Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 Mở đầu, giới hạn, liên tục cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm hai biến; Mặt bậc hai; Giới hạn; Liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!
GIẢI TÍCH II Trường Đại học Cơng nghệ Đại học Quốc gia Hà nội Giảng viên: TS Nguyễn Văn Quang E-mail: nvquang.imech@gmail.com TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Đánh giá kiểm tra: A: Điểm thành phần (40%) o Điểm chuyên cần, điểm tập: 10% o Điểm thi kỳ: 30% B: Điểm thi cuối kỳ (60%) Điểm kết thúc môn học = A*0.4 + B*0.6 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tài liệu: Nguyễn Đình Trí Tốn học cao cấp, tập NXB Giáo dục, 2006 Nguyễn Thủy Thanh Bài tập giải tích, tập 1,2,3 NXB Giáo dục, 2002 Trần Đức Long Bài tập Giải tích, tập 1,2,3 NXB ĐHQGHN, 2005 Nguyễn Thừa Hợp Giải tích, tập 1,2,3 NXB ĐHQGHN, 2004 James Stewart Calculus, 7th Edition, 2010 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nội dung: • Chương 1: Mở đầu, giới hạn, liên tục • Chương 2: Đạo hàm, vi phân • Chương 3: Tích phân bội hai • Chương 4: Tích phân bội ba • Chương 5: Tích phân đường • Chương 6: Tích phân mặt • Chương 7: Phương trình vi phân 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Hàm hai biến Mặt bậc hai TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Giới hạn Liên tục 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa D R Cho Hàm hai biến ánh xạ: f :D R ( x, y ) f ( x, y ) Ký hiệu: f f ( x, y ) 𝐷 gọi miền xác định 𝑓 Miền giá trị 𝑓: E {a R | ( x, y ) D : a f ( x, y )} Nếu 𝑓 cho biểu thức đại số: Miền xác định tập hợp tất giá trị 𝑥 𝑦, cho biểu thức có nghĩa Miền giá trị tập hợp tất số thực mà hàm nhận 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Ví dụ Hàm hai biến: 𝑓 𝑥, 𝑦 = Miền xác định: 𝑥+𝑦+1 𝑥−𝑦 D {( x, y ) R | x y 0, x y} 1 f (3, 2) 3 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Nhắc lại Phương trình tổng quát mặt bậc hai hệ tọa độ Descartes 𝑂𝑥𝑦𝑧 là: Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Kz L 2 Từ Đại số tuyến tính, để vẽ mặt bậc hai: 1) Đưa dạng tồn phương (màu đỏ) dạng tắc biến đổi trực giao 2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ 3) Vẽ hình 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nhắc lại Xét đồ thị hàm số: 𝑧 = 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 Tập hợp tất điểm (𝑥, 𝑦) miền xác định 𝐷𝑓 , cho: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘 gọi đường mức, 𝑘 số cho trước k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nhắc lại Mặt paraboloid elliptic: 𝑥2 𝑦2 𝑧= 2+ 𝑎 𝑏 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Tính chất giới hạn lim [ f ( x, y ) g ( x, y )] lim [ f ( x, y ) g ( x, y )] ( x , y )( a ,b ) ( x , y )( a ,b ) lim ( x , y )( a ,b ) lim ( x , y )( a ,b ) lim f f lim ( x , y ) ( a ,b ) lim ( x , y ) ( a ,b ) g g f ( x, y ) f ( x, y ) ( x, y )( a ,b ) lim , neu ( x , y )( a ,b ) g ( x, y ) lim g ( x, y ) ( x , y )( a ,b ) lim ( x , y )( a ,b ) g 0 Neu f ( x, y ) g ( x, y ) h( x, y ) va lim ( x , y )( a ,b ) 02-Feb-21 f lim ( x , y )( a ,b ) h M , lim ( x , y )( a ,b ) TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN g M 26 Ví dụ Tìm giới hạn tồn chứng minh không tồn tại: 1 I lim x y sin x ( x, y )(0,0) 1 | f ( x, y ) | x y sin | x | y sin | x | y x x 1 lim x y sin ( x , y )(0,0) x 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 27 Ví dụ Tìm giới hạn tồn tại, chứng tỏ giới hạn không tồn tại: I lim 3x y ( x, y )(0,0) x y 2 3x y x | f ( x, y ) | | y |, x y2 x2 y 2 3x y lim 2 ( x , y )(0,0) x y 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Ví dụ Tìm giới hạn: 𝑥𝑦 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 Dọc theo trục 𝑂𝑥: 𝑥𝑦 lim = lim =0 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 Dọc theo trục 𝑦 = 𝑥: 𝑥𝑦 𝑥2 lim = lim = 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 2𝑥 Do đó: không tồn giới hạn (kép) 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN y x 29 Chú ý Nếu (𝑥, 𝑦) tiến tới (𝑎, 𝑏)theo cách khác nhau, mà giá trị hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) dần tới giới hạn khác thì: lim (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) không tồn 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 30 Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ khơng tồn tại: I lim x2 y ( x, y )(0,0) x y n Chọn dãy ( xn , yn ) ,0 (0,0) Khi đó: f ( xn , yn ) f ,0 n n n Chọn dãy thứ hai ( xn , yn ) 0, (0,0) n 1 Khi f ( xn , yn ) f 0, n Vậy tồn hai dãy dần đến (0,0) giá trị 𝑓 điểm tiến đến hai số khác nhau, suy khơng tồn giới hạn cho 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 31 Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ khơng tồn tại: xy I lim ( x, y )(0,0) x y Chọn 𝑦 = 𝑘𝑥, đó: 𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑘𝑥 = + 𝑘2 𝑓 𝑥, 𝑦 đại lượng phụ thuộc vào 𝑘, mà 𝑘 thay đổi nên không tồn giới hạn 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ khơng tồn tại: xy I lim ( x, y )(0,0) x y n Chọn dãy ( xn , yn ) ,0 (0,0) Khi đó: f ( xn , yn ) f ,0 n n 1 n Chọn dãy thứ hai ( xn , yn ) , (0,0) n n 1 Khi f ( xn , yn ) f , n n Vậy tồn hai dãy dần đến (0,0) giá trị 𝑓 điểm tiến đến hai số khác nhau, suy khơng tồn giới hạn cho 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 33 Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ khơng tồn tại: x2 y I lim ( x, y )(0,0) x y ( x y ) n Chọn dãy ( xn , yn ) ,0 (0,0) Khi đó: f ( xn , yn ) f ,0 n n 1 n Chọn dãy thứ hai ( xn , yn ) , (0,0) n n 1 Khi f ( xn , yn ) f , n n Vậy tồn hai dãy dần đến (0,0) giá trị f điểm tiến đến hai số khác nhau, suy không tồn giới hạn cho 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 34 Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ khơng tồn tại: xy I lim ( x, y ) (0,0) xy Đặt 𝑡 = 𝑥𝑦, (𝑥, 𝑦) → (0,0) 𝑡 → 0: 𝐼 = lim 𝑡→0 02-Feb-21 𝑡 − 1+𝑡 = −3 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 35 Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ khơng tồn tại: I lim x2 y ( x, y )(0,0) x y 9 3 Đặt 𝑡 = 𝑥 + 𝑦, (𝑥, 𝑦) → (0,0) 𝑡 → 0: 𝐼 = lim 𝑡→0 02-Feb-21 𝑡 𝑡+9−3 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN =6 36 Định nghĩa Hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) gọi liên tục (𝑥0 , 𝑦0 ), nếu: lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) Hàm gọi liên tục miền 𝐷 liên tục điểm miền 𝐷 Tổng, hiệu, tích hai hàm liên tục hàm liên tục Thương hai hàm liên tục hàm liên tục (nếu hàm mẫu khác 0) Hàm hợp hai hàm liên tục hàm liên tục (tại điểm thích hợp) 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Định nghĩa Các hàm sau gọi hàm sơ cấp bản: 1) Hàm mũ; 2) Hàm lũy thừa; 3) Hàm lượng giác; 4) Hàm lượng giác ngược; 5) Hàm logarit; 6) Hàm Hàm thu từ hàm sơ cấp hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp gọi hàm sơ cấp Các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp hàm sơ cấp hàm sơ cấp Định lý Hàm sơ cấp liên tục tập xác định 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 38 Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm sau 𝑅2 : sin( x3 y ) , ( x, y ) (0, 0) 2 f ( x, y ) x y 0, ( x, y ) (0, 0) sin( x y ) sin t t 0 1 3 t x y 3 x3 y 0 | x | | y | x y sin( x3 y3 ) x2 y lim ( x , y )(0,0) sin( x3 y3 ) x3 y x3 y x2 y f ( x, y) 1.0 f (0,0) Suy 𝑓 liên tục (0,0) Vậy hàm cho liên tục 𝑅2 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 39 Ví dụ Tìm tất giá trị 𝑎 để hàm số liên tục điểm (0,0): x2 y , ( x, y ) (0, 0) 2 f ( x, y ) x y a, ( x, y ) (0, 0) Ta có lim ( x , y )(0,0) f ( x, y ) không tồn Vậy hàm không liên tục (0,0) Không tồn 𝑎 02-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 40 ... k =1 k=0 k = -1 k = -2 02-Feb- 21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 15 Nhắc lại Mặt trụ: phương trình thiếu