Giáo trình giải tích 1 part 5 ppsx

|R n | = | e θ (n +1)! |≤ 3 (n +1)!  =10 −3 n =6  =10 −6 n =9 lim x→+∞ (x − x 2 ln(1 + 1 x )) ln(1 + 1 x )) = 1 x − 1 2x 2 + o( 1 x 2 ) x − x 2 ln(1 + 1 x )= 1 2 + x 2 o( 1 x 2 ) → 1 2 x → +∞ lim x→0 e x 2 − √ 1 − x 2 + x 3 ln(1 + x 2 ) e x 2 − √ 1 − x 2 + x 3 =1+x 2 +o(x 3 )−(1+ 1 2 (−x 2 +x 3 )+o(x 2 )= 3 2 x 2 +o(x 2 ) ln(1 + x 2 )=x 2 + o(x 2 ) lim x→0 e x 2 − √ 1 − x 2 + x 3 ln(1 + x 2 ) = lim x→0 3 2 x 2 x 2 = 3 2 0 0 , ∞ ∞ f,g I x 0 ∈ I g  (x) =0 ∀x ∈ I lim x→x 0 f(x) = lim x→x 0 g(x)=0 lim x→x 0 f(x) g(x) = lim x→x 0 f  (x) g  (x) g  (x) =0 ∀x ∈ I lim x→x 0 f(x) = lim x→x 0 g(x)=∞ lim x→x 0 f(x) g(x) = lim x→x 0 f  (x) g  (x) x 0 = ±∞ f,g x 0 f(x 0 )=g(x 0 )=0 c x 0 ,x f(x) −f(x 0 ) g(x) − g(x 0 ) = f  (c) g  (c) x → x 0 c → x 0 x 0 = ±∞ F (t)=f( 1 t ),G(t)=g( 1 t )  p>0 lim x→+∞ ln x x p = lim x→+∞ 1/x px p−1 =0 p>0 p ≤ k lim x→+∞ x p e x = lim x→+∞ px p−1 e x = ···= lim x→+∞ p(p − 1) ···(p − k +1)x p−k e x =0 0 0 ∞ ∞ 0.∞ fg = f 1/g ∞−∞ f − g = 1 1/f − 1 1/g = 1/g −1/f 1/fg 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 f g = e g ln f g ln f 0.∞ p>0 lim x→0 + x p ln x = lim x→0a+ ln x x −p = lim x→0 + 1/x −px −p−1 = lim x→0 + x p −p =0 lim x→0  1 x − 1 sin x  = lim x→0 sin x − x x sin x = lim x→0 cos x − 1 sin x + x cos x = lim x→0 −sin x 2cosx +sinx =0 lim x→0 + x x = lim x→0 + e x ln x = e lim x→0 + x ln x = e 0 =1 lim x→0 (1 + x 2 ) 1 e x −x−1 1 ∞ y =(1+x 2 ) 1 e x −x−1 ln y = ln(1 + x 2 ) e x − x − 1 0 0 lim x→0 ln y = lim x→0 2x 1+x 2 e x − 1 = lim x→0 1 1+x 2 lim x→0 2x e x − 1 = lim x→0 2 e x =2 lim x→0 (1 + x 2 ) 1 e x −x−1 = e 2 f(x)=sin 2 x sin 1 x g(x)=e x −1 lim x→0 f(x) g(x) lim x→0 f  (x) g  (x) f I f I f  ≥ 0 f  ≤ 0 I f  > 0 f  < 0 I f I  e x > 1+x (x =0) (x p + y p ) 1 p > (x q + y q ) 1 q 0 <x,y 0 <p<q) f(x)=e x − x f  (x)=e x −1 f  (x) < 0 x<0 f  (x) > 0 x>0 f (−∞, 0) (0, +∞) f(x)=e x − x>f(0) = 1 x =0 g(t)=(x t + y t ) 1 t (0, +∞) g  (t) ln g(t)= ln(x t + y t ) t g  (t) g(t) = −x t ln( x t +y t x t ) − y t ln( x t +y t y t ) t 2 (x t + y t ) g  (t) < 0, ∀t>0 g (0, +∞) f I f  (x 0 )=0 f  (x) x x 0 f x 0 f(x 0 ) ≥ f(x) x x 0 f  (x 0 )=0 f  (x) x x 0 f x 0 f(x 0 ) ≤ f(x) x x 0  f n I x 0 f  (x 0 )=f  (x 0 )=···= f (n−1) (x 0 )=0 f (n) (x 0 ) =0 n f (n) (x 0 ) > 0 f x 0 n f (n) (x 0 ) < 0 f x 0 n f x 0 f(x 0 +∆x)=f(x 0 )+ 1 n! f (n) (x 0 )∆x n + o(∆x n )  e x > 1+x (x =0) f(x)=e x + e −x +2cosx f  (x)=e x − e −x − 2sinx f  (0) = 0 f  (x)=e x + e −x − 2cosx f  (0) = 0 f (3) (x)=e x − e −x +2sinx f (3) (0) = 0 f (4) (x)=e x + e −x +2cosx f (4) (0) = 4 > 0 x =0 max, min x √ 1 − x 2 . f(x)=x √ 1 − x 2 x ∈ [−1, 1] f [−1, 1] max, min x f  (x)=0 f(−1),f(1) f  (x)= 1 − 2x 2 √ 1 − x 2 =0 ⇔ x = ± 1 √ 2 f( 1 √ 2 )= 1 2 ,f(− 1 √ 2 )=− 1 2 ,f(−1) = 0,f(+1) = 0 f max = f = f( 1 √ 2 )= 1 2 ,f min = f(− 1 √ 2 )=− 1 2 S r h V = πr 2 h s = πr 2 + πr 2 +2πrh s h = s − 2πr 2 2πr V (r)=πr 2  s − 2πr 2 2πr  = 1 2 r(s −2πr 2 ) r ∈ [0,  s π ] V  (r)= 1 2 (s − 6πr 2 ) V  (r)=0 ⇔ r =  s 6π V  r  s 6π V (r) max h =2  s 6π =2r V f I f x 1 ,x 2 ∈ I 0 <t<1 f(tx 1 +(1− t)x 2 ) ≤ tf(x 1 )+(1− t)f(x 2 ) f x 1 ,x 2 ∈ I 0 <t<1 f(tx 1 +(1−t)x 2 ) ≥ tf(x 1 )+(1− t)f(x 2 ) f f f f ✲ x ✻ y ❝ x 1 ❝ ❝ x 2 ❝ s tx 1 +(1−t)x 2 s s f(tx 1 +(1− t)x 2 ) s tf(x 1 )+(1− t)f(x 2 ) s ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ M(x 0 ,f(x 0 )) f M f f I x 1 , ··· ,x n ∈ I, t 1 , ··· ,t n ≥ 0,t 1 + ···+ t n =1 f(t 1 x 1 + ···+ t n x n ) ≤ t 1 f(x 1 )+···+ t n f(x n ) x 1 , ··· ,x n ∈ I, α 1 , ··· ,α n ≥ 0 f( α 1 x 1 + ···+ α n x n α 1 + ···+ α n ) ≤ α 1 f(x 1 )+···+ α n f(x n ) α 1 + ···+ α n , f 1 2 I f f  f f  ≥ 0 f  ≤ 0 f f f ⇔ ⇔ f I x 1 ,x 2 ∈ I x 1 <x 2 x = tx 1 +(1−t)x 2 ∈ (x 1 ,x 2 ) f(x)= f(tx 1 +(1−t)x 2 ) ≤ tf(x 1 )+(1− t)f(x 2 ) ⇔ (x 2 − x 1 )f(x) ≤ (x 2 − x)f(x 1 )+(x − x 1 )f(x 2 ) ⇔ (x 2 − x)f(x)+(x − x 1 )f(x) ≤ (x 2 − x)f(x 1 )+(x − x 1 )f(x 2 ) ⇔ (x 2 − x)(f(x) −f(x 1 )) ≤ (x − x 1 )(f(x 2 ) − f(x)) ⇔ f(x) −f(x 1 ) x − x 1 ≤ f(x 2 ) − f(x) x 2 − x ⇒ f I x → x 1 x → x 2 f  (x 1 ) ≤ f  (x 2 ) f  ⇐ f  x 1 ,x 2 ∈ I x 1 <x 2 x ∈ (x 1 ,x 2 ) f(x) −f(x 1 ) x − x 1 = f  (c 1 ) c 1 (x 1 ,x) f(x 2 ) − f(x) x 2 − x = f  (c 2 ) c 2 (x, x 2 ) f  f(x) −f(x 1 ) x − x 1 ≤ f(x 2 ) − f(x) x 2 − x f I  f I f  (x 0 )=0 f  (x) x x 0 M(x 0 ,f(x 0 )) f f(x)=lnx I =(0, ∞) x 1 , ···x n > 0 ln  x 1 + ···+ x n n  ≥ ln x 1 + ···+lnx n n x 1 + ···+ x n n ≥ n √ x 1 ···x n x k x −1 k n √ x 1 ···x n ≥ n 1 x 1 + ···+ 1 x n , (x 1 , ··· ,x n > 0) f(x)=e x e t 1 x 1 +t 2 x 2 ≤ t 1 e x 1 + t 2 e x 2 ,x 1 ,x 2 ∈ R,t 1 ,t 2 > 0,t 1 + t 2 =1 a = e t 1 x 1 ,b= e t 2 x 2 p = t −1 1 ,q = t −1 2 ab ≤ a p p + b q q , (a, b > 0,p,q > 0, 1 p + 1 q =1) p, q > 0 1 p + 1 q =1      n  k=1 a k b k      ≤  n  k=1 |a k | p  1 p  n  k=1 |b k | q  1 q p     n  k=1 |a k + b k | p ≤ p     n  k=1 |a k | p +     n  k=1 |b k | p y = x 3 x 2 − 1 R \{±1} y  = x 2 (x 2 − 3) (x 2 − 1) 2 ,y  =0 ⇔ x =0,x= ± √ 3 y  = 2x(x 2 +3) (x 2 − 1) 3 ,y  =0 ⇔ x =0 x = ±1 lim x→±1 y = ∞ y = x y = x + x x 2 − 1 lim x→±∞ (y −x)=0 x −∞ − √ 3 −10 1 √ 3+∞ y  +0−||−0 −||−0+ y −∞  −3 √ 3 2  −∞ || +∞  0  −∞ || +∞  3 √ 3 2  +∞ ✲ x ✻ y s s √ 3 3 √ 3 2 s − √ 3 − 3 √ 3 2 ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ y = x 1−1 y = x + √ x 2 − 1 •  x = x(t) y = y(t) ,t∈ (α, β) C = {(x, y):x = x(t),y = y(t),α<t<β} x = a cos t, y = a sin t 0 ≤ t ≤ 2π x 2 + y 2 = a 2 C y x dy dx (x(t)) = y  (t) x  (t) x = a lim t→t 0 x(t)=a lim t→t 0 y(t)=∞ y = b lim t→t 0 x(t)=∞ lim t→t 0 y(t)=b y = kx + b lim t→t 0 x(t) = lim t→t 0 y(t)=∞ lim t→t 0 y(t) x(t) = k lim t→t 0 (y(t) − kx(t)) = b x = a cos 3 t, y = a sin 3 t (a>0) R 2π t ∈ [0, 2π] x  (t)=−3a cos 2 t sin t, x  (t)=0 ⇔ t =0,π/2,π,3π/2, 2π y  (t)=3a sin 2 t cos t, y  (t)=0 ⇔ t =0,π/2,π,3π/2, 2π −a ≤ x(t),y(t) ≤ a t 0 π/2 π 3π/22π x  0 − 0 − 0 0 0 x a  0  −a  0  a y  0 0 − 0 − 0 0 y 0  a  0  −a  0 ✲ x ✻ y 0 a −a a −a • y  x  (x(t)) = −tan t t =0,π,2π t = π/2, 3π/2 • t x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 x 3 + y 3 − 3axy =0 (a>0) y = tx x 3 + t 3 x 3 − 3atx 2 =0        x = 3at 1+t 3 y = 3at 2 1+t 3 (t = −1) x  =3a 1 − 2t 3 (1 + t 3 ) 2 ,x  =0 ⇔ t = 1 3 √ 2 y  =3a 2 − t 3 (1 + t 3 ) 2 ,y  =0 ⇔ t =0, 3 √ 2 t →−1 x →∞,y →∞ y x → k = −1 y −kx →−a y = −x −a t −∞ −101/ 3 √ 2 3 √ 2+∞ x  || 0 −− x 0 +∞ || −∞  0  a 3 √ 4  a 3 √ 2  0 y  −||−0 0 − y 0 −∞ || +∞  0  a 3 √ 2  a 3 √ 4  0 ✲ x ✻ y t s ❅ ❅ ❅ ❅ a 3 √ 4 a 3 √ 4 ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ y = −x −a dy dx (x(t)) = t(2 − t 3 ) 1 − 2t 3 t =0, 3 √ 2 t =1/ 3 √ 2 • O Ox (r, ϕ) ∈ R + × [0, 2π) M | → OM | = r ( → Ox, → OM)=ϕ (r, ϕ) M r ϕ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟✯ M 0 O s ✲ x ✻ y x 0 y 0 r ϕ (x, y) (r, ϕ) M  x = r cos ϕ y = r sin ϕ    r =  x 2 + y 2 cos ϕ = x r , sin ϕ = y r (1, 0) (1, 1) (0, 1) (−1, 1) (−1, 0) ϕ ∈ R r = r(ϕ),ϕ∈ Φ C = {M(x, y):x = r(ϕ)cosϕ, y = r(ϕ)sinϕ, ϕ ∈ Φ} r = a (a>0) O a C ϕ r ϕ r = ae −kϕ (a>0,k >0) ϕ ∈ R r  = −ake −kϕ < 0 r ϕ [...].. .56 T E x Ví dụ Hoa 3 cánh: r = a sin 3ϕ Miền xác đònh là R Hàm có chu kỳ là π ϕ ∈ [0, ] 3 π r = 3a cos 3ϕ, r = 0 ⇔ ϕ = 6 Bảng biến thiên: ϕ r r Đồ thò 0 0 + π/6 0 a − 2π/3, hơn nữa là hàm lẻ nên chỉ cần xét π/3 0 0 a E x IV Phép tính tích phân Chương này sẽ đề cập đến một khái niệm cơ bản của giải tích: tích phân Nó là công cụ để xét đến các tính chất... kích thước như tính diện tích, thể tích, độ dài, , hay các kết luận với các từ “nói chung”, “trung bình”, “hầu hết”, Tuy vậy khái niệm này có mối quan hệ chặt chẽ với khái niệm đạo hàm, chúng có thể xem là các phép toán ngược của nhau thông qua công thức Newton-Leibniz Phần cuối chương sẽ nêu một số áp dụng Để gợi ý cho phép tính tích phân, ta có thể liên hệ đến bài toán diện tích: Cho f là hàm liên... là diện tích hình giới hạn bởi f trên [a, x] Khi so sánh phần diện tích trên [x, x + ∆x], với các diện tích hình chữ nhật, ta có min f.∆x ≤ F (x + ∆x) − F (x) ≤ max f.∆x [x,x+∆x] [x,x+∆x] Khi cho ∆x → 0, ta có mối quan hệ y F (x) = f (x) T max f [x,x+∆x] min f [x,x+∆x] a x x + ∆x Tương tự như vậy đối với mối quan hệ giữa vận tốc một chuyển động theo thời gian x b f E x và quãng đường đi F của 1 Nguyên... f E x và quãng đường đi F của 1 Nguyên hàm - Tích phân bất đònh Phần này ta nghiên cứu bài toán ngược của bài toán lấy đạo hàm 1. 1 Đònh nghóa Cho f : (a, b) → R Hàm F gọi là nguyên hàm của f nếuu F (x) = f (x) Nhận xét F hay dF (x) = f (x)dx , ∀x ∈ (a, b) và G là các nguyên hàm của f trên (a, b) khi và chỉ khi F − G = const Họ mọi nguyên hàm của f gọi là tích phân bất đònh của f và ký hiệu f (x)dx . min x √ 1 − x 2 . f(x)=x √ 1 − x 2 x ∈ [ 1, 1] f [ 1, 1] max, min x f  (x)=0 f( 1) ,f (1) f  (x)= 1 − 2x 2 √ 1 − x 2 =0 ⇔ x = ± 1 √ 2 f( 1 √ 2 )= 1 2 ,f(− 1 √ 2 )=− 1 2 ,f( 1) = 0,f( +1) = 0 f max =. |R n | = | e θ (n +1) ! |≤ 3 (n +1) !  =10 −3 n =6  =10 −6 n =9 lim x→+∞ (x − x 2 ln (1 + 1 x )) ln (1 + 1 x )) = 1 x − 1 2x 2 + o( 1 x 2 ) x − x 2 ln (1 + 1 x )= 1 2 + x 2 o( 1 x 2 ) → 1 2 x → +∞ lim x→0 e x 2 − √ 1. x 2 ) 1 e x −x 1 1 ∞ y = (1+ x 2 ) 1 e x −x 1 ln y = ln (1 + x 2 ) e x − x − 1 0 0 lim x→0 ln y = lim x→0 2x 1+ x 2 e x − 1 = lim x→0 1 1+x 2 lim x→0 2x e x − 1 = lim x→0 2 e x =2 lim x→0 (1 + x 2 ) 1 e x −x 1 =