Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, cách tính tích phân kép; Tọa độ cực; Ứng dụng hình học; Ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

1 Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tọa độ cực TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Ứng dụng hình học Ứng dụng học Nhắc lại = lim n→∞ Bài tốn: Tìm diện tích 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cho hình trụ giới hạn mặt bậc hai f  f ( x, y )  , giới hạn xung quanh đường thẳng song song Oz, tựa biên D, giới hạn miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn) Bài tốn: Tìm thể tích hình trụ 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cho hình trụ giới hạn mặt bậc hai f ( x, y )  , giới hạn miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn) giới hạn xung quanh đường thẳng song song Oz, tựa biên D Bài tốn: Tìm thể tích hình trụ 1) Chia D cách tùy ý thành n hình chữ nhật rời nhau: D1, D2, , Dn Có diện tích tương ứng S D1 , S D2 , , S Dn 2) Trên miền lấy tùy ý điểm M i ( xi , yi )  Di n 3) Thể tích vật thể: V   f ( M i )  S D  Vn (tổng Riemann) i i 1 4) V  lim Vn n 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cho f = f (x,y) xác định miền đóng bị chặn D (tổng qt) Do đó, D bao kín miền chữ nhật C y D Xác định hàm F(x,y) sau:  f ( x, y ) ( x, y )  D F ( x, y )   ( x, y )  D  C x  n  Nếu giới hạn: I  lim   F ( M i )  SCi  tồn hữu hạn, ta nói hàm f(x,y) n   i 1  khả tích miền D Ký hiệu: I   f ( x, y )dxdy D 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Tính chất 1) Hàm liên tục miền đóng, bị chặn khả tích miền 2) S D   dxdy D 3)   f ( x, y ) dxdy   f ( x, y ) dxdy D D 4)   f ( x, y )  g ( x, y )  dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D D D 5) Nếu D chia làm hai miền D1 D2 rời nhau:  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D1 D2 6) ( x, y )  D, f ( x, y )  g ( x, y )   fdxdy   gdxdy D 23-Feb-21 D TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 10 Tính thể tích Để tính thể tích khối  : 1) Xác định mặt giới hạn bên trên: z  z2 ( x, y ) 2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: z  z1 ( x, y ) 3) Xác định hình chiếu  xuống Oxy: Dxy  PrOxy  V    z2  x, y   z1  x, y   dxdy Dxy Chú ý: 1) Có thể chiếu Ω xuống Oxz, Oyz Khi mặt phía trên, mặt phía phải theo hướng chiếu xuống 2) Để tìm hình chiếu Ω xuống Oxy, ta khử z phương trình Ω 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 62 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z  ( x  1)  y ; x  z  Mặt phía trên: z  z2 ( x, y )   x 2 z  z ( x , y )  ( x  1)  y Mặt phía dưới: Hình chiếu: khử z phương trình: ( x  1)  y   x  x  y  Hình chiếu  D : x2  y  V  x  y 1 23-Feb-21  z2  z1  dxdy TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 63 Ví dụ V  (2  x)  ( x  x   y )  dxdy     x  y 1 V x  y 1   x  y dxdy Đổi sang tọa độ cực: 2 0  V   d   r V 23-Feb-21  x  r cos    y  r sin    r  dr 2  r r       d 4  2  TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 64 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z  x  y ; y  x ; y  1; z  Mặt trên: z  x  y Mặt phía dưới: z  Hình chiếu: D D 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 65   V   x  y  dxdy D  1  x  D: x  y  1 1 x2   V   dx  x  y dy  y  V    x y   dx  1  x    x   88 V    x     x    dx  105 3    1   23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 66 2 z  x  y  1, x  y  mặt tọa độ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: Mặt phía trên: z  x  y  2 Mặt phía dưới: z  Hình chiếu: tam giác màu đỏ A 0 B   V   x  y   dxdy  OAB 23-Feb-21 2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Mặt 67 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: z   y ; z  y  2; x  1; x  Có thể chiếu xuống Oxy tương tự ví dụ trước z Chiếu vật thể xuống Oyz: Mặt phía trên: x  Mặt phía dưới: x  1 y x 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 68 Thể tích vật thể cần tính: z V    x2 ( y, z )  x1 ( y, z )  dydz D yz D 4 y 1 2 y V   dy  V   3z 1   (1) dz 4 y 2 y dy y   V    y   y dy 1 V  23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 69 Diện tích mặt cong Mặt S cho phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), D hình chiếu S xuống Oxy Chia miền D thành n miền D1, D2, , Dn Khi tương ứng, S chia thành mặt S1, S2, , Sn Diện tích tương ứng: ∆𝑆1 , ∆𝑆2 , ⋯ , ∆𝑆𝑛 Lấy điểm tùy ỳ Pi ( xi , yi ,0)  Di Tương ứng với điểm M i ( xi , yi , zi )  Si Gọi Ti mặt tiếp diện với Si Mi Và Ti mảnh có hình chiếu xuống Oxy Di 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 70 Diện tích mặt cong Với Di nhỏ, ta coi diện tích Ti diện tích gần mảnh Si : n n i 1 i 1 S   Si   S (Ti ) Gọi  i góc hai mảnh Di Ti : S ( Di )  S (Ti )  cos  i Ta có  i góc pháp tuyến Mi với mặt S trục Oz   Véctơ pháp S Mi : n  M i    zx ( xi , yi ),  z y ( xi , yi ),1 cos  i  23-Feb-21  zx ( xi , yi ) 2   zy ( xi , yi )   TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 71 n n i 1 i 1  zx ( xi , yi )  S   S (Ti )   n S  lim   n  i 1  zx    z y ( xi , yi )    S ( Di )    zy 2    S ( Di )   Diện tích mặt cong có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy Dxy tính cơng thức: S     zx    zy  dxdy 2 Dxy 23-Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 72 Tính diện tích phần mặt paraboloid z   x  y nằm hình trụ: x2  y  Hình chiếu S xuống Oxy: D : x2  y  2 Phương trình mặt S: z   x  y zx  2 x; zy  2 y Diện tích phần mặt paraboloid:   S     zx   zy dxdy D S  x  y 1 23-Feb-21 2 0  x  y dxdy   d   4r  r  dr  2 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN (5  1) 73 23-Feb-21 74 23-Feb-21 75 23-Feb-21 76 ... nghệ - ĐHQGHN 12 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 13 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 14 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN... chặn) Bài tốn: Tìm thể tích hình trụ 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn. .. 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 2 3- Feb-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa