Giáo trình giải tích 1 part 3 ppt

n ∈ N n √ x = x 1 n x n n R n [0, +∞) ✲ ✻ y = 2n √ x ✲ ✻ y = 2n+1 √ x m, n ∈ Z,n>0 x m n =( n √ x) m n m α x α = e α ln x (0, +∞) α>0 α<0 (xx  ) α = x α x  α a x = e x ln a a>0 R (0, +∞) a>1 0 <a<1 a x+x  = a x a x  ✲ x ✻ y r 1 y = a x (a>1) ✲ x ✻ y r 1 y = a x (0 <a<1) log a x = ln x ln a (a>0,a=1 (0, +∞) R a>1 0 <a<1 log a x +log a x  =log a xx  log a x =log a b log b x log a x α = α log a x a x log a x y =log a x ⇔ a y = x ✲ x ✻ y r 1 y =log a x (a>1) ✲ x ✻ y r 1 y =log a x (0 <a<1) x ∈ R M (1, 0) M x 2π x 2π M sin x cos x ✲ ✻ 0−1 −1 1 M ❪ s x cos x sin x sin x R [−1, 1] 2π cos x R [−1, 1] 2π sin 2 x +cos 2 x =1 tan x = sin x cos x x = π 2 + kπ, k ∈ Z R π cot x = cos x sin x x = kπ, k ∈ Z R π ✲ x ✻ y y =sinx 02π r 1 r −1 ✲ x ✻ y y =cosx 02π r 1 r −1 arcsin x :[−1, 1] → [− π 2 , π 2 ] sin : [− π 2 , π 2 ] → [−1, 1] arccos x :[−1, 1] → [0,π] cos : [0,π] → [−1, 1] arctan x : R → (− π 2 , π 2 ) tan : (− π 2 , π 2 ) → R x : R → (0,π) cot : (0,π) → R ✲ x ✻ y y =tanx 0 π 2 − π 2 ✲ x ✻ y y =arctanx 0 π 2 − π 2 • f(x)=2 x + 3 √ x − ln(ln(ln(x 2 + 1))) f(x)= x 2 + e −x tan 5x √ x − 1+sin(πx) a x , log a x, cos x, tan x, cot x, arcsin x =arctan  x √ 1 − x 2  , x = π 2 − arctan x, arccos x =  x √ 1 − x 2  f(x)=a 0 + a 1 x + ···+ a n x n a 0 ,a 1 , ··· ,a n ∈ R y =2x +1 y = x 2 +5x − 1 y = x 3 − 3x +1 f(x)= P (x) Q(x) P, Q y = x − 1 x +1 y = x 2 +1 x − 1 cosh x = e x + e −x 2 , sinh x = e x − e −x 2 , tanh x = sinh x cosh x , coth x = cosh x sinh x cosh 2 x − sinh 2 x =1 sinh(x + y)=sinhx cosh y +sinhy cosh x cosh(x + y)=coshx cosh y +sinhx sinh y X ⊂ R a ∈ R a a {x ∈ R : |x − a| <δ} =(a − δ, a + δ) δ>0 a X U a U ∩X \{a} = ∅ (x n ) X \{a} a (a, b) x ∈ [a, b] { 1 n : n ∈ N} 0 f : X → R a X f L ∈ R x a >0 δ>0 a  x ∈ X 0 < |x − a| <δ |f(x) − L| < ∀>0, ∃δ>0:x ∈ X, 0 < |x − a| <δ ⇒|f(x) − L| < lim x→a f(x)=L f(x) → L x → a >0 δ>0 f x ∈ (a−, a+) (a, L) 2δ ×2 • ∀x n ∈ X \{a}, lim n→∞ x n = a ⇒ lim n→∞ f(x n )=L • lim x→a f(x)=L ⇔ lim x→a |f(x) − L| =0 • • lim x→a f(x) ∀>0, ∃δ>0:x, x  ∈ X, 0 < |x − a| <δ,0 < |x  − a| <δ ⇒|f(x) − f (x  )| < lim x→0 x 2 =0 >0 δ = √  x |x − 0| <δ |x 2 − 0| <δ 2 =  lim x→0 sin 1 x x n = 1 2nπ x  n = 1 π 2 +2nπ 0 sin 1 x n =sin2nπ =0 sin 1 x  n =sin( π 2 +2nπ)=1 n →∞ a f(x)=x sin 1 x lim x→0 f(x)=0 |f(x) − 0| = |x sin 1 x |≤|x|→0 x → 0 a lim x→a f(x) = f(a) f(x)=[1−|x|] lim x→0 f(x)=0= f(0) = 1 f,g, ϕ : X → R a X lim x→a f(x)=L lim x→a g(x)=M lim x→a (f ± g)(x)=L ± M lim x→a fg(x)=LM lim x→a f g (x)= L M ( M =0) f(x) ≤ g(x) x a L ≤ M f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x) x a L = M lim x→a ϕ(x)=L lim x→a f(x)=L, lim y→L g(y)=A δ>0 0 < |x − a| <δ f(x) = L lim x→a g ◦f(x) = lim y→L g(y)=A  f(x)=g(x)=  0 x =0 1 x =0 lim x→0 g(f (x)) = lim y→0 g(y) f a lim x→a f(x)=f (a) lim x→a e x = e a |x|≤1      1+ x n  n − 1     ≤|x|(e − 1) n → +∞ |e x − 1|≤|x|(e − 1) lim x→0 |e x − 1| =0 lim x→0 e x =1 u = x − a lim x→a e x = lim x→a e x−a e a = lim u→0 e u e a = e a lim x→a sin x =sina 0 ≤|sin t|≤|t| |sin x − sin a| = |2cos x + a 2 sin x − a 2 |≤2| x − a 2 |→0 x → a ln x arctan x  lim x→a f(x) > 0 =1 lim x→a g(x) =0 lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f(x) lim x→a g(x) f : X → R L f(x) x a ∀>0, ∃δ>0:|f(x) − L| <,∀x ∈ X, 0 <x− a<δ ( 0 <a−x<δ) L = f(a+) = lim x→a + f(x) = lim x→a+0 f(x)( L = f(a−) = lim x→a − f(x) = lim x→a−0 f(x)) (a, a + δ) ∩ X = ∅ (a − δ, a) ∩ X = ∅ δ>0 lim x→0 + (x)=1 lim x→0 − (x)=−1 lim x→n + [x]=n lim x→n − [x]=n − 1 n ∈ Z lim x→1 + √ x − 1=0 lim x→1 − √ x − 1 x<1 lim x→a f(x) lim x→a + f(x) = lim x→a − f(x) f (a, b) lim x→x + 0 f(x) lim x→x − 0 f(x) x 0 ∈ (a, b) a = ±∞ L = ±∞ +∞ (R, +∞) −∞ (−∞, −R) R>0 lim x→a f(x)=+∞⇔∀E>0, ∃δ>0:f(x) >E,∀x ∈ X, 0 < |x −a| <δ lim x→a f(x)=−∞ ⇔ ∀E>0, ∃δ>0:f (x) < −E,∀x ∈ X, 0 < |x − a| <δ lim x→+∞ f(x)=L ⇔∀>0, ∃R>0:|f(x) −L| <,∀x ∈ X, x > R lim x→−∞ f(x)=L ⇔∀>0, ∃R>0:|f(x) −L| <,∀x ∈ X, x < −R a X lim x→+∞ f(x)=+∞, lim x→+∞ f(x)=−∞, lim x→−∞ f(x)=+∞, lim x→−∞ f(x)=−∞ lim x→a + f(x)=∞, lim x→a − f(x)=∞ p>0 lim x→+∞ x p =+∞ lim x→0 + 1 x p =+∞ a>1 lim x→+∞ a x =+∞ lim x→−∞ a x =0 a>1 lim x→+∞ log a x =+∞ lim x→0 + log a x = −∞ lim x→ π 2 + tan x = −∞ lim x→ π 2 − tan x =+∞ 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞, ∞−∞, 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 . lim x→+∞   x 2 +7−  x 2 − 1  ∞−∞ lim x→+∞   x 2 +7−  x 2 − 1  = lim x→+∞ ( √ x 2 +7− √ x 2 − 1)( √ x 2 +7+ √ x 2 − 1) √ x 2 +7− √ x 2 − 1 = lim x→+∞ (x 2 +7)−(x 2 − 1) √ x 2 +7+ √ x 2 − 1 = lim x→+∞ 8 √ x 2 +7+ √ x 2 − 1 = lim x→+∞ 8 +∞ =0 lim x→1 3 √ x − 1 √ x − 1 0 0 lim x→1 3 √ x − 1 √ x − 1 = lim x→1 3 √ x − 1 √ x − 1 ( 3 √ x 2 + 3 √ x +1) ( 3 √ x 2 + 3 √ x +1) ( √ x +1) ( √ x +1) = lim x→1 x − 1 x − 1 ( √ x +1) ( 3 √ x 2 + 3 √ x +1) = lim x→1 √ x +1 3 √ x 2 + 3 √ x +1) = √ 1+1 3 √ 1 2 + 3 √ 1+1) = 2 3 lim x→0 sin x x =1 lim x→∞ (1 + 1 x ) x = lim x→0 (1 + x) 1 x = e lim x→0 ln(x +1) x =1 lim x→0 a x − 1 x =lna lim x→0 (1 + x) p − 1 x = p 0 < |x| < π 2 |sin x| < |x| < |tan x| 1 <     x sin x     < 1 |cos x| (x n ) +∞ n k =[x k ] 1 n k +1 ≤ 1 x k ≤ 1 n k  1+ 1 n k +1  n k ≤  1+ 1 x k  x k ≤  1+ 1 n k  n k +1 lim k→∞  1+ 1 k  k = e lim x→+∞ (1 + 1 x ) x = e lim x→−∞ (1+ 1 x ) x = lim y→+∞ (1− 1 y ) −y = lim y→+∞ ( y y −1 ) y = lim y→+∞ (1+ 1 y −1 ) y−1 (1+ 1 y −1 )=e lim x→0 (1 + x) 1 x = lim y→∞ (1 + 1 y ) y = e lim x→0 ln(x +1) x = lim x→0 ln(x +1) 1 x = ln(lim x→0 (x +1) 1 x )=lne =1 u = a x − 1 x =log a (u +1)= ln(u +1) ln a lim x→0 a x − 1 x = lim u→0 u ln a ln(u +1) =lna lim x→0 (1 + x) p − 1 x = lim x→0 e p ln(1+x) − 1 x = lim x→0 e p ln(1+x) − 1 p ln(1 + x) p ln(1 + x) x = lim u→0 e u − 1 u lim x→0 p ln(1 + x) x =lne.p = p lim x→0 1 − cos x x 2 = lim x→0 2sin 2 x 2 x 2 = lim x→0 1 2  sin x 2 x 2  2 = lim u→0 1 2  sin u u  2 = 1 2 lim x→∞  x − 2 x − 3  3x = lim x→∞  1+ 1 x − 3  (x−3) 3x x−3 = lim u→∞  1+ 1 u  u lim x→∞ 3x x−3 = e 3 lim x→0 tan x x , lim x→0 sin kx x , lim x→0 sin kx sin lx , lim x→0 (1+5x) 1 x a ∈ R a = ±∞ a f(x) ∼ g(x) x → a lim x→a f(x) g(x) =1 f(x) g(x) f(x)=o(g(x)) x → a lim x→a f(x) g(x) =0 f(x) g(x) f(x)=O(g(x)) x → a ∃C>0:|f(x)|≤C|g(x)| x a f(x)=o(1) x → a ⇔ lim x→a f(x)=0 f(x)=O(1) x → a ⇔ f(x) a f(x)=g(x)+o(g(x)) x → a ⇔ f(x) ∼ g(x) x → a o(g(x)) O(g(x)) f(x) ∈ o(g(x)) f(x)=o(g(x)) o(g(x)) − o(g(x)) = O(g(x)) −O(g(x)) = x → a f(x) ∼ f 1 (x) g(x) ∼ g 1 (x) f(x)g(x) ∼ f 1 (x)g 1 (x), f(x) g(x) ∼ f 1 (x) g 1 (x) f(x) ∼ f 1 (x) g(x) ∼ g 1 (x) f(x)+g(x) ∼ f 1 (x)+g 1 (x) x → a f(x)=o(ϕ(x)) g(x)=o(ϕ(x)) f(x) ± g(x)=o(ϕ(x)) f(x)=O(ϕ(x)) g(x)=O(ϕ(x)) f(x)+g(x)=O(ϕ(x)) f(x)=o(ϕ(x)) g f(x)g(x)=o(ϕ(x)) f(x)=O(ϕ(x)) g f(x)g(x)=O(ϕ(x)) (x − a) n ,e x , ln x x → 0 (1 + x) α =1+αx + o(x) (1 + x) α ∼ 1+αx e x =1+x + o(x) e x ∼ 1+x ln(1 + x)=x + o(x)ln(1+x) ∼ x sin x = x + o(x)sinx ∼ x cos x =1− x 2 2 + o(x)cosx ∼ 1 − x 2 2 x → +∞ (a 0 + a 1 x + ···+ a n x n ) 1 m ∼ a 1 m n x n m (a n =0) a 0 + a 1 x + ···+ a n x n b 0 + b 1 x + ···+ b m x m ∼ a n x n b m x m (a n ,b m =0) log a x = o(x n )(a>1,n>0) x n = o(a x )(a>1,n>0) lim x→0 √ 1+x − 1 sin 2x √ 1+x − 1 ∼ x 2 sin 2x ∼ 2x x → 0 lim x→0 √ 1+x − 1 sin 2x = lim x→0 x/2 2x = 1 4 lim x→0 ln(1 + sin x) x +tan 3 x ln(1 + sin x) ∼ ln(1 + x) x +tan 3 x ∼ x + x 3 ∼ x x → 0 lim x→0 ln(1 + sin x) x +tan 3 x = lim x→0 ln(1 + x) x =1 n ∈ N n n! ∼  n e  n √ 2πn, n!=O(n n ),a n = o(n!). f X a f a lim x→a f(x)=f(a) f a • f a lim x→a f(x)=L L = f(a) • ∀>0, ∃δ>0:∀x ∈ X, |x −a| <δ ⇒|f(x) −f(a)| < • (x n ) X lim n→∞ x n = a lim n→∞ f(x n )=f(a) C(X) X [...]... 0, nhưng gián đoạn tại đó, vì lim− f (x) = x→0 1 = f (0) = 0 sin x sin x , nếu x = 0; và f (0) = L Do x→0 f (x) = x→0 lim = 1, nên f lim c) Hàm f (x) = x x liên tục tại 0 nếu và chỉ nếu 1 = f (0) = L 1 d) Hàm f (x) = sin , nếu x = 0; f (0) = L Không thể có giá trò L nào để f liên tục x tại 0, vì không tồn tại e) Hàm Dirichlet lim sin x→0 1 x D(x) = 0 1 nếu nếu x x hữu tỉ vô tỉ không liên tục tại mọi... nếu nó có gián đoạn tại a nhưng không là gián đoạn loại I 33 Chương II Giới hạn và tính liên tục y T T  bước nhảy s liên tục ' % gián đoạn loại I các gián đoạn loại II E x Bài tập: Xét các hàm ở ví dụ trên có gián đoạn thuộc loại nào Bài tập: Chứng minh một hàm đơn điệu trên [a, b] chỉ có thể có gián đoạn loại I 3. 2 Tính chất (1) Tổng, hiệu, tích, thương (với điều kiện mẫu khác 0) của các hàm liên... hàm liên tục tại 1 1 mọi điểm) Ngoài ra, ta có max(f, g) = (f +g+|f −g|), min(f, g) = (f +g−|f −g|) 2 2 nên tính liên tục suy từ tính chất trên Phần còn lại của chương này đề cập đến 3 đònh lý cơ bản của hàm liên tục trên khoảng Về mặt trực quan, đònh lý sau phát biểu là nếu một liên tục trên một khoảng, thì nó có đồ thò là đường liền nét (không có bước nhảy) Một cách chính xác, ta có 3. 3 Đònh lý giá... là hàm liên tục tại đó (2) Nếu f liên tục tại a và g liên tục tại f (a), thì hàm hợp g ◦ f liên tục tại a (3) Nếu f liên tục tại a và f (a) > L, thì f (x) > L ở lân cận a, i.e tồn tại δ > 0 sao cho f (x) > L với mọi x mà |x − a| < δ Chứng minh: (1) và (2) suy từ các tính chất của giới hạn hàm (3) suy từ đònh nghóa: Với f (a)− < f (x) < f (a)+ = f (a) − L , 2 tồn tại δ>0 Suy ra khi đó f (x) > f (a)−... hữu tỉ khi đó f (a) = 0, và do tính trù mật của tập sô vô tỉ trên R, tồn tại dãy (xn ) gồm toàn số vô tỉ hội tụ về a, nhưng f (xn ) = 1 không hội tụ về f (a) = 0 Tương tự lập luận cho a là vô tỉ Bài tập: Xét tính liên tục của hàm phần nguyên g(x) = [x] f (x) = x sin 1 x nếu x = 0; f (0) = 0 và hàm Hàm f gọi là có gián đoạn loại I tại a nếuu tồn tại lim− f (x) = f (a− ) và lim+ f (x) = x→a x→a f (a+.. .32 Hàm f gọi là liên tục phải tại a nếuu lim+ f (x) = f (a) x→a Hàm f gọi là liên tục trái tại a nếuu lim− f (x) = f (a) x→a Nhận xét f liên tục tại a khi và chỉ khi f liên tục trái và liên tục phải tại a Một hàm không liên tục tại a gọi là hàm gián đoạn tại a Mệnh đề Các hàm số sơ cấp là liên tục trên miền xác đònh của chúng Chứng minh: Suy từ giới hạn các hàm sơ cấp Ví dụ 1 a) Hàm f (x)... biểu là nếu một liên tục trên một khoảng, thì nó có đồ thò là đường liền nét (không có bước nhảy) Một cách chính xác, ta có 3. 3 Đònh lý giá trò trung gian (Bolzano-Cauchy) Cho f liên tục trên [a, b] (1) Nếu f (a) và f (b) trái dấu nhau, thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0 (2) Tổng quát hơn, nếu γ nằm giữa f (a), f (b), thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = γ . lim x→+∞ 8 √ x 2 +7+ √ x 2 − 1 = lim x→+∞ 8 +∞ =0 lim x 1 3 √ x − 1 √ x − 1 0 0 lim x 1 3 √ x − 1 √ x − 1 = lim x 1 3 √ x − 1 √ x − 1 ( 3 √ x 2 + 3 √ x +1) ( 3 √ x 2 + 3 √ x +1) ( √ x +1) ( √ x +1) = lim x 1 x − 1 x − 1 ( √ x. 1 ( √ x +1) ( 3 √ x 2 + 3 √ x +1) = lim x 1 √ x +1 3 √ x 2 + 3 √ x +1) = √ 1+ 1 3 √ 1 2 + 3 √ 1+ 1) = 2 3 lim x→0 sin x x =1 lim x→∞ (1 + 1 x ) x = lim x→0 (1 + x) 1 x = e lim x→0 ln(x +1) x =1 lim x→0 a x −. n k =[x k ] 1 n k +1 ≤ 1 x k ≤ 1 n k  1+ 1 n k +1  n k ≤  1+ 1 x k  x k ≤  1+ 1 n k  n k +1 lim k→∞  1+ 1 k  k = e lim x→+∞ (1 + 1 x ) x = e lim x→−∞ (1+ 1 x ) x = lim y→+∞ (1 1 y ) −y = lim y→+∞ ( y y 1 ) y = lim y→+∞ (1+ 1 y 1 ) y 1 (1+ 1 y