Đang tải... (xem toàn văn)
Nội dung của giáo trình bào gồm: hàm số nhiều biến số; hàm nhiều biến, hàm hai biến, đồ thị, đường mức, hàm ba hoặc nhiều biến, giới hạn và sự liên tục, hàm đa thức hai biến...
Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán CHƯƠNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Đồ thị của các hàm hai biến số là những mặt cong và mặt phẳng, kể cả những hình dạng như hẻm núi Tại vịm Phipps ở phía Bắc Utah, bạn có thể tìm được một điểm mà tại đó là vì trí thấp nhất nếu nhìn theo một hướng và cao nhất nếu nhìn theo hướng khác Ở học phần trước chúng ta nói đến các hàm một biến số Nhưng trong thực tế, các đại lượng vật lý thường phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến số, chương quan tâm đến các hàm nhiều biến và đưa ra những lý thuyết cơ Vòm Phipps bản về hàm nhiều biến trong giải tích 1.1 Hàm nhiều biến Trong phần này chúng ta nghiên cứu hàm 2 hay nhiều biến từ 4 cách tiếp cận sau: - Bằng lời nói (hàm số được diễn đạt bằng từ ngữ) - Bằng số liệu (hàm số được cho bởi một bảng giá trị) - Bằng đại số (hàm số cho bởi một công thức xác định) - Bằng mắt (hàm số cho bởi một đồ thị hoặc các đường mức) 1.1.1 Hàm hai biến Nhiệt độ của một điểm trên bề mặt của trái đất tại bất kỳ thời gian nào phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó Chúng ta có xem đó là hàm của hai biến x và y, hoặc như là hàm của một cặp (x, y) Chúng ta biểu thị sự phụ thuộc này bằng cách viết T = f(x, y) Thể tích V hình trụ trịn phụ thuộc vào bán kính r chiều cao h nó, = ℎ Chúng ta nói rằng V là hàm của r và h, và viết ( , ℎ) = ℎ Định nghĩa: Một hàm hai biến f (function f of two variables) là một quy luật gán mỗi cặp số thực (x,y) thuộc tập D với duy nhất một số thực được xác định bởi f(x,y) Khi đó tập D là miền xác định (domain) của hàm f và miền giá trị (range) của nó là tập các giá trị của f tức là { ( , ) | ( , ) ∈ } Ta thường viết = ( , ) để chỉ rõ giá trị được xác định bởi f tại điểm (x,y) Biến x và y là các biến độc lập (independent variables) và z là biến phụ thuộc (So sánh điều này với ký hiệu = ( ) của hàm một biến) Một hàm hai biến là một hàm số mà miền xác định của nó là tập con của ℝ và miền giá trị của nó là tập con của ℝ Có thể hình dung hàm số sơ đồ mũi tên hình 1, trong đó miền xác định D của hàm số được thể hiện như một tập con của mặt phẳng tọa độ Oxy và miền giá trị là một tập các số trên trục số thực và được chỉ ra như trục Oz Ví dụ nếu Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn ( , ) biểu thị nhiệt độ của một điểm (x,y) trên một chiếc đĩa kim loại bằng phẳng có hình dạng D, ta có thể hiểu trục Oz như một cái nhiệt kế biểu thị các giá trị nhiệt độ nhận được Nếu một hàm số f được cho bởi một cơng thức và miền xác định chưa được chỉ rõ thì khi đó miền xác định D của hàm f được hiểu là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị của biểu thức nhận được là một số thực xác định Ví dụ 1: Với mỗi hàm số sau, tính giá trị (3,2), tìm và mơ tả miền xác định của nó (a) ( , ) = Lời giải: a) (3, 2) = √ = (b) ( , ) = ( − ) √ Biểu thức của f xác định nếu mẫu số khác 0 và biểu thức dưới dấu căn bậc 2 khơng âm Do đó miền xác định D của f là: = {( , )| + + ≥ 0, ≠ 1} Bất phương trình + + ≥ 0 hay ≥ − − 1 biểu diễn tất điểm thuộc đường thẳng nằm phía đường thẳng = − − với điều kiện ≠ nghĩa điểm thuộc đường thẳng = 1 bị loại bỏ khỏi miền xác định như hình 2 b) (3,2) = ln(2 − 3) = = Vì ( − ) xác định − > hay miền xác định hàm f = {( , ) | < < , } Đây tập hợp các điểm nằm ở phía bên trái của parabol = (xem hình 3) Khơng phải tất hàm số biểu diễn công thức rõ ràng Hàm số ví dụ sau được diễn đạt bằng lời và bằng số liệu các giá trị của nó Ví dụ 2: Ở những vùng có thời tiết mùa đơng khắc nghiệt, chỉ số gió lạnh (wind-chill index) thường được sử dụng để mô tả mức độ nghiêm trọng của cái lạnh Chỉ số W này là nhiệt độ cảm nhận phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế T tốc độ gió v Vì vậy, W là hàm của T và v và viết = ( , ) Bảng ghi giá trị W biên soạn Dịch vụ Thời tiết Quốc gia Hoa Kỳ (National Weather Service) Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Dịch vụ Khí tượng của Canada Ví dụ, bảng cho thấy nếu nhiệt độ là -5oC và tốc độ gió là 50 km/h, thì sẽ cảm thấy lạnh như nhiệt độ khoảng -15oC khi khơng có gió Vì vậy (−5, 50) = −15 (Chỉ số Gió – Lạnh: Một số Gió – Lạnh giới thiệu vào tháng 11 năm 2001 xác số cũ dùng để đo độ lạnh có gió, số phụ thuộc vào nhiệt nhanh khuôn mặt người Nó phát triển thơng qua thử nghiệm đơn giản mà người tình nguyện đặt vào nhiệt độ tốc độ gió khác phịng lạnh) Ví dụ 3: Năm 1928 Charles Cobb Paul Douglas cơng bố cơng trình nghiên cứu họ việc đưa cơng thức chuẩn mẫu của sự tăng trưởng nền kinh tế Mỹ giai đoạn 18991922 Họ đã xem xét một phương diện cơ bản của nền kinh tế đó là lượng sản phẩm sản xuất được quyết định bởi nguồn lao động phức tạp và nguồn vốn Trong khi có rất nhiều những nhân tố khác ảnh hưởng đến nền kinh tế Cơng thức họ đưa ra được chứng minh là hồn tồn chính xác Họ đã dùng hàm số có dạng như sau để chỉ ra lượng sản phẩm ( , ) = Trong đó P là tổng sản phẩm (tổng giá trị tiền tệ của tất cả các hàng hóa được sản xuất trong một năm) L là lượng lao động (tổng số nhân cơng làm việc trong một năm) và K là lượng vốn (tổng giá trị tiền tệ của máy móc, thiết bị và nhà cửa) Cobb và Douglas đã sử dụng dữ liệu kinh tế được cơng bố phủ để lập bảng Họ lấy số liệu năm 1899 như là một mốc và các giá trị P,L, K của năm 1899 đều được gán ứng với giá trị 100 Các giá trị của các năm khác được biểu diễn như là phần trăm của các giá trị của năm 1899 Cobb và Douglas đã dùng phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ quan hệ giữa các số liệu của bảng 2 bởi một hàm số sau: ( , ) = 1.01 Nếu ta sử dụng cơng thức được đưa ra bởi hàm số ở phương trình (2) để tính tổng sản phẩm trong năm 1910 và 1920 thì ta được giá trị (147,208) = 1.01(147) (194,407) = 1.01(194) (208) ≈ 161.9 (407) ≈ 235.8 Các giá trị này chênh lệch một ít so với giá trị thực tế là 159 và 231 Hàm tính tổng sản phẩm này đã được sử dụng trong nhiều tại liệu, nhiều lĩnh vực từ các cơng ty nhỏ lẻ cho tới kinh tế tồn cầu Hàm số này được biết đến như là hàm tổng sản Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán phẩm Cobb – Douglas (Cobb – Douglas production function) Miền xác định {( , )| ≥ 0, ≥ 0} bởi vì L, K biểu diễn cho số lao động và số vốn nên ln khơng âm █ Ví dụ 4: Tìm miền xác định và miền giá trị của g( , ) = 9− Lời giải: Miền xác định của g là = {( , )| 9 − − − ≥ 0} = {( , )| + ≤ 9} đó là đĩa trịn tâm (0, 0) bán kính bằng 3 (Xem Hình 4.) Miền giá trị của g là Bởi vì 9 − | = − 9− − ≤ 9 nên − Do đó miền giá trị của g là { | 0 ≤ ,( , ) ∈ − ≤ ≤ 3} = [0, 3] 1.1.2 Đồ thị Một cách khác để hình dung đặc trưng của hai biến là xem xét đồ thị của nó Định nghĩa: Nếu f là hàm hai biến có miền xác định là D thì đồ thị (graph) của nó là tập tất cả các điểm (x, y, z) R3 sao cho z = f(x, y) và (x, y) D Như vậy, đồ thị hàm biến đường cong với phương trình y = f(x) thì đồ thị của hàm hai biến là mặt cong với phương trình z = f(x, y) Chúng ta có thể hình dung rằng hình chiếu lên mặt phẳng xy của đồ thị S của hàm f chính là miền D (Hình 5) Ví dụ 5: Phác họa đồ thị hàm f(x, y) = 6 – 3x – 2y Lời giải: Đồ thị của f có phương trình z = 6 – 3x – 2y hay 3x + 2y + z = 6, đó là mặt phẳng Để vẽ mặt phẳng, ta tìm các giao điểm Cho y = z = 0, ta nhận được x = 2 là giao với trục Ox Tương tự, giao với Oy tại y = 3 và giao với Oz tại z bằng 6 Điều giúp chúng ta phác họa phần đồ thị nằm phần tám đầu tiên của khơng gian (first octant) như trong Hình 6 Hàm trong Ví dụ 5 là trường hợp đặc biệt của hàm f(x, y) = ax + by + c, nó được gọi là hàm tuyến tính (linear function) Đồ thị của các hàm có phương trình z = ax + by + c hay ax + by – z + c = 0 là các mặt phẳng Tương tự như hàm tuyến tính một biến, hàm tuyến tính hai biến đóng vai trị rất quan trọng trong các phép tốn vi phân và tích phân Ví dụ 6: Phác họa đồ thị của hàm g( , ) = Lời giải: Đồ thị có phương trình = = 9− − hay + + 9− 9− − − Bình phương hai vế ta nhận = 9, phương trình mặt cầu tâm gốc Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán tọa độ và bán kính bằng 3 Nhưng vì z 0 nên đồ thị của hàm g chỉ là nửa phía trên của mặt cầu Chú ý: Tồn bộ mặt cầu khơng thể biểu thị bởi một hàm hai biến x và y Như trong Ví dụ 6, bán cầu (hemisphere) trên được biểu thị bởi phương trình ( , ) = phương trình ℎ( , ) = − − − 9− − , bán cầu biểu thị Ví dụ 7: Sử dụng máy tính để vẽ đồ thị của hàm Cobb-Douglas ( , ) = 1.01 Lời giải: Hình 8 biểu thị đồ thị của P theo các giá trị của nhân cơng L vốn K trong phạm vi từ đến 300 Máy tính vẽ mặt cong bằng cách vẽ ra các vết dọc Chúng ta thấy rằng giá trị hàm P tăng theo hai tăng L K, dự đoán Trong MATLAB, chúng ta sử dụng các câu lệnh sau: x = 0:10:300; y = x; [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = 1.01.*X.^0.75.*Y.^0.25; surf(X,Y,Z) Ví dụ 8: Tìm miền xác định, miền giá trị và vẽ đồ thị hàm số ℎ( , ) = Lời giải: + Miền xác định của h là toàn bộ mặt phẳng R2 Miền giá trị là [0, +) Đồ thị có phương trình = + , paraboloid elliptic Các vết cắt ngang là các ellipse, các vết cắt dọc là các parabola (Hình 9) Các chương trình máy tính cho phép vẽ đồ thị của hàm hai biến Trong hầu hết các chương trình như vậy, các vết dọc trong các mặt phẳng x = k và y = k được vẽ với các giá trị cách đều nhau của k và một phần của đồ thị được loại bỏ bằng cách sử dụng loại bỏ dịng ẩn Hình 10 biểu thị các đồ thị của một số hàm được vẽ bởi máy tính Chú ý rằng chúng ta có thể nhận được những hình ảnh tốt hơn khi chúng ta sử dụng việc quay hình và chọn điểm quan sát thích hợp Trong các hình (a) và (b), đồ thị rất phẳng và bám sát vào mặt phẳng xy, ngoại trừ gần lân cận của gốc tọa độ, bởi vì là rất nhỏ khi x hoặc y là đủ lớn Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn 1.1.3 Đường mức Từ trước tới giờ ta có hai phương pháp để minh họa cho hàm số là sơ đồ mũi tên và đồ thị Có một phương pháp thứ ba đó là dùng bản đồ chu tuyến, trên bản đồ chu tuyến thì tập hợp các điểm có cùng một cao độ xác định sẽ nằm trên một đường chu tuyến hay cịn gọi là một đường mức Định nghĩa: Các đường mức (level curves) của một hàm số hai biến f là các đường cong có phương trình ( , ) = trong đó k hằng số (k thuộc miền giá trị của hàm số f) Mỗi đường mức f(x, y) = k tập tất điểm miền xác định f mà tại đó f nhận giá trị k Nói khác đi, biểu thị chỗ mà đồ thị của f có chiều cao là k Từ Hình 11, thấy mối quan hệ đường mức Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán vết ngang Đường mức f(x, y) = k giao tuyến đồ thị của f với mặt phẳng ngang z = k chiếu xuống mặt phẳng xy Một ví dụ quen thuộc đường mức chúng xuất đồ địa hình của một khu vực miền núi, như bản đồ trong Hình 12 Đường mức là mức độ cao so với mặt nước biển Nếu bạn đi bộ dọc theo một trong những đường cong, bạn khơng lên cũng khơng xuống Một ví dụ quen thuộc hàm nhiệt độ giới thiệu đoạn mở đầu phần này Ở đây các đường cong độ được gọi là đẳng nhiệt (isothermals) và chúng kết nối các miền có cùng một nhiệt độ Hình 13 là một bản đồ thời tiết của thế giới cho thấy nhiệt độ trung bình tháng Giêng (đơn vị độ C) Các đường đẳng nhiệt đường cong phân cách các dải màu Ví dụ 9: Hình 14 biểu thị đồ đường mức hàm f Sử dụng nó để ước lượng các giá trị f(1, 3) và f(4, 5) Lời giải: Điểm (1, 3) thuộc phần giữa hai đường mức với các giá trị 70 và 80, vì vậy ta ước lượng f(1, 3) 73 Tương tự f(4, 5) 56 Ví dụ 10: Phác họa đường mức của hàm f(x, y) = 6 – 3x – 2y với các giá trị k = -6, 0, 6, 12 Lời giải: Các đường mức là 6 – 3x – 2y = k hay 3x + 2y + (k – 6) = Đây là họ các đường thẳng với độ dốc − Bốn đường mức riêng ứng với k = -6, 0, 6 và 12 là 3x + 2y – 12 = 0, 3x + 2y – 6 = 0, 3x + 2y = 0 và 3x + 2y + 6 = 0 Chúng được phác họa trên Hình 15 Các đường mức là song song và cách đều nhau bởi đồ thị của f là mặt phẳng Ví dụ 11: Phác thảo các đường mức của hàm ( , ) = 9− − với k = 0, 1, 2, 3 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Lời giải: Đường mức là − − = hay + = 9− Đây họ đường tròn đồng tâm với tâm (0, 0) bán kính √9 − Các trường hợp k = 0, 1, 2, biểu thị Hình 16 Hãy thử hình dung đường cong nâng lên tạo thành một mặt cong và so sánh với đồ thị của một bán cầu trong Hình 7 Ví dụ 12: Phác thảo các đường mức của hàm ( , ) = + Lời + giải: + +1 = Đường hay ( mức + = ) 1, với k > 1, biểu thị họ ellipse với bán trục (semiaxes) là √ − 1 và √ − Hình 17(a) cho thấy đồ đồng mức của h được vẽ bởi máy tính Hình 17(b) cho thấy đường mức được nâng tới đồ thị của h (một paraboloid elliptic), ở đó chúng trở thành các vết ngang Ví dụ 13: Vẽ đường mức của hàm Cobb-Douglas trong Ví dụ 3 Lời giải: Trong Hình 18, các đường đồng mức của hàm Cobb-Douglas P(L, K) = 1.01L0.75K0.25 được vẽ bởi máy tính Các đường mức được gán nhãn theo các giá trị của sản phẩm P Ví dụ, đường mức có nhãn 140 biểu thị tất cả các giá trị của nhân cơng L đầu tư K để có sản phẩm P = 140 Chúng ta thấy rằng, đối với một giá trị cố định của P, thì L tăng K Hình 18 giảm, và ngược lại Tùy theo mục đích, một bản đồ đồng mức hữu ích hơn một đồ thị Đó là chắc chắn đúng trong Ví dụ 13 (So sánh Hình 18 với Hình 8.) Nó việc ước tính giá trị hàm, trong Ví dụ 9 Hình 19 cho thấy một số đường mức được máy tính tạo ra cùng với các đồ thị tương ứng Chú ý rằng các đường mức trong phần (c) tụ lại với gần nguồn gốc tọa độ Tương ứng với thực tế là các đồ thị trong phần (d) là rất dốc khi ở gần gốc tọa độ Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán 1.1.4 Hàm ba nhiều biến Một hàm ba biến (function of three variables) f, là quy luật gán mỗi bộ ba có thứ tự (x, y, z) trên miền D R3 với duy nhất một giá trị thực ( , , ) Ví dụ, nhiệt độ T tại mỗi điểm bề mặt Trái đất phụ thuộc vào kinh độ x, vĩ độ y thời điểm t, viết = ( , , ) Ví dụ 14: Tìm miền xác định của ( , , ) = ln( − ) + Lời giải: Biểu thức f(x, y, z) được xác định khi z – y > 0, vì vậy miền xác định của f là = {( , , ) ∈ | > } Đây là nửa khơng gian (half – space) bao gồm tất cả các điểm nằm về phía trên mặt phẳng z = y Rất khó để cảm nhận đồ thị của hàm ba biến, vì nó nằm trong khơng gian bốn chiều Tuy nhiên, chúng ta có được một số cái nhìn sâu sắc vào f bằng cách kiểm tra các mặt mức (level surfaces) của nó, đó là những mặt cong có phương trình f(x, y, z) = k, với k là một hằng số Nếu điểm (x, y, z) di chuyển dọc theo một mặt mức, giá trị của f(x, y, z) vẫn khơng đổi Ví dụ 15: Tìm mặt mức của hàm f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 Lời giải: Các mặt mức là x2 + y2 + z2 = k, với k 0 Đó là họ các mặt cầu đồng tâm với bán kính √ (Xem Hình 20) Vì vậy, khi (x, y, z) thay đổi trên bất kỳ mặt cầu tâm O, giá trị của f(x, y, z) là khơng đổi Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Hàm n biến là quy luật gán mỗi bộ n-số thực (x1, x2, , xn) với một số thực z = f(x1, x2, , xn) Ta ký hiệu Rn là tập tất cả các bộ n-số thực Ví dụ, nếu một cơng ty sử dụng n loại ngun liệu để làm ra một sản phẩm, ci là giá của ngun liệu thứ i, xi là số đơn vị ngun liệu thứ i, khi đó giá thành C của mỗi sản phầm là hàm của n biến x1, x2, , xn ( , = ,…, )= + +⋯+ Hàm f có giá trị thực với miền xác định là tập con của R3 Đơi khi ta sử dụng ký hiệu véc tơ để biểu thị hàm ở dạng gọn hơn: Nếu ⃗ = 〈 , , … , 〉, ta viết ( ⃗) thay cho ( , ,…, ) Với ký hiệu vậy, chúng ta có thể định nghĩa hàm trong phương trình [3] như sau: ( ⃗) = ⃗ ⃗ ở đây = 〈 , , … , 〉 và ⃗ ⃗ là ký hiệu tích vơ hướng của các véc tơ ⃗ và ⃗ trong Vn Xem tương ứng – điểm ( , , … , ) R3 với véc tơ vị trí 〈 , , … , 〉 trong Vn, chúng ta có ba cách quan niệm về hàm f được xác định trong tập con của Rn: Như là hàm của n biến , ,…, , … , ) Như là hàm của một biến véc tơ ⃗ = 〈 , , … , Như là hàm của một biến điểm ( , 〉 1.2 Giới hạn liên tục 1.2.1 Giới hạn Chúng ta xem xét hai hàm ( , )= ( , ) = khi cả x và y đồng thời dần về 0, tức là điểm (x, y) dần về gốc tọa độ Bảng 1 và Bảng 2 liệt kê các giá trị của f(x, y) và g(x, y), chính xác tới ba chữ số thập phân, đối với các điểm (x, y) gần gốc tọa độ Chú ý rằng hàm khơng xác định tại gốc tọa độ 10 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán ( , ) = 10 −5 −4 − −2 Ngồi ra, tìm điểm cao nhất trên đồ thị của f Lời giải: Các đạo hàm riêng cấp 1 là = 20 − 10 − ; = 10 −8 −8 Vậy để tìm điểm tới hạn ta cần giải hệ phương Hình trình 2 (10 − − −4 −4 Từ phương trình (4) ta thấy ) = = = 10 − − = Trường hợp thứ (x = 0) Phương trình (5) trở thành −4 (1 + ) = 0, vậy y = 0 và ta có điểm tới hạn (0,0) Hình Trường hợp thứ hai (10 − − = 0), ta được = − 2.5 và thay vào phương trình (5), ta có 25 − 12.5 − − = 0, vậy giải phương trình bậc ba − 21 + 12.5 = Sử dụng máy tính để vẽ đồ thị của hàm ( ) = − 21 + 12.5 hình 6, ta thấy phương trình (7) có nghiệm Hình thực Bằng cách phóng đại, ta tìm nghiệm với bốn chữ số thập phân: ≈ −2.5452; ≈ 0.6468; ≈ 1.8984 (Như lựa chọn, ta sử dụng phương pháp Newton dò nghiệm để xác định nghiệm này) Từ phương trình (6), các giá trị tương ứng của x được xác định = ± − 2.5 Nếu ≈ −2.5452 khơng có giá trị thực tương ứng x Nếu ≈ 0.6468 ≈ ±0.8567 Nếu ≈ 1.8984 ≈ ±2.6442 Vậy ta có tổng cộng điểm tới hạn, phân tích trong bảng sau Tất cả các đại lượng được làm trịn đến hai chữ số thập phân Điểm tới hạn Giá trị của f D (0,0) 0.00 -10.00 80.00 Cực đại địa phương (±2.64, 1.90) 8.50 -55.93 2488.72 Cực đại địa phương (±0.86, 0.65) -1.48 -5.87 -187.64 Điểm yên ngựa 43 Kết luận Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Hình 7 và 8 đưa ra 2 hình ảnh về đồ thị của f và ta thấy mặt mở hướng xuống dưới [Điều này cũng có thể thấy từ biểu thức của f(x,y): các nhóm chủ yếu là – − khi | | và | | lớn ] So sánh giá trị f cực đại địa phương, ta thấy GTLN f (±2.64, 1.90) ≈ 8.50 Nói cách khác, điểm cao Hình trên đồ thị của f là (±2.64, 1.90, 8.50) Ví dụ 5: Tìm khoảng cách ngắn từ điểm (1,0,-2) đến mặt phẳng x + 2y + z = 4 Lời giải: Khoảng cách từ điểm bất kỳ (x,y,z) đến điểm (1,0,-2) là = ( − 1) + + ( + 2) nhưng nếu (x,y,z) nằm trên mặt phẳng x + 2y + z = 4, thì z = 4 – x – 2y và vì vậy ta có ( − 1) + = + (6 − = − ) Ta có thể viết dưới dạng biểu thức gọn hơn ( , ) = ( − 1) + + (6 − −2 ) Bằng cách giải hệ phương trình = 2( − 1) − 2(6 − − ) = + − 14 = = − 4(6 − − ) = + 10 − 24 = ta tìm điểm tới hạn = − = 24 > 0 và một cực tiểu địa phương tại , , Từ = 4, = = 10 ta có > 0, vậy theo tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai, f có Bằng trực giác, ta có thể thấy cực tiểu địa phương này thực tế GTNN điểm mặt phẳng gần với điểm (1,0,-2) Nếu = = = ( − 1) + + (6 − −2 ) = + + = √6 Khoảng cách ngắn nhất từ (1,0,-2) đến mặt phẳng x + 2y + z = 4 là √6 Hình 9 là bản đồ đồng mức của hàm f trong Ví dụ 4 Năm điểm tới hạn được thể hiện bởi các chấm trịn màu đỏ Ví dụ 6: Một cái hộp hình lập phương khơng có nắp được làm từ 12 bìa các tơng Tìm GTLN thể tích của cái hộp đó Lời giải: Gọi chiều dài, chiều rộng chiều cao hộp (theo đơn vị mét) x, y, z, Hình 10 trong hình 10 Khi đó thể tích của hộp là = Ta có thể coi V là một hàm hai biến x và y bằng cách sử dụng diện tích xung quanh và đáy của hộp là 44 +2 + = 12 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Giải phương trình này theo z, ta được = = ) , vậy biểu thức V trở thành 12 − 12 − = 2( + ) 2( + ) Ta tính các đạo hàm riêng: (12 − − = 2( + ) Nếu V là một cực đại, thì ( = ) ; (12 − − 2( + ) = ) = 0, nhưng x = 0 hoặc y = 0 lại cho ta V = 0, vậy ta phải giải hệ phương trình 12 − Hệ này ám chỉ rằng = − = 0; 12 − − = và vì vậy x = y (Chú ý rằng x và y đều phải dương trong trường hợp này) Nếu ta cho x = y thì phương trình trở thành 12 − 2 và = ∙ ( ) = 0, được x = 2, y = = Ta sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để tìm cực đại địa phương của V , hoặc có thể đốn được theo vật lý là phải có một GTLN cho thể tích của hộp, điều xảy điểm tới hạn V, xảy x = 2, y = 2, z = Khi = ∙ ∙ = Vậy GTLN thể tích của hộp là 4 █ 1.7.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ Cho hàm một biến f, định lý Giá trị cực trị nói rằng nếu f là hàm liên tục trên khoảng đóng [a,b], thì f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Theo phương pháp khoảng đóng, ta tìm cách đánh giá f khơng chỉ tại các điểm tới hạn mà cịn tại cả các điểm biên a và b Có cách tương tự cho hàm hai biến Giống Hình 11 khoảng đóng gồm các điểm biên, một tập đóng (a close set) ℝ là tập gồm tất cả các điểm biên của nó [Một điểm biên của D là điểm (a,b) mà mỗi một hình trịn tâm (a,b) chứa những điểm thuộc D điểm khơng thuộc D.] Ví dụ, hình trịn = {( , )│ + ≤ 1} gồm tất cả các điểm nằm trong và nằm ngồi đường trịn + = 1, là một tập đóng gồm tất điểm biên (những điểm nằm đường trịn + = 1) Nhưng nếu bỏ đi một điểm trên đường biên, tập hợp khơng đóng nữa (Xem hình 11) Một tập bị chặn (bounded set) trong ℝ là tập chứa một vài hình trịn Nói cách khác, nó có kích thước hữu hạn Khi đó, trong nhóm các tập đóng và các tập bị chặn, ta cần nói rõ sự đối chiếu của định lý giá trị cực trị trong khơng gian hai chiều Định lý giá trị cực trị cho hàm hai biến: Nếu f liên tục trên một tập đóng và bị chặn D trong ℝ thì f đạt được giá trị lớn nhất ( , các điểm ( , ) và ( , ) trong D 45 ) và giá trị nhỏ nhất ( , ) tại Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Để đảm bảo tìm được các giá trị cực trị bằng định lý (8), ta chú ý rằng, theo định lý (2), nếu f có một giá trị cực trị tại ( , ), thì ( , ) cũng là điểm tới hạn của f hoặc điểm biên của f Do đó ta có sự mở rộng của phương pháp khoảng đóng như sau Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm liên tục f trên tập đóng, bị chặn D: Tìm các giá trị của f tại các điểm tới hạn của f trong D Tìm các giá trị cực trị của f trên biên của D Số lớn nhất trong các giá trị của bước 1 và bước 2 là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất trong đó là giá trị nhỏ nhất Ví dụ 7: Tìm GTLN GTNN hàm ( , ) = = {( , )|0 ≤ ≤ 3, ≤ ≤ 2} −2 + hình chữ nhật Lời giải: Do f là một đa thức, nó liên tục trên hình chữ nhật đóng, bị chặn D, vậy theo định lý 8 nó có cả GTLN và GTNN Theo bước (9), trước hết ta tìm điểm tới Hình 12 hạn Điều này xảy ra khi = − = 0; = −2 + = vậy chỉ có một điểm tới hạn là (1,1), và giá trị của f tại đó là f(1,1) = 1 Trong bước 2 ta xét các giá trị của f trên biên của D, bao gồm bốn đoạn thẳng Hình 13 , , Trên ta có y = 0 và ( , 0) = , vẽ hình 12 ,0 ≤ ≤ Đây là một hàm tăng của biến x, nên giá trị nhỏ nhất của nó là f(0,0) = 0 và GTLN là f(3,0) = 9 Trên ta có x = 3 (3, ) = − , ≤ ≤ Đây là hàm giảm đối với y, nên GTLN là f(3,0) = 9 và GTNN là f(3,2) = 1 Trên ta có y = 2 và ( , 2) = − + 4, ≤ ≤ Bằng phương pháp chương 3, dễ thấy ( , 2) = ( − 2) , ta thấy GTNN của hàm này là f(2,2) = 0 và GTLN là f(0,2) = 4 Cuối cùng, ta có x = 0 và (0, ) = , ≤ ≤ với GTLN f(0,2) = 4 và GTNN f(0,0) = 0 Do đó, trên biên GTNN của f là 0 và GTLN là 9 Trong bước 3 ta so sánh các giá trị này với giá trị f(1,1) = 1 tại điểm tới hạn và kết luận GTLN của f trên D là f(3,0) = 9 và GTNN là f(0,0) = f(2,2) = 0 Hình 13 thể hiện đồ thị của f Ta kết thúc phần này bằng cách chứng minh phần đầu tiên Tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai Phần (b) được chứng minh tương tự 46 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Chứng minh định lý (3) phần (a): Ta tính đạo hàm theo hướng f theo hướng ⃗ = 〈ℎ, 〉 Đạo hàm cấp một được xác định bởi định lý 14.6.3: = ⃗ ℎ + Áp dụng định lý này lần thứ hai ta có ⃗ ⃗( = = ℎ + = ℎ + )= ⃗ ( ℎ+( ℎ + ) ℎ + ⃗ ℎ + ( ⃗ ) ) (Theo định lý Clairaut) Nếu viết biểu thức dưới dạng bình phương, ta được 10 Ta thấy ⃗ = ℎ+ ( , ) > 0 và ( , ) > Nhưng + − = tục, vậy có một hình trịn B tâm (a,b) bán kính > 0 sao cho − là các hàm liên ( , ) > 0 và ( , ) > 0 với (x,y) nằm trong B Do đó, nhìn phương trình (10) ta thấy rằng ⃗ ( , ) > 0 với (x,y) nằm trong B Điều này có nghĩa là nếu đường cong C là giao giữa đồ thị của f với mặt phẳng đứng qua P(a,b,f(a,b)) có vectơ chỉ phương ⃗, thì C lồi lên một khoảng có độ dài 2 Điều này là đúng theo hướng mỗi vectơ ⃗ Vậy nếu hạn chế (x,y) nằm trong B, đồ thị của f nằm trên mặt tiếp diện nằm ngang tại P Dẫn đến ( , ) ≥ ( , ) với mọi (x,y) nằm trong B Điều này cho thấy f(a,b) là một cực tiểu địa phương █ 1.7.3 Cực trị có điều kiện Phương pháp nhân tử Lagrange Ở ví dụ 6 trong phần 7, ta tìm cực đại của hàm V = xyz với ràng buộc 2 12, biểu thức này thể hiện bề mặt của 12 +2 + = Trong phần này chúng tơi giới thiệu phương pháp Lagrange để tìm GTLN và GTNN của hàm f(x,y,z) với ràng buộc g(x,y,z) = k Dễ dàng giải thích cơ sở hình học của phương pháp Lagrange cho hàm hai biến Vậy ta thử tìm các giá trị cực trị của f(x,y) với ràng buộc g(x,y) = k Nói cách khác, ta tìm các cực trị của f(x,y) khi điểm (x,y) bị giới hạn nằm trên đường cong g(x,y) = k Hình 1 thể hiện đường cong này cùng với một vài đường cong của f Hình Những đường cong này có phương trình f(x,y) = c khi c = 7, 8, 9, 10, 11 Để tìm cực đại của f(x,y) với g(x,y) = k, ta tìm giá trị lớn nhất của c sao cho đường cong f(x,y) = c cắt g(x,y) = k Trong hình ta thấy điều xảy đường cong này tiếp xúc với nhau, đó là khi chúng có cùng đường tiếp tuyến (Nói cách khác, giá trị c có thể tăng hơn nữa) Điều này nghĩa là các đường pháp tuyến tại điểm ( , ) nơi chúng tiếp xúc là trùng nhau Vì vậy các 47 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán vectơ gradient song song với nhau, nghĩa là ∇⃗ ( ) = ∇⃗ ( , , ) với là đại lượng vơ hướng Cách suy luận này cũng được áp dụng để tìm cực trị của f(x,y,z) với ràng buộc g(x,y,z) = k Thay vì các đường mức trong hình 1, ta xét các mặt mức f(x,y,z) = c và đốn rằng GTLN của f là ( , , ) = , khi đó mặt mức f(x,y,z) = c là tiếp xúc với mặt mức g(x,y,z) = k và vì vậy các vectơ gradient tương ứng là song song với nhau Sự suy luận từ thực tế này có thể được chính xác hóa như sau Giả sử hàm f có một cực trị điểm ( , , ) mặt S, cho C đường cong có phương trình vectơ ⃗( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉 nằm trên S và đi qua P Nếu là giá trị tham số tương ứng với điểm P thì ⃗( ) = 〈 , , )〉 Hàm hợp ℎ( ) = ( ( ), ( ), ( )) thể giá trị f nằm đường cong C Do f có cực trị ( , , ), dẫn đến h có cực trị , ℎ ( ) = Nhưng nếu f là hàm nhiều biến, ta có thể sử dụng quy tắc dây chuyền để viết 0= ℎ( ) = ( , , ) ( ) + ( , , ) ( ) + ( , , ) ( ) = ∇⃗ ( , , ) ⃗′( ) Điều cho ta thấy vectơ gradient ∇⃗ ( , ) vng góc với vectơ tiếp tuyến , ⃗′( ) đường cong C Nhưng ta biết vectơ gradient g, ∇⃗ ( , vng góc với ⃗′( ) của mỗi đường cong Điều này nghĩa là các vectơ gradient ∇⃗ ( và ∇⃗ ( , , ) phải song song Do đó, nếu ∇⃗ ( ∇⃗ ( , , )= , , ∇⃗ ( ) , , , ) ) ≠ 0 thì có một số sao cho , , ) Số phương trình (1) gọi nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier) Phương pháp căn cứ vào phương trình (1) như sau Phương pháp nhân tử Lagrange: Để tìm các GTLN GTNN hàm f(x,y,z) với ràng buộc g(x,y,z) = k [giả sử tồn các giá trị cực trị ∇⃗ ≠ trên mặt g(x,y,z) = k] : (a) Tìm tất cả các giá trị x, y, z và thỏa mãn ∇⃗ ( , , ) = ∇⃗ ( , , ) và g(x,y,z) = k (b) Tính giá trị của f tại tất cả các điểm (x,y,z) từ bước (a) Số lớn nhất trong các giá trị này là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN của f (Phương pháp nhân tử Lagrange đặt tên theo nhà toán học người Ý gốc Pháp Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813)) Theo phương pháp Lagrange ta giả sử ∇⃗ ≠ 0⃗ Trong các ví dụ chúng ta có thể kiểm tra ∇⃗ ≠ 0⃗ tại mọi điểm g(x,y,z) = k 48 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Nếu ta viết phương trình vectơ ∇⃗ = ∇⃗ theo thành phần hệ phương trình trong bước (a) trở thành = ; = ; ; ( , , ) = = Đây là hệ 4 phương trình 4 ẩn x, y, z và , nhưng nó khơng cần thiết để tìm các giá trị cụ thể của Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến cũng tương tự như trên Để tìm các cực trị của f(x,y) với ràng buộc g(x,y) = k, ta tìm các giá trị x, y và thỏa mãn ∇⃗ ( , ) = ∇⃗ ( , ) và g(x,y) = k Nghĩa là ta đi giải hệ phương trình 3 ẩn = ; ; ( , ) = = Có thể cụ thể hóa phương pháp nhân tử Lagrange sau: 1) Đối với hàm hai biến: Tìm cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = 0 Bước 1: Xét hàm ( , , ) = ( , ) + ( , ) = = Tìm các điểm tới hạn ( , )= Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Xét dấu - Nếu ( - Nếu ( - Nếu ( Nếu Δ ( Nếu Δ ( = + +2 ( , , ) > 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( ) , ) < 0 thì là điểm cực đại Tính ( ) , ) khơng xác định dấu thì xét dấu Δ ( ) với điều kiện ( ) > 0 thì ) < 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( là điểm cực đại Tính ( , ) ) = ) ) 2) Đối với hàm ba biến: Tìm cực trị hàm u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 Bước 1: Xét hàm ( , , , ) = ( , , ) + ( , , ) = ⎧ = Bước 2: Giải hệ phương trình Tìm các điểm tới hạn ( , , ) = ⎨ ⎩ ( , , )= Bước 3: Xét dấu = - Nếu ( - Nếu ( - Nếu ( Nếu Δ ( Nếu Δ ( + + +2 + + , ) > 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( ) , ) < 0 thì là điểm cực đại Tính ( ) , ) khơng xác định dấu thì xét dấu Δ ( ) với điều kiện ( ) > 0 thì ) < 0 thì là điểm cực tiểu Tính ( là điểm cực đại Tính ( Cách khác - Bước 1: Giải hệ phương trình 49 ) ) ) = Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán = - = ( , , )= Giả sử tìm được các điểm tới hạn là ( , , ) Bước 2: Xét dấu Δ ( , , ) với điều kiện ( , , ) = 0 trong đó Δ ( , , ) = ( +Δ , +Δ , +Δ )− ( , , ) + Nếu Δ ( , + Nếu Δ ( , , ) > 0 thì Mi là điểm cực tiểu , ) < 0 thì Mi là điểm cực đại Ví dụ 1: Tìm cực trị của ( , ) = + − − + 1 với điều kiện x2 + y2 = 4 Lời giải: F (x, y, ) = x2 + y2 – 2x – 2y + 1 + ( x2 + y2 – 4) = ⎧ −2+2 = = ⟺ −2+2 = 0⟺ ⎨ + = ( , )= ⎩ −√2, −√2 , = − −1 = −1 √2 √2, √2 , √2 Xét dấu ∆ = ∆ , thông qua xét dấu d2F = + +2 = (2 + )( Tại M1 có d2F < 0 nên hàm số đạt cực đại có điều kiện, ( Tại M2 có d2F > 0 nên hàm số đạt cực tiểu có điều kiện, ( + ) ) = + 4√2 ) = − 4√2 Ví dụ 2: Tìm cực trị của u = x – 2y + 2z với điều kiện g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 1 = 0 Lời giải: Cách 1: u'x = 1, u'y = – 2, u’z = 2, g'x = 2x, g'y = 2y, g’z = 2z 2 ∇⃗ ( , , ) = ∇⃗ ( , , ) ⟺ = − = ⟺2 = − = 2 2 = − = Giải hệ phương trình , các điểm tới hạn là + + −1= 2 2 ,− , , − , ,− 3 3 3 Để xét xem M1 có là điểm cực trị khơng, ta cho x, y, z những số gia tương ứng là x, y, z đủ nhỏ và xét dấu của số gia u, 2 Δ = +Δ −2 − +Δ +2 +Δ 3 Mặt khác ta phải có ⟺ +Δ + − +Δ − + 2.2 − − + = Δ − 2Δ + 2Δ 3 +Δ = 1 4 4 + Δ + (Δ ) + − Δ + (Δ ) + + Δ + (Δ ) = 9 (x – 2y + 2z) = –(x2 + y2 + z2) Do đó u = – (x2 + y2 + z2) < 0 nếu các số gia khơng đồng thời bằng 0 Vậy M1 là điểm cực đại và u(M1) = 3 Tương tự, M2 là điểm cực tiểu và u(M2) = – 3 50 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Cách 2: Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange: F (x, y, z, ) = x – 2y + 2z + ( x2 + y2 + z2 – 1) = 2 ⎧ ,− , , = − = 3 ⟺ 2 = ⎨ − , ,− , = ⎩ ( , , )= 3 Xét dấu ∆ = ∆ , thông qua xét dấu d2F = + + +2 = ( +2 + +2 ) + Tại M1 có d2F < 0 nên hàm số đạt cực đại có điều kiện Tại M2 có d2F > 0 nên hàm số đạt cực tiểu có điều kiện Ví dụ 3: Một hình hộp chữ nhật làm từ 1 miếng bìa các tơng 12 Tìm giá trị cực đại thể tích của cái hộp Lời giải: Như trong ví dụ 6, ta gọi x, y và z tương ứng là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của cái hộp theo đơn vị mét Khi đó ta tìm GTLN của = với ràng buộc ( , , )= +2 + = 12 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm các giá trị x, y, z và sao cho ∇⃗ = ∇⃗ và g(x,y,z) = 12 Dẫn đến hệ phương trình = = = ⎧ ⎨ ⎩2 +2 + = 12 Tương đương với = (2 + ) = (2 + ) = (2 + ) +2 + = 12 Khơng có quy tắc chung để giải một hệ phương trình Đơi khi phải dựa vào sự khéo léo Ở ví dụ này ta phải chú ý rằng nếu nhân hai vế của (2) với x, hai vế của (3) với y, và hai vế của (4) với z, thì các vế trái của hệ phương trình này sẽ giống hệt nhau Khi đó ta có = (2 + ) = (2 + ) = (2 +2 ) Ta thấy ≠ 0 vì nếu = 0 thì từ (2), (3) và (4) suy ra với (5) Do đó, từ (6) và (7) ta có + = 51 + = = = 0, mâu thuẫn Nguyễn Thị Minh Ngọc suy ra = Chương – Toán Nhưng ≠ 0 (từ z = 0 sẽ được V = 0), vậy x = y Từ (7) và (8) ta có suy ra 2 = + = +2 va do đó (từ ≠ 0) y = 2z Nếu thay x = y = 2z vào (5), ta được +4 +4 = 12 Do x, y và z đều dương, ta có z = 1 và vì vậy x = 2 và y = 2 (Cách khác để giải hệ phương trình (2 – 5) là rút từ các phương trình (2) (3) (4) rồi lập hệ phương trình với x, y, z) ∎ Ví dụ 4: Tìm các cực trị của hàm ( , ) = trên đường tròn + = Lời giải: Ta tìm cực trị f với rang buộc ( , ) = + = 1, sử dụng nhân tử Lagrange, ta giải hệ phương trình ∇⃗ = ∇⃗ và g(x,y) = 1, có thể viết như sau = ; +2 ; ( , ) = = Hay = 10 = Hình 11 + = Từ (9) ta có x = = Nếu x = từ (11) = ±1 Nếu = 1 thì y = 0 từ (10), vậy từ (11) được = ±1 Do đó f có thể có cực trị tại các điểm (0,1), (0,-1), (1,0) và (-1,0) Tính các giá trị của f tại các điểm này, ta tìm được (0,1) = 2; (0, −1) = 2; (1,0) = 1; (−1,0) = Do GTLN f đường trịn + = (0, ±1) = 2 và GTNN là (±1,0) = Đối chiếu với hình 2, ta thấy các giá trị này là phù hợp (Trong biểu diễn hình học cho thấy các điểm cao nhất và thấp nhất trên đường cong C hình nằm paraboloid = + +2 phía ràng buộc đường trịn = 1) ∎ Ví dụ 5: Tìm các cực trị của ( , ) = Hình +2 trên hình trịn + ≤ Lời giải: Ta so sánh các giá trị của f tại các điểm tới hạn với các giá trị điểm biên từ = = , có điểm tới hạn là (0,0) Ta so sánh giá trị của f tại điểm đó với các cực trị trên biên từ ví dụ 2: (0,0) = 0; (±1,0) = 1; (0, ±1) = Do GTLN f hình tròn + ≤ (0, ±1) = GTNN là f(0,0) = 0 (Hình 3 mơ tả về phương diện hình học của Ví dụ 2 Các cực trị của f (x, y) = x2 + 2y2 tương ứng với các đường mức mà tiếp xúc với đường trịn Ví dụ 6: Tìm các điểm trên mặt cầu + + + = 1) ∎ = 4 gần nhất và xa nhất so với điểm (3,1,-1) 52 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Lời giải: Khoảng cách từ một điểm (x,y,z) đến điểm (3,1,-1) là ( − 3) + ( − 1) + ( + 1) = Hình Nhưng biểu thức đại số sẽ đơn giản hơn nếu ta thay GTLN và GTNN bằng bình phương khoảng cách = ( , , ) = ( − 3) + ( − 1) + ( + 1) Ràng buộc là điểm (x,y,z) nằm trên mặt cầu sao cho ( , , )= + + = Theo phương pháp nhân tử Lagrange, ta giải ∇⃗ = ∇⃗ , = Ta được 12 2( − 3) = 13 2( − 1) = 14 2( + 1) = 15 + + = Cách đơn giản nhất để giải hệ này là rút x, y, z theo từ (12), (13), (14), và thay các giá hay (1 − ) = hay = trị này vào (15) Từ (12) ta có − = [Chú ý rằng 1 − ≠ 0 vì từ (12) khơng thể có = 1] Dễ thấy từ (13) và (14)] 1 = ; = − 1− 1− Do đó từ (15) ta có (−1) + + = (1 − ) (1 − ) (1 − ) Suy ra (1 − ) = ; − = ± √ , vậy √11 Các giá trị này của tương ứng với các điểm (x,y,z): = 1± ( , √ ,− √ √ ) và (− √ ,− √ , √ ) Dễ thấy giá trị của f tại điểm thứ nhất nhỏ hơn, vậy điểm gần nhất là ( điểm xa nhất là − √ ,− √ , √ √ , √ ,− √ ) và (Hình 4 thể hiện mặt cầu và điểm gần nhất P trong ví dụ 6 Làm thế nào để tìm được tọa độ của P mà khơng cần tính?) Hai ràng buộc 53 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Hình Giả sử ta muốn tìm GTLN GTNN hàm f(x,y,z) với hai ràng buộc (hai điều kiện) g(x,y,z) = k và h(x,y,z) = c Về phương diện hình học, điều này có nghĩa là ta tìm các giá trị cực trị f (x,y,z) bị giới hạn nằm giao tuyến C của các mặt g(x,y,z) = k và h(x,y,z) = c (Xem hình 5) Giả sử f có một cực trị tại điểm ( , , ) Ta biết từ phần đầu phần ∇⃗ vng góc với C P Nhưng ta cũng biết rằng ∇⃗ vng góc với g(x,y,z) = k và ∇⃗ℎ vng góc với h(x,y,z) = c, vậy ∇⃗ và ∇⃗ℎ cùng vng góc với C Điều này nghĩa là vectơ gradient ∇⃗ ( , ) nằm trên mặt phẳng được xác định bởi ∇⃗ ( , , ) và ∇⃗ℎ( , , , ) (ta giả sử các vectơ gradient này khác 0 và không song song) Vì vậy có các số (gọi là các nhân tử Lagrange) sao cho 16 ∇⃗ ( , ∇⃗ ( )= , , ) + ∇⃗ℎ( , , , ) Trong trường hợp này phương pháp Lagrange dùng để tìm các giá trị cực trị bằng cách giải hệ 5 phương trình 5 ẩn x, y, z, Hệ phương này có được bằng cách viết phương trình (16) ra các thành phần và sử dụng các phương trình ràng buộc: = + ℎ ( , , )= = + ℎ = + ℎ ℎ( , , ) = Chú ý: Trường hợp có hai ràng buộc, ta tìm , , x0, y0, z0 thoả mãn hệ năm phương trình ( , ⎧ ⎪ ( , ( , ⎨ ⎪ ⎩ , , , )+ )+ )+ ( , , )+ ℎ ( , ( , , )+ ℎ ( , ( , , )+ ℎ ( , ( , , )= ℎ( , , ) = Ví dụ 7: Tìm GTLN của hàm ( , , ) = phẳng − + Hình = 1 và mặt trụ + )= )= ) = , , , + + trên đường cong là giao tuyến của mặt = Lời giải: Ta tìm GTLN hàm ( , , ) = + + với ràng buộc ( , , ) = − + = ℎ( , , ) = + = Điều kiện Lagrange ∇⃗ = ∇⃗ + ∇⃗ℎ, ta giải hệ phương trình 17 = +2 18 = − + 19 = 20 − 21 54 + = + = Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Thế = 3 (từ (19)) vào (17) ta được 2 = Thế vào (21) ta được Và do đó 1± = ; = ± + √ = Khi đó = ± Các giá trị tương ứng của f là ∓ √ = −2, vậy = − Tương tự, từ (18) được √ , √ +2 ± √ = ± √ , và từ (20), = − +3 1± √ + = = ± √29 Do đó GTLN của f trên đường cong là 3 + √29 Trong hình 6, mặt trụ + = 1 giao với mặt phẳng x – y + z = 1 theo một đường elip, ví dụ ta tìm giá trị nhỏ f (x,y,z) bị hạn chế nằm đường elip ∎ 55 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán 56 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán MỤC LỤC CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM RIÊNG Error! Bookmark not defined 2.1 Hàm nhiều biến 1 2.1.1 Hàm hai biến 1 2.1.2 Đồ thị 4 2.1.3 Đường mức 2.1.4 Hàm ba nhiều biến 2.2 Giới hạn và sự liên tục .10 2.2.1 Giới hạn 10 2.2.2 Sự liên tục 14 2.3 Đạo hàm riêng .15 2.3.1 Định nghĩa cách tính 15 2.3.2 Ý nghĩa đạo hàm riêng 18 2.3.3 Hàm nhiều hai biến 20 2.3.1 Đạo hàm cấp cao Error! Bookmark not defined 2.4 Mặt phẳng tiếp diện 22 2.4.1 Mặt phẳng tiếp diện 22 2.4.2 Vi phân 24 2.4.3 Các hàm ba nhiều biến 25 2.5 Quy tắc dây chuyền .25 2.5.1 Đạo hàm hàm hợp 25 2.5.2 Đạo hàm hàm ẩn 29 2.6 Đạo hàm theo hướng và véc tơ gradient 31 2.6.1 Đạo hàm theo hướng 31 2.6.2 Véc tơ gradient 33 2.6.3 Hàm ba biến 34 2.6.4 Giá trị lớn đạo hàm theo hướng 35 2.6.5 Mặt phẳng tiếp diện mặt mức 37 2.6.6 Ý nghĩa vectơ gradient .39 2.7 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất .39 2.7.1 Cực trị không điều kiện .39 2.7.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ 45 2.7.3 Cực trị có điều kiện .47 ... dz = [2( 2)+ 3(3)]0.05 + [3 (2) – 2( 3)] (-0 .04) = 0.65 Số gia của z là z = f (2. 05 ,2. 96) – f (2, 3) = [ (2. 05 )2 + 3 (2. 05) (2. 96) – (2. 96 )2] – [22 + 3 (2) (3) – 32] = 0.6449 24 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Chú ý rằng z dz nhưng dễ tính hơn... Giữ y cố định và đạo hàm theo x, ta nhận được ( , ) = (2, 1) = 3 .22 + 2. 2.13 = 16 17 +2 , vì vậy Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Tốn Giữ x cố định và đạo hàm theo y, ta nhận được ( , ) = 3x2y2 - 4y, vì vậy (2, 1) = 3 .22 . 12 – 4.1 = 8... là điểm cực đại Ví dụ 1: Tìm cực trị của ( , ) = + − − + 1 với điều kiện x2 + y2 = 4 Lời giải: F (x, y, ) = x2 + y2 – 2x – 2y + 1 + ( x2 + y2 – 4) = ⎧ ? ?2+ 2 = = ⟺ ? ?2+ 2 = 0⟺ ⎨ + = ( , )= ⎩ −? ?2, −? ?2 , = − −1