Giáo trình giải tích 1 part 8 potx

 b 2 b 1 |f(x)|dx ≤ (K +1)  b 2 b 1 |g(x)|dx ϕ 0 ϕ  ≤ 0 F (x)=  x a f |F (x)| <M,∀x       b 2 b 1 f(x)ϕ(x)dx      = |Fϕ| b 2 b 1 −  b 2 b 1 F (x)ϕ  (x)dx|≤M|ϕ(b 2 )|+M|ϕ(b 1 )|+M|ϕ(b 2 )−ϕ(b 1 ) ϕ(x) → 0 x →∞  f,g [a, b)  b a |f(x)|dx  b a f(x)dx |f(x)|≤|g(x)|, ∀x ∈ [a, b)  b a |g(x)|dx  b a |f(x)|dx  b a |f(x)|dx  b a |g(x)|dx lim x→b −     f(x) g(x)     = K K =0  b a |g(x)|dx  b a |f(x)|dx K =0  b a |g(x)|dx  b a |f(x)|dx sup a<b  <b       b  a f(x)dx      < ∞ ϕ lim x→b − ϕ(x)=0  b a f(x)ϕ(x)dx t = 1 x −b   +∞ −∞ e −x 2 dx e −x 2 ≤ e −|x|  +∞ 0 e −x dx  +∞ 1 sin x x p dx,  +∞ 1 cos x x p dx (p>0)  b 1 sin xdx  b 1 cos xdx 1 x p 0  +∞ −∞ sin x 2 dx,  +∞ −∞ cos x 2 dx t = x 2 p = 1 2  +∞ 0 sin x x dx p =1  +∞ 0     sin x x     dx ≥  nπ 0 |sin x| x dx ≥ n  k=1  kπ (k−1)π |sin x| x dx ≥ n  k=1 1 kπ  π 0 |sin x|dx ≥ 1 2π n  k=1 1 k → +∞, n →∞  1 0 ln x x p dx (p<1) p<q<1 ln x x p : 1 x q = x q−p ln x → 0 x → 0 +  1 0 dx x q Γ(p)=  +∞ 0 e −x x p−1 dx p>0 1 x p−1  1 0 e −x x p−1 dx p −1 > −1 e − x 2  +∞ 1 e −x x p−1 dx p B(p, q)=  1 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx p, q > 0  1/2 0 x p−1 (1 −x) q−1 dx x =0 p −1 > −1  1 1/2 x p−1 (1 −x) q−1 dx x =1 q − 1 > −1 Γ(p +1)=pΓ(p) ∀p>0 Γ(n +1)=n!  +∞ 0 e −x dx = n! n ∈ N (a n ) a 0 + a 1 + a 2 + ···+ a n + ··· = ∞  k=0 a k n S n = n  k=0 a k = a 0 + a 1 + ···+ a n n r n = ∞  k=n+1 a k = a n+1 + a n+2 + ··· S lim n→∞ S n = S S ∞  k=0 a k = S ∞  k=0 x k =1+x + x 2 + ··· x =1 S n =1+x + x 2 + ···+ x n = 1 −x n+1 1 −x |x| < 1 ∞  k=0 x k = 1 1 −x |x|≥1 ∞  k=1 1 k =1+ 1 2 + 1 3 + ··· y = 1 x ,x∈ [1,n] S n =1+ 1 2 + ···+ 1 n ≥  2 1 dx x +  3 2 dx x + ···+  n n−1 dx x =lnn ∞  k=1 1 k 2 =1+ 1 2 2 + 1 3 2 + ··· S n =1+ 1 2 2 + 1 3 2 + ···+ 1 n 2 ≤ 1+ 1 1.2 + 1 2.3 + ···+ 1 (n −1)n ≤ 1+ 1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ···+ 1 (n −1) − 1 n < 2 − 1 n ∞  k=0 (−1) k =1−1+1− 1+··· 1 0 ∞  k=1 1 k(k +1) ∞  k=0 a k >0 N N ≤ n<m |S m − S n | = | m  k=n+1 a k | < a k ≥ 0, ∀k ∞  k=0 a k M n  k=0 a k <M,∀n ∞  k=0 a k lim k→∞ a k =0 2n  k=n+1 1 k > 2n  k=n+1 1 2n = n 2n = 1 2 a k = 1 k → 0 ∞  k=0 a k , ∞  k=0 b k c ∈ R ∞  k=0 (a k + b k ) ∞  k=0 ca k ∞  k=0 (a k + b k )= ∞  k=0 a k + ∞  k=0 b k ∞  k=0 ca k = c ∞  k=0 a k n ∈ N ∞  k=0 a k ∞  k=n a k ∞  k=0 a k = n−1  k=0 a k + ∞  k=n a k ∞  k=0 a k S b 0 = a 0 + ···+ a n 0 ,b 1 = a n 0 +1 + ···+ a n 1 , ··· ,b k = a n k−1 +1 + ···+ a n k , ··· ∞  k=0 b k S ∞  k=0 b k ∞  k=0 a k  1 −1+1−1+··· (1 −1) + (1 −1) + ···=0 1+(−1+1)+(−1+1)+···=1 ∞  k=0 a k σ : N → N ∞  k=0 a σ(k)  k a k S  k a σ(k) S ∞  k=1 (−1) k+1 k ln 2 ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 − 1 8 + ··· 1 2 ln 2 = 1 2 − 1 4 + 1 6 − 1 8 + 1 10 − 1 12 + ··· =0+ 1 2 − 0 − 1 4 +0+ 1 6 − 0 − 1 8 + ··· ln 2 + 1 2 ln 2 = (1 + 0) + (− 1 2 + 1 2 )+( 1 3 − 0) + ( 1 4 − 1 4 )+( 1 5 +0)+(− 1 6 + 1 6 )+··· =1+ 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + 1 9 + 1 11 − 1 6 + ··· ln 2 ∞  k=0 a k ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 a σ(k) σ : N → N ∞  k=0 |a k | c ∈ R σ : N → N ∞  k=0 a σ(k) = c ∞  k=0 p k ∞  k=0 p σ(k) n ∈ N N =max(σ(0), ··· ,σ(n)) n  k=1 p k ≤ N  k=1 p k < ∞  k=0 p k a k p k =max(a k , 0) q k = −min(a k , 0) p k ,q k ≥ 0 a k = p k − q k |a k | = p k + q k ∞  k=0 a k S ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 p k , ∞  k=0 q k ∞  k=0 |a k | S = ∞  k=0 a k = ∞  k=0 p k − ∞  k=0 q k = ∞  k=0 p σ(k) − ∞  k=0 q σ(k) = ∞  k=0 a σ(k) ∞  k=0 a k ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 p k ∞  k=0 q k (= +∞) lim k→∞ p k = lim k→∞ q k =0 c ∈ R k 0 c<p 0 + ···+ p k 0 k 1 p 0 + ···+ p k 0 − q 0 −···−q k 1 <c k 2 c<p 0 + ···+ p k 0 − q 0 ···−q k 1 + p k 0 +1 + ···+ p k 2 ∞  k=0 a k c c  ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 a k N |a k |≤|b k |, ∀k ≥ N ∞  k=0 |b k | ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 |b k | lim k→∞ |a k | |b k | = K K =0 ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 |b k | K =0 ∞  k=0 |b k | ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 |a k | ∞  k=0 |b k | lim k→∞ |a k+1 | |a k | = r r<1 ∞  k=0 |a k | r>1 ∞  k=0 |a k | lim k→∞ k  |a k | = r r<1 ∞  k=0 |a k | r>1 ∞  k=0 |a k | f :[0, +∞) → R 0  +∞ 0 f(x)dx ∞  k=0 f(k)      m  k=n a k      ≤ m  k=n |a k | n  k=0 |a k |≤ n  k=0 |b k | lim k→∞ |a k | |b k | = K >0 N k>N (K −) |b k |≤|a k |≤(K + ) |b k | lim k→∞ |a k+1 | |a k | = r r<1 r<p<1 N |a n+1 | <p|a n |, ∀n ≥ N |a N+k | <p k |a N |,k =0, 1, 2, ··· ∞  k=N |a k |≤|a N | ∞  k=0 p k = |a N | 1 −p  |a k | r>1 r>q>1 N |a n+1 | >q|a n |, ∀n ≥ N  q k  |a k | lim k→∞ n  |a k | = r r<1 r<p<1 N n  |a n | <p,∀n ≥ N |a n | <p n , ∀n ≥ N ∞  k=N |a k |≤ ∞  k=N p k = p N+1 1 −p  |a k | r>1 r>q>1 N |a n | >q n , ∀n ≥ N  q k  |a k | f [0, +∞) f(k +1)≤ f(x) ≤ f (k) k ≤ x ≤ k +1 f(k +1)≤  k+1 k f(x)dx ≤ f (k) 0 <n<m m+1  k=n+1 f(k) ≤  m n f(x)dx ≤ m  k=n f(k)  +∞ 0 f ∞  k=0 f(k)  ∞  k=0 sin k 2 k     sin k 2 k     ≤ 1 2 k ∞  k=0 1 2 k |a k | 1 k p k →∞ ∞  k=1 1 k p p>1 p ≤ 1 ∞  k=0 k k 2 +1 k k 2 +1 ∼ 1 k k →∞ ∞  k=0 k √ k 5 + k 3 +1 k √ k 5 + k 3 +1 ∼ 1 k 3/2 k →∞ ∞  k=1  e −  1+ 1 k  k  p p>1 ln(1 + x) e x x = 1 k a k =  e −  1+ 1 k  k  p =  e −e k ln(1+ 1 k )  p =  e −e k( 1 k − 1 2k 2 +o( 1 k 2 ) )  p =  e −e 1− 1 2k +o( 1 k ))  p =  e −e(1 − 1 2k + o( 1 k ))  p =  1 2k + o( 1 k )  p ∼ 1 2 p k p ∞  k=1 k!  x k  k lim k→∞ |a k+1 | |a k | = lim k→∞ x  k k +1  k = lim k→∞ x  1 − 1 k +1  k+1  1 − 1 k +1  −1 = |x|e −1 |x| <e |x| >e |x| = e k! ∼ √ 2πkk k e −k |a k | = k! e k k k ∼ √ 2πk ∞  k=1 1 2 k (1 + 1 k ) k 2 lim k→∞ k  |a k | = lim k→∞ 1 2 (1 + 1 k ) k = e 2 > 1 ∞  k=1 1 k p f(x)= 1 x p [1, ∞)  +∞ 1 dx x p p>1 p>1 ∞  k=2 1 k ln p k p>1  ∞ 2 dx x ln p x ∞  k=0 1 1+a k (a>0) ∞  k=0 k k 3 +1 ∞  k=1 sin 2π k ∞  k=1  k −1 k +1  k(k+1) ∞  k=0 (k!) 2 2 k 2 ∞  k=2 1 k ln k ln(lnk) ∞  k=3 1 k ln k ln(ln k) ln(ln ln k)) ∞  k=1 ln k k p r =1 lim k→∞ |a k+1 | |a k | = r lim k→∞ k  |a k | = r a k = 3+(−1) k 2 k+1 [...]... ∞ ( 1) k , kp k =1 ∞ sin kx k k =1 Từ công thức lượng giác và (−b k ) với p > 0, là hội tụ theo dấu hiệu Leibniz ∞ cos kx k k =1 2 sin kx sin 1 x = cos(k − 1 )x − cos(k + 1 )x 2 2 2 2 cos kx sin 1 x = sin(k + 1 )x − sin(k − 1 )x 2 2 2 Suy ra khi sin 1 x = 0, i.e 2 x = 2kπ (k ∈ Z), sin x + sin 2x + · · · + sin nx thì = cos x + cos 2x + · · · + cos nx = cos 1 x − cos(n + 1 )x 2 2 2 sin 1 x 2 sin(n + 1 )x... Abel: Nếu ( 1) k ak hội tụ k=0 ak hội tụ và (bk ) là dãy đơn điệu bò chặn, thì k=0 Chứng minh: Trước hết ta có công thức tính tổng từng phần: m k=n ak bk = m (Sk − Sk 1 )bk = Sm bm − Sn 1 bn − k=n ak bk ≤ M |bm | + M |bn | + M k=n Theo tiêu chuẩn Cauchy ak bk hội tụ k=0 m 1 Sk (bk +1 − bk ) k=n Bây giờ ta chứng minh dấu hiệu Dirichlet Gỉa sử đơn điệu hội tụ về 0 Theo công thức trên, ta có m ∞ m 1 |Sn | bò... Dirichlet Gỉa sử đơn điệu hội tụ về 0 Theo công thức trên, ta có m ∞ m 1 |Sn | bò chặn bởi M và (bk ) là dãy |bk +1 − bk | = M (|bm | + |bn | + |bm − bn |) k=n ∞ k=0 ak bk hội tụ Dấu hiệu Leibniz suy từ dấu hiệu Dirichlet vì tổng riêng Để chứng minh dấu hiệu Abel, gỉa sử ∞ k=0 ak Sn = n ( 1) k k=0 bò chặn hội tụ và (bk ) là dãy tăng đến b Đặt ck = b − bk Khi đó ck giảm về 0, và theo dấu hiệu Dirichlet... sin(k − 1 )x 2 2 2 Suy ra khi sin 1 x = 0, i.e 2 x = 2kπ (k ∈ Z), sin x + sin 2x + · · · + sin nx thì = cos x + cos 2x + · · · + cos nx = cos 1 x − cos(n + 1 )x 2 2 2 sin 1 x 2 sin(n + 1 )x − sin 1 x 2 2 2 sin 1 x 2 Vế phải bò chặn, nên theo dấu hiệu Dirichlet hai chuỗi trên hội tụ khi x = 2kπ ...92 Chứng minh: Từ gỉa thiết với mọi > 0, tồn tại N sao cho (r − )|ak | < |ak +1 | < (r + )|ak |, ∀k ≥ N Suy ra (r − )k−N |aN | < |ak | = |aN +(k−N ) | < (r + )k−N |aN | Hay A(r − )k < |ak | < B(r + )k , với A = |aN |/(r − )N và B = |aN |/(r + )N √ √ Suy ra k A(r − ) < k |ak | . ···+  n n 1 dx x =lnn ∞  k =1 1 k 2 =1+ 1 2 2 + 1 3 2 + ··· S n =1+ 1 2 2 + 1 3 2 + ···+ 1 n 2 ≤ 1+ 1 1.2 + 1 2.3 + ···+ 1 (n 1) n ≤ 1+ 1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ···+ 1 (n 1) − 1 n < 2 − 1 n ∞  k=0 ( 1) k =1 1+ 1−. = 1 2 − 1 4 + 1 6 − 1 8 + 1 10 − 1 12 + ··· =0+ 1 2 − 0 − 1 4 +0+ 1 6 − 0 − 1 8 + ··· ln 2 + 1 2 ln 2 = (1 + 0) + (− 1 2 + 1 2 )+( 1 3 − 0) + ( 1 4 − 1 4 )+( 1 5 +0)+(− 1 6 + 1 6 )+··· =1+ 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + 1 9 + 1 11 − 1 6 +. 1+ 1 1+ ··· (1 1) + (1 1) + ···=0 1+ ( 1+ 1)+( 1+ 1)+··· =1 ∞  k=0 a k σ : N → N ∞  k=0 a σ(k)  k a k S  k a σ(k) S ∞  k =1 ( 1) k +1 k ln 2 ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 − 1 8 + ··· 1 2 ln