ∈{ 1 10 , 1 100 , ··· , 1 10 n } N      n n +1 − 1     <, ∀n ≥ N   N  lim n→∞ n n +1 =1 N 1 √ n +1 < 0, 03, ∀n ≥ N lim n→∞ 1 √ n +1 =0 a n = 1 2 n a n =sin nπ 2 a n =10 n a n = n sin π n a n =(−1) n tg( π 2 − 1 n ) a n = −n 2 >0 N |a n | < n ≥ N a n = (−1) n n a n =sin π n a n = q n |q| < 1 E>0 N |a n | >E n ≥ N a n =(−1) n n a n =lnlnn a n = q n |q| > 1 lim n→∞ a n n! = lim n→∞ n p a n = a>1 lim n→∞ n √ n = lim n→∞ n √ n!= lim n→∞  1+ 1 n  n = lim n→+∞ n +(−1) n n −(−1) n lim n→+∞ 5n 2 + n −7 7n 2 − 2n +6 lim n→+∞ n √ n 2 + n +1 lim n→+∞ 5 −2 n 5+2 n+1 lim n→+∞ 1 n cos nπ 2 lim n→+∞ 1+2+···+ n √ 9n 4 +1 lim n→+∞ (  n 2 +5−  n 2 +3) lim n→+∞ √ n( √ n +1− √ n +2) lim n→+∞  1 1.2 + 1 2.3 + ···+ 1 n(n +1)  lim n→+∞ (1 − 1 2 2 )(1 − 1 3 2 ) ···(1 − 1 n 2 ) lim n→+∞ 1+a + ···+ a n 1+b + ···+ b n (|a|, |b| < 1) lim n→+∞ n √ 3+sinn α ∈ R α π ∈ Z lim n→+∞ sin nα lim n→+∞ cos nα lim n→∞ a n = L =0 ((−1) n a n ) a n ≤ M lim n→∞ a n = L L ≤ M lim n→∞ a n = L lim n→∞ |a n | = |L| (|a n |) (a n ) 0 a n = 1.3 (2n −1) 2.4.6 2n a n < 1 √ 2n +1 lim n→∞ a n =0  1+ 1 n  n <e<  1+ 1 n−1  n lim n→+∞ n(e 1 n − 1) (a n ) (b n ) 0 (a n b n ) 0 lim n→+∞ 1 n sin nπ 2 = lim n→+∞ 1 n lim n→∞ sin nπ 2 =0. lim n→∞ sin nπ 2 =0 a 0 =1,a n = √ 1+a n−1 (a n ) ϕ = lim n→∞ a n t n =  1+ 1 n  n+1 1 n +1 < ln  1+ 1 n  < 1 n a n =1+ 1 2 + ···+ 1 n −ln n (a n ) γ = lim n→∞ a n =0, 5772156649 ··· (a n ) a n+1 − a n ≤ 1 n (a n ) a 1 >a 2 > 0 a n+1 = a n + a n−1 2 , (n ≥ 2) a 1 ,a 3 ,a 5 , a 2 ,a 4 ,a 6 , lim n→∞ a n = L L s n = a 0 + a 1 x + ···+ a n x n |x| < 1 |a k | <M,∀k H n =1+ 1 2 + 1 3 + ···+ 1 n 0 <r<1 |a n+1 − a n |≤Cr n , ∀n (a n ) a 0 =1,a n =1+ 1 a n−1 3 2 ≤ a n ≤ 2 n ≥ 1 (a n ) ϕ = lim n→∞ a n a n = e sin 5n lim sup n→∞ a n lim inf n→∞ a n a n =(−1) n (2 + 3 n ) a n =1+ n n +1 cos nπ 2 (a n ) lim n→∞ a n = a s n = a 1 + ···+ a n n ,p n = n √ a 1 ···a n a (a n ) lim n→∞ a n+1 a n = a lim n→∞ n √ a n = a a n = n n n! lim n→∞ n n √ n! = e f : I → R I ⊂ R (x n ) x 0 ∈ I ,x n+1 = f(x n )(n =0, 1, 2, ···) f (x n ) ··· (x n ,f(x n )), (x n+1 ,x n+1 ), (x n+1 ,f(x n+1 ) n =0, 1, 2, ··· (x n ) x 0 f f(x)= √ 1+x f(x)=1+ 1 x f(x)=x 2 − x +1 >0 δ>0  a |f(x) −L| < |x −a| <δ f(x)= 1 x ,a=1,L=1 f(x)=x 2 ,a=2,L=4 lim x→0 sin 1 x (x n ) (x  n ) 0 (sin 1 x n ) (sin 1 x  n ) lim x→0 sin x x = lim x→+∞  1+ 1 x  x = lim x→0 ln(1 + x) x = lim x→0 a x − 1 x = lim x→0 (1 + x) p − 1 x = lim x→0 x 2 − 1 2x 2 − x −1 lim x→∞ x 2 − 1 2x 2 − x −1 lim x→3 √ x +13−2 √ x +1 x 2 − 9 lim x→+∞ ( 3 √ x +1− 3 √ x) lim x→1 m √ x −1 n √ x −1 lim x→0 sin 5x tan 8x lim x→0 (1 + x 2 ) 2 x 2 lim x→+∞  x 2 − 2x −1 x 2 − 4x +2  x lim x→0  sin x x  3sinx x−sin x x → 0 (1 + x) p =1+px + o(x) sin x = x + o(x) cos x =1− x 2 2 + o(x) e x =1+x + o(x) ln(1 + x)=x + o(x) ∼ a x (a>1),x p , ln x x → +∞ 0 x [x] √ x f a f(a) > 0 h>0 f(x) > 0 x, a −h<x<a+ h f g |f|, max(f,g). min(f,g) f(x)= x + x 2 x 2 − 1 ,x= ±1 f(±1) = 0 f(x)= sin x x ,x=0 f(0) = α f(x)=x 1 x−1 ,x=1 f(1) = α f(x)= x g(x)=x(1 −x 2 ) f(g(x)) f ◦ g f [a, b] g [b, c] h h(x)=f(x),x∈ [a, b] h(x)=g(x),x∈ (b, c] h f(b)=g(b) f(x)=arctg( 1 x 2 − 1 ) f(x)=e x+ 1 x f(x)= (sin π x ) f :[0, 1] → [0, 1] x = p q f(x)= 1 q x f(x)=0 f >0 p q 1 q > f : R → R f(tx)=tf(x) t, x ∈ R f f : R → R f(x + y)=f(x)+f(y) f : R → R f(x + y)=f(x)f(y) f : R + → R f(xy)=f(x)+f(y) f : R + → R f(xy)=f(x)f(y) f R f max, min f [0, 1) max min f : R → R lim x→±∞ f(x)=+∞ min{f(x):x ∈ R} P (x)=a 0 + a 1 x + ···+ a j x j − a j+1 x j+1 −···−a n x n , a k ≥ 0, ∀k a 0 + ···+ a j > 0,a j+1 + ···+ a n > 0 P (x) P (x) x j (0, +∞) tan x = x f I x 1 , ··· ,x n ∈ I c ∈ I f(c)= 1 n (f(x 1 )+···+ f(x n )) f :[a, b] −→ [a, b] f x 0 ∈ [a, b] f(x 0 )=x 0 f :[1, 2] −→ [0, 3] f(1) = 0,f(2) = 3 f f :[a, b] −→ R f(a)f(b) < 0 f(x)=0 √ 2  x 2 −2=0 >0 δ>0 |sin x −sinx  | < |x − x| <δ sin R f : X → R f X ∃L>0: |f(x) −f(x  )|≤L|x − x  |, ∀x, x  ∈ X f X f(x)=x 3 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x<∞ f(x)=x +sinx −∞ ≤ x<+∞ f(x)= 1 1+x 2 0 ≤ x<∞ f(x)=sin π x 0 <x<∞ f x 0 f x 0 f(x 0 + h)=a + bh + o(h), khi h → 0 a = f(x 0 ) b = lim h→0 f(x 0 + h) −f(x 0 ) h h → 0 (x + h) 2 = x 2 +2x.h + o(h) sin(x + h)=sinx +cosx.h + o(h) f  (x) f(x)=sinx 2 f(x)=cos 3 (2x) f(x) = ln(sin(x 2 +1)) f(x)=  x  x + √ x f(x)=x x f(x)=(a x ) a f(x)=(x a ) x f(x)= x √ x f(x)=x(1 + x 2 ) tan x f  + (x),f  − (x) f(x)=|x 2 − 1| f(x)= 3 √ x 2 f(x)=x n sin 1 x x =0 f (0) = 0 n ∈ N f(x)=x 2 sin 1 x ,f(0) = 0 f  a f(x)=ax 2 g(x)=lnx y = x 2 x = y 2 f (a, b) c f  (c) > 0 f c f(x)=x x f(x)=sinx x f  (0) = 1 f f c ∈ (a, b) f  (c) > 0 x, c < x < b f(x) >f(c) 1+x<e x (x =0) x − x 2 2 < ln(1 + x) <x (x>0) x − x 3 6 < sin x<x (x>0) (x p + y p ) 1/p < (x q + y q ) 1/q (0 <x,y;0<q<p) ϕ :(a, b) → R M>0 |ϕ(x)| <M,∀x ∈ (a, b) f(x)=x + ϕ(x),x∈ (a, b) f  k ∈ R x 3 −3x +k =0 [0, 1] a 0 n +1 + a 1 n + ···+ a n−1 2 + a n =0 a 0 x n + a 1 x n−1 + ···+ a n =0 [0, 1] f(x)= a 0 x n+1 n +1 + ···+ a n x f [a, b] f(x)=0 [a, b] c ∈ (a, b) f  (c)=0 f(x)=0 n +1 f [a, b] f  f  (a) f  (b) g(x)=f(x) − γx γ f  (a) f  (b) g max min c ∈ (a, b) f(x)=0 −1 ≤ x<0 f (x)=1 0 ≤ x ≤ 1 [−1, 1] c f(b) −f(a)=f  (c)(b −a) f(x)= x x −1 (0 ≤ x ≤ 2) f(x)= x x −1 (2 ≤ x ≤ 4) f(x)=Ax + B (a ≤ x ≤ b) f(x)=1− x 2/3 (−1 ≤ x ≤ 1) f [3, 5] (3, 5) f(3) = 6,f(5) = 10 c ∈ (3, 5) f c c f  (c) g  (c) = f(b) −f(a) g(b) −g(a) f(x)=x, g(x)=x 2 (0 ≤ x ≤ 1) f(x)=sinx, g(x)=cosx (− π 2 ≤ x ≤ 0) |sin a −sinb|≤|a −b| |arctan a −arctan b|≤|a − b|  1+ 1 x  x <e<  1+ 1 x  x+1 (x>0) |f(x)−f(a)|≤ sup c∈[a,x] |f  (c)||x−a| f(x) f (a)  δ >0 δ |x −a| <δ |f(x) −f(a)| < f(x)=x 2 f(x)= 1 x f g n h = fg h  (c)=f  (c)g(c)+2f  (c)g  (c)+f(c)g  (c) h (n) (c)= n  k=0 n! k!(n −k)! f (k) (c)g (n−k) (c) f (100) f(x)=x 3 sin x f(x)=x 2 e − x a f(x)= 1+x √ 1 −x n a x , sin(ax + b), log a x, (1 + x) p f (n) (x) f(x)= 1 x 2 − 3x +2 f(x) x 0 f(x)=x n x =0 f (x)=(1+x) n 4 P(2) = −1,P  (2) = 0,P  (2) = −12,P  (2) = 24 a>0,h>0,n∈ N θ ∈ [0, 1] 1 a + h = 1 a − h a 2 + h 2 a 3 + ···+ (−1) n−1 h n−1 a n + (−1) n h n (a + θh) n+1 . 0 4 f(x)=ln(2cosx +sinx) f(x)=e √ 1+x f(x)=(1+x) 1 x f(x)=ln(1+x) g(x) = arctan x f (n) (0) g (n) (0) f g x 0 =0 ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 + ···+(−1) n−1 1 n + R n π 4 =1− 1 3 + 1 5 + ···+(−1) n 1 2n +1 + R n N n>N |R n | < 10 −3 3 √ 29, sin 46 o , ln(1, 05) < 10 −3 lim x→0 + tan x −x x −sin x lim x→+∞ ln x x 0,0001 lim x→0 ( 1 x − 1 sin x ) lim x→+∞ x 1 x lim x→+∞  a 1 x + b 1 x 2  x (a, b > 0) lim x→0 sin(x −sinx) √ 1+x 3 − 1 lim x→1 1 −x +lnx 1 − √ 2x −x 2 lim x→0 x 2 sin 1 x sin x lim x→∞ x −sin x x +sinx f n f a ∆ h f(a)=f(a + h) −f(a) f a ∆ k h f(a)=∆ h (∆ k−1 h f(a)) k =2, 3, ··· ,n ∆ 2 h f(a) f  (a) ∼ ∆ 2 h f(a) h 2 = f(a +2h) −2f(a + h)+f(a) h 2 , h → 0 ∆ k h f(a) f (n) (a) ∼ ∆ n h f(a) h n h → 0 max min f(x)=|x 2 − 3x +2|,x∈ [−10, 10] f (x)= √ 5 −4x, x ∈ [−1, 1] f(x)=x n (1 −x) m ,x∈ [0, 1] a, b > 0 m, n ∈ N a m b n a + b a m + b n ab x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 a p(x)=x 2 + a 0 [−1, 1] a sup x∈[−1,1] |p(x)| f(x) g(x) [a, b] sup x∈[a,b] |f(x) −g(x)| f(x)=x n ,g(x)=1,x∈ [−1, 1] f(x)=1+x + ···+ x n ,g(x)= 1 1 −x ,x∈ [−r, r](0<r<1 f(x)=arcsinx + arccos x f(x)=2arctanx +arctan  2x 1 −x 2  [...]... hữu tỉ: e) ◦ d) a) b) f) dx x +1 c) dx 2 − 1) (x2 + 1) (x (x2 + 1) 2 dx x2 dx g) x4 + 1 (1 − x )10 0 Hàm căn thức: a) ◦ dx 4 − x2 − 2 x dx 2 + 1) 2 x(x e) ex sin xdx dx √ √ x (1 + 2 x + 3 x) dx √ (x + 1) x2 + x + 1 b) e) x−2 dx c) x x +1 dx √ x + x2 + 2x arcsin x dx x2 d) x2 dx x6 − 1 √ 1 x +1 √ dx 1+ 3x +1 √ f) −x+ 4x + 10 dx Hàm lượng giác: d) dx dx b) ( > 0) c) 2 sin x − cos x + 5 1 + cos x cos5 xdx e) cos 3x... (x, y > 0, n > 1) 1 ≤ (xn + y n ) 2 d) x ln x + y ln y ≥ (x + y) ln 45 Chứng minh với a) ab ≤ ap p + bq q p, q > 0, , x+y 2 (x, y > 0) 1 1 + = 1, p q ta có: (a, b > 0, ) b) Bất đẳng thức H ¨older: n ak bk ≤ k =1 n |ak | p 1 p k =1 n |bk | q 1 q k =1 ( Hd: Chia vế trái cho vế phải rồi áp dụng a) cho từng số hạng) c) Bất đẳng thức Minkowski : n p k =1 |ak + bk |p ≤ n p k =1 |ak |p + n |bk |p k =1 ( Hd: Từ |ak... hàm của chúng không là hàm sơ cấp: 2 e−x , 1 sin x , , x ln x 1 (1 − Chứng minh các hàm sau cũng vậy: x2 ) (1 − k 2 x2 ) (0 < k < 1) ex ex √ , ln x cos x, , sin x2 , x x 4 Lập tổng trên và tổng dưới của f với phân hoạch P : a) f (x) = x , x ∈ [0, 1] , P = {0, 1 , 2 , 1} 3 3 1 2 b) f (x) = x , x ∈ [0, 1] , P = {0, n , n , · · · , n } n 1 2 c) f (x) = x2 , x ∈ [0, 1] , P = {0, n , n , · · · , n } n π π d)... tính gần đúng 2 với sai số 10 −6 , bằng cách xét f (x) = x2 − 2, x ∈ [1, 2] e) Các giả thiết tương tự nào cho f để có thể áp dụng phương pháp Newton? Phép tính tích phân 1 Tính các tích phân bất đònh: ◦ Bằng phương pháp đổi biến: 10 5 Bài tập a) x 4 + x2 dx e) dx √ (1 + x) x xe−x dx c) ln xdx √ x 1 + ln x 4 − x2 dx b) g) f) sin x cos3 xdx 1 + cos2 x a2 + x2 dx 2 Bằng phương pháp tích phân từng phần: ln.. .10 4 x3 + 4 x2 x f (x) = ln x 1 c) f (x) = f) d) f (x) = √ 3 1 − x3 e) f (x) = xe−x 43 Xét phương trình bậc 3: x3 + px + q = 0 Dùng phương pháp khảo sát hàm số, hãy xác đònh điều kiện của p, q sao cho phương trình: a) vô nghiệm b) có 1 nghiệm c) có 2 nghiệm d) có 3 nghiệm Hãy vẽ tập hợp (p, q) đó trong mặt phẳng 44 Hãy dùng tính chất lồi hay lõm của hàm số chứng minh các bất đẳng thức: √ a+b 1 a+b... ≤ |ak ||ak + bk |p 1 + |bk ||ak + bk |p 1 , áp dụng b) ) 46 Phương pháp Newton Cho f : [a, b] → R là hàm khả vi đến cấp 2 Giả sử f (a) < 0 < f (b), vàf (x) > 0, f (x) > 0, ∀x Để tìm dãy hội tụ về nghiệm của f (x) = 0, ta lập dãy sau: x0 = b, xn +1 = giao điểm của tiếp tuyến của f tại (xn , f (xn )) với trục hoành a) Hãy vẽ hình để thấy ý của phương pháp f (xn ) b) Chứng minh: xn +1 = xn − f (xn ) c)... , n } n 1 2 c) f (x) = x2 , x ∈ [0, 1] , P = {0, n , n , · · · , n } n π π d) f (x) = sin x, x ∈ [0, ], P = {0, 2n , 2π , · · · , nπ } 2n 2n 2 1 f (x) = , x ∈ [a, b], P = {a, aq, · · · , aq n = b} (0 < a < b) x e) Nêu ý nghóa hình học việc lấy tổng ở trên 1 1 − k 2 sin ϕ . lim n→∞ sin nπ 2 =0 a 0 =1, a n = √ 1+ a n 1 (a n ) ϕ = lim n→∞ a n t n =  1+ 1 n  n +1 1 n +1 < ln  1+ 1 n  < 1 n a n =1+ 1 2 + ···+ 1 n −ln n (a n ) γ = lim n→∞ a n =0, 577 215 66 49 ··· (a n ) a n +1 − a n ≤ 1 n (a n ) a 1 >a 2 >. −2 n 5+2 n +1 lim n→+∞ 1 n cos nπ 2 lim n→+∞ 1+ 2+···+ n √ 9n 4 +1 lim n→+∞ (  n 2 +5−  n 2 +3) lim n→+∞ √ n( √ n +1 √ n +2) lim n→+∞  1 1.2 + 1 2.3 + ···+ 1 n(n +1)  lim n→+∞ (1 − 1 2 2 ) (1 − 1 3 2 ) ··· (1 − 1 n 2 ) lim n→+∞ 1+ a. F R  ∈{ 1 10 , 1 100 , ··· , 1 10 n } N      n n +1 − 1     <, ∀n ≥ N   N  lim n→∞ n n +1 =1 N 1 √ n +1 < 0, 03, ∀n ≥ N lim n→∞ 1 √ n +1 =0 a n = 1 2 n a n =sin nπ 2 a n =10 n a n =