Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Giải tích đa trị: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: đối đạo hàm của ánh xạ đa trị; hệ bất đẳng thức suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chơng Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Yêu cành hoa bên vực sâu Yêu hoa phần nhng yêu hái Biết bao tình yêu lại Nhờ cành hoa không đâu (Chế Lan Viên, Hái hoa, 12-6-1980) Trong chơng này, sau giới thiệu vắn tắt lý thuyết đối đạo hàm, sử dụng công cụ đối đạo hàm để xây dựng công thức tính toán ớc lợng dới vi phân (dới vi phân Fréchet, dới vi phân Mordukhovich, dới vi phân Clarke) hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số Chơng đợc viết sở giảng lý thuyết đối đạo hàm, báo chung B S Mordukhovich, Nguyễn Mậu Nam N Đ Yên (Mordukhovich, Nam Yen (2007)), thảo báo cđa Ngun Huy Chiªu (xem Chieu (2006c)) Mơc 4.1 giíi thiệu phát triển lý thuyết đối đạo hàm ánh xạ đa trị Mục 4.2 điểm qua số khái niệm sở lý thuyết ®−a c¸c vÝ dơ minh häa Mơc 4.3 giíi thiệu toán tìm công thức tính đánh giá dới vi phân (là tập dới gradient) hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học có tham số dới ràng buộc đa trị Một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu toán đợc trình bày Mục 4.4 Mục 4.5 Mục 4.6 giới thiệu công thức cho phép tính toán/ớc lợng dới vi phân Fréchet dới vi phân qua giới hạn Trong hai mục có trình bày Còn đợc gọi dới vi phân Mordukhovich 103 104 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị số ví dụ minh họa cho kết thu đợc Mục 4.7 thông báo vài kết Nguyễn Huy Chiêu tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Mordukhovich dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân 4.1 Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm Ngay sau đời lý thuyết vi phân F H Clarke vào năm 19731975, năm 1976 B S Mordukhovich đà đề xuất khái niệm lý thuyết vi phân ông, bao gồm: a) Nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex] normal cone) tập hợp ; b) Đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative) ánh xạ đa trị; c) Dới vi phân không lồi ([nonconvex] subdifferential) hàm số nhận giá trị thực suy rộng Lý thuyết Mordukhovich đợc phát triển song song với lý thuyết vi phân Clarke Các khái niệm chÝnh cña lý thuyÕt cña Clarke bao gåm nãn tiÕp tuyÕn Clarke , nãn ph¸p tuyÕn Clarke , đạo hàm theo hớng Clarke , dới vi phân Clarke Năm 1988 10 B S Mordukhovich in sách ông (xem Mordukhovich (1988)) nhà xuất Nauka Cuốn sách tiếng Nga trình bày Theo suy nghĩ chúng tôi, kết mục 4.5 4.6 đào sâu phát triển đợc thêm Khi ông Mordukhovich dạy học trờng đại học Minxcơ - thủ đô nớc Cộng hoà Bạch Nga (nay Belarus) Không có nón tiếp tuyến tơng ứng với nón pháp tuyến này! Còn đợc gọi đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich Xem Mục 2.2, Chơng Nón pháp tuyến Clarke tập M X, X không gian Banach, x M đợc định nghÜa bëi c«ng thøc Cl (¯ x) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v a 0, ∀v ∈ CM (¯ x)} NM Cl (¯ x) = ∅ víi mäi x ¯∈ / M Ta quy −íc r»ng NM Xem Mơc 3.4, Ch−¬ng Xem Mơc 3.4, Chơng Lúc đầu, dới vi phân Clarke đợc định nghĩa cho hàm số Lipschitz địa phơng Về sau, R T Rockafellar đề xuất định nghĩa cho phép ta làm việc đợc với hàm nhận giá trị thực suy rộng, xác định không gian Banach; xem F H Clarke (1983) 10 Còng năm đó, B S Mordukhovich gia đình chuyển từ Minxcơ sang Mỹ ông giáo s, giảng dạy Khoa Toán, trờng Đại học Tổng hợp Quốc gia Wayne (The Wayne State University) ë thµnh Detroit, bang Michigan Ông gia đình sống thành phố Ann Arbor Wayne tên trớc ngời thổ dân đặt cho vùng đất có Detroit - thành phố đầu nÃo công nghiệp ôtô Mỹ Ann Arbor, thành phố đẹp mang dáng dấp kiến trúc Âu Châu, thủ phủ bang Michigan Tạp chí Mathematical Reviews đặt trụ sở Ann Arbor Một số hội thảo quốc tế quy hoạch toán học đà đợc tổ chức thành phố 4.1 Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm 105 ý tởng kết lý thuyết ông, với ứng dụng quan trọng quy hoạch toán học điều khiển tối u Trong khoảng năm 1993-1996 B S Mordukhovich công bố loạt báo quan trọng 11 ông đa nhiều ý tởng kỹ thuật mới, phát triển phiên vô hạn chiều sâu sắc đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân ông, đồng thời số tính chất ánh xạ đa trị (nh tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính quy mêtric, tính mở địa phơng) đặc trng đợc cách sử dụng khái niệm đối đạo hàm qua giới hạn (đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich) Trong giai đoạn 2005-2006 B S Mordukhovich tiÕp tơc c«ng bè a) nhiỊu báo trình bày kết nghiên cứu mới12 , b) mét bé s¸ch hai tËp 13 víi tỉng số 1200 trang in, Nhà xuất Springer.14 Mordukhovich xây dựng lý thuyết vi phân vô hạn chiều ông theo lợc đồ sau 15 : Bớc Định nghĩa khái niệm dới vi phân 16 hàm số nhận giá trị tập số thực suy rộng Bớc Sử dụng dới vi phân để định nghĩa nón pháp tuyến (nói chung không lồi) tập hợp Bớc Sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm (coderivative) ánh xạ đa trị Bớc Phát triển quy tắc tính toán (calculus rules) nh công thức tính đối đạo hàm tổng hai ánh xạ đa trị, công thức tính đối đạo hàm hàm hợp, công thức tÝnh nãn ph¸p tun cđa giao cđa mét hä tËp hợp (trong không gian Banach, không gian Asplund) 11 Một số đợc viết chung víi Y Shao, mét nghiªn cøu sinh Trung Qc cđa B S Mordukhovich thêi gian ®ã 12 Trong sè ®ã cã ba bµi (Mordukhovich vµ Nam (2005a,b; 2006)) viÕt chung víi Ngun MËu Nam - mét nghiªn cøu sinh Việt Nam ông - hai viết chung với Nam (Mordukhovich, Nam Yen (2006, 2007)) Ngoài Nguyễn Mậu Nam (Đại học S phạm Huế), B S Mordukhovich hớng dẫn nghiên cứu sinh Việt Nam khác, nh Trơng Quang Bảo (Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh), Nguyễn Thị Yến Nhi (Đại học S phạm Huế) 13 Xem B S Mordukhovich (2006a,b) 14 D−íi tùa ®Ị Lý thuyết sở, tập I có chơng sách: Phép tính vi phân suy rộng không gian Banach, Nguyên lý cực trị giải tích biến phân, Phép tính toán đầy đủ không gian Asplund, Các đặc trng tính đặt chỉnh phép phân tích độ nhậy Tập II đợc công bố dới tựa đề ứng dụng với chơng sách: Tối u có ràng buộc điểm cân bằng, Điều khiển tối u hệ tiến hoá không gian Banach, Điều khiển tối u hệ có tham số phân phối [distributed systems], Các ứng dụng kinh tế 15 Bớc Bớc đổi chỗ cho nhau; xem Mordukhovich (2006a; Chơng 1) 16 Dới vi phân Fréchet (Fréchet subdifferential), dới vi phân qua giới hạn (limiting subdifferential), dới vi phân proximal (proximal subdifferential) 106 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Bớc áp dụng khái niệm quy tắc tính toán nói để - chứng minh định lý (nh định lý ánh xạ mở, định lý hàm ẩn, định lý hàm ngợc, điều kiện cực trị, ) giải tích biến phân17 lý thuyết tối u; - nghiên cứu đặc trng tính chất đáng quan tâm ánh xạ hàm số xuất hiƯn c¸c lý thut to¸n häc 18 ; - đa thuật toán giải lớp toán kh¸c 19 Chóng ta l−u ý r»ng lý thuyết vi phân xây dựng theo lợc đồ tiếp tục đợc phát triển đa đến thành Có thể nêu hai câu hỏi: Mối quan hệ kết thu đợc lý thuyết vi phân Mordukhovich kết đà thu đợc lý thuyết vi phân khác20 nh nào? Liệu xây dựng đợc lý thuyết tích phân tơng ứng với lý thuyết vi phân Mordukhovich hay không? Cùng với mối quan hệ điều kiện cực trị thu đợc lý thuyết đối đạo hàm điều kiện cực trị thu đợc lý thuyết vi phân Clarke đà đợc Mordukhovich (2006a,b), kết nghiên cứu trình bày mục 4.5 4.6 cho ta câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi thứ Đối với câu hỏi thứ hai, hy vọng sau khoảng 5-7 năm ngời ta tìm câu trả lời chấp nhận đợc Mục 4.7 giới thiệu vài kết bớc đầu theo hớng 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm Tại phải sử dụng đối đạo hàm? Chúng ta cần lu ý điều sau: - Cách tiếp cận không gian ®èi ngÉu (dual-space approach) nhiỊu rÊt h÷u hiƯu; cã trờng hợp hữu hiệu hơn21 cách tiếp cËn b»ng kh«ng gian nỊn (primal-space approach) 17 TNTA: variational analysis Các định lý tính ổn định độ nhậy nghiệm toán tối u phụ thuộc tham số thuộc loại Một số định lý nh đợc chứng minh mục 4.5 4.6 chơng 19 Kết theo hớng nµy ch−a cã nhiỊu 20 VÝ dơ nh− mèi quan hệ kết Mordukhovich Shao, Mordukhovich Nam tính ổn định vi phân toán tối u với ràng buộc đa trị kết thuộc J Gauvin, F Dubeau, F H Clarke, R T Rockafellar, tác giả khác 21 Bổ đề Farkas tính tơng thích hệ bất đẳng thức tuyến tính (xem Rockafellar (1970), tr 200) ví dụ 18 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 107 - Cả cách tiếp cận không gian đối ngẫu lẫn cách tiếp cận không gian hữu ích, áp dụng đợc - Đối đạo hàm ánh xạ tơng ứng với toán tử liên hợp ánh xạ tuyến tính Ta hÃy làm rõ thêm điều lu ý thứ ba Cho f : X Y ánh xạ đơn trị không gian Banach Ký x) đạo hàm Fréchet f x X (nếu tồn tại) Giả sư hiƯu bëi f (¯ ∗ ∗ ∗ 22 x)) : Y X toán tử liên hợp to¸n tư tun tÝnh f (¯ x) : X → Y (f (¯ Cho A : X → Y toán tử tuyến tính liên tục với toán tử liên hợp A : Y X Víi mäi y∗ ∈ Y ∗ , A∗ y ∗ , x = y ∗ , Ax ∀x ∈ X V× vËy, A∗ y ∗ , x − y ∗ , Ax = ∀x ∈ X, hay (A∗ y ∗ , −y ∗ ), (x, Ax) = ∀x ∈ X x) vµ A∗ = (f (¯ x))∗ , ta cã Ký hiÖu A = f (¯ 23 ˆ (A∗ y ∗ , −y ∗ ) ∈ N x, f (¯ x)); gph f (¯ v× thÕ ˆ x, f (¯ x))} A∗ y ∗ = {x∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N gph f ( Công thức sau gợi ý cho ta cách định nghĩa đối đạo hàm ánh xạ đa trị TiÕp theo, chóng ta sÏ xÐt c¸c kh¸i niƯm - dới vi phân, - nón pháp tuyến, - đối đạo hµm vµ mét sè vÝ dơ minh häa 22 Nã đợc gọi đối đạo hàm Fréchet f x 23 gph f := {(x, f (x)) : x X} đồ thị f vµ ˆ x, f (¯ x)) = {(x∗ , y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ), (x, f (¯ x)(x)) = ∀x ∈ X} N gph f ( nón pháp tuyến Fréchet đồ thị ( x, f ( x)) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 108 Dới vi phân Xét ánh xạ đa trị F : X X không gian Banach X không gian đối ngẫu X ∗ cđa nã Ký hiƯu w∗ (2.1) ¯, x∗k → x∗ , Lim sup F (x) := x∗ ∈ X ∗ : ∃ xk → x x→¯ x x∗k ∈ F (xk ) ∀k = 1, 2, đợc dùng để giới hạn theo dÃy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski24 tôpô chuẩn X tôpô yếu (đợc ký hiệu chữ w ) X hàm : X IR x x mét tËp C¸c ký hiƯu x → x Ω ⊂ X tơng ứng có nghĩa xx với (x) → ϕ(¯ x) vµ x → x ¯ víi x Dới vi phân Fréchet Cho X không gian Banach, : X IR hàm nhận giá trị tập số thực suy rộng, hữu hạn x Với 0, đặt (2.2) x) := x∗ ∈ X ∗ : lim inf ∂ε ϕ(¯ x→¯ x ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x xx Các phần tử tập hợp vế trái công thức đợc gọi -dới gradient Fréchet x , thân tập hợp đợc gọi -dới vi phân Fréchet x) đợc gọi dới vi phân Fréchet dới x Tập hợp ( x) := ∂0 ϕ(¯ ¯ Râ rµng ∂ϕ(¯ x) ⊂ ( x) hay nói gọn dới vi phân Fréchet 25 x với TËp hỵp x) = −∂(−ϕ)(¯ x) ∂ + ϕ(¯ (2.3) đợc gọi dới vi phân Fréchet 26 x Để hiểu rõ thêm định nghĩa -dới gradient Fréchet -dới vi phân Fréchet nêu trên, ta nhắc lại phần tử x X đợc gọi đạo hàm Fréchet cđa ϕ t¹i x ¯ nÕu ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x ¯ = x→¯ x xx lim 24 Nếu X không gian hữu hạn chiều, tập Lim supxx F (x) xác định (2.1) trùng với ) xác định công giới hạn theo Painlevé-Kuratowski họ tập {F (x)}xX (khi x → x thøc (2.14) Ch−¬ng 25 TNTA: (lower) Fr´echet subdifferential 26 TNTA: upper Fr´echet subdifferential 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 109 Thay dấu lim dấu lim inf, thay dÊu b»ng bëi dÊu vµ thay sè bëi số âm , ta có điều kiện yếu đặt lên phần tử x nh sau: lim inf x x ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x xx Đó điều kiện để kiĨm tra xem mét phÇn tư x∗ ∈ X ∗ có phải -dới gradient Fréchet x hay không Việc thay tiêu chuẩn định nghĩa đạo hàm Fréchet tiêu chuẩn hoàn toàn tơng tự, cấu trúc dạng yếu (nhng tự nhiên!), cho phép xây dựng phép tính vi phân 27 cho hàm số Dễ thấy x đạo hàm Fréchet cđa ϕ t¹i x x) ⊂ ∂ε ϕ(¯ x) ∀ε {x } = ( Dới vi phân proximal Véctơ x X đợc gọi dới gradient proximal (hay dới gradient gần kề) x nÕu tån t¹i ε cho (2.4) lim inf x x tức tồn (x) ( x) − x∗ , x − x ¯ x−x ¯ −ε; vµ δ > cho ϕ(x) − ϕ(¯ x) ¯ −ε x−x ¯ x∗ , x − x ∀x ∈ B(¯ x, δ) x) gåm tất dới gradient gần kề x đợc gọi Tập hợp P ( 28 ¯ d−íi vi ph©n proximal (hay d−íi vi ph©n gần kề ) x So với công thức định nghĩa đạo hàm Fréchet hàm số thực vừa đợc x) (2.4) vừa mạnh nhắc lại trên, điều kiện đặt lên phần tử x P ( (cấp độ xấp xỉ o( x x ) đợc thay o( x x )), vừa yếu (lim đợc thay lim inf, dấu đợc thay dấu số đợc thay số ) Đạo hàm Fréchet hàm số điểm cha đà d−íi ¯ = 0, ta cã ϕ (¯ x) = gradient gÇn kỊ ThËt vËy, víi X = R, ϕ(x) = x |x|, x P x) = ∅ vµ ( Dới vi phân qua giới hạn Tập hợp (2.5) ∂ϕ(¯ x) := Lim sup ∂ε ϕ(x) ϕ x→¯ x 27 28 Nói xác hơn, phÐp tÝnh vi ph©n suy réng (generalized differentiation) TNTA: (lower) proximal subdifferential Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 110 đợc gọi dới vi phân qua giới hạn 29 (hay dới vi phân Mordukhovich) x) tồn dÃy xk x ¯, εk → 0+ , vµ Nh− vËy, x∗ ∈ ∂ϕ(¯ x∗k ∈ ∂ϕεk ϕ(xk ), cho w∗ x∗k −→ x∗ Tõ ®ã ta thÊy r»ng d−íi vi phân Mordukhovich ( x) đợc tính qua dới ¯ vi ph©n FrÐchet ∂ϕε (x) víi ε > đợc lấy đủ bé x đợc lấy đủ gần x HiĨn nhiªn ta cã ∂ϕ(¯ x) ⊂ ∂ϕ(¯ x) Nhận xét 4.2.1 (xem Mordukhovich (2006a)) Nếu X không gian Asplund (theo nghĩa hàm lồi, liên tục : U IR xác định tập lồi, mở U X khả vi Fréchet mét tËp trï mËt cđa U hay, mét c¸ch tơng đơng, không gian đóng, khả li X có không gian đối ngẫu khả li)30 nửa liên tục dới lân cận x , công thức (2.5) ta cho ε = 0; tøc lµ ∂ϕ(¯ x) = Lim sup ∂ϕ(x) ϕ x→¯ x Ngoµi ra, ta cã ∂ϕ(¯ x) = với hàm Lipschitz địa phơng kh«ng gian Asplund Chøng minh chi tiÕt cđa hai mƯnh ®Ị sau cã Mordukhovich (2006a) ¯ th× tËp ∂ϕ(¯ x) chứa phần Mệnh đề 4.2.1 Nếu khả vi chặt 31 x tử, đạo hàm chặt x Mệnh đề 4.2.2 Nếu hàm lồi, tập ( x) trùng với dới vi phân theo nghĩa giải tích lồi x , tức ( x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x ϕ(x) − ϕ(¯ x) ∀x ∈ X} 29 TNTA: limiting subdifferential Mọi không gian Banach phản xạ không gian Asplund Mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet điểm khác 0, không gian Asplund Nói riêng ra, không gian Euclide hữu hạn chiều không gian Hilbert không gian Asplund (Xem Phelps (1993)) 31 Theo Định nghĩa 1.13 Mordukhovich (2006a), hµm f : X → Y không gian Banach đợc gọi khả vi chặt x X f khả vi Fréchet x 30 lim x x, u x f (x) − f (u) − f (¯ x)(x u) = xu Khái niệm suy khái niệm nói Định nghĩa 3.4.3 Chơng B»ng lËp luËn trùc tiÕp, ta cã thÓ chøng minh X không gian hữu hạn chiều, hai khái niệm vừa đợc nói tới tơng đơng Một hàm khả vi Fréchet liên tục lân cận điểm, khả vi chặt điểm 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 111 ( x) = ( x) Họ hàm Ta nói quy dới 32 x quy dới đủ rộng Ngoài hàm khả vi chặt hàm lồi, bao gồm nhiều lớp hàm quan trọng khác giải tích biến phân lý thut tèi −u33 TËp hỵp (2.6) x) := Lim sup (x) ( x x ,0 đợc gọi dới vi phân qua giới hạn suy biến hay đơn giản dới vi phân Tập ( x) chứa thông tin không tầm thờng hàm suy biÕn 34 cđa ϕ t¹i x ϕ chØ hàm số Lipschitz địa phơng x , x) {0} (xem Bài tập 4.2.2 dới đây) Nh Lipschitz địa phơng x ( x) tồn dÃy xk x , εk → 0+ , λk → 0+ , vËy, x∗ ∈ ∂ ∞ ϕ(¯ ∗ vµ xk ∈ λk ∂εk ϕ(xk ), cho w∗ x∗k −→ x∗ Bµi tËp 4.2.1 Chøng minh r»ng ∂ ∞ ϕ(¯ x) lµ hình nón X Bài tập 4.2.2 Sử dụng công thức (2.6) để chứng minh x) {0} (Gợi ý: Để ý Lipschitz địa phơng x , ( Lipschitz địa phơng x tồn lân cận U x cho họ tập hợp {(x)}xU giới nội đều; tức tồn t¹i K > cho x ∗ K víi mäi x ∈ U vµ víi mäi x ∗ ∈ (x).) Nón pháp tuyến Cho tập hợp X, X không gian Banach Xét hàm 35 (Ã) / Theo định nghĩa, δΩ (x) = nÕu x ∈ Ω vµ δΩ (x) = +∞ nÕu x ∈ Nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet nón pháp tuyến qua giới hạn (còn đợc gọi nón pháp tuyến Mordukhovich) x đợc định nghĩa tơng ứng công thøc (2.7) x) := ∂δ(¯ x; Ω) NΩ (¯ vµ (2.8) 32 x) := ∂δ(¯ x; Ω) NΩ (¯ TNTA: lower regular Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar vµ Wets (1998) 34 TNTA: singular (limiting) subdifferential 35 TNTA: indicator function 33 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 112 thông qua dới vi phân tơng ứng hàm Ta đặt N ( x) = N ( x) = ∅ nÕu x ¯∈ / Ω x) vµ Do (2.7) công thức hàm chØ, ta cã x∗ ∈ NΩ (¯ lim inf Ω x→¯ x − x∗ , x − x ¯ x−x ¯ 0, x∗ , x − x ¯ x−x ¯ hay lim sup Ω x→¯ x §iỊu kiƯn ci thuận tiện cho việc tính toán nón pháp tuyÕn FrÐchet x) = ∂ε δ(¯ x; Ω) vµ gäi tập véctơ -pháp tuyến Fréchet Đặt N ( x) x Từ định nghĩa suy x∗ ∈ NΩε (¯ x∗ , x − x ¯ x−x ¯ lim sup Ω x→¯ x ε x) cña x đợc Do (2.8) (2.5), nón pháp tuyến Mordukhovich N ( xác định qua tập véctơ -pháp tuyến Fréchet N (x) với x đợc lấy đủ x) gần x đợc lấy đủ bé Kết hợp (2.7) với (2.8), ta thÊy r»ng x∗ ∈ NΩ (¯ w∗ Ω ¯, εk → 0+ vµ x∗k → x∗ cho tồn dÃy xk x lim sup Ω x→xk x∗ , x − xk x − xk εk NhËn xÐt 4.2.2 Do NhËn xÐt 4.2.1, X không gian Asplund tập đóng địa phơng lân cận điểm x (tức tồn hình cầu đóng tâm x với bán kính dơng có giao với tập đóng X), x) = Lim sup NΩ (x) NΩ (¯ Ω x→¯ x Ω x) tồn dÃy xk x , Điều có nghĩa x N (¯ w∗ x∗k → x∗ cho lim sup Ω x→xk x∗ , x − xk x − xk Bµi tËp 4.2.3 Chøng minh r»ng NΩ (¯ x) lµ hình nón đóng yếu X Bài tËp 4.2.4 Chøng minh r»ng N Ω (¯ x) lµ h×nh nãn 36 X ∗ 36 Trong Mordukhovich (2006a; tr 11) có trình bày ví dụ chứng tỏ X không gian x) không vô hạn chiều (ví dụ nh X không gian Hilbert vô hạn chiều) hình nón N ( đóng tôpô w 204 Phụ lục B Tài liệu tham khảo 205 Tài liệu tham khảo J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, Advances in Mathematics, Supplementary studies (L Nachbin, Ed.), 160– 232 J.-P Aubin (1984), Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems, Mathematics of Operations Research Vol 9, 87–111 J.-P Aubin and A Cellina (1984), Differential Inclusions Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg J.-P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley & Sons, Wiley-Interscience J.-P Aubin and H Frankowska (1987), On inverse function theorem for set-valued maps, Journal de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees Vol 66, 71–89 J.-P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Berlin A Auslender (1979), Differential stability in nonconvex and nondifferentiable programming, Mathematical Programming Study Vol 10, 29–41 A Auslender and M Teboulle (2003), Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalities, Springer, New York C Berge (1959), Espaces topologiques: Fonctions multivoques, Dunod, Paris 10 J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York 11 J M Borwein (1986), Stability and regular points of inequality systems, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 48, 9–52 12 J M Borwein and Q J Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, New York 13 J M Borwein and D M Zhuang (1988), Verifiable necessary and sufficient conditions for regularity of set-valued and single-valued maps, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 134, 441–459 206 Tài liệu tham khảo 14 G Bouligand (1930), Sur les surfaces dÐpourvues de points hyperlimits, Ann Soc Polon Math Vol 9, 32–41 15 C Castaing and M Valadier (1977), Convex Analysis and Measurable Functions, Springer-Verlag 16 Ngun Huy Chiªu (2004), Sự tồn lát cắt đặc biệt ánh xạ đa trị khái niệm tích phân Aumann, Luận văn Thạc sĩ toán học, Đại học Vinh, 2004 17 N H Chieu (2006a), A Newton-Leibniz formula for the integration of the Clarke subdifferential mapping (bản thảo đà gửi đăng) 18 N H Chieu (2006b), The contingent cone of the product of two sequential sets in the real line (b¶n thảo đà gửi đăng) 19 N H Chieu (2006c), Integral of subdifferential mappings and subdifferential of integral functionals (b¶n th¶o đà gửi đăng) 20 F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York 21 B D Craven (1978), Mathematical Programming and Control Theory, Chapman and Hall, London 22 P H Dien (1982), Locally Lipschitzian set-valued maps and generalized extremal problems, Acta Mathematica Vietnamica Vol 8, 109–122 23 P H Dien (1985), On the regularity condition for the extremal problem under locally Lipschitz inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol 13, 151–161 24 P H Dien and P H Sach (1989), Further properties of the regularity of inclusion systems, Nonlinear Analysis Vol 13, 1251–1267 25 P H Dien and N D Yen (1991), On implicit function theorems for setvalued maps and their applications to mathematical programming under inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol 24, 35–54 26 A L Donchev and R T Rockafellar (1996), Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM Journal on Optimization Vol 6, 1087–1105 27 I Ekeland (1974), On the variational principle, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 47, 324353 Tài liệu tham khảo 207 28 J Gauvin (1979), The generalized gradient of a marginal function in mathematical programming, Mathematics of Operations Research Vol 4, 458– 463 29 J Gauvin and F Dubeau (1982), Differential properties of the marginal function in mathematical programming, Mathematical Programming Study Vol 19, 101–119 30 J Gauvin and F Dubeau (1984), Some examples and counterexamples for the stability analysis of nonlinear programming problems, Mathematical Programming Study Vol 21, 69–78 31 J Gauvin and J W Tolle (1977), Differential stability in nonlinear programming, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 15, 294–311 32 B Gollan (1984), On the marginal function in nonlinear programming, Mathematics of Operations Research Vol 9, 208–221 33 V V Gorokhovik and P P Zabreiko (2005), On Fre´ chet differentiability of multifunctions, Optimization Vol 54, 391–409 34 T X D Ha (2005), Lagrange multipliers for set-valued problems associated with coderivatives, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 311, 647–663 35 R B Holmes (1974), Geometric Functional Analysis and Its Applications, Springer 36 A D Ioffe (2000), Codirectional compactness, metric regularity and subdifferential calculus, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings Vol 27, 123–163 37 A D Ioffe and V M Tihomirov (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company 38 V Jeyakumar and D T Luc (1998), Approximate Jacobian matrices for nonsmooth continuous maps and C1 -optimization, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 36, 1815–1832 39 V Jeyakumar and D T Luc (1999), Nonsmooth calculus, minimality, and monotonicity of convexificators, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 101, 599–621 40 V Jeyakumar and D T Luc (2002a), An open mapping theorem using unbounded generalized Jacobians, Nonlinear Analysis Vol 50, 647–663 208 Tài liệu tham khảo 41 V Jeyakumar and D T Luc (2002b), Convex interior mapping theorems for continuous nonsmooth functions and optimization, Journal of Nonlinear and Convex Analysis Vol 3, 251–266 42 V Jeyakumar and X Wang (1999), Approximate Hessian matrices and second-order optimality conditions for nonlinear programming problems with C -data, Journal of the Australian Mathematical Society Series B Vol 40, 403–420 43 V Jeyakumar and N D Yen (2004), Solution stability of nonsmooth continuous systems with applications to cone-constrained optimization, SIAM Journal on Optimization Vol 14, 1106–1127 44 A Jourani (2000), Hoffman’s error bound, local controllability, and sensitivity analysis, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 38, 947–970 45 J L Kelley (1957), General Topology, D Van Nostrand Company, New York 46 P K Khanh (1986), An induction theorem and general open mapping theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 118, 519–534 47 P K Khanh (1988), An open mapping theorem for families of multifunctions, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 132, 491–498 48 P K Khanh (1989), On general open mapping theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 144, 305–312 49 B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2007), On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, Journal of Global Optimization (đà đợc nhận đăng) 50 A Ja Kruger and B Mordukhovich (1980), Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization problems (in Russian), Dokl Akad Nauk BSSR Vol 24, 684–687 (tiÕng Nga) 51 G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and its Applications”, Vol 78, Springer, New York 52 D T Luc (1989), Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Vol 319, Springer, Berlin-Heidelberg Tài liệu tham khảo 209 53 D T Luc (2003), A Multiplier rule for multiobjective programming problems with continuous data, SIAM Journal on Optimization Vol 13, 168– 178 54 D T Luc and C Malivert (1992), Invex optimisation problems, Bulletin of the Australian Mathematical Society Vol 46, 47–66 55 Y Lucet and J J Ye (2001, 2002), Sensitivity analysis of the value function for optimization problems with variational inequality constraints, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 40, 699–723; Erratum SIAM Journal on Control and Optimization Vol 41, 1315–1319 56 Z Q Luo, J.-S Pang and D Ralph (1996), Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Cambridge University Press, Cambridge, UK 57 O L Mangasarian and T H Shiau (1987), Lipschitz continuity of solutions of linear inequalities, programs and complementarity problems, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 25, 583–595 58 H Maurer and J Zowe (1979), First and second-order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems, Mathematical Programming Vol 16, 98–110 59 B S Mordukhovich (1976), Maximum principle in the problem of time response with nonsmooth constraints, Journal of Applied Mathematics and Mechanics Vol 40, 960–969 60 B S Mordukhovich (1988), Approximation Methods in Problems of Optimization and Control (in Russian), Nauka, Moscow 61 B S Mordukhovich (1992), Sensitivity analysis in nonsmooth optimization, in “Theoretical Aspects of Industrial Design” (D A Field and V Komkov, Eds.), pp 32–46, SIAM Publications 62 B S Mordukhovich (1993), Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Transactions of the American Mathematical Society Vol 340, 1–36 63 B S Mordukhovich (1994a), Lipschitzian stability of constraint systems and generalized equations, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications Vol 22, 173–206 64 B S Mordukhovich (1994b), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 183, 250–288 210 Tµi liƯu tham kh¶o 65 B S Mordukhovich (1994c), Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis, Transactions of the American Mathematical Society Vol 343, 609–658 66 B S Mordukhovich (1994d), Sensitivity analysis for constraint and variational systems by using set-valued differentiation, Optimization Vol 31, 13–46 67 B S Mordukhovich (2006a), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer 68 B S Mordukhovich (2006b), Variational Analysis and Generalized Differentiation, II: Applications, Springer 69 B S Mordukhovich and N M Nam (2005a), Variational stability and marginal functions via generalized differentiation, Mathematics of Operations Research Vol 30, 800–816 70 B S Mordukhovich and N M Nam (2005b), Subgradient of distance functions with some applications to Lipschitzian stability, Mathematical Progrgamming Vol 104, 635–668 71 B S Mordukhovich and N M Nam (2006), Subgradients of distance functions at out-of-state points, Taiwanese Journal of Mathematics Vol 10, 299–326 72 B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen (2006), Fre´ chet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferentiable programming, Optimization Vol 55, 685–708 73 B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen (2007), Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming, Mathematical Programming (đà đợc nhận đăng) 74 B S Mordukhovich and Y Shao (1995), Differential characterizations of covering, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions between Banach spaces, Nonlinear Analysis Vol 25, 1401–1424 75 B S Mordukhovich and Y Shao (1996a), Nonsmooth analysis in Asplund spaces, Transactions of the American Mathematical Society Vol 348, 1230–1280 76 B S Mordukhovich and Y Shao (1996b), Nonconvex differential calculus for infinite-dimensional multifunctions, Set-Valued Analysis Vol 4, 205– 236 Tµi liƯu tham kh¶o 211 77 N M Nam and N D Yen (2007), Relationships between approximate Jacobians and coderivatives, Journal of Nonlinear and Convex Analysis (đà đợc nhận đăng) 78 H V Ngai, D T Luc and M Thera (2000), Approximate convex functions, Journal of Nonlinear and Convex Analysis Vol 1, 155–176 79 J V Outrata, M Kocvara and J Zowe (1998), Nonsmooth Approach to Optimization Problems with Equilibrium Constraints, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands 80 J.-P Penot (1989), Metric regularity, openness, and Lipschitzian behavior of multifunctions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications Vol 13, 629–643 81 R R Phelps (1993), Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, 2nd Edition, Springer, Berlin 82 H T Phung and P H Dien (1991), Solving nonsmooth inclusions in the convex case, Z Oper Res Vol 35, 401–424 83 S M Robinson (1976a), Regularity and stability for convex multivalued functions, Mathematics of Operations Research Vol 1, 130–143 84 S M Robinson (1976b), Stability theory for systems of inequalities, Part 2: Differentiable nonlinear systems, SIAM Journal on Numerical Analysis Vol 13, 497–513 85 S M Robinson (1979), Generalized equations and their solutions, Part I: Basic theory, Mathematical Programming Study Vol 10, 128–141 86 S M Robinson (1981), Some continuity properties of polyhedral multifunctions, Mathematical Programming Study Vol 14, 206–214 87 R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 88 R T Rockafellar (1982), Lagrange multipliers and subderivatives of optimal value functions in nonlinear programming, Mathematical Programming Study Vol 17, 28–66 89 R T Rockafellar (1985), Extensions of subgradient calculus with applications to optimization, Nonlinear Analysis Vol 9, 665–698 90 R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational Analysis, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 212 Tµi liƯu tham kh¶o 91 W Rudin (1976), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill 92 W Rudin (1987), Real and Complex Analysis, Third Edition, McGrawHill 93 W Rudin (1991), Functional Analyis, Second Edition, McGraw-Hill 94 P H Sach (1988a), Differentiability of set-valued maps in Banach spaces, Mathematische Nachrichten Vol 139, 215–235 95 P H Sach (1988b), Regularity, calmness and support principle, Optimization Vol 19, 13–27 96 P H Sach (1996), Sufficient conditions for generalized convex set-valued maps, Optimization Vol 37, 293–304 97 P H Sach and N D Yen (1997), Convexity criteria for set-valued maps, Set-Valued Analysis Vol 5, 37–45 98 F Severi (1930), Su ancune questioni di topologia infinitesimale, Ann Soc Polon Math Vol 9, 97–108 99 Ngun Xu©n Tấn Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề lý thuyết tối u véctơ đa trị, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 100 L Thibault (1991), On subdifferentials of optimal value functions, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 29, 1019–1036 101 L Thibault and D Zagrodny (1995), Integration of subdifferentials of lower semicontinuous functions on Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 189, 33–58 102 Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm (Giải tích đại), NXB đại học Quốc gia Hà Néi 103 C Ursescu (1975), Multifunctions with convex closed graph, Cechoslovak Mathematical Journal Vol 25, 438–441 104 D W Walkup and R J.-B Wets (1969), A Lipschitzian characterization of convex polyhedra, Proceedings of the American Mathematical Society Vol 23, 167–173 105 X Wang (2000), A Generalized Jacobian and Nonsmooth Optimization, Ph D Thesis, University of New South Wales, Sydney Tài liệu tham khảo 213 106 X Wang and V Jeyakumar (2000), A Sharp Lagrange multiplier rule for nonsmooth mathematical programming problems involving equality constraints, SIAM Journal on Optimization Vol 10, 1136–1148 107 A R Warburton (1983), Quasiconcave vector maximization: Connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 40, 537–557 108 Z Wu and J J Ye (2000), Some results on integration of subdifferentials, Nonlinear Analyis Vol 39, 955–976 109 J J Ye (2001), Multiplier rules under mixed assumptions of differentiability and Lipschitz continuity, SIAM Journal on Optimization Vol 39, 1441–1460 110 N D Yen (1987), Implicit function theorems for set-valued maps, Acta Mathematica Vietnamica Vol 12, No 2, 17–28 111 N D Yen (1997), Stability of the solution set of perturbed nonsmooth inequality systems and application, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 93, 199–225 112 E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, I Fixed-Point Theorems, Springer-Verlag, Berlin 214 Tài liệu tham khảo Index B-đạo hàm, 195 -đại số, 78 đủ theo độ đo, 88 Borel, 78 ε-cùc tiĨu, 52 ε-d−íi gradient FrÐchet, 108 ε-d−íi vi ph©n Fréchet, 108 Định lý điểm bất động Brouwer, 32 điểm bÊt ®éng Ky Fan, 35 ®iĨm bÊt ®éng Schauder, 32 ¸nh x¹ më, 41 ¸nh x¹ më Banach, 42 Baire, 40 Banach-Alaoglu, 39 Castaing, 85 Cellina, 96 Kakutani, 36 Ky Fan, 31 Lyapunov, 94 Michael, 95 Robinson-Ursescu, 38 t¸ch c¸c tập lồi, 34 tồn điểm cân bằng, 33 von Neumann, 82 Walkup-Wets, 12 Weierstrass, 22, 39 đại diện ánh xạ đối đạo hàm, 195 đạo hàm Bouligand, 71 Clarke, 71 contingent, 71 kề, 71 đạo hàm hàm hợp, 75 đạo hàm theo hớng Clarke, 98, 104 Clarke-Rockafellar, 190 Dini trên, 156 định lý đạo hàm hàm hợp, 158 ánh xạ mở đa trị, 174 hàm ngợc đa trị, 174 định lý hàm ngợc, 74 đồ thị, 10 đối đạo hàm Clarke, 189 Fréchet, 113 Mordukhovich, 104, 113, 189 độ đo nguyên tử, 93, 94 độ đo dơng, 88 -hữu hạn, 88 điều kiƯn chÝnh quy, 159 chÝnh quy rµng bc, 141 chn hóa ràng buộc MangasarianFromovitz, 70 chuẩn hoá ràng buộc, 132 Fritz-John suy réng, 175 Kuhn-Tucker suy réng, 177 MFCQ, 70 ®iỊu kiƯn chÝnh quy, 57 Mangasarian-Fromovitz, 145 ®iỊu kiƯn chn hoá ràng buộc, 57 Mangasarian-Fromovitz, 145 215 Danh mục từ khóa 216 điểm cân bằng, 17, 42 điểm cực biên, 94 ánh xạ đơn trị, đơn giản, 79 đo đợc, 78 liên tục, 19 Lipschitz địa phơng, 45, 96 Lipschitz địa phơng, 45, 123 ánh xạ đa trị, K-lồi, 73 đóng, 11 đa diện, 45 đo đợc, 79 bao đóng, 14 bao lồi, 14 có đồ thị đóng, 11 có giá trị đóng, 11 có giá trị lồi, 11 có lát cắt Lipschitz địa phơng, 123 quy pháp tuyến, 114 compắc pháp tuyến riêng rẽ theo dÃy (PSNC), 119 compắc pháp tuyến theo dÃy (SNC), 119 gi¶-Lipschitz, 46, 74, 140 giíi néi kh¶ tÝch, 91, 99 hêmi liên tục trên, 30 không đo đợc, 79 låi, 11 låi theo nãn, 73 liªn tơc, 20 liªn tục theo Aubin, 46, 140 Lipschitz, 96 Lipschitz địa phơng, 45, 96 Lipschitz địa phơng, 45 mô tả ràng bc, 116 nưa liªn tơc d−íi, 20 nưa liªn tơc trªn, 19, 24, 91, 96 nưa liªn tơc trªn theo Hausdorff, 26 ánh ánh ánh ánh xạ đa trị trên-đồ-thị, 190 xạ hợp, 15 xạ ngợc, 10 xạ nghiệm, 117 à-bán-compắc nội bộ, 137 à-nửa liên tục dới nội bộ, 137 ánh xạ tích, 15 toán quy hoạch lồi, 17 toán quy hoạch toàn phơng phụ thuộc tham số, 16 toán quy hoạch toán học có ràng buộc cân bằng, 134 toán tối u, 15 có ràng buộc cân bằng, 147 có tham số, 117 phụ thuộc tham số, 15 Bất đẳng thức Ky Fan, 31 Bỉ ®Ị Farkas, 198 Mazur, 39 Urysohn, 29 bao ®ãng, 13 bao lồi, 13 biên, 37 chuẩn trình låi, 38 d−íi gradient FrÐchet, 120 proximal, 109 d−íi vi phân Clarke, 98, 104, 190 Fréchet, 108 Fréchet trên, 108 gần kề, 109 J-L, 191 tối thiểu, 191 không lồi, 104 proximal, 109 qua giíi h¹n, 110 suy biÕn, 111 suy biÕn, 111 Danh mơc tõ khãa d−íi vi ph©n Mordukhovich, 110 d−íi vi ph©n suy biÕn Clarke, 190 d−íi vi phân suy rộng Clarke, 157 giới hạn theo Painlevé-Kuratowski, 63, 108 hµm hµm hµm hµm Èn, 154 chØ, 111 giá, 116 giá trị tối u, 16, 117 liên tục, 178 Lipschitz địa phơng, 179 hàm lõm, 15 hàm lồi, 15 liên tục, 40 Lipschitz địa phơng, 40 hàm Lagrange, 129, 144 hàm mục tiêu, 116 hàm marginal, 16, 117 hàm số quy Clarke điểm, 99 quy dới, 111 epi-compắc pháp tuyến theo dÃy (SNEC), 120 khả vi chặt, 100, 110, 133 lồi, 110 hàm số thùc suy réng tËp møc, 41 hµm tùa, 30 hµm véctơ khả vi chặt, 100, 110 Lipschitz địa phơng, 157 hệ bất đẳng thức liên tục, 154 Lipschitz địa phơng, 154 trơn, 154 hệ biến phân có tham số, 134, 147 217 hình nón sinh, 33 họ đạo hàm K-đơn ®iƯu, 73 ®¬n ®iƯu theo nãn, 73 Jacobian xÊp xØ, 156 tối thiểu, 191 không gian đo đợc, 78 Asplund, 110 không gian có độ đo, 88 không gian mêtric khả li, 78 không gian tôpô, 18 compắc, 23 liên thông, 23 lát cắt, 81 đo đợc, 82 khả tích, 91 liên tục, 82 Lipschitz, 97 Lipschitz địa phơng, 82 Lipschitz địa phơng, 123 miền ảnh, 10 miền hữu hiƯu, 10 nãn kỊ, 60 nãn lïi xa, 156 nãn ph¸p tun cđa tËp låi, 17, 33 Clarke, 104, 188 Fréchet, 111 không lồi, 104 Mordukhovich, 111 qua giới hạn, 111 nãn tiÕp tuyÕn Bouligand, 54, 189 cña tËp låi, 17, 33 Clarke, 60, 104, 188 làm tròn, 60 trung gian, 60 218 nghiệm địa phơng, 16 nguyên lý biến ph©n cho d−íi vi ph©n, 128 Ekeland, 47, 52, 166, 171 nhân tử Lagrange, 129 nhiễu chấp nhận đợc, 159 phân hoạch đơn vị, 28 phơng trình suy rộng phụ thuộc tham số, 134, 147 trình lồi, 37 đóng, 37, 41 có chuẩn hữu hạn, 43 quy tắc nhân tử Lagrange, 177 ràng buộc cân có tham số, 134, 147 tôpô, 18 tơng ứng với mêtric, 19 tôpô cảm sinh, 19 tôpô yếu , 108 tập đóng, 18 tập hợp đóng địa phơng, 112 đo đợc theo Lebesgue, 79 có tính chất khả vi điểm, 63 quy tiếp tuyến điểm, 63 compắc pháp tuyến theo dÃy (SNC), 118 không đo đợc theo Lebesgue, 79 mợt điểm, 63 tập lồi đa diện, 11 tập mở, 18 tập ràng buộc, 16 tích phân Aumann, 92 tÝch ph©n Aumann Danh mơc tõ khãa cđa ánh xạ dới vi phân Clarke, 99 ánh xạ dới vi phân Fréchet, 148 ánh xạ dới vi phân Mordukhovich, 148 tính ổn định nghiệm, 159, 165 tính quy mêtric, 169 tính giả-Lipschitz, 170 tính tràn, 158 toán tử liên hợp, 107 véctơ -pháp tuyến Fréchet, 112 ... = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0, x1 0} vµ x th× x) = NΩ (¯ x) NΩ (¯ = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} VÝ dô 4 .2. 2 43 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 0} ∪{x = (0, x2 ) ∈ R2 : x2 0} vµ x ¯ = (0, 0),... {2} , D ∗ G(0, 0) (2) = [? ?2, 2] Do ®ã, {x∗ + D∗ G(0, 0)(y ∗ )} = (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(0,0) {x∗ + [? ?2, 2] } = [−1, 1], x∗ ∈[−1,1] nghĩa (5 .2) nghiệm dới dạng đẳng thức 4 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 126 ... Teboulle (20 03), Bonnans vµ Shapiro (20 00), Borwein vµ Zhu (20 05), Clarke (1983), Dien vµ Yen (1991), Gauvin vµ Dubeau (19 82, 1984), Gollan (1984), Ha (20 05), Lucet vµ Ye (20 01, 20 02) , Mordukhovich