Giáo trình giải tích 1 part 2 ppt

lim n→∞ √ n( √ n +2 − √ n + 1) = lim n→∞ √ n ( √ n +2− √ n +1)( √ n +2+ √ n +1) √ n +2+ √ n +1 = lim n→∞ √ n (n +2)− (n +1) √ n +2+ √ n +1 = lim n→∞ √ n √ n(  1+ 2 n +  1+ 1 n ) = lim n→∞ 1  1+ 2 n +  1+ 1 n = 1 (lim  1+ 2 n + lim  1+ 1 n ) = 1 √ 1+ √ 1 = 1 2 Q Q x n =(1+ 1 n ) n R (x n ≤ x n+1 , ∀n)&(∃M,x n <M,∀n) ⇒∃lim x n (x n ≥ x n+1 , ∀n)&(∃m, m < x n , ∀n) ⇒∃lim x n (x n ) (−x n ) (x n ) a =sup{x n : n ∈ N} lim x n = a >0 x n ≤ a x N a −<x N n>N a − <x n ≤ a<a+  |x n − a| < lim x n = a  (x n ) lim x n =+∞ (x n ) lim x n = −∞ I n =[a n ,b n ] I n ⊃ I n+1 n ∈ N I n ∩ n∈N I n = ∅ a n ≤ a n+1 ≤ b n+1 ≤ b n (a n ) (b n ) a = lim a n lim b n = b a ≤ b [a, b] ⊂ I n , ∀n  a 0 ≤ x n ≤ b 0 , ∀n I 0 =[a 0 ,b 0 ] x n I 1 n 1 x n 1 ∈ I 1 I 1 x n I 2 n 2 >n 1 x n 2 ∈ I 2 I 0 ⊃ I 1 ⊃···⊃I k I k b 0 −a 0 2 k n 1 <n 2 < ···<n k x n k ∈ I k a ∈ I k , ∀k |x n k −a|≤ b 0 −a 0 2 k → 0 k →∞ (x n k ) k∈N a  (x n ) (x n ) ∀>0, ∃N : n, m > N ⇒|x n − x m | < ⇐ lim x n = a >0 N |x n − a| </2 ∀n>N m, n > N |x n − x m |≤|x n − a| + |x m − a| </2+/2= ⇒ (x n ) (x n )  =1 N x N −1 <x n <x N +1, ∀n>N M =max{|x 0 |, ··· , |x N |, |x N | +1} |x n |≤M,∀n (x n k ) k∈N a (x n ) a |x k −a|≤|x k −x n k |+|x n k −a| n k ≥ k k →∞ n k →∞ |x k − x n k |→0 |x n k − a|→0 a lim k→∞ x k = a  |x n − x n+p |→0 , n →∞, p =0, 1, ··· lim n→∞ 1 n p =0 (p>0) lim n→∞ n √ a =1 (a>0) lim n→∞ n √ n =1 lim n→∞ n √ n!=+∞ lim n→∞ n p a n =0 (a>1) lim n→∞ a n =0 |a| < 1 lim n→∞ a n =+∞ a>1 a ≥ 1 x n = n √ a − 1 lim x n =0 x n ≥ 0 a =(1+x n ) n ≥ 1+nx n 0 ≤ x n ≤ a − 1 n lim x n =0 0 <a<1 1 a x n = n √ n − 1 n =(1+x n ) n ≥ n(n − 1) 2 x 2 n 0 ≤ x n ≤ √ 2 √ n − 1 lim x n =0 lim n √ n =1 n! >  n 3  n n √ n! > n 3 a>1 a 1 p =1+u (u>0) (a 1 p ) n =(1+u) n > n(n − 1) 2 u 2 lim n p a n = lim   n (a 1 p ) n   p =0 p =0  s n =1+ 1 1! + 1 2! + ···+ 1 n! t n =  1+ 1 n  n lim n→∞ s n = lim n→∞ t n = e (s n ) s n =1+1+ 1 1.2 + 1 1.2.3 + ··· + 1 1.2 n < 1+ 1+ 1 2 + 1 2 2 + ···+ 1 2 n−1 < 3 lim s n = e t n =  1+ 1 n  n = n  k=0 n! k!(n − k)! 1 n k = n  k=0 1 k! n n n − 1 n n − k +1 n = n  k=0 1 k!  1 − 1 n   1 − k −1 n  t n <t n+1 t n ≤ s n < 3 lim t n = e  e = e  t n ≤ s n e  ≤ e n ≥ m t n =1+1+ 1 2!  1 − 1 n  + ···+ 1 n!  1 − 1 n   1 − n − 1 n  ≥ 1+1+ 1 2!  1 − 1 n  + ···+ 1 m!  1 − 1 n   1 − m − 1 n  m n →∞ e  ≥ 1+1+ 1 2! + ···+ 1 m! = s m m →∞ e  ≥ e  e e =2, 71828 ··· e = m n ∈ Q 0 <e−s n = 1 (n +1)! + ···< 1 n!n 0 <n!(e −s n ) < 1 n n!e, n!s n  x n = a 0 + a 1 x + ···+ a n x n |x| < 1 |a k | <M,∀k x n =1+ 1 2 + ···+ 1 n |x n+p − x n | = |a n+1 x n+1 + ···+ a n+p x n+p |≤|a n+1 |x| n+1 | + ···+ |a n+p ||x n+p | ≤ M|x| n+1 + ···+ M|x| n+p ≤ M|x| n+1 (1 + ···+ |x| p ) ≤ M|x| n+1 1 1 −|x| n →∞ |x n+p − x n |→0 p (x n ) n, m =2n |x m − x n | = 1 n +1 + ···+ 1 2n > 1 2 (x n )  x ∈ R a 0 =[x] ∈ Z,a n =[10 n (x − a 0 − a 1 10 −···− a n−1 10 n−1 )] ∈{0, 1, ···, 9}, x n = a 0 + a 1 10 + ···+ a n 10 n → x, n →∞ x = a 0 ,a 1 a 2 ···a n ··· R a 0 =[x] a 0 ≤ x<a 0 +1 0 ≤ x −a 0 < 1 a 1 = [10(x − a 0 )] ∈{0, 1, ··· , 9} a 1 10 ≤ x − a 0 < a 1 +1 10 [0, 1] x −a 0 0 ≤ x − a 0 − a 1 10 < 1 10 a 2 ∈{0, 1, ··· , 9} a 2 10 2 ≤ x − a 0 − a 1 10 < a 2 +1 10 2 n 0 ≤ x − a 0 − a 1 10 −···− a n 10 n < 1 10 n a n+1 =[10 n+1 (x − a 0 − a 1 10 −···− a n 10 n )] a n+1 ∈{0, 1, ··· , 9} 0 ≤ x − a 0 − a 1 10 −···− a n 10 n − a n+1 10 n+1 < 1 10 n+1 x n 0 ≤ x − x n < 1 10 n lim x n = x  • 1, 000 ···=0, 999 ··· 0, 5=0, 4999 ··· • 1 2 =0, 5 , 1 3 =0, 333 ··· , 0, 123123123 ···= 123 × 1 10 3 − 1 R X, Y X Y n {1, 2, ··· ,n} N N → X X 2N, Z, Q R a, b ∈ R a = b [a, b] [a, b]={x n : n ∈ N} [a, b] I 1 x 1 ∈ I 1 I 1 I 2 x 2 ∈ I 2 I 1 ⊃ I 2 ⊃···⊃I n ⊃··· x n ∈ I n x ∈∩ n∈N I n x ∈ [a, b] x = x n , ∀n x ∈ [a, b]  • N X ⊂ N N X 0 → x 0 = min X, n → min(X \{x 0 , ··· ,x n−1 }) • X f : X → Y Y m : Y → X, m(y) = min f −1 (y) m Y → m(Y ) • N 2 f : N 2 → N,f(m, n)= (m + n)(m + n +1) 2 + n ) ✲ N ✻ N r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r❜❜❜❜❜❜ ❜❜❜❜❜❜ ❜❜❜❜❜❜ ❜❜❜❜❜❜ ❜❜❜❜❜❜ ❜❜❜❜❜❜ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅■ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅■ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅■ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅■ ❅ ❅ ❅ ❅■ • (X n ) n∈I X = ∪ n∈I X n N → I n → i n n N → X n ,m→ f n (m) N 2 → X, (m, n) → f i n (m) • 0 1 X N → X, n → x n x 0 = x 0,0 x 0,1 x 0,2 ··· ··· x 1 = x 1,0 x 1,1 x 1,2 ··· ··· x 2 = x 2,0 x 2,1 x 2,2 ··· ··· x n = x n,0 x n,1 x n,2 ··· x n,n ··· y =(y n ) y n =1 x n,n =0 y n =0 x n,n =1 y X 0, 1 X y = x n , ∀n n! n!=  n e  n √ 2πne θ n 12n , 0 <θ n < 1 f : X → Y, x → y = f(x) X, Y R x ∈ X y = f(x) ∈ Y X f f(X)={y ∈ R : ∃x ∈ X, y = f(x)} f y x y =2πx, y = mx, y = mx 2 {x ∈ R : f (x) } f(x)= √ x − 1 x − 2 {x ∈ R : x − 1 ≥ 0,x− 2 =0} =[1, 2) ∪(2, +∞) f(x)=[x]=n n ≤ x<n+1 f(x)= x =      −1 x<0 0 x =0 +1 x>0 D χ D (x)=  1 x ∈ D 0 x ∈ D [1, 5], [−π], [e], [sinx], (−2), (2 64 ), (−[0, 3]) f = {(x, y):x ∈ X, y = f(x)} R × R = R 2 R 2 (0, 0) O R × 0 Ox 0 ×R Oy (x, y) ∈ R 2 Ox (x, 0) Oy (0,y) f f s O ✲ x ✻ y s (x, f (x)) (x 0 ,f(x 0 )), (x 1 ,f(x 1 )), ··· , (x n ,f(x n )) f [x] (x) x x 0 x 1 ··· x n y y 0 y 1 ··· y n f,g : X → R f ± g, fg, f g g(x) =0, ∀x ∈ X (f ±g)(x)=f(x) ±g(x) ,fg(x)=f(x)g(x), f g (x)= f(x) g(x) ,x∈ X f : X → Y g : Y → Z g ◦f : X → Z g ◦f(x)=g(f(x)) f : X → Y f −1 : Y → X f −1 (y)=x ⇔ y = f(x) f(x)=x − [x] f(x)=[x] g(x)= (x) f ◦ g g ◦ f f X ∀x 1 ,x 2 ∈ X, x 1 <x 2 ⇒ f (x 1 ) ≤ f(x 2 )( f(x 1 ) <f(x 2 )) f X ∀x 1 ,x 2 ∈ X, x 1 <x 2 ⇒ f (x 1 ) ≥ f(x 2 )( f(x 1 ) >f(x 2 )) f(x)=x n n ∈ N [0, +∞) f(x)=[x] g(x)= (x) R n f(x)=x n R X x ∈ X −x ∈ X f X f(−x)=f(x), ∀x ∈ X f X f(−x)=−f(x), ∀x ∈ X x 2 , cos x x 3 , sin x R f f(x)= 1 2 (f(x)+f(−x)) + 1 2 (f(x) −f(−x)) Oy O (x, y = f(x)) ✲ x ✻ y 0 s (x, y) s (y, x) s (−x, y) s (−x, −y) s (x + T,y)             y = x [...]... minh: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: 1+ Theo công thức nhò thức 1+ t n n 1 t n n 1+ − 1 ≤ |t|(e − 1) t n n =1+ t n k =1 k Cn |t| ≤ 1 tk 1 , nk (∗) suy ra khi |t| ≤ 1, ta có n k 1 |t|k 1 k |t| ≤ |t| Cn k nk n k =1 k =1 n n 1 k 1 ≤ |t| Cn k = |t| 1+ − 1 ≤ |t|(e − 1) n n k =1 ≤ |t| n khi k Cn x n Ta cần chứng Bây giờ ta chứng minh (1) Cho x ∈ R Xét dãy x n = 1 + n minh (xn ) có giới hạn Khi x > 0, như... Để chứng minh 21 Chương II Giới hạn và tính liên tục dãy bò chặn trên, gọi N ∈ N, x ≤ N xn ≤ 1 + n N n Khi đó ≤ 1+ 1 n N.n ≤ 1+ 1 n n.N ≤ 3N Vậy tồn tại exp(x) = n→+∞ xn , khi x ≥ 0 lim x2 n ) x n2 = Khi x < 0, thì −x > 0 và ta có 1 + x n (1 − )n n x2 x2 lim Theo bất đẳng thức (∗), với t = , ta có n→∞ (1 − 2 )n = 1 Từ tính chất n n x n 1 Vậy exp(x) xác đònh với mọi x ∈ R = thương n→+∞ 1 + lim n exp(−x)... exp(x) xác đònh với mọi x ∈ R = thương n→+∞ 1 + lim n exp(−x) Dễ thấy e0 = 1 Ngoài ra, ta có n 1+ x n n 1+ 1+ x+x n x n n n (1 − xx = 1+ 2 n (1 + x+x ) n giới hạn n ex ex xx , ta có x+x = 1 Vậy ta có (2) e n (1 + x+x ) n t > 0 Nếu x < x , thì ex − ex = ex (1 − ex −x ) < 0 Cho n → ∞, áp dụng (∗) với t = Để ý là ex > 0 và et > 1 khi Vậy ex là hàm tăng Hàm logarithm cơ số tự nhiên: ln x là hàm ngược của... kỳ là 1 Bài tập: Chứng minh hàm đặc trưng của tập có chu kỳ Q: χQ , 2 k là hàm tuần hoàn nhưng không 1. 4 Các hàm sơ cấp Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm: xα , ex , ln x, hiệu arctg x) Sau đây ta nhắc lại các tính chất cơ bản của chúng • x sin x, arctan x (hay còn lý n Hàm exponent: exp(x) = ex = n→+∞ 1 + lim n (1) Miền xác đònh là R, miền giá trò là (0, +∞) (2) Tính chất cần nhớ: e0 = 1, ex+x... = 1, ln x + ln x = ln xx Hàm lũy thừa: xα (α ∈ R) - Lũy thừa nguyên dương: với n ∈ N, x n = x · · · x (tích n lần) Miền xác đònh là R Khi n lẻ hàm tăng Khi n chẵn hàm giảm trên (−∞, 0), tăng trên [0, +∞) 1 - Lũy thừa nguyên âm: với n ∈ N, x−n = n x Miền xác đònh là R \ 0 Khi n lẻ hàm giảm trên từng khoảng xác đònh Khi n chẵn hàm tăng trên (−∞, 0) và giảm trên (0, +∞) T T E y = x2n T T E y = x2n +1. .. thừa nguyên âm: với n ∈ N, x−n = n x Miền xác đònh là R \ 0 Khi n lẻ hàm giảm trên từng khoảng xác đònh Khi n chẵn hàm tăng trên (−∞, 0) và giảm trên (0, +∞) T T E y = x2n T T E y = x2n +1 E y= 1 x2n +1 E y= 1 x2n .. .20 Hàm tuần hoàn Hàm f xác đònh trên X gọi là tuần hoàn sao cho f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ X Khi đó số dương T nhỏ nhất thỏa điều kiện trên gọi là chu kỳ nếuu tồn tại T > 0 của f Nhận xét Nếu x ∈ X , thì . e (s n ) s n =1+ 1+ 1 1 .2 + 1 1 .2. 3 + ··· + 1 1 .2 n < 1+ 1+ 1 2 + 1 2 2 + ···+ 1 2 n 1 < 3 lim s n = e t n =  1+ 1 n  n = n  k=0 n! k!(n − k)! 1 n k = n  k=0 1 k! n n n − 1 n n − k +1 n = n  k=0 1 k!  1. 9} a 1 10 ≤ x − a 0 < a 1 +1 10 [0, 1] x −a 0 0 ≤ x − a 0 − a 1 10 < 1 10 a 2 ∈{0, 1, ··· , 9} a 2 10 2 ≤ x − a 0 − a 1 10 < a 2 +1 10 2 n 0 ≤ x − a 0 − a 1 10 −···− a n 10 n < 1 10 n a n +1 = [10 n +1 (x. ··· • 1 2 =0, 5 , 1 3 =0, 333 ··· , 0, 12 3 12 3 12 3 ···= 12 3 × 1 10 3 − 1 R X, Y X Y n {1, 2, ··· ,n} N N → X X 2N, Z, Q R a, b ∈ R a = b [a, b] [a, b]={x n : n ∈ N} [a, b] I 1 x 1 ∈ I 1 I 1 I 2 x 2 ∈