Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 cung cấp cho người học những kiến thức như: Phương trình vi phân; Phương trình vi phân cấp 1; Phương trình vi phân cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!
1 Phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Một số toán dẫn tới phương trình vi phân Cho vật khối lượng 𝑚 rơi tự khơng khí Giả sử sức cản khơng khí tỷ lệ với vận tốc rơi 𝑣(𝑡) vào thời điểm 𝑡 với hệ số tỷ lệ 𝑘 > Tìm 𝑣(𝑡) Khi vật rơi lực tác dụng lên vật gồm: lực hút trái đất 𝑚𝑔, lực cản khơng khí 𝑘𝑣(𝑡) Theo định luật Newton: 𝑚𝑎 = 𝐹, với 𝑎 gia tốc vật rơi Do đó: 𝑑𝑣 𝑚 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡 Hay: 𝑚𝑣 ′ = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 Đây phương trình vi phân để tìm hàm 𝑣(𝑡) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Một số tốn dẫn tới phương trình vi phân Cho đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết tiếp tuyến điểm đường cong cắt trục Oy điểm có tung độ lần tung độ tiếp điểm Pt tiếp tuyến với 𝑦 = 𝑓(𝑥) điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ): 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓 ′ 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0 ) Giao điểm tiếp tuyến với trục Oy (𝑥 = 0): 𝑦1 = 𝑦0 − 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥0 Vì: 𝑦1 = 2𝑦0 → 𝑦0 = −𝑓 ′ 𝑥0 𝑥0 Do 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) điểm bất kỳ, nên ta ′ có phương trình vi phân: 𝑦 𝑥 = 25-Mar-21 𝑦(𝑥) 𝑥 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình mà đối tượng phải tìm hàm số hàm số phải tìm có mặt phương trình dạng đạo hàm vi phân cấp Phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân) phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm số biến số PTVP thường: ′ 𝑦 =𝑥 +𝑦 25-Mar-21 2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 = −𝑎2 𝑦 Định nghĩa Phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình vi phân với hàm số phải tìm hàm số nhiều biến số PTVP đạo hàm riêng: 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢 +𝑦 𝜕𝑦 =𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 =0 Trong khn khổ chương trình này, xét PTVP thường, ta gọi tắt PTVP 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cấp cao đạo hàm (hoặc vi phân) phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân y( x) y( x) x sin x x phương trình vi phân cấp 2 d y d y 2x 3 e dx dx phương trình vi phân cấp 2u 2u 1 x xy phương trình đạo hàm riêng cấp 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n: (n) F x, y, y , , y 0 Ví dụ: y x e y y y x Nếu giải y Ví dụ: (1) (n) : y x, y, y, , y (n) ( n 1) x xy dy x y dx dy x y Giải được: y dx x xy 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP Nghiệm phương trình (1) tập X hàm y ( x) xác định X cho thay vào (1) ta đồng thức Đồ thị nghiệm y ( x) gọi đường cong tích phân Ví dụ: phương trình vi phân y y có nghiệm là: x y Cx, C R thỏa mãn phương trình vi phân cho 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp 1: F x, y , y Nếu giải y : y x, y (2) (3) Ví dụ: phương trình vi phân cấp x y y xe x dạng (3) y xy y 25-Mar-21 y dy xy y dx 2 dạng (3) dạng (2) TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình (2) (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y x0 y0 (4) Nghiệm phương trình (2) (3) họ đường cong tích phân phụ thuộc số C Nghiệm toán Cauchy đường cong tích phân qua điểm cho trước x0 , y0 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 10 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 +𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ′′ Phương trình liên kết tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + = 0, có nghiệm: 𝑘 = ±𝑖 Do nghiệm tổng quát pt có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 Nghiệm riêng pt không có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 86 Ví dụ Trong 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 (𝑥)là nghiệm hệ: 𝐶1′ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2′ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 = ′ ′ −𝐶1 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 Giải hệ ta thu được: 𝑥 =− 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝐶2 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶1′ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 87 Ví dụ Suy ra: 𝐶1 𝑥 = − 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 − 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 2 𝐶2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑡𝑔 𝑠𝑖𝑛𝑥 Vậy nghiệm tổng qt phương trình cho có dạng: 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 − 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 + 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 2 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑡𝑔 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 88 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Phương trình khơng vế phải có dạng đặc biệt: 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 (𝑥), 𝛼 số, 𝑃𝑛 (𝑥) đa thức bậc 𝑛 Nếu 𝛼 nghiệm bội 𝑠 pt đặc trưng (5), ta tìm nghiệm riêng pt (4) dạng: 𝑦 = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 𝑥 , 𝑄𝑛 (𝑥) đa thức bậc 𝑛 bậc với đa thức 𝑃𝑛 (𝑥) Các hệ số 𝑄𝑛 (𝑥) xác định phương pháp hệ số bất định Chú ý: 𝛼 không nghiệm pt đặc trưng (5) 𝑠 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 89 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Phương trình khơng vế phải có dạng đặc biệt: 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 ; 𝛼, 𝛽 số, 𝑃𝑛 (𝑥), 𝑄𝑚 (𝑥) đa thức bậc 𝑛, 𝑚 Nếu (𝛼 ± 𝑖𝛽) không nghiệm pt đặc trưng (5), ta tìm nghiệm riêng pt (4) dạng: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐻𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐿𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 , 𝐻𝑠 𝑥 , 𝐿𝑠 𝑥 đa thức có bậc 𝑠 = max(𝑚, 𝑛), có hệ số cần xác định phương pháp đồng thức 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 90 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Nếu (𝛼 ± 𝑖𝛽) nghiệm pt đặc trưng (5), ta tìm nghiệm riêng pt (4) dạng: 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝐻𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐿𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 𝐻𝑠 𝑥 , 𝐿𝑠 𝑥 đa thức có bậc 𝑠 = max(𝑚, 𝑛), có hệ số cần xác định phương pháp đồng thức 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 91 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 3𝑒 2𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 − 4𝑘 + = có nghiệm thực: 𝑘1 = 1, 𝑘2 =3 Do nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 Vì 𝛼 = khơng nghiệm phương trình đặc trưng, 𝑃𝑛 𝑥 = (đa thức bậc 0) nên tìm nghiệm riêng pt khơng dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐴 𝑒 2𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 92 Ví dụ Thay nghiệm riêng 𝑦 𝑥 vào pt cho ta có: 4𝐴𝑒 2𝑥 − 8𝐴𝑒 2𝑥 + 3𝐴𝑒 2𝑥 = 3𝑒 2𝑥 → 𝐴 = −3 Do 𝑦 𝑥 = −3𝑒 2𝑥 Vậy nghiệm tổng qt PTVP tuyến tính cấp khơng với hệ số số là: 𝑦 𝑥 = 𝑦 ∗ 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 − 3𝑒 2𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 93 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 −𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + = có nghiệm phức: 𝑘 = ±𝑖 Do nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 Vì vế phải tổng hàm 𝑓1 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑓2 𝑥 = 2𝑒 −𝑥 , nên ta tìm nghiệm riêng PTVP không ứng với vế phải 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 94 Ví dụ Với 𝑓1 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 , 𝛼 = không nghiệm pt đặc trưng, 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥, nên ta tìm nghiệm riêng PTVP khơng có vế phải 𝑓1 𝑥 dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒 𝑥 Với 𝑓2 𝑥 = 2𝑒 −𝑥 , 𝛼 = −1 không nghiệm pt đặc trưng, 𝑃𝑛 𝑥 =2, nên ta tìm nghiệm riêng PTVP khơng có vế phải 𝑓2 𝑥 dạng: 𝑦2 = 𝐶𝑒 −𝑥 Vậy nghiệm riêng pt cho có dạng: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 95 Ví dụ Thay nghiệm riêng 𝑦 𝑥 vào pt cho đồng thức vế ta có: 𝐴= ,𝐵 = − ,𝐶 = Vậy nghiệm tổng quát pt cho có dạng: 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ∗ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 96 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + = 0, có nghiệm phức: 𝑘 = ±𝑖 Do nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 Vì 𝛼 = 0, 𝛽 = nên 𝛼 ± 𝑖𝛽 = ±𝑖 nghiệm pt đặc trưng Mặt khác 𝑃𝑛 𝑥 = 0, 𝑄𝑚 𝑥 = 1, nên 𝑠 = Vậy ta tìm nghiệm riêng pt khơng dạng: 𝑦 𝑥 = 𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 97 Ví dụ Thay nghiệm riêng 𝑦 𝑥 vào pt cho đồng thức vế ta có: 𝐴= − ,𝐵 = Vậy nghiệm tổng quát pt cho có dạng: 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Cơng nghệ - ĐHQGHN 98 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 − 6𝑘 + = 0, có nghiệm kép: 𝑘 = Do nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 3𝑥 Ta tìm nghiệm riêng pt không dạng: 𝑦 𝑥 = 𝑥 𝑒 3𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 99 Ví dụ ′ Ta có: 𝑦 = 3𝑒 3𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝑒 3𝑥 3𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 ′′ 𝑦 = 9𝑒 3𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 6𝑒 3𝑥 3𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 + 𝑒 3𝑥 6𝐴𝑥 + 2𝐵 Thế vào phương trình cho ta được: 𝑒 3𝑥 6𝐴 − 10𝐵 𝑥 + 2𝐵 = 𝑥𝑒 3𝑥 𝐴 = 1/6 6𝐴 − 10𝐵 = Suy ra: → 𝐵=0 𝐵=0 Do nghiệm riêng pt khơng là: 𝑦 𝑥 = 3𝑥 𝑥 𝑒 Vậy nghiệm tổng quát pt cho có dạng: ∗ 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 25-Mar-21 3𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3𝑥 3𝑥 + 𝑥 𝑒 100 ... =